2013年北京市门头沟区中考二模数学试题及答案

2013年门头沟区初三年级第二次统一练习

数 学 试 卷

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．-6的倒数是

A ．6

B ．6-

C ．

16 D ．1

6

- 2．PM2.5是大气中粒径小于等于2.5微米的颗粒物，称为细颗粒物，是表征环境空气质量的主要污染物指标．2.5微米等于0.0000025米，把0.0000025用科学记数法表示为 A ．62.510? B ．50.2510-? C ． 62.510-? D ．72510-? 3．右图所示的是一个几何体的三视图，则这个

几何体是

A ．球

B ．圆锥

C ．圆柱

D ．三棱柱

4．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是 A ．8

B ．6

C ．5

D ．3

5．在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为 A ．

1

5

B ．13

C ．

5

8

D ．38

6．已知圆锥侧面展开图的扇形半径为2cm ，面积是24

cm 3π，则扇形的弧长和圆心角的度

数分别为

A ．4

πcm 1203,?

B

．2

πcm 1203,?

C ．4πcm 603,?

D ．2

πcm 603

,?

左视图 俯视图

7．甲、乙两人进行射击比赛，他们5次射击的成绩（单位：环）如下表所示：

设甲、乙两人射击成绩的平均数依次为x 甲、x 乙，射击成绩的方差依次为2

S 甲、2S 乙，

则下列判断中正确的是

A ．x x =乙甲，22S S =乙甲

B ．x x =乙甲， 22>S S 乙甲

C ．x x =乙甲，22

D ．

8．如图，在平行四边形ABCD 中，AC = 12，BD = 8，P 是

AC 上的一个动点，过点P 作EF ∥BD ，与平行四边形的 两条边分别交于点E 、F ．设CP=x ，EF=y ，则下列图象 中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是

A ．

B ．

C ．

D ． 二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9． 在函数y x 的取值范围是 ． 10．分解因式：216ax a -= ． 11．某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，

他们要测量一幢建筑物AB 的高度．如图，他们先在 点C 处测得建筑物AB 的顶点A 的仰角为30?，然后 向建筑物AB 前进20m 到达点D 处，又测得点 A 的 仰角为60?，则建筑物AB 的高度是 m ． 12．如图，将边长为2的正方形纸片ABCD 折叠，使点B

落在CD 上，落点记为E （不与点C ，D 重合），点A 落在点F 处，折痕MN 交AD 于点M ，交BC 于点N ． 若12CE CD =，则BN 的长是 ，AM BN 的值 等于 ；若

1

CE CD n

=（2n ≥，且n 为整数）

， 则AM BN

的值等于 （用含n 的式子表示）．

A B

C

D

E

F

M

N P

F E D C

B

A

A

D B

30

?

60?

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13

1

1

4sin45(3)

4

-

??

?+-π+ ?

??

．

14．已知关于x的一元二次方程2630

x x m

-+-=有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．

15．已知

1

3

x

y

=，求

22

22

3

3

2

x y y

x

x y x y x xy y

-

-?

+-++

的值.

16．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90o，BD⊥AC 于点D，点E在BC的延长线上，且BE=AB，过点E 作EF⊥BE，与BD的延长线交于点F.

求证：BC=EF.

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=3x的

图象与反比例函数

k

y

x

=的图象的一个交点为A(1, m)．

（1）求反比例函数

k

y

x

=的解析式；

（2）若点P在直线OA上，且满足P A=2OA，直接

写出点P的坐标．

18．列方程或方程组解应用题：

为帮助地震灾区人民重建家园，某校学生积极捐款．已知第一次捐款总额为9000元，第二次捐款总额为12000元，且两次人均捐款额相等，但第二次捐款人数比第一次多50人．求该校第二次捐款的人数．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=60o，AC平分

∠DAB，BC⊥AC，AC与BD交于点E，AD=6，

CE

tan BEC

∠=BC、DE的长及

四边形ABCD的面积．

A

B C

D

F

E A B

C

D

E

20．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，

点D 在⊙O 上，且∠A=30°，∠ABD =2∠BDC ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线；

（2）过点O 作OF ∥AD ，分别交BD 、CD 于点E 、

F ．若OB =2，求 OE 和CF 的长．

21．某校为了了解该校初二年级学生阅读课外书籍的情况，随机抽取了该年级的部分学生，

对他们某月阅读课外书籍的情况进行了调查，并根据调查的结果绘制了如下的统计图表．

请你根据以上信息解答下列问题：

（1）这次共调查了学生多少人？E 组人数在这次调查中所占的百分比是多少？ （2）求出表1中a 的值，并补全图1；

（3）若该年级共有学生300人，请你估计该年级在这月里阅读课外书籍的时间不少

于12小时的学生约有多少人．

表1 阅读课外书籍人数分组统计表

D

F 阅读课外书籍人数分组统计图

图1

人数

阅读课外书籍人数分组所占百分比统计图

图2

6%26%30%

20%A

B C D E F

22． 如图1，矩形MNPQ 中，点E 、F 、G 、H 分别在NP 、PQ 、QM 、MN 上，若4321∠=∠=∠=∠，

则称四边形EFGH 为矩形MNPQ 的反射四边形．在图2、图3中，四边形ABCD 为矩形，且4=AB ，8=BC ．

（1）在图2、图3中，点E 、F 分别在BC 、CD 边上，图2中的四边形EFGH 是利用

正方形网格在图上画出的矩形ABCD 的反射四边形．请你利用正方形网格在图3上画出矩形ABCD 的反射四边形EFGH ；

（2）图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的周长是否为定值？若是定值，

请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的周长各是多少；

（3）图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的面积是否为定值？若是定值，

请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的面积各是多少．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22427

6883

m m y x x m m --=-++-+经过原点O ，

点B (-2,n )在这条抛物线上.

（1）求抛物线的解析式；

（2）将直线2y x =-沿y 轴向下平移b 个单位后得到直线l ， 若直线l 经过B 点，求

n 、b 的值；

（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，直线l 与y 轴交于点D ，且与抛物线的对称轴交于点E .若P 是抛物线上一点，且PB =PE ，求P 点的坐标.

M

N

P

Q G

H

E

F

1 2

3 4

图

1

图3

图2

F

24．已知：在△AOB 与△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，?=∠=∠90COD AOB ． （1）如图1，点C 、D 分别在边OA 、OB 上，连结AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，

连结OM ，则线段AD 与OM 之间的数量关系是 ，位置关系是 ；

（2）如图2，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α (?<

结AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，连结OM ．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，将图1中的 △COD 绕点 O 逆时针旋转到使 △COD 的一边OD 恰好与

△AOB 的边OA 在同一条直线上时，点C 落在OB 上，点M 为线段BC 的中点． 请你判断（1）中线段AD 与OM 之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，

并加以证明．

25． 如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知矩形ABCD 的两个顶点B 、C 的坐标分别是

B （1，0）、

C （3，0）．直线AC 与y 轴交于点G （0，6）．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动．同时动点 Q 从点C 出发，沿线段C

D 向点D 运动．点P 、Q 的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P 作P

E ⊥AB 交AC 于点E ． （1）求直线AC 的解析式；

（2）当t 为何值时，△CQE 的面积最大？最大值为多少？

（3）在动点P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在

点H ，使得以C 、Q 、E 、H 为顶点的四边形是菱形？

图1

O M

A

B

C

D

图2

D

C

B M

图3

A

2013年门头沟区初三年级第二次统一练习

数学试卷评分参考

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

说明：12题第一、二空各1分，第三空2分

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13

1

1

4sin45(3)

4

-

??

?+-π+ ?

??

．

解：

1

1

4s i n45(3)

4

-

??

?+-π+ ?

??

=414

+…………………………………………………………………

…4分

=5．……………………………………………………………………………5分

14．解：由题意可知?=0，即(-6)2-4(m-3)=0. ………………………………………………2分

解得m=12. ………………………………………………………………………………3分当m=12时，原方程化为x2-6x+9=0. …………………………………………………4分

解得x1=x2=3. ……………………………………………………………………………5分所以原方程的根为x1=x2=3.

15．解：

22

22

3

3

2

x y y

x

x y x y x xy y

-

-?

+-++

=

()()

2

3

3

()

x y x y y

x

x y x y x y

+-

-?

+-+

············································································2分

=

33 x y x y x y

-

++

= 33x y

x y

-+． ················································································································ 3分 当

1

3

x y =时，3y x =. ····································································································· 4分 ∴原式=

393x x x x

-+=3

2-. ·································································································· 5分 16．证明：∵EF BE ⊥，90ABC ∠=°，

∴

90BEF ABC ∠=∠=°．

………………………………………………………1分

∴90F EBF ∠+∠=°． 又∵BD AC ⊥，

∴90EBF ACB ∠+∠=°．

∴ACB F ∠=∠．………………………2分 在ABC △和BEF △中，

∴ABC △≌BEF △．……………………4分 ∴BC EF =．………………………………5分

17．解：（1）∵ 点A （1, m ）在一次函数y =3x 的图象上， ∴m =3． …………………………… 1分 ∴ 点A 的坐标为（1, 3）.

∵ 点A （1, 3）在反比例函数k

y x

=的图象上， ∴ 3k =. ………………………………2分 ∴反比例函数的

3

y x

=. …………………………………………………3分

（2）点P 的坐标为P (3, 9) 或P (-1, -3) . ………………………………………

5分

18．解：设该校第二次有x 人捐款，则第一次有（x –50）人捐款. …………………………1分 根据题意，得

90001200050x x

=-. ……………………………………………………………3分

解这个方程，得

A

B

C

D

F

E

ACB F ABC BEF AB BE ∠=∠??

∠=∠??

=?，

，，

x =200. …………………………………………………………………4分 经检验，x =200是所列方程的解，并且符合实际问题的意义.

答

：

该

校

第

二

次

有

200

人

捐

款. …………………………………………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：如图，过点D 作DF ⊥AC 于F ．

∵∠DAB =60o，AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC =∠BAC =30°． ∵BC AC ⊥，

∴∠AFD =∠ACB =90°． ∴

11

6322

DF AD =

=?=，………………………………………………………………1分 BC =

CE ?tan BEC ∠

．………………………………………………2分

∴3tan tan DF DF EF DEF BEC ===∠∠

44tan tan 30BC AC BAC =

==÷=∠?．………………………………………

…3分

∴

DE =4分

∴

ACD ACB ABCD S S S ??=+四边形1122AC DF AC BC =

?+

?11

422

=?3+?

= ………………………………………………………………………………………

…5分 20．（1）证明：连结OD ．

∵AB 是⊙O 的直径， ∴

∠

ADB=90°． ………………………………………………………………1分

∵∠A=30°， ∴∠ABD=60°． ∵∠ABD=2∠BDC ，

F E

D

C B

A

∴∠BDC =1

302

ABD ∠=?．

∵OD=OB ，∴△ODB 是等边三角形． ∴∠ODB=60°．

∴∠ODC=∠ODB+∠BDC =90°．

∴CD 是⊙O 的切线．……………………………………………………………

2分

（2）解： ∵OF ∥AD ，∠ADB=90°，

∴OF ⊥BD ，

∠BOE=∠ A

=30°． ………………………………………………3分

∵BD=OB =2，

∴1

12

DE BE BD ===．

∴OE =……………………………………………………

4分

∵OD=OB=2，∠DOC =60°，∠DOF=30°，

∴tan60CD OD =??=，tan 30DF OD =??=． ∴

CF CD DF =-== ……………………………………5分

21．解：（1）这次共调查了学生50人，E 组人数在这次调查中所占的百分比是8％．……2分

（2）表1中a 的值是15，………………………………………………………………

3分

补全图1． …………………………………………………………………………

4分

（3）54人． (5)

分

22．解：（1）利用正方形网格在图3上画出矩形ABCD 的反射四边形EFGH ． ……………2分

（2）图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的周长是定值，定值是…

3分

（3）图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的面积不是定值，它们的面积

分别是16、

12……………………………………………………………………………5分

五、解答题（本题共22分，第23、24题各7分，第25题8分）

23．解：（1）∵拋物线22427

6883

m m y x x m m --=-++-+经过原点，

∴m 2-6m +8=0．解得m 1=2，m 2=4． 由题意知m ≠4，

∴m =2．……………………………………………………………………………

…1分

∴

拋

物

线

的

解

析

式

为

x x y -=

2

4

1． ………………………………………………2分 （2）∵点B (-2,n )在拋物线x x y -=24

1

上，

∴n =3．………………………………………………………………………………

3分

∴B 点的坐标为(–2，3) ．

∵直线l 的解析式为2y x b =--，直线l 经过B 点， ∴()322b =---．

∴1b =．……………………………………………………………………………

4分

（3）∵拋物线x x y -=

2

41的对称轴为直线x =2，直线l 的解析式为y =-2x -1， ∴拋物线x x y -=24

1

的对称轴与x 轴的交点C 的坐标为(2,0)，

直线l 与y 轴、直线x =2的交点坐标分别为 D (0,-1)、E (2,-5).

过点B 作BG ⊥直线x =2于G ，与y 轴交于

则BG =4.

在Rt △BGC 中，5CB . ∵CE =5，∴ CB =CE .

过点E 作EH ⊥y 轴于H . 则点H 的坐标为 (0,-5).

∵点F 、D 的坐标为F (0,3)、D (0,-1)，

∴FD =DH =4，BF =EH =2，∠BFD =∠EHD =∴△DFB ≌△DHE .

∴DB =DE .

∵PB =PE ，

∴点P 在直线CD 上.

∴符合条件的点P 是直线CD 设直线CD 的解析式为y =kx +a .

将D (0,-1)、C (2,0)代入，得120a ,

k a .=-??+=? 解得 112

a ,k .=-???=??

∴

直

线

CD

的

解

析

式

为

1

12

y x =

-. ………………………………………………5分 设点P 的坐标为(x ，x x -24

1

)，

∴112x -=x x -24

1

. 解得 531+=x ，532-=x .

∴2

5

11+=

y

，2y =∴点P 的坐标为(53+，251+)或(53-，2

5

1-).…………………………

7分

24．解：（1）线段AD 与OM 之间的数量关系是AD =2OM ，位置关系是AD OM ⊥.………2分

（2）（1）的两个结论仍然成立.

证明：如图2，延长BO 到F ，使FO =BO ，连结CF .

∵M 为BC 中点，O 为BF 中点，∴MO 为BCF ?的中位线. ∴FC =2OM . ………………………………3分 ∵∠AOB =∠AOF =∠COD =90°， ∴∠AOD =∠FOC .

∵AO =FO ，CO =DO ，

∴△AOD ≌△FOC .

∴FC =AD .

∴AD =2OM . ………………………………………4分 ∵MO 为BCF ?的中位线，∴MO ∥CF . ∴∠MOB =∠F .

又∵AOD △≌FOC △，∴DAO ∠=F ∠. ∵MOB ∠+AOM ∠=90°, ∴DAO ∠+AOM ∠=90°. 即

AD OM ⊥. ……………………………………………………………………5分

（3）（1）中线段AD 与OM 之间的数量关系没有发生变化. 证明：如图3，延长DC 交AB 于E ，连结ME ，

过点E 作EN AD ⊥于N .

∵OA ＝OB ，OC ＝OD ，?=∠=∠90COD AOB ，

F

O

M

A

B

C

D 图2

∴45A D B BCE DCO ∠=∠=∠=∠=∠=?. ∴AE ＝DE ，BE ＝CE ，∠AED =90°. ∴DN=AN . ∴AD ＝2NE .

∵M 为BC 的中点，∴EM BC ⊥.

∴四边形ONEM 是矩形. ∴NE ＝OM . ∴AD ＝

2OM . ………………………………………………………………………7分 25. 解：（1） 设直线AC 的解析式为.y kx b =+

∵直线AC 经过G (0，6)、C （3，0）两点，

∴6,30.

b k b =??

+=? 解这个方程组，得

2,6.

k b =-??

=? …………………………………1分 ∴直线AC 的解

析式为

26y x =-+． ……………………………………………2分

（2） 当x =1时，y =4. ∴A （1，4）.

∵AP =CQ = t ，

∴点P （1，4-t ）.……………………………………………………………………

3分

将y =4–t 代入26y x =-+中，得点E 的横坐标为x =12

t

+. ∴点E 到CD 的距离为22

t -

. ∴S

△

CQE =1222t t ?

???- ???=214t t -+=()21214t .--+ ……………………………4分 ∴当t =2时，S △CQE 最大，最大值为1.……………………………………………

5分

（3） 过点E 作FM ∥DC ，交AD 于F ，交BC 于M ． 当点H 在点E 的下方时，连结CH . ∵4EM t =-，∴42HM t =-.

∵12t OM =+，∴22

t

CM =-.

∵四边形CQEH 为菱形，∴CH CQ t ==.

在Rt △HMC 中，由勾股定理得22

CH HM =+

∴()

2

2

2

4222t t t ??=-+- ???

. 整理得 21372800t t -+=.

解得 120

13t =，24t =（舍）.

∴当20

13

t =

时，以C ，Q ，E ，H 为顶点的四边形是菱形. ……………………7分

当点H 在点E 的上方时，同理可得当20t =-. 以C ，Q ，E ，H 为顶点

的

四

边

形

是

菱

形. ……………………………………………………………………8分

∴t 的值是20

13

t =

或20t =-