2013年门头沟区初三年级第二次统一练习
数 学 试 卷
一、选择题(本题共32分,每小题4分)
下列各题均有四个选项,其中只有一个..是符合题意的. 1.-6的倒数是
A .6
B .6-
C .
16 D .1
6
- 2.PM2.5是大气中粒径小于等于2.5微米的颗粒物,称为细颗粒物,是表征环境空气质量的主要污染物指标.2.5微米等于0.0000025米,把0.0000025用科学记数法表示为 A .62.510? B .50.2510-? C . 62.510-? D .72510-? 3.右图所示的是一个几何体的三视图,则这个
几何体是
A .球
B .圆锥
C .圆柱
D .三棱柱
4.已知一个多边形的内角和是外角和的3倍,则这个多边形的边数是 A .8
B .6
C .5
D .3
5.在一个不透明的口袋中,装有5个红球3个白球,它们除颜色外都相同,从中任意摸出一个球,摸到红球的概率为 A .
1
5
B .13
C .
5
8
D .38
6.已知圆锥侧面展开图的扇形半径为2cm ,面积是24
cm 3π,则扇形的弧长和圆心角的度
数分别为
A .4
πcm 1203,?
B
.2
πcm 1203,?
C .4πcm 603,?
D .2
πcm 603
,?
左视图 俯视图
7.甲、乙两人进行射击比赛,他们5次射击的成绩(单位:环)如下表所示:
设甲、乙两人射击成绩的平均数依次为x 甲、x 乙,射击成绩的方差依次为2
S 甲、2S 乙,
则下列判断中正确的是
A .x x =乙甲,22S S =乙甲
B .x x =乙甲, 22>S S 乙甲
C .x x =乙甲,22
D . 8.如图,在平行四边形ABCD 中,AC = 12,BD = 8,P 是 AC 上的一个动点,过点P 作EF ∥BD ,与平行四边形的 两条边分别交于点E 、F .设CP=x ,EF=y ,则下列图象 中,能表示y 与x 的函数关系的图象大致是 A . B . C . D . 二、填空题(本题共16分,每小题4分) 9. 在函数y x 的取值范围是 . 10.分解因式:216ax a -= . 11.某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动, 他们要测量一幢建筑物AB 的高度.如图,他们先在 点C 处测得建筑物AB 的顶点A 的仰角为30?,然后 向建筑物AB 前进20m 到达点D 处,又测得点 A 的 仰角为60?,则建筑物AB 的高度是 m . 12.如图,将边长为2的正方形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 上,落点记为E (不与点C ,D 重合),点A 落在点F 处,折痕MN 交AD 于点M ,交BC 于点N . 若12CE CD =,则BN 的长是 ,AM BN 的值 等于 ;若 1 CE CD n =(2n ≥,且n 为整数) , 则AM BN 的值等于 (用含n 的式子表示). A B C D E F M N P F E D C B A A D B 30 ? 60? 三、解答题(本题共30分,每小题5分) 13 1 1 4sin45(3) 4 - ?? ?+-π+ ? ?? . 14.已知关于x的一元二次方程2630 x x m -+-=有两个相等的实数根,求m的值及方程的根. 15.已知 1 3 x y =,求 22 22 3 3 2 x y y x x y x y x xy y - -? +-++ 的值. 16.已知:如图,在△ABC中,∠ABC=90o,BD⊥AC 于点D,点E在BC的延长线上,且BE=AB,过点E 作EF⊥BE,与BD的延长线交于点F. 求证:BC=EF. 17.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=3x的 图象与反比例函数 k y x =的图象的一个交点为A(1, m). (1)求反比例函数 k y x =的解析式; (2)若点P在直线OA上,且满足P A=2OA,直接 写出点P的坐标. 18.列方程或方程组解应用题: 为帮助地震灾区人民重建家园,某校学生积极捐款.已知第一次捐款总额为9000元,第二次捐款总额为12000元,且两次人均捐款额相等,但第二次捐款人数比第一次多50人.求该校第二次捐款的人数. 四、解答题(本题共20分,每小题5分) 19.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=60o,AC平分 ∠DAB,BC⊥AC,AC与BD交于点E,AD=6, CE tan BEC ∠=BC、DE的长及 四边形ABCD的面积. A B C D F E A B C D E 20.如图,AB 是⊙O 的直径,C 是AB 延长线上一点, 点D 在⊙O 上,且∠A=30°,∠ABD =2∠BDC . (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)过点O 作OF ∥AD ,分别交BD 、CD 于点E 、 F .若OB =2,求 OE 和CF 的长. 21.某校为了了解该校初二年级学生阅读课外书籍的情况,随机抽取了该年级的部分学生, 对他们某月阅读课外书籍的情况进行了调查,并根据调查的结果绘制了如下的统计图表. 请你根据以上信息解答下列问题: (1)这次共调查了学生多少人?E 组人数在这次调查中所占的百分比是多少? (2)求出表1中a 的值,并补全图1; (3)若该年级共有学生300人,请你估计该年级在这月里阅读课外书籍的时间不少 于12小时的学生约有多少人. 表1 阅读课外书籍人数分组统计表 D F 阅读课外书籍人数分组统计图 图1 人数 阅读课外书籍人数分组所占百分比统计图 图2 6%26%30% 20%A B C D E F 22. 如图1,矩形MNPQ 中,点E 、F 、G 、H 分别在NP 、PQ 、QM 、MN 上,若4321∠=∠=∠=∠, 则称四边形EFGH 为矩形MNPQ 的反射四边形.在图2、图3中,四边形ABCD 为矩形,且4=AB ,8=BC . (1)在图2、图3中,点E 、F 分别在BC 、CD 边上,图2中的四边形EFGH 是利用 正方形网格在图上画出的矩形ABCD 的反射四边形.请你利用正方形网格在图3上画出矩形ABCD 的反射四边形EFGH ; (2)图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的周长是否为定值?若是定值, 请直接写出这个定值;若不是定值,请直接写出图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的周长各是多少; (3)图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的面积是否为定值?若是定值, 请直接写出这个定值;若不是定值,请直接写出图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的面积各是多少. 五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分) 23. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22427 6883 m m y x x m m --=-++-+经过原点O , 点B (-2,n )在这条抛物线上. (1)求抛物线的解析式; (2)将直线2y x =-沿y 轴向下平移b 个单位后得到直线l , 若直线l 经过B 点,求 n 、b 的值; (3)在(2)的条件下,设抛物线的对称轴与x 轴交于点C ,直线l 与y 轴交于点D ,且与抛物线的对称轴交于点E .若P 是抛物线上一点,且PB =PE ,求P 点的坐标. M N P Q G H E F 1 2 3 4 图 1 图3 图2 F 24.已知:在△AOB 与△COD 中,OA =OB ,OC =OD ,?=∠=∠90COD AOB . (1)如图1,点C 、D 分别在边OA 、OB 上,连结AD 、BC ,点M 为线段BC 的中点, 连结OM ,则线段AD 与OM 之间的数量关系是 ,位置关系是 ; (2)如图2,将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转,旋转角为α (?<900α).连 结AD 、BC ,点M 为线段BC 的中点,连结OM .请你判断(1)中的两个结论是否仍然成立.若成立,请证明;若不成立,请说明理由; (3)如图3,将图1中的 △COD 绕点 O 逆时针旋转到使 △COD 的一边OD 恰好与 △AOB 的边OA 在同一条直线上时,点C 落在OB 上,点M 为线段BC 的中点. 请你判断(1)中线段AD 与OM 之间的数量关系是否发生变化,写出你的猜想, 并加以证明. 25. 如图,在平面直角坐标系xOy 中, 已知矩形ABCD 的两个顶点B 、C 的坐标分别是 B (1,0)、 C (3,0).直线AC 与y 轴交于点G (0,6).动点P 从点A 出发,沿线段AB 向点B 运动.同时动点 Q 从点C 出发,沿线段C D 向点D 运动.点P 、Q 的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t 秒.过点P 作P E ⊥AB 交AC 于点E . (1)求直线AC 的解析式; (2)当t 为何值时,△CQE 的面积最大?最大值为多少? (3)在动点P 、Q 运动的过程中,当t 为何值时,在矩形ABCD 内(包括边界)存在 点H ,使得以C 、Q 、E 、H 为顶点的四边形是菱形? 图1 O M A B C D 图2 D C B M 图3 A 2013年门头沟区初三年级第二次统一练习 数学试卷评分参考 一、选择题(本题共32分,每小题4分) 说明:12题第一、二空各1分,第三空2分 三、解答题(本题共30分,每小题5分) 13 1 1 4sin45(3) 4 - ?? ?+-π+ ? ?? . 解: 1 1 4s i n45(3) 4 - ?? ?+-π+ ? ?? =414 +………………………………………………………………… …4分 =5.……………………………………………………………………………5分 14.解:由题意可知?=0,即(-6)2-4(m-3)=0. ………………………………………………2分 解得m=12. ………………………………………………………………………………3分当m=12时,原方程化为x2-6x+9=0. …………………………………………………4分 解得x1=x2=3. ……………………………………………………………………………5分所以原方程的根为x1=x2=3. 15.解: 22 22 3 3 2 x y y x x y x y x xy y - -? +-++ = ()() 2 3 3 () x y x y y x x y x y x y +- -? +-+ ············································································2分 = 33 x y x y x y - ++ = 33x y x y -+. ················································································································ 3分 当 1 3 x y =时,3y x =. ····································································································· 4分 ∴原式= 393x x x x -+=3 2-. ·································································································· 5分 16.证明:∵EF BE ⊥,90ABC ∠=°, ∴ 90BEF ABC ∠=∠=°. ………………………………………………………1分 ∴90F EBF ∠+∠=°. 又∵BD AC ⊥, ∴90EBF ACB ∠+∠=°. ∴ACB F ∠=∠.………………………2分 在ABC △和BEF △中, ∴ABC △≌BEF △.……………………4分 ∴BC EF =.………………………………5分 17.解:(1)∵ 点A (1, m )在一次函数y =3x 的图象上, ∴m =3. …………………………… 1分 ∴ 点A 的坐标为(1, 3). ∵ 点A (1, 3)在反比例函数k y x =的图象上, ∴ 3k =. ………………………………2分 ∴反比例函数的 3 y x =. …………………………………………………3分 (2)点P 的坐标为P (3, 9) 或P (-1, -3) . ……………………………………… 5分 18.解:设该校第二次有x 人捐款,则第一次有(x –50)人捐款. …………………………1分 根据题意,得 90001200050x x =-. ……………………………………………………………3分 解这个方程,得 A B C D F E ACB F ABC BEF AB BE ∠=∠?? ∠=∠?? =?, ,, x =200. …………………………………………………………………4分 经检验,x =200是所列方程的解,并且符合实际问题的意义. 答 : 该 校 第 二 次 有 200 人 捐 款. …………………………………………………………5分 四、解答题(本题共20分,每小题5分) 19.解:如图,过点D 作DF ⊥AC 于F . ∵∠DAB =60o,AC 平分∠DAB , ∴∠DAC =∠BAC =30°. ∵BC AC ⊥, ∴∠AFD =∠ACB =90°. ∴ 11 6322 DF AD = =?=,………………………………………………………………1分 BC = CE ?tan BEC ∠ .………………………………………………2分 ∴3tan tan DF DF EF DEF BEC ===∠∠ 44tan tan 30BC AC BAC = ==÷=∠?.……………………………………… …3分 ∴ DE =4分 ∴ ACD ACB ABCD S S S ??=+四边形1122AC DF AC BC = ?+ ?11 422 =?3+? = ……………………………………………………………………………………… …5分 20.(1)证明:连结OD . ∵AB 是⊙O 的直径, ∴ ∠ ADB=90°. ………………………………………………………………1分 ∵∠A=30°, ∴∠ABD=60°. ∵∠ABD=2∠BDC , F E D C B A ∴∠BDC =1 302 ABD ∠=?. ∵OD=OB ,∴△ODB 是等边三角形. ∴∠ODB=60°. ∴∠ODC=∠ODB+∠BDC =90°. ∴CD 是⊙O 的切线.…………………………………………………………… 2分 (2)解: ∵OF ∥AD ,∠ADB=90°, ∴OF ⊥BD , ∠BOE=∠ A =30°. ………………………………………………3分 ∵BD=OB =2, ∴1 12 DE BE BD ===. ∴OE =…………………………………………………… 4分 ∵OD=OB=2,∠DOC =60°,∠DOF=30°, ∴tan60CD OD =??=,tan 30DF OD =??=. ∴ CF CD DF =-== ……………………………………5分 21.解:(1)这次共调查了学生50人,E 组人数在这次调查中所占的百分比是8%.……2分 (2)表1中a 的值是15,……………………………………………………………… 3分 补全图1. ………………………………………………………………………… 4分 (3)54人. (5) 分 22.解:(1)利用正方形网格在图3上画出矩形ABCD 的反射四边形EFGH . ……………2分 (2)图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的周长是定值,定值是… 3分 (3)图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的面积不是定值,它们的面积 分别是16、 12……………………………………………………………………………5分 五、解答题(本题共22分,第23、24题各7分,第25题8分) 23.解:(1)∵拋物线22427 6883 m m y x x m m --=-++-+经过原点, ∴m 2-6m +8=0.解得m 1=2,m 2=4. 由题意知m ≠4, ∴m =2.…………………………………………………………………………… …1分 ∴ 拋 物 线 的 解 析 式 为 x x y -= 2 4 1. ………………………………………………2分 (2)∵点B (-2,n )在拋物线x x y -=24 1 上, ∴n =3.……………………………………………………………………………… 3分 ∴B 点的坐标为(–2,3) . ∵直线l 的解析式为2y x b =--,直线l 经过B 点, ∴()322b =---. ∴1b =.…………………………………………………………………………… 4分 (3)∵拋物线x x y -= 2 41的对称轴为直线x =2,直线l 的解析式为y =-2x -1, ∴拋物线x x y -=24 1 的对称轴与x 轴的交点C 的坐标为(2,0), 直线l 与y 轴、直线x =2的交点坐标分别为 D (0,-1)、E (2,-5). 过点B 作BG ⊥直线x =2于G ,与y 轴交于 则BG =4. 在Rt △BGC 中,5CB . ∵CE =5,∴ CB =CE . 过点E 作EH ⊥y 轴于H . 则点H 的坐标为 (0,-5). ∵点F 、D 的坐标为F (0,3)、D (0,-1), ∴FD =DH =4,BF =EH =2,∠BFD =∠EHD =∴△DFB ≌△DHE . ∴DB =DE . ∵PB =PE , ∴点P 在直线CD 上. ∴符合条件的点P 是直线CD 设直线CD 的解析式为y =kx +a . 将D (0,-1)、C (2,0)代入,得120a , k a .=-??+=? 解得 112 a ,k .=-???=?? ∴ 直 线 CD 的 解 析 式 为 1 12 y x = -. ………………………………………………5分 设点P 的坐标为(x ,x x -24 1 ), ∴112x -=x x -24 1 . 解得 531+=x ,532-=x . ∴2 5 11+= y ,2y =∴点P 的坐标为(53+,251+)或(53-,2 5 1-).………………………… 7分 24.解:(1)线段AD 与OM 之间的数量关系是AD =2OM ,位置关系是AD OM ⊥.………2分 (2)(1)的两个结论仍然成立. 证明:如图2,延长BO 到F ,使FO =BO ,连结CF . ∵M 为BC 中点,O 为BF 中点,∴MO 为BCF ?的中位线. ∴FC =2OM . ………………………………3分 ∵∠AOB =∠AOF =∠COD =90°, ∴∠AOD =∠FOC . ∵AO =FO ,CO =DO , ∴△AOD ≌△FOC . ∴FC =AD . ∴AD =2OM . ………………………………………4分 ∵MO 为BCF ?的中位线,∴MO ∥CF . ∴∠MOB =∠F . 又∵AOD △≌FOC △,∴DAO ∠=F ∠. ∵MOB ∠+AOM ∠=90°, ∴DAO ∠+AOM ∠=90°. 即 AD OM ⊥. ……………………………………………………………………5分 (3)(1)中线段AD 与OM 之间的数量关系没有发生变化. 证明:如图3,延长DC 交AB 于E ,连结ME , 过点E 作EN AD ⊥于N . ∵OA =OB ,OC =OD ,?=∠=∠90COD AOB , F O M A B C D 图2 ∴45A D B BCE DCO ∠=∠=∠=∠=∠=?. ∴AE =DE ,BE =CE ,∠AED =90°. ∴DN=AN . ∴AD =2NE . ∵M 为BC 的中点,∴EM BC ⊥. ∴四边形ONEM 是矩形. ∴NE =OM . ∴AD = 2OM . ………………………………………………………………………7分 25. 解:(1) 设直线AC 的解析式为.y kx b =+ ∵直线AC 经过G (0,6)、C (3,0)两点, ∴6,30. b k b =?? +=? 解这个方程组,得 2,6. k b =-?? =? …………………………………1分 ∴直线AC 的解 析式为 26y x =-+. ……………………………………………2分 (2) 当x =1时,y =4. ∴A (1,4). ∵AP =CQ = t , ∴点P (1,4-t ).…………………………………………………………………… 3分 将y =4–t 代入26y x =-+中,得点E 的横坐标为x =12 t +. ∴点E 到CD 的距离为22 t - . ∴S △ CQE =1222t t ? ???- ???=214t t -+=()21214t .--+ ……………………………4分 ∴当t =2时,S △CQE 最大,最大值为1.…………………………………………… 5分 (3) 过点E 作FM ∥DC ,交AD 于F ,交BC 于M . 当点H 在点E 的下方时,连结CH . ∵4EM t =-,∴42HM t =-. ∵12t OM =+,∴22 t CM =-. ∵四边形CQEH 为菱形,∴CH CQ t ==. 在Rt △HMC 中,由勾股定理得22 CH HM =+ ∴() 2 2 2 4222t t t ??=-+- ??? . 整理得 21372800t t -+=. 解得 120 13t =,24t =(舍). ∴当20 13 t = 时,以C ,Q ,E ,H 为顶点的四边形是菱形. ……………………7分 当点H 在点E 的上方时,同理可得当20t =-. 以C ,Q ,E ,H 为顶点 的 四 边 形 是 菱 形. ……………………………………………………………………8分 ∴t 的值是20 13 t = 或20t =-