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人教版九年级数学上册24.1圆心角、圆周角定理导学案(无答案)

第16讲圆（二）

知识要点梳理：

一、圆心角的定义：如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(∠AOB 是AB

所对的圆心角)

二、圆心角定理及推论：

（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等（2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，

所对的弦也相等．

（3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，

所对的弧也相等．

三、圆周角的定义：如图所示，∠ACB (∠ACB 是AB 所对的圆周角)．四、圆周角的定理及推论：

(1)定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半． (2)推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径．五、圆的内接四边形对角互补，对角互补的四边形是圆的内接四边形经典例题：

例1．如图，AB 是⊙O 的直径，∠DCB=30°，则∠ACD= °， ∠ABD= °

例2、如图，OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径，∠AOB=2∠BOC ．求证：∠ACB=2

例3、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE 。求证：∠D=∠B

例4.四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，求BD 的长．例5、如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交

点恰好为BC 的中点D ，过点D 作AC DE ⊥,交AC 于点E ．连接OD 、OE

（1）求证：DE ⊥OD ；

（2）若AB=3DE ，且48=?ABC S ,求OE 的长。经典练习：

一、选择题．

1．如果两个圆心角相等，那么（）

A ．这两个圆心角所对的弦相等

B ．这两个圆心角所对的弧相等

C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等

D ．以上说法都不对

2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（） A ．AB =2CD B ．AB >CD C ．AB <2CD D ．不能确定 3．如图5，⊙O 中，如果AB =2AC ，那么（）．

A ．AB=AC

B ．AB=2A

C C ．AB<2AC

D ．AB>2AC

(5) 4．如图1，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（）． A ．140° B ．110° C ．120° D ．130°

(1) (2) (3) 5．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（） A ．∠4<∠1<∠2<∠3 B ．∠4<∠1=∠3<∠2

C ．∠4<∠1<∠3<∠2 D

．∠4<∠1<∠3=∠2

6．如图3，

AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB ⊥AD ，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC 等于（）．

A ．3

B ．

C ．5-1

D ．5

二、填空题

1．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．

2．如图6，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________．

3. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于 4．如图4，A 、B 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．?

(4) (5) (6) 5．如图5，已知△ABC 为⊙O 内接三角形，BC=?1，∠A=?60°，则⊙O?半径为_______．三、解答题

1．如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N 在⊙O 上．（1）求证：AM =BN ；

（2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM MN NB ==成立吗？ 2．如图，以

ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC 、AD 于E 、F ，若∠D=65°，

求BE 的度数和EF 的度数．

3.如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？

4．如图，已知AB=AC ，∠APC=60° （1）求证：△ABC 是等边三角形．

（2）若BC=4cm ，求⊙O 的面积．

5．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为（0，4），

M 是圆上一点，∠BMO=120°．

（1）求证：AB 为⊙C 直径．

（2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．能力拓展

1.如图所示，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上， ∠AMN=30°，点B 为劣弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值是（） A.2 B.1 C.2 D.22

华东师大版九年级数学下册圆周角教案

《圆周角》教案教学目标：一．知识技能 1．理解圆周角概念，理解圆周用与圆心角的异同； 2．掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征； 3．能灵活运用圆周角的性质解决问题； 4．使学生掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理； 5．使学生初步会运用圆的内接四边形的性质定理证明和计算一些问题．教学重点： 1．圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对圆周角的特征． 2．圆内接四边形的性质定理．教学难点： 1．发现并证明圆周角定理． 2．理解“内对角”这一重点词语的意思．教学过程：一．创设情景如图是一个圆柱形的海洋馆，在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗⌒ AB观看窗内的海洋动物．大家请看海洋馆的横截面的示意图，想想看：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着下班窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角(∠ADB和∠AEB)和同学乙的视角相同吗？二．认识圆周角． 1．观察∠ACB、∠ADB、∠AEB，这样的角有什么特点？ 2．给出定义，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．(注意两点：1．角的顶点在圆上；2．角的两边都与圆相交，二者缺一不可．) 3．辩一辩，图中的∠CDE是圆周角吗？引导学生识别，加深对圆周角的了解．

4．圆周角与圆心角的联系和区别是什么？三．探究圆周角的性质． 1．如图所示图中，∠AOB=180°，则∠C等于多少度呢？从中你发现了什么？(推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．可用圆周角定理说明．) B 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=60°，∠ADC=70°，求∠APC的度数．解：连接BC，则∠ACB=90°， ∠DCB=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°．又∵∠BAD=∠DCB=30°，∴∠APC=∠BAD+∠ADC=30°+70°=100°． 2．在下图中，同弧⌒ AB所对的圆周角有哪几个？观察并测量这几个角，你有什么发现？大胆说出你的猜想．同弧⌒ AB所对的圆心角是哪个角？观察并测量这个角，比较同弧所对的圆周角你有什么发现呢？大胆说出你的猜出想． 3．由学生总结发现规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半，教师再利用几何画板从动态的角度进行演示，验证学生的发现．四．证明圆周角定理及推论． 1．问题：在圆上任取一个圆周角，观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况？ 2．学生自己画出同一条弧的圆心角和圆周角，将他们画的图归纳起来，共有三种情况：①圆心在圆周角的一边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部．如下图

垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习

垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习 1.已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？ 2. 如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。 600 3. 如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。你认为图中有哪些相等的线段？为什么？ A D B O C E 4.如图所示，OA是圆O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。 5. 如图所示，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。 6. 如图所示，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。

C A P O D C E O A D B 7. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为________________。 8. 如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。 9.如图所示，圆O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（） A. 3≤OM≤5 B. 4≤OM≤5 C. 3＜OM＜5 D. 4＜OM＜5 10.下列说法中，正确的是（） A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等 11.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（） A. 45° B. 90° C. 135° D. 270° 12. 如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（） A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°

人教版九年级数学上册教案《圆周角》

《圆周角》《圆周角》这节内容是在学生学习了圆心角、弧、弦之间关系的基础上的延续，圆周角定理在圆的有关证明、作图、计算中应用十分广泛。本节内容既可以巩固圆心角与弧、弦之间的关系，又为后面研究圆与其它几何图形的关系提供了条件。圆周角定理及其推论是本章的重点内容之一，圆周角定理的分情况证明是本章的教学难点。教材一开始先给出圆周角的概念，紧接着安排了一个探究活动，从介绍圆周角概念的图形出发，让学生探究同弧所对的圆周角和圆心角的数量关系，然后分三种情况证明定理。通过对圆周角定理的探讨，达到培养学生严谨的思维品质的目的。同时，还可以让学生掌握从特殊到一般以及分类讨论的思维方法。圆内接四边形的四个内角都是圆周角，利用圆周角定理可以把圆的内接四边形的四个内角和相应的圆心角联系起来，得到圆内接四边形的性质，圆内接四边形的性质在圆中探索相关角相等或互补时常常用到。【知识与能力目标】

1、理解圆周角的概念； 2、掌握圆周角定理及其推论； 3、能运用圆周角定理及其推论进行简单计算和证明； 4、掌握圆内接四边形的相关概念以及圆内接四边形的性质定理。【过程与方法目标】在探索圆周角和圆心角的关系的过程中，让学生学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想来解决问题。【情感态度价值观目标】在探索圆周角定理过程中，帮助学生树立运动变化和对立统一的辩证唯物主义观点，增强学好数学的信心。【教学重点】圆周角定理及其推论。【教学难点】圆周角定理证明方法的探讨。多媒体课件、教具等。一、创设情境，引入新课问题1 在圆中，满足什么条件的角是圆心角？顶点在圆心的角叫做圆心角。问题2 在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间有什么关系？在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。问题3 足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练。如图，甲、乙两名运动员分别在C、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置对球门AB的张角大。如果请你来评判，你知道他们的位置对球门AB的张角大小吗？

人教版数学九年级上册24.1.4圆周角(1) 教学设计

教学设计

1. 探究活动一：圆周角概念角的顶点在圆上，角的两边与圆的位置关系都有哪些类型？请同学们尝试画一画. O O 2.圆周角：我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角. 如图，∠ACB为⊙O的圆周角, 所对的弦为AB, AB 3.练习：判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由：

P 2，P 3，得到三个圆周角∠MP 1N ，∠MP 2N ，∠MP 3N ，分别测量这三个角的角度，并记录下来. ∠MP 1N=__________， ∠MP 2N=_________， ∠MP 3N=_________. 发现：当点P 在优弧MN 上运动时，∠P 始终是55°，当点P 在劣弧MN 上运动时，∠P 变为125°. 2. 探究活动三：圆周角与圆心的位置关系. 通过观察得到点P 在优弧MN 上的三种位置关系：即圆心在圆周角外，圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角内。 3. 探究活动四：圆周角与圆心角的关系. 分别证明这三个位置中，圆心角与圆周角的关系（1）圆心在圆周角的一边上 O M N O M N O M N O M N O M N O M N 证明：∵ OA=ON ， ∴ ∠A =∠N ．又∵ ∠MON 是△AON 的外角, ∴ ∠MON =∠A +∠N ， ∴ ∠MON =2∠A ，

（2）圆心在圆周角内（3）圆心在圆周角外 4. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，∠P 是MN 所对的圆周角， ∠O 是MN 所对的圆心角, ∴∠P =1 ∠O . 证明：连接BO 并延长，交⊙O 于点E. ∵∠1=1 2∠3, ∠2=12∠4, 证明：连接CO 并延长，交⊙O 于点F . ∵∠1=1 2∠3, ∠OCN =1 2∠FON ,

初中数学人教版九年级上册24.1.4圆周角定理教案

初中数学人教版九年级上册实用资料作课类别课题24.1.4圆周角定理课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能 1.了解圆周角的概念，理解圆周角的定理及其推论． 2.熟练掌握圆周角的定理及其推论的灵活运用． 3.体会分类思想. 过程方法设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推论解决问题．情感态度激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望. 教学重点圆周角定理、圆周角定理的推导及运用它们解题．教学难点运用数学分类思想证明圆周角的定理．教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、导语上节课我们学习了圆心角、弧、弦之间的关系定理，如果角的顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探究新知（一）、圆周角定义问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设EF 是球门，?设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．观察∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的共同特点是什么？得到圆周角定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 分析定义：○1圆周角需要满足两个条件； ○2圆周角与圆心角的区别（二）、圆周角定理及其推论 1.结合圆周角的概念通过度量思考问题： ○1一条弧所对的圆周角有多少个？ ②同弧所对的圆周角的度数有何关系？ ③同弧所对的圆周角与圆心角有何数量关系吗？ 2.分情况进行几何证明教师联系上节课所学知识，提出问题，引起学生思考，为探究本节课定理作铺垫学生以射门游戏为情境，通过寻找共同特点，总结一类角的特点，引出圆周角的定义学生比较圆周角与圆心角，进一步理解圆周角定义教师提出问题，引导学生思考，大胆猜想.得到： 1一条弧上所对的圆周角有无数个．2通过度量，同从具体生活情境出发，通过学生观察，发现圆周角的特点深化理解定义激发学生求知欲，为探究圆周角定理做铺垫.

圆心角圆周角垂径定理及其应用

第一课时辅导讲义

4、圆周角定理及其推论（重点）同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在△ABC中，∵OC=OA=OB ∴△ABC是直角三角形或∟C=90° 5.垂径定理的应用（难点）（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的的弧，垂径定理的表现形式：如图5-2-8所示，推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB是直径②AB CD ⊥③CE DE =④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 C B A O O E D C B A

考点一：圆心角，弧，弦的位置关系例1、（2006?）如图，BE是半径为6的圆D的1/4圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值围是（）例2、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）例3、（2007?）如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是例4.（2005?江）如图所示，⊙O半径为2，弦BD=2√3，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，则四边形ABCD的面积为考点二：圆周角定理例1如图，三角形ABC中，∠A=60°，BC为定长，以BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E．连接DE，已知DE=EC．下列结论：①BC=2DE；②BD+CE=2DE．其中一定正确的有（）例2、（2011?）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角

圆心角与圆周角能力提升训练(含答案)

。松滋市实验中学九年级培优辅差《圆周角》训练题命题人：胡海洋题号一、选择题二、填空题三、简答题总分得分。一、选择题 1、如图，内接于，若，则的大小为（） A．B． C．D． ) （第1题）（第2题）（第3题）（第4题）（第5题） 2、如图，AB是的直径，点C、D在上，，则（）A．70° B．60° C．50° D．40° 3、如图，是的外接圆，已知，则的大小为（） A．40° B．30° C．45° D．50° 4、如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A+∠B+∠C= ( ) A．180°B．90°C．45°D．30° ￥ 5、如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，AD＝DC，∠ADB＝20o，则∠ACB，∠DBC分别为（）A．15o与30o B．20o与35o C．20o与40o D．30o与35o

6、. 如右图，A、B、C、D为⊙O的四等分点，若动点P从点C出发，沿C→D→O→C路线作匀速运动，设运动时间为t，∠APB的度数为y，则y与t之间函数关系的大致图象是 A B C D 二、填空题 7、如图，在⊙O中，∠AOB＝46o，则∠ACB＝o． 8、如图，过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A=63 o，那么∠B= o． — （第7题）（第8题）（第9题）（第10题）（第11题） 9、如图，AB是⊙0的直径，弦AC长为4a，弦BC长为5a，∠ACB的平分线交⊙0于点D,则CD的长为 . 10、如图, ⊙P过O、、，半径PB⊥PA，双曲线恰好经过B点，则k的值是 ____________． 11、如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = _____________． 12、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交BC于点D，连接DC，则∠ DCB= 。

垂径定理-圆周角与圆心角的关系

圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线, 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试

一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点2：确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：考点4：三角形的外接圆：

锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆内? d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，的度数。例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ，求CD 的长． A B D C O · E

九年级数学上册-圆的有关性质24.1.4圆周角教案新版新人教版

24.1.4 圆周角【知识与技能】理解圆周角的概念.探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系,并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明. 【过程与方法】经历探索圆周角定理的过程,初步体会分类讨论的数学思想,渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法,提高学生的发散思维能力. 【情感态度】通过积极引导,帮助学生有意识地积累活动经验,获得成功的体验. 【教学重点】圆周角定理及其推论的探究与应用. 【教学难点】圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法以及圆周角定理及推论的应用. 一、情境导入,初步认识如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心O的位置.同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C,他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E,他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？［相同,2∠ACB=2∠AEB=2∠ADB=∠AOB］【教学说明】教师出示海洋馆图片,引导学生思考,引出课题,学生观察图形、分析,初步

感知角的特征. 二、思考探究,获取新知 1.圆周角的定义探究1 观察下列各图,图（1）中∠APB的顶点P在圆心O的位置,此时∠APB叫做圆心角,这是我们上节所学的内容.图（2）中∠APB的顶点P在⊙O上,角的两边都与⊙O相交,这样的角叫圆周角.请同学们分析（3）、（4）、（5）、（6）是圆心角还是圆周角. 【教学说明】设计这样的一个判断角的问题,是再次强调圆周角的定义,让学生深刻体会定义中的两个条件缺一不可. 【归纳结论】圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.二者缺一不可. 2.圆周角定理探究2如图,（1）指出⊙O中所有的圆心角与圆周角,并指出这些角所对的是哪一条弧？（2）量一量∠D、∠C、∠AOB的度数,看看它们之间有什么样的关系？（3）改变动点C在圆周上的位置,看看圆周角的度数有没有变化？你发现其中有规律吗？若有规律,请用语言叙述.

浙教版-数学-九年级上册-拓展延伸：圆周角定理

拓展延伸：圆周角定理综合运用一、利用圆周角定理计算线段的长度，证明线段相等或线段成比例有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等，要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等，要证线段成比例可以利用圆周角定理将其转化为证明三角形相似，这是重要的解题思路．例如，如图，AB 是半圆的直径，C为弧AE的中点，CD⊥AB 于D交AE于F，求证：AF＝CF. 方法一：欲证AF＝CF，只需证∠ACD＝∠CAE，所以只需证这两个角所对的弧相等即可．又因为∠CAE 所对的弧为CE，所以只要画出整个圆找到∠ACD 所对的弧即可．如图，延长CD 交⊙O 于H，连接AC，BC. ∵CD⊥AB，AB 是直径， ∴∠ACD＝∠ABC. = ∴AC AH ∵C为AE的中点 = ∴CE AC ∴CE AH = ∴∠CAE＝∠ACD. ∴AF＝CF. 方法二：如图，欲证∠CAE＝∠ACD，连接OC后，得到 ∠CAO＝∠ACO(因为OC＝OA)，故只需证∠EAO＝∠OCD，因CD⊥AB，只需证OC⊥AE，由C为AE的中点，便有 OC⊥AE. 再如：已知△ABC 是圆内接正三角形，M是弧BC上的一点(如图)．求证：

MA=MB ＋MC. 要证明一条线段MA 等于两条线段 MB 和 MC 之和，可将 MA 分为两段，其中一段 MD 等于已知线段 MC ，再去证明另一段 AD 等于已知线段 MB. 如图，在 MA 上取点D ，使 MD ＝MC. ∵△ABC 为正三角形， ∴∠1＝∠2＝60°.∴△MDC 是正三角形．∴CD ＝MC. 在△ADC 和△BMC 中， 34120AC BC ADC BMC ?∠=∠?=??∠=∠=? ∴△ADC ≌△BMC. ∴AD ＝BM.∴MA ＝MB ＋MC. 二、圆周角的性质的灵活运用本节的探索性问题以考查我们对圆周角的性质的灵活运用为主，有利于培养我们的探索能力，解决这类问题要善于把握住本质，采用各种变通的方式来探索和分析．例如，如图，已知直线AB 交圆于A 、B 两点，点M 在圆上，点P 在圆外，且点M 、P 在AB 的同侧，∠AMB ＝35°，设∠P ＝x ，当点 P 移动时，求 x 的变换范围，并说明理由． 0°∠P ， ∴∠P<35°.∵P 、M 在 AB 的同侧， ∴∠P>0°.∴0°

圆周角和圆心角的关系(一)

第三章圆 3．圆周角和圆心角的关系（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在上一节的内容中已掌握了圆心角的定义及圆心角的性质。掌握了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。初步了解研究图形的方法，如折叠、轴对称、旋转、证明等。学生的活动经验基础：在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析本节共分2个课时，这是第1课时，主要研究圆周角和圆心角的关系（圆周角定理），具体地说，本节课的教学目标为：知识与技能 1．了解圆周角的概念。 2．理解圆周角定理的证明。过程与方法 1．经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。 2．体会分类、归纳等数学思想方法。情感态度与价值观通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索问题的能力和方法。教学重点：圆周角概念及圆周角定理。教学难点：认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性。三、教学过程分析本节课分为五个教学环节：创设问题情境引入新课、新知学习（关于圆周角的定义、圆周角定理）、练习、课堂小结、布置作业．第一环节创设问题情境，引入新课

活动内容：通过一个问题情境，引入课题情境：在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门A C的张角（∠ A B C）有关。如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门A C的张角的大小是相等的？为什么呢？你能观察到这三个角有什么共同特征吗? 活动目的：通过此问题引起学生学习的兴趣。此问题意在通过射门游戏引入圆周角的概念。同时为第2课时的学习埋下伏笔．第二环节新知学习活动内容：（一）圆周角的定义的学习为解决这个问题我们先来研究一种角。观察图中的∠ ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？可以发现，它的顶点在圆上，它的两边分别与圆还有另一个交点。像这样的角，叫做圆周角。请同学们考虑两个问题：（1）顶点在圆上的角是圆周角吗？（2）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角？并说明理由。通过学生完成练习自己总结出圆周角的特征。圆周角有两个特征： ①角的顶点在圆上；

九年级数学圆周角定理易错题总结(含答案)

九年级数学圆周角定理易错题总结（含答案）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，BD，点E 在AD的延长线上，下列说法正确的是() A. 若DC平分∠BDE，则AB=BC B. 若AC平分∠BCD，则AB2=AM?MC C. 若AC⊥BD，BD为直径，则BC2+AD2=AC2 D. 若AC⊥BD，AC为直径，则sin∠BAD=BD AC 【答案】B 【解析】解：选项B正确．理由：∵AC平分∠BCD， ∴∠ACB=∠ACD， ∵∠ACD=∠ABM， ∴∠ABM=∠ACB， ∵∠BAM=∠CAB， ∴△BAM∽△CAB， ∴AB AC =AM AB ， ∴AB2=AM?AC，故选：B．选项B正确．利用相似三角形的性质解决问题即可．本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB=4， ∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点 Q，连CQ，则线段CQ的最大值为() A. 2 B. √7

C. 1+3√2 D. 1+√7 【答案】D 【解析】【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，如图，连接OQ，作CH⊥AB 于H.首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题；【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H． ∵AQ=QP， ∴OQ⊥PA， ∴∠AQO=90°， ∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大(也可以通过CQ≤QK+CK求解) 在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2， ∴∠OCH=30°， ∴OH=1 OC=1，CH=√3， 2 在Rt△CKH中，CK=√(√3)2+22=√7， ∴CQ的最大值为1+√7．故选D． 3.如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上任意一点，点D是AC DF，中点，OD交AC于点E，BD交AC于点F，若BF=5 4 则tan∠ABD的值为()

圆(垂径定理、圆心角、圆周角)基础题练习

圆（垂径定理、圆心角、圆周角）基础题练习 1如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长． 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，那么线段OE的长为 3.如图，同心圆中，大圆的弦AB被小圆三等分，OP为弦心距，如果PD=2cm，那么BC=________cm． 4.如图，OA=OB，AB交⊙O于点C、D，AC与BD是否相等？为什么？ 5.如图所示，已知在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，证明：AC=BC 6.已知，如图，△ABC内接于⊙O，∠A=30°，BC=4cm，求⊙O的直径 7.如图，是一个直径为650㎜的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600㎜，求油面的最大深度． 8.已知：如图，△ABC内接于⊙0，AE⊥BC，AD平分∠BAC．求证：∠DAE=∠DAO．圆心角、圆周角 1.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，求∠DCF的度数

5.如图，图中相等的圆周角有 A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 6.如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=60°，则∠OBC的度数为________度． 7.如图示，∠BAC是⊙O的圆周角，且∠BAC=45°，BC=2，试求⊙O的半径大小． 8.已知：如图，点D的坐标为（0，6），过原点O，D点的圆交x轴的正半轴于A点．圆周角∠OCA=30°，求A点的坐标． 9.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，求⊙O的直径． 10如图，已知：AB、CD是⊙O的两条弦，且AB=CD，求证：AC=BD 11.已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．（1）求证：AC⊥OD；（2）求OD的长． 12.如图，OA⊥BC，∠AOB=50°，试求∠ADC的大小如图，⊙O中，弦AB=CD．求证：∠AOC=∠BOD 13.如图，⊙O中，OA⊥BC，∠CDA=35°，求∠AOB的度数． . 14.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，求∠DCF的度数．

九年级数学《圆周角》(1)教学设计

九年级数学《圆周角》(1)教学设计交城县安定学校郭建光教学目标： 1．经历探索圆周角的有关性质的过程 2．理解圆周角的概念及其相关性质，并能运用相关性质解决有关问题 3．体会分类、转化等数学思想方法，学会数学地思考问题教学重点：圆周角及圆周角性质教学难点：圆周角性质一、自主学习思考：（1）什么样的角叫做圆周角？圆周角有什么特征？（2）圆周角有何性质？结论：顶点在_______，并且两边______________________的角叫做圆周角。强调条件：①_______________________，②___________________________。识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？并说明理由．观察与思考：∠BAC ＝＿＿∠BOC ．试证明这个结论：二、探究新知 1.思考与探索图，BC 所对的圆心角有多少个？BC 所对的圆周角有多少个？请在图中画出BC 所对的圆心角和圆周角。 2.思考与讨论（1）观察上图，在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O 有几种位置关系？ O C B A

（2）设BC 所对的圆周角为∠BAC ，除了圆心O 在∠BAC 的一边上外，圆心O 与∠BAC 还有哪几系，结论∠BAC ＝2 1∠BOC 还成立种位置关系？对于这几种位置关吗？试证明之．通过上述讨论发现：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 3、尝试解题：（1）如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，点A 与点D 在点B 、C 所在直线的同侧，∠BAC=35 (1)∠BDC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． (2)∠BOC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． O A B C D （2）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上， (1) 若∠BAC=60°，求∠BOC=______°;(2) 若∠AOB=90°, 求∠ACB=______如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，点D 在⊙O 内，点A 与点D 在点B 、C 所在直线的同侧，比较∠BAC 与∠BDC 的大小，并说明理由．三、巩固新知: 课本P 119练习1、2、3题四、小结与反思。五、课外延伸：

垂径定理、圆周角与圆心角

圆1 一、知识点 1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. 2、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 3、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条都是它的对称轴。（因为直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成：“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”。） 4、、垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的弧。（这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是过“圆心”。） 5、推论：（1）平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径，弦且平分弦所对的另一条弧。推论：圆的两条平行弦所夹弧。 6、与圆有关的角 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 7、垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 二、例题 (泸州市2008年)如图1，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧CD上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是（） A．45 B．60 C．75 D．90 2．(PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，若PA=6，PB=4，则⊙O的半径是（）`

圆周角和圆心角的关系—知识讲解(基础)

圆周角和圆心角的关系-- 知识讲解(基础) 【学习目标】 1．理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系； 2．理解圆周角定理及推论； 3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．【要点梳理】要点一、圆周角 1. 圆周角定义：像图中∠ AEB、∠ ADB、∠ ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 3. 圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释： (1) 圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2) 圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. ( 3)圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周要点二、圆内接四边形 1. 圆内接四边形定义：四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆

2. 圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° D 要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.如图，在⊙ O中，，求∠ A的度数. 答案与解析】【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD内接于⊙ O，点E在劣弧AD上，则∠ BEC等于( )

九年级数学上册圆周角

1.定义：叫做圆周角。练习：（1 ）下列各图中，哪一个角是圆周角？（）（2）图3中有几个圆周角？（）（A）2个，（B）3个，（C）4个，（D）5个（3）写出图4中的圆周角：________________________ 2.思考猜想：圆周角的度数与什么有关系？一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。 3.典型例题例1、如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外， CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。例2：如图，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC. 4.巩固练习 1.如图6，已知∠ACB = 20o，则∠AOB = _____，∠OAB ＝. 2．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠BAC=40°，∠AED=75°，求∠ABD的度数. 3.如图，AB是⊙O的直径，∠BOC=120°，CD⊥AB，则∠ABD＝___________。 4.如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，则与△ABD相似的三角形有______________________。第1题第2题第3题第4题第5题图 5.如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=∠BDC=60°.判断△ABC的形状，并说明理由. A B C D F O D A B C E 图3图4 B A C D B C A

F E O D C B A A B E C D O E O D C B A 1.直径所对的圆周角是角，900的圆周角所对的弦是。 2.典型例题例1.AB 是☉O 直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD=600，∠ADC=500，求∠CEB 的度数. 例2．如图AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD=60°，∠ADC=50°,求∠CEB 的度数. 例3.在ΔABC 的3个顶点都在☉O 上，AD 是ΔABC 的高，AE 是☉O 的直径，求证：ΔABE ∽ΔACD 。巩固练习 1.如左图，△ABC 的顶点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径. △ABF 与△ACB 相似吗？ 2. 如图， A 、B 、E 、C 四点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，∠CAD=∠EAB,AE 是⊙O 的直径吗？为什么？ 3．如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，弦CE ∥AB. 弧BD 与弧BE 相等吗？为什么？第6题第7题 4．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，以OA 为直径的⊙D 与AC 相交于点E ，AC=10,求AE 的长. 5．如图，点A 、B 、C 、D 在圆上，AB=8,BC=6,AC=10,CD=4.求AD 的长. 6．如图，△ABC 的3个顶点都在⊙O 上，直径AD=4，∠ABC=∠DAC ，求AC 的长。 7.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB=6, ∠DCB=30°，求弦BD 的长。 E O D C A 第3题 C D A B 第5题 A B C D O E 第4题

垂径定理圆周角与圆心角的关系复习题

【知识点总结】 1．圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形． 2．圆是轴对称图形，它的直径所在的直线都是对称轴；又时中心对称图形，它的中心是圆心． 3．垂径定理：（图1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 4．圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。 5．顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 6．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；?90的圆周角所对的弦是直径． 8．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。圆易错点 1．注意考虑点的位置在解决点与圆的有关问题时，应注意对点的位置进行分类，如点在圆内圆外、点在优弧劣弧等．例１．点P 到⊙O 上的最近距离为cm 3，最远距离为cm 5，则⊙O 的半径为 cm ．例2．BC 是⊙O 的一条弦， ?=∠120BOC ，点A 是⊙O 上的一点（不与B 、C 重合），则BAC ∠的度数为． 2．注意考虑弦的位置在解决与弦有关的问题时，应对两条的位置进行分类，即注意位于圆心同侧和异侧的分类．图3 图4

例3．在半径cm 5为的圆中，有两条平行的弦，一条为cm 8，另一条为cm 6，则这两条平行弦的距离是．例4．AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的两条弦，且?=∠30BAC ，?=∠45BAD ，则CAD ∠的度数为．考点1：基本概念和性质考查形式：主要考查圆的对称性、直径与弦的关系、等弧等有关命题，常以选择题的形式出现．例5．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）． A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ． 1个考点2：圆心角与圆周角的关系例6.如图1,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度. B A A (1) (2) (3) 例7..如图2,AB 是⊙O 的直径, BC BD =,∠A=25°,则∠BOD 的度数为________. 例8..如图3,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______. 考点3：垂径定理考查形式：主要考查借助垂径定理的解决半径、弧、弦、弦心距之间的计算和证明，填空题、选择题或解答题中都经常出现它的身影．解决是应注意作出垂直于弦的半径或弦心距，构造直角三角形进行解决．例9．如图，在⊙O 中，有折线OABC ，其中8=OA ，12=AB ，?=∠=∠60B A ，则弦BC 的长为（）。Ａ．19 Ｂ．16 Ｃ．18 Ｄ．20 1．下列命题中，正确命题的个数为（）. ①平分弦的直径垂直于弦；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③?90的圆周角所对的弦是直；④圆周角相等，则它们所对的弧相等． A ．1个 B ．2个 C ． 3个 D ． 4个 2.下列说法中，正确的是（） A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C