1求下列幂级数的收敛半径与收敛域
幂级数的收敛域是(
幂级数 1、幂级数()∑ ∞ =-?+112425n n n n x 的收敛域是（ C ） （A ）()2,2-（B ）[)3,7--（C ）()3,7--（D ）()1,9-- 因4=R ，于是()452<+x ，所以3725-<<-?<+x x ，而幂级数()∑∞=-?+1 1 2425n n n n x 在7-=x 、 3-=x 处均发散，所以选（C ）。 2、幂级数∑ ∞ =1ln n n x n n 的收敛域是（ C ） （A ）()1,1-（B ）(]1,1-（C ）[)1,1-（D ）[]1,1- 因1=R ，所以1
几种特殊的幂级数的收敛半径
总18卷 第4期 宝鸡文理学院学报(自然科学版) V o l .18 N o .41998年12月 Journal of Bao ji Co llege A rts and Science (N atural Science ) D ec .1998 几种特殊的幂级数的收敛半径 Ξ 黄德隆 (宝鸡文理学院数学系 陕西宝鸡 721007) 阿贝尔(A bel )定理为幂级数收敛半径的存在确立了理论依据,“比值法”等为确定幂级 数收敛半径提供了具体的方法,本文依据这个理论证明了几种特殊幂级数收敛半径的确定结果。 命题1 设级数6∞ n=0 c n 收敛, 6 ∞n=0 c n 发散,则幂级数6∞ n=0 c n z n 的收敛半径为1证明:设级数6∞ n=0c n 收敛,即幂级数6∞ n=0c n z n 在z =1收敛,由阿贝尔定理知,幂级数6∞ n=0 c n z n 在 z <1内收敛。任取z 1使 z 1 >1,若6∞ n=0 c n z n 1收敛,则对于满足 z < z 1 的z ,6 ∞ n=0 c n z n 收敛, 特别地,当z =1时6∞ n=0 c n 收敛,矛盾,所以,幂级数6∞ n=0 c n z n 的收敛半径R =1。命题2 如果幂级数6∞ n=0c n z n 的收敛半径为R ,则6∞ n=0 (R ec n )z n 的收敛半径≥R 。 证明:因为6∞ n=0c n z n 的收敛半径为R ,所以,对于任意的z 。( z 0 § 11. 3 幂 级 数 一、函数项级数的概念 函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )}, 由这函数列构成的表达式 u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x )+ ? ? ? 称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞ =1)(n n x u . 收敛点与发散点: 对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞ =1 0)(n n x u 收敛, 则称 点x 0是级数∑∞ =1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞ =1 0)(n n x u 发散, 则称 点x 0是级数∑∞ =1 )(n n x u 的发散点. 收敛域与发散域: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所 有发散点的全体称为它的发散域. 和函数: 在收敛域上, 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑∞=1 )(n n x u 的和函数, 并写成∑∞ ==1 )()(n n x u x s . ∑u n (x )是∑∞ =1 )(n n x u 的简便记法, 以下不再重述. 在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ), 函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x ). 幂级数 1、幂级数()∑∞=-?+112425n n n n x 的收敛域是（ C ） （A ）()2,2-（B ）[)3,7--（C ）()3,7--（D ）()1,9-- 因4=R ，于是()452 <+x ，所以3725-<<-?<+x x ，而幂级数()∑∞=-?+112425n n n n x 在7-=x 、3-=x 处均发散，所以选（C ）。 2、幂级数∑∞ =1ln n n x n n 的收敛域是（ C ） （A ）()1,1-（B ）(]1,1-（C ）[)1,1-（D ）[]1,1- 因1=R ，所以1 考研高数：幂级数的收敛半径，收敛区 间，收敛域 综合上述，整体法适用于任何级数，而根值法或比值法适用于所有项都可取到或者删掉有限项后的级数。大家做题时，按照级数的类型，选方法之后再计算即可。 凯程考研辅导中心优势 凯程考研辅导中心创办于2005年4月，具有强大高校背景，是中国最早专门从事考研高端辅导的机构之一。并积累了多年的考研辅导经验。 成功学员多 至今已有数千位学员进入全国各大高校研究生院学习，这些同学的名单在网上有据可查。而且从2005年到2010年，据不完全统计，每年凯程考研辅导中心的成功学员人数要比前一年翻一倍，所谓的成功学员，是指通过初试，进入各校复试并最终录取的同学。 师资力量强 首先，所有老师均来自北京各高校的教师，且讲任何课程备课必须超过一个月，那些虽然有名但是准备草草的老师从来不能站在讲台上，这是对老师的硬性要求。 其次，所有老师都必须经过专门的培训与试讲环节且试讲必须得到听课学生90%以上的好评，好评不够马上淘汰。 第三，讲授的内容必须是应试化的，让学生越听越迷糊的老师，也坚决不要。 课程质量高 采取公共课小班授课，专业课一对一辅导的方式，针对不同程度学生的特点及程度差异，因材施教，精讲精练，才能达到理想的效果 服务效果好 服务，是一种理念，更是一种信念。只有经历过考研的人才能够理解考研对于每个人，每个家庭的意义。凯程考研的全部管理人员都有着考研成功的经历，才能够给广大考生提供贴心、贴切的服务，保证考生没有后顾之忧的全力以赴进行备考。. 凯程教育： 凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。 有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有 浅谈幂级数收敛半径和收敛域的求法 摘要 对形如∑∞=o n n n x a （其中s ∈N,t ∈Z ）的幂级数，当其为“特型”时，直 接利用公式R=1 lim +∞→n n n a a （n a 为系数）求其收敛半径和收敛区间；当其为“一般型”时，可通过换元转换为特型求解；若为有缺项时，半径公式已不再适用，要用比值法求收敛域收敛半径。本文先用引理引出其结论，然后讨论不同类型的求解方法，最后将其结论进行推广应用。 关键词 函数项级数； 幂级数 ；收敛半径 ；收敛域 ；比值判别法 1 问题的实际背景 本文对形如∑∞=o n n n x a （其中s ∈N,t ∈Z ）的幂级数进行了研究，这类幂级数在 函数方面非常重要，尤其是求他们的收敛半径和收敛区间，因此如何求解各类幂级数的收敛半径及收敛域，是值得研究的问题。 2 问题的提出 2.1 问题的分析 要求幂级数的收敛半径和收敛域首先要了解幂级数的相关概念，包括幂级数的形式、收敛点、发散点、收敛域等的概念，以及端点处()R x ±=的敛散性。 2.2 问题的重述 幂级数的形式多样，不同类型的幂级数求解方法各异，那么有几种关于幂级数收敛半径和收敛域的求法呢？这些方法又利用了什么原理呢？让我们一起来研究一下。 3 问题的求解 3.1引理：如果幂级数 L a a x a x a x a a x a n n n n n n n n =+++++=+∞→∞=∑1 22100lim ............的系数满足条件 则（1）当0 第八章 幂级数 1． 判断下列幂级数的收敛域 （1）1(3)3n n n x n ∞ =-?∑ （2）2103n n n x ∞+=∑ 解：（1）这是不缺项的幂级数，可按公式来做。 11 1(1)3lim 3 3n n n n n +→∞+=，所以收敛半径R=3，收敛区间为()0,6。 在0x =处，级数为1(1)n n n ∞ =-∑，收敛。在6x =处，级数为11n n ∞=∑，发散。 故收敛域为[)0,6 （2）这是缺项的幂级数，按数项级数判别法来做。 1232221 3lim lim333n n n n n n x x x x +++→∞→∞==。 当231x < ，即x <时，幂级数收敛。 当x >21lim 30n n n x +→∞≠，从而21lim 30n n n x +→∞≠，幂级数发散。 当x = 时，原级数成为n ∞=±，发散。 该幂级数的收敛域为? ? ，收敛半径为R =。 2． 将函数1()arctan 1x f x x +=-展开成幂级数。 解：2211()arctan (1),(11)11n n n o x f x x x x x ∞='+??'===--<< ?-+??∑，再逐项积分 22210002121(1)()(1)(1)1121(1)(1)()(0)1121421n x x x n n n n n n o n o n o n n n n n o n o f x dx x dx x dx x x n f x f x x x n n π∞∞∞+===∞∞++==-??'=-=-=-<< ?+?? --=+=+-<<++∑∑∑???∑∑幂级数概念
幂级数收敛域是(
考研高数：幂级数的收敛半径,收敛区间,收敛域
浅谈幂级数收敛半径和收敛域的求法
判断下列幂级数的收敛域