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函数奇偶性的性质应用.

函数奇偶性的应用

一、利用函数的奇偶性判断函数的单调性

1 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．

2 奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大．对于偶函数，如果

两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即自变量的正负不统一，应利用图象的对称性将自变量化归到同一个单调区间，然后再根据单调性判断．

例．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M.

例．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

例如果f(x)是R上的奇函数，且在[3,6]上有最大值4，最小值2，那么函数f(x)在[－6，－3]上的最大值和最小值各是多少？

提示：奇函数的图象关于原点对称，联想图象可知函数f(x)在[－6，－3]上的最大值为－2，最小值为－4.

例．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，且f(1)

A．f(－1)f(－2)

C．f(－1)＝f(1) D．f(－2)＝f(1)

解析：∵f(1)－f(2)．

又已知f(x)是奇函数，∴f(－1)>f(－2)．答案：B

例函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，图象必过点

A．（a, －f(a)) B．（-a, －f(a))

C．（a, f(－a)) D．（-a, －f(a))

例．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是________．

解析：∵f(x)是R上的偶函数，

∴f(－2)＝f(2)，

f(－π)＝f(π)，

又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，

∴f(π)>f(3)>f(2)，

即f(－π)>f(3)>f(－2)．

答案：f(－π)>f(3)>f(－2)

例．函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是()

A．f(－2)>f(0)>f(1)

B．f(－2)>f(1)>f(0)

C．f(1)>f(0)>f(－2)

D．f(1)>f(－2)>f(0)

解析：∵f(x)是R上的偶函数，

∴f(－2)＝f(2)，

又∵f(x)在[0，＋∞)上递增，

∴f(－2)>f(1)>f(0)．

答案：B

例．已知函数f (x )在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f (3)

A ．f (－1)

B ．f (0)>f (－1)

C ．f (－1)

D ．f (－3)>f (－5)

思路分析：要比较各函数值的大小，需判断函数在区间[－5,5]上的单调性，根据题意，应首先判断函数在区间[0,5]上的单调性．

解析：函数f (x )在区间[0,5]上是单调函数，又3>1，且f (3)

由已知条件及奇函数性质，知函数f (x )在区间[－5,5]上是减函数．

选项A 中，－3<－1，故f (－3)>f (－1)．

选项B 中，0>－1，故f (0)

同理选项C 中f (－1)>f (1)，选项D 中f (－3)

答案：A

例．设f (x )是定义在R 上单调递减的奇函数．若x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则( )

A ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0

B ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0

C ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＝0

D ．f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)

解析：利用减函数和奇函数的性质判断．

∵x 1＋x 2>0，∴x 1>－x 2.

又∵f (x )是定义在R 上单调递减的奇函数，

∴f (x 1)<－f (x 2)．∴f (x 1)＋f (x 2)<0.

同理，可得f (x 2)＋f (x 3)<0，f (x 1)＋f (x 2)<0.∴2f (x 1)＋2f (x 2)＋2f (x 3)<0.

∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0.

答案：B

例（2009年陕西文科卷）定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121

()()0f x f x x x -<-．则（） A ．(3)(2)(1)f f f <-< Ｂ．(1)(2)(3)f f f <-<

Ｃ．(2)(1)(3)f f f -<< Ｄ．(3)(1)(2)f f f <<-

答案：A

例定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)·[f (x 2)－f (x 1)]>0.则当n ∈N ＋时，有( )

A ．f (－n )

B ．f (n －1)

C ．f (n ＋1)

D ．f (n ＋1)

思路分析：先判断出函数f (x )的单调性，再转化为同一单调区间内判断函数值的大小关系．

解析：由(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0得f (x )在x ∈(－∞，0]为增函数．

又f (x )为偶函数，所以f (x )在x ∈[0，＋∞)为减函数．

又f (－n )＝f (n )且0≤n －1

∴f (n ＋1)

答案：C

例．若y ＝(a －1)x 2－2ax ＋3为偶函数，则在(－∞，3]内函数的单调区间为________．

解析：a ＝0，y ＝－x 2＋3结合二次函数的单调性知．

答案：增区间(－∞，0)，减区间[0,3]

例定义在区间(－∞，＋∞)上的奇函数)(x f 为增函数，偶函数)(x g 在区间[0，＋∞)上的图象与)(x f 的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式：

（1）f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )；

（2）f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )；

（3）f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )；

（4）f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a )．

其中成立的是（）

A ． (1)与(4)

B ． (2)与(3)

C ． (1)与(3)

D ． (2)与(4)

解析：根据函数)(x f 、)(x g 的奇偶性将四个不等式化简，得：

（1）f (b )＋f (a )＞g (a )－g (b )；（2）f (b )＋f (a )＜g (a )－g (b )；

（3）f (a )＋f (b )＞g (b )－g (a )；（4）f (a )＋f (b )＜g (b )－g (a )．

再由题义，有 )(a f ＝)(a g ＞)(b f ＝)(b g ＞0)0()0(==g f ．显然（1）、（3）正确，故选C ．

【技巧提示】具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间内的单调性，因而往往与不等式联系紧密．

二. 求函数的函数值和函数解析式

此类问题的一般解法是：

(1)“求谁则设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间内．

(2)要利用已知区间的解析式进行代入．

(3)利用f (x )的奇偶性写出－f (x )或f (－x )，从而解出f (x )

例已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是( )

A ．4

B ．2

C ．1

D ．0

思路分析：以偶函数的图象特征进行判断．

解析：∵偶函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，∴f (x )与x 轴的四个交点也关于y 轴对称．因此，若一根为x 1，则它关于y 轴对称的根为－x 1；若一根为x 2，则它关于y 轴对称的根为－x 2，故f (x )＝0的四根之和为x 1＋(－x 1)＋x 2＋(－x 2)＝0.∴应选D.

例．已知()2f x ax bx 3a b =+++是偶函数，且定义域为[],a 22a -，则____,____;a b ==

函数的性质之奇偶性

函数的奇偶性知识体系一函数的奇偶性的定义 1．偶函数: 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 2．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意： ○ 1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○ 2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．二具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．三奇偶函数的性质： 1定义域关于原点对称；2()f x 为偶函数()(||) f x f x ?=3若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0 f =4判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；5牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；6判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： ()()0f x f x ±-=，()1() f x f x =±-7设()f x ，() g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇题型体系一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性（1）()42+=x x f （2）()5x x f =（3）()x x x f +=1

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○ 2确定f(－x)与f(x)的关系；○ 3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．例2已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，（1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f 二利用函数的奇偶性补全函数的图象例1已知函数y＝f(x)是偶函数，且知道x≥0时的图像，请作出另一半图像.三．函数的奇偶性与单调性的关系例1．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．例2定义在)1,1(-上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若0)21()1(<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。O x y

函数的奇偶性及其应用举例

函数的奇偶性及其应用举例（湖北省红安县职教中心金哲、曾诚）【摘要】函数是贯穿于初中、高中、大学数学教学的一条主线，也是高中数学的核心内容，那么真正掌握函数，其中最主要的就是掌握函数的基本性质。函数的奇偶性是函数重要性质之一。近几年高职统考以及技能高考对于函数的奇偶性一直都是热点问题。本文将通过对函数的奇偶性及其应用进行一个系统研究。【关键词】函数的奇偶性，判定，应用一、奇、偶函数的定义：若函数)(x f ，在其定义域内，任取x 都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或者，则称函数)(x f 在区间I 上是奇函数（或者偶函数）二、函数的奇偶性分类 ???? ? ?? =--=-≠--≠-=--=-)()()()()()()()(:)()(:)()(:x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f 且既奇且偶函数：且非奇非偶函数偶函数奇函数三、奇、偶函数的图象：奇函数?图象关于原点成中心对称的函数偶函数?图象关于y 轴对称的函数。四、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称 ②若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 ④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。五、判断函数奇偶性的方法：（1）定义法：欲判断函数)(x f 在给定区间或者定义域内的奇偶性：

第一步：先判断给定区间或者定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数)(x f 一定是非奇非偶函数。第二步：若对称，再判断)(x f -与)(x f 的关系： ①若)(x f -=-)(x f ,则)(x f 是奇函数 ②若)(x f -=)(x f ,则)(x f 是偶函数 ③若)(x f -=-)(x f 且)(x f -=)(x f ,则)(x f 是既奇且偶函数 ④若)(x f -≠-)(x f 且)(x f -≠)(x f ,则)(x f 是非奇非偶函数（2）图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y 轴对称的函数是偶函数。，六、函数奇偶性的应用：（1）函数奇偶性的判断例1、（2011年高职统考第4题）下列函数为奇函数的为 )0(.5 1<=x x y A )0(.7 1>=x x y B 2 1.x y C = 3 1.x y D = 析：A,B ，C 这三个函数的定义域都不关于原点对称，故均为非奇非偶函数，只有D 选项，定义域为()+∞∞-,，关于原点对称，并且()3 13 1x x -=-，故D 项所在函数为奇函数。例2、（2014年文化综合第25题改编）下列函数中为奇函数的是 A ．2 ()1f x x =- B ．3 ()f x x = C ．5()3x f x ?? = ??? D ．2 ()log f x x = 析：A 项2()1f x x =-的定义域为()+∞∞-,关于原点对称，但 () 11)(2 2 -=--=-x x x f ，)()(x f x f =-故为偶函数； C 项5()3x f x ?? = ??? 定义域为()+∞∞-,关于原点对称，但)()()()(,35)(x f x f x f x f x f x -≠-≠-??? ??=--且，故为非奇非偶函数；D 项2()log f x x =，定义域为()+∞,0，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，只有B 项符合。例3、判断函数12)(2+-=x x x f 的奇偶性：析：（法1-定义法）()f x 函数的定义域是()-∞+∞，， ∵ 2()21f x x x =-+，

函数的单调性及奇偶性(含答案)

函数的单调性及奇偶性一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 4.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D.无减区间答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 5.函数的单调递减区间是( ) A.， B.， C.， D.，答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 6.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 7.若是奇函数，则实数a的值为( ) A.1 B.-1

C.0 D.±1 答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( ) A.±1 B.1 C.-1 D.-3 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( ) A.[-1，2] B. C.(0，1) D.

第03讲-函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)

第03讲函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）【考纲解读】 2. 函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数）（1）函数 ④ 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．【知识梳理】 1.单调性定义： ①∈?21,x x 区间M(A M ?定义域), 012>-?x x 若②()()012>-=?x f x f y ，则③()x f 在M 上是增函数(M 称为增区间)；若②()()012<-=?x f x f y ，则③()x f 在M 上是减函数(M 称为增区间). 函数单调性题目类型（1）利用定义的常见单调性题目： ①②?③,判断函数的单调性； ②③?①,判断自变量大小； ①③?②，判断函数值的大小。（2）已知单调性，反求参数范围；（3）利用导数研究函数单调性；（4）利用已知函数的图像研究函数单调性; （5）复合函数的单调性 2.奇偶性定义：（1）若()()x f x f D x =-∈?，,则()x f 是偶函数；若()()000x f x f D x =/-∈?，使得，则()x f 不是偶函数；（2）若()()x f x f D x -=-∈?，,则()x f 是奇函数；若()()000x f x f D x -=/-∈?，使得，则()x f 不是奇函数；注意：定义的否定形式. 3.周期性:定义：若存在非零常数T ，使得()()x f T x f D x =+∈?，, 则()x f 为周期函数，T 是一个周期. 4.对称性（1）偶函数的图像关于y 轴对称；（2）奇函数的图像关于原点对称；（3）指数函数x a y =和对数函数x y a log =是互为反函数，它们的图像关于直线x y =对称；（4）若()x f 满足()()x a f x a f +=-，则()x f 的图像关于直线a x =对称；（5）若()x f 满足()()x a f x a f +-=-，则()x f 的图像关于点()0， a 对称；（6）若()x f 满足()()x b f x a f +=-，则()x f 的图像关于直线2 b a x += 对称；（7）若()x f 满足()()x a f b x a f +-=-2，则()x f 的图像关于点()b a ，对称；【典例精讲】考点一单调性例1.（15湖南理）设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（） A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B.奇函数，且在(0,1)上是减函数 C.偶函数，且在(0,1)上是增函数 D.偶函数，且在(0,1)上是减函数【答案】A. 【解析】试题分析：显然，)(x f 定义域为)1,1(-，关于原点对称，又∵)()1ln()1ln()(x f x x x f -=+--=-， ∴)(x f 练习（2012山东理）设0a >且1a ≠, 则“函数()x f x a =在R 上是减函数”,是“函数 3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件（2006北京）已知(31)4,1 ()log ,1 a a x a x f x x x -+?是 (,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 (C) （A ）(0,1)（B ）1(0,)3（C ）11[,)73 （D ）1 [,1)7 考点二奇偶性例2. （2013上海春）已知真命题:“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数 ()y f x a b =+- 是奇函数”. (1)将函数3 2 ()3g x x x =-的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标; (2)求函数2 2()log 4x h x x =- 图像对称中心的坐标; (3)已知命题:“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b,使得函数 ()y f x a b =+- 是偶函数” .判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明). 【答案】(1)平移后图像对应的函数解析式为32(1)3(1)2y x x =+-++, 整理得33y x x =-,

函数的所有性质

函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性) “定义域优先”的思想是研究函数的前提,在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域,离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。 1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x ）与f(x ）之间的关系：①f(－x)＝f(x)为偶函数；f （-x)=-f(ｘ)为奇函数； ②f(-x)-f （x ）=０为偶;ｆ(x ）+f(-x)=0为奇; ③f(-x)÷ｆ(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)＝-1为奇函数. （１)若定义域关于原点对称 (２）若定义域不关于原点对称非奇非偶例如：3 x y =在)1,1[-上不是奇函数常用性质: 1．0)(=x f 是既奇又偶函数； 2．奇函数若在0=x 处有定义,则必有0)0(=f ; 3．偶函数满足) ()()(x f x f x f =-=； 4.奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称； 5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=非奇非偶 (2) 奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数６．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数 2) ()()(x f x f x --= ?和一个偶函数 2) ()()(x f x f x -+= ψ的和。 2. 单调性定义:函数定义域为Ａ,区间，若对任意且 ① 总有则称在区间M 上单调递增 ② 总有则称在区间M 上单调递减应用:(一)常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤:(1）设值(２)作差(３)变形（４）定号（5)结论 (二）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学）注:常用结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-------同增异减

函数奇偶性的归纳总结

函数的奇偶性的归纳总结考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。教学目标：1、理解函数奇偶性的概念； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法； 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法； 4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。教学重点：1、理解奇偶函数的定义； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。教学难点：1、对奇偶性定义的理解； 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。教学过程：一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：

奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

函数的性质奇偶性

第二章函数（奇偶性） 1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（） A ．3 1=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（） A ．y ＝x （x －2） B ．y ＝x （｜x ｜－1） C ．y ＝｜x ｜（x －2） D ．y ＝x （｜x ｜－2） 4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 5．函数1111)(22 +++-++=x x x x x f 是（） A ．偶函数 B ．奇函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 6．若)(x ?，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ?在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（） A ．最小值－5 B ．最大值－5 C ．最小值－1 D ．最大值－3 7．函数212 2)(x x x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）． 8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________． 9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11 )()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______． 10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________． 11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围． 12．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，试证f （x ）是偶函数．

函数奇偶性在解题中的应用

函数奇偶性在解题中的应用徐辉函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是日常考试和高考中数学的重点和热点内容之一。它应用广泛，在高中数学的各个分支中都有着极为重要的应用，在解题过程中如果应用的好，常能使难题变易，繁题变简，起到事半功倍的效果。 1．用于求值例１：已知奇函数，则解：因为奇函数，所以对任意，都有成立．令，则有，从而可得；令，则有，从而．故．注：此解利用了若函数是奇函数，则对定义域内的任意，都有这一性质，特别地，当０在定义域内时，必有． 2．用于比较大小例２．已知偶函数在区间上单调递减，试比较的大小.

解：因为是偶函数，所以，故此题只需比较的大小即可．又因在区间上单调递减，而且所以，故．注：此解利用了若函数是偶函数，则对定义域内的任意x，都有这一性质．当然此题也可利用偶函数图象关于y 轴对称这一性质，首先得到在区间是单调递增的，然后再用单调性进行求解． 3．用于求最值例３．如果奇函数在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么在区间[-7,-3]上是（） A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 解：由在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，有, 又是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称, 故有在[-7,-3]上也是增函数，且当x=-3时，函数取得最大值，故选B. 注:此解利用了奇函数图象关于原点对称这一性质. 4．用于求参数的值例4.已知函数(a、b、c∈Z)是奇函数，又f(1)=2，f(2)＜3，求a、b、c的值.

解：由是奇函数，知f(-x)=-f(x)，从而，即-bx+c=-(bx+c)，c=-c，∴c=0. 又由f(1)=2，知，得a+1=2b①，而由f(2)＜3，知，得② 由①②可解得－1＜a＜2. 又a∈Z，∴a=0或a=1. 若a=0，则b=，应舍去；若a=1，则b=1∈Z. ∴a=1，b=1，c=0. 注：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想建立方程或不等式，组成混合组，最终使问题得以解决. 当然此题也可采用取特殊值的方法得到c的值，如由f(－1)=－f(1)，可得c=0. 5．用于求函数的解析式例５．已知定义在(－∞，+∞)上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x>0时，f(x)=x2－2x+2，求函数f(x)的解析式。解：当x<0时，－x>0，故f(－x)=(－x)2－2(－x)+2=x2+2x+2 因函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，于是f(－x)=－f(x)，从而当x<0时，f(x)=－f(－x)=－(x2+2x+2)=－x2－2x－2，

函数的基本性质(教案)

[课题]：第一章集合与函数概念 1.3 函数的基本性质主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间：2013年9月30日使用班级（21）（22）计划上课时间：2013-2014学年第一学期第6 周星期一至三（四至六月考）[课标、大纲、考纲内容]：学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要加强。学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、奇偶性的定义理解透彻。 1、重点：理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性的定义，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。 2、难点：运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定义，研究基本函数的单调性和奇偶性。第1课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（1）【教学目标】 1. 运用已学过的函数特别是二次函数的图象，理解函数的单调性的定义及其几何意义； 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3. 会用定义证明函数的单调性

【教学重难点】教学重点: 理解函数的单调性的含义及其几何意义. 教学难点: 用定义证明函数的单调性. 【教学过程】一、引入课题 1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： 2． ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x 2 ○ 1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ． ○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ．二、新课教学（一）函数单调性定义 1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1

函数奇偶性的应用

对应学生用书P106 基础达标一、选择题 1．有下列4个命题： ①偶函数的图象一定与纵轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)； ④偶函数的图象关于纵轴对称．其中正确的命题有() A．1个B．2个 C．3个D．4个解析：只有④正确，③中x∈R，定义域只要关于原点对称即可．函数f(x)＝0不唯一．答案：A 2．若函数y＝f(x)的定义域是[0,1]，则下列函数中，可能是偶函数的一个为() A．y＝[f(x)]2B．y＝f(2x) C．y＝f(|x|) D．y＝f(－x) 解析：A、B、D三项函数的定义域不关于原点对称．答案：C 3．设f(x)是定义在R上单调递减的奇函数．若x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则() A．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0 B．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0 C．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0 D．f(x1)＋f(x2)>f(x3) 解析：利用减函数和奇函数的性质判断． ∵x1＋x2>0，∴x1>－x2. 又∵f(x)是定义在R上单调递减的奇函数， ∴f(x1)<－f(x2)．∴f(x1)＋f(x2)<0. 同理，可得f(x2)＋f(x3)<0，f(x1)＋f(x2)<0.∴2f(x1)＋2f(x2)＋2f(x3)<0. ∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0. 答案：B

4．函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是() A．f(－2)>f(0)>f(1) B．f(－2)>f(1)>f(0) C．f(1)>f(0)>f(－2) D．f(1)>f(－2)>f(0) 解析：∵f(x)是R上的偶函数， ∴f(－2)＝f(2)，又∵f(x)在[0，＋∞)上递增， ∴f(－2)>f(1)>f(0)．答案：B 5．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为() A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.又f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝0. 答案：B 6．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是() A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数 C．f(x)＋1为奇函数D．f(x)＋1为偶函数解析：令x1＝x2＝0，得f(0)＝2f(0)＋1，所以f(0)＝－1，令x2＝－x1，得f(0)＝f(x1)＋f(－x1)＋1，即f(－x1)＋1＝－f(x1)－1，所以f(x)＋1为奇函数．答案：C 二、填空题 7．若y＝(a－1)x2－2ax＋3为偶函数，则在(－∞，3]内函数的单调区间为________．解析：a＝0，y＝－x2＋3结合二次函数的单调性知．答案：增区间(－∞，0)，减区间[0,3] 8．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx的奇偶性是________．解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴b＝0，g(x)＝ax3＋cx，即为奇函数．答案：奇函数 9．若函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，又在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则不等式x·f(x)<0的解集是________．解析：

高中数学必修一函数的性质单调性与奇偶性典型精讲精练

1文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑. 函数单调性证明格式： ① 取任意两个数12,x x 属于定义域D ，且令12x x <（反之亦可）； ② 作差12()()f x f x -并因式分解； ③ 判定 12()()f x f x -的正负性，并由此说明函数的增减性；例 1 用定义法判定下列函数的增减性： ① y x =； ②2y x =； ③3y x =； ④y = ⑤1 y x = ；练习：1. 判断函数()f x = 2.证明函数 3()f x x x =+在R 上是增函数；例 2 已知函数 1 ()(0)f x x x x =+>，求证：函数的单调减区间为(0,1]，增区间为[1,)+∞，并画出图像；练习：证明函数 x x x f 2 )(+ =在),2(+∞上是增函数。 3.复合函数的单调性复合函数的单调性判断（同增异减）：构造中间过度函数，按定义比较函数大小并确定函数的单调性；例 3 判断函数的单调性：（1 ） ()f x = （2 ）()f x =；（3） 2 1 ()2 f x x = +；练习：① y = ②2 13y x = -； ③ 2 154y x x = +-； ④ y ； 4.函数的单调性的等价关系设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --时，()1f x >且对任意的,a b 都有()()()f a b f a f b +=? (1)求证： (0)1f = ； (2)求证：对任意的x R ∈恒有 ()0f x > ； (3)求证：f(x)是R 上的增函数； (4)若2()(2)1f x f x x ?->,求x 的取值范围相关练习 1、设 ()f x 的图像关于原点对称，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ?<的解集是………………( ) A {}|303x x x -<<>或 B {}|303x x x <-<<或 C {}|33x x x <->或 D {}|3003x x x -<<<<或 2、若 )(x f 的图像关于y 轴对称，且在[)+∞,0上是减函数，则235()(2)2 2 f f a a -++与的大小关系…( ) A )2 3(-f >)25 2(2++a a f B )23 (-f <)25 2(2++a a f C ) 23 (-f ≥ )2 5 2(2++a a f D 3() 2f -≤25(2)2 f a a ++

函数的奇偶性及周期性综合运用

函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【解析】由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那么 f(x) 的周期是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5],

函数的基本性质奇偶性教案2

1．3函数的基本性质-----奇偶性（一）教学目标 1．知识与技能：使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性. 2．过程与方法：通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力. 3．情感、态度与价值观：通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质. （二）教学重点与难点重点：函数的奇偶性的概念；难点：函数奇偶性的判断. （三）教学方法应用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解. 对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固. （四）教学过程一．复习与回顾 1、在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义是什么？ 2、要求学生同桌两人分别画出函数f (x) =x3与g (x) = x2的图象. 3、多媒体屏幕上展示函数f (x) =x3和函数g (x) = x2的图象，并让学生分别求出x =±3，x =±2， x=±1 2 ，…的函数值，同时令两个函数图象上对应的点在两个函数图象上闪现，让学生发现两个函数的对称性反映到函数值上具有的特性：f (–x) = –f (x)，g (–x) = g (x). 然后通过解析式给出证明，进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个x都成立. 二．新课讲授 1、奇函数、偶函数的定义：奇函数：设函数y = f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有f (–x) = –f (x)，则这个函数叫奇函数. 偶函数：设函数y = g (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有g (–x) = g (x)，则这个函数叫做偶函数. 问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？强调定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 . 问题2：–x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称. 问题3：结合函数f (x) =x3的图象回答以下问题：（1）对于任意一个奇函数f (x)，图象上的点P (x，f (x))关于原点对称点P′的坐标是什么？点P′是否也在函数f (x)的图象上？由此可得到怎样的结论. （2）如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？ 2、奇函数与偶函数图象的对称性：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. 如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 3、举例分析

函数奇偶性的定义与应用

函数2：函数的奇偶性【教学目的】使学生了解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法；【重点难点】重点：函数的奇偶性的有关概念；难点：奇偶性的应用一、函数的奇偶性 1.偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 2.奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 3.判断函数奇偶性的方法：（1）图像法：偶函数的图像关于y 轴对称；奇函数的图像关于原点对称．（2）定义法：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ②确定f(－x)与f(x)的关系； ○ 3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 4.奇偶函数的简单性质：（1）奇函数：奇函数的图像关于原点对称，其单调性在对称区间内相同，如在[a,b ]上为增函数，则在[-b ，-a ]上也为增函数. （2）偶函数：奇函数的图像关于y 轴对称，其单调性在对称区间内相反，如在[a,b ]上为增函数，则在[-b ，-a ]上为减函数. 二、函数奇偶性的应用 1、利用定义判断函数奇偶性例1（1）x x x f 2)(3+= ；（2）2 432)(x x x f +=；（3）1)(2 3--=x x x x f ；（4）2)(x x f = []2,1-∈x ；（5）x x x f -+-=22)( ；（6）2211)(x x x f -+-=；（7）2211(0)2()11(0)2 x x g x x x ?+>??=??--x 时，()()x x x f -=1，求()x f 在R 上解析式；

函数奇偶性的性质应用.

函数的性质之奇偶性

函数的奇偶性及其应用举例

函数的单调性及奇偶性(含答案)

第03讲-函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)

函数的所有性质

函数奇偶性的归纳总结

最新函数的奇偶性和单调性综合训练及答案

函数的性质奇偶性

函数奇偶性在解题中的应用

函数的基本性质(教案)

函数奇偶性的应用

高中数学必修一函数的性质单调性与奇偶性典型精讲精练

函数的奇偶性及周期性综合运用

函数的基本性质奇偶性教案2

函数奇偶性的定义与应用