平面向量单元测试题(含答案)

平面向量单元检测题

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姓名

学号

成绩

一、 选择题（每小题5分，共60分）

1. 若ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且AB a =，AD b =，则BE =（ ）

A ．12

b a + B ．12

b a - C ．12a b +

D ．12

a b -

2. 下列命题中，假命题为 （

）

A ．若0a b -=，则a b =

B ．若0a b ?=，则0a =或0b =

C ．若k ∈R ，k 0a =，则0k =或 0a =

D ．若a ，b 都是单位向量，则a b ?≤1恒成立

3. 设i ，j 是互相垂直的单位向量，向量13()a m i j =+-，1()b i m j =+-，

()()a b a b +⊥-，则实数m 为 （

）

A ．2-

B ．2

Ｃ．12

-

Ｄ．不存在

4. 已知非零向量a b ⊥，则下列各式正确的是

（ ）

·

A ．a b a b +=-

B ．a b a b +=+

C ．a b a b -=-

D ．a b +=a b -

5. 在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC a =，CA b =，AB c =，则a b b c c a

?+?+?

的值为 （

）

A ．

32

B ．32

-

C ．0

D ．3

6. 在△OAB 中，OA =（2cos α，2sin α），OB =（5cos β，5sin β），若5OA OB ?=-，则

S △OAB

（

）

A

B

．

2

C

．5D

．

52

7. 在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，则四边形ABCD 的形状是 （

）

A ．长方形

B ．平行四边形

C ．菱形

D ．梯形

8. 把函数23cos y x =+的图象沿向量a 平移后得到函数 的图象，则

向量 是 （ ）

A ．（

33

,π-） B ．（

36

,π） C ．（

312

,π-） D ．（312

,π-

）

9. 若点1F 、2F 为椭圆 的两个焦点，P 为椭圆上的点，当△12F PF 的面积

为1时， 的值为

（ ） ，

A ．0

B ．1

C ．3

D ．6

10. 向量a =（-1，1），且a 与a +2b 方向相同，则a b ?的范围是 （ ）

A ．（1，+∞）

B ．（-1，1）

C ．（-1，+∞）

D ．（-∞，1）

11. O 是平面上一点，A ，B ，C 是该平面上不共线的三个点，一动点P 满足OP OA =+()AB AC λ+，λ∈（0，+∞），则直线AP 一定通过△ABC 的 （ ）

A ．内心

B ．外心

C ．重心

D ．垂心

12. 已知D 是△ABC 中AC 边上一点，且

22+，∠C =45°，∠ADB =60?，则

= （ ） A ．2 B ．0

Ｄ．1

2sin()y x π

=-6

a 2

214

x y +=1

2

PF PF ?AB DB ?A D

DC

=

二、 填空题（每小题4分，共16分）

13. △ABC 中，已知4a =，6b =，sinB = ，则∠A = 。

14. 已知M (3，4)，N (12，7)，点Q 在直线MN 上，且13||:||:QM MN =，则点Q 的坐标为 。 15. >

16. 已知|a |=8，|b |=15，|a +b |=17，则a 与b 的夹角θ为 。 17. 给出下列四个命题：

①若||||||a b a b ?=?，则a ∥b ； ②()()b c a c a b ?-?与c 不垂直；

③在△ABC 中，三边长BC 5=，AC 8=，AB 7=，则20BC CA ?=； ④设A(4，a )，B(b ，8)，C(a ，b )，若OABC 为平行四边形（O 为坐标原点），则

∠AOC = .

其中真命题的序号是 （请将你正确的序号都填上）。

三、 解答题（74分）

17. （本小题满分12分）设向量OA =（3，1），OB =（1-，2），向量OC OB ⊥，

18. BC ∥OA ，又OD +OA =OC ，求OD 。

/

3

4

4

π

~

19. （本小题满分12分）已知A(2，0)，B(0，2)，C(cos α，sin α)，(0<α<π)。 （1）若7||OA OC +=

O 为坐标原点）

，求OB 与OC 的夹角； （2）若AC BC ⊥，求tan α的值。

，

20. （本小题满分12分）

如图，O ，A ，B 三点不共线，2OC OA =，3OD OB =，设OA a =，OB b =。 （1）试用,a b 表示向量OE ；

；

（2）设线段AB ，OE ，CD 的中点分别为 L ，M ，N ，试证明L ，M ，N 三点共线。

.

21.（本小题满分12分）在直角坐标系中，A (1，t)，C（-2t，2），OB OA OC

=+

22.（O是坐标原点），其中t∈（0，+∞）。

⑴求四边形OABC在第一象限部分的面积S(t)；

⑵确定函数S(t)的单调区间，并求S(t)的最小值。

（

23.（本小题满分12分）

如图，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东α角的射线OZ方向航行，其中.

在距离港口O

为3（a为正常数）海里北偏东β角的A处有一个供给科学考察船物资的

小岛，其中cosβ

O正东方向m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科学考察船，该船沿BA方向不变全速追赶科学考察船，并在C处相遇。经测算，当两船运行的航线OZ与海岸线OB围成的三角形OBC面积S最小时，补给最合适。

…

（1）求S关于m的函数关系式S(m)；

（2）当m为何值时，补给最合适'

O

A

B

C

Z

东

北

=

1

3 tanα=

24. （本小题满分14分）

已知在直角坐标平面上，向量a =（-3，2λ），b =（-3λ，2），定点A （3，0），其中0<λ<1。一自点A 发出的光线以a 为方向向量射到y 轴的B 点处，并被y 轴反射，其反射光线与自点A 以b 为方向向量的光线相交于点P 。

（1）求点P 的轨迹方程；

（2）问A 、B 、P 、O 四点能否共圆（O 为坐标原点），并说明理由。

平面向量答案

…

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1． B ；2．B ；3．A ；4．D ；5．B ；6．D ；7．D ；8．A ；9．A ；10．C ；11．C ；12．B

10．C ．解析：注意与+2同向，可设+2=λ（λ>0），则=a 2

1

-λ，从而

01212

>-=-=?λλ。

11．C ．解析：OA OP =+)(AC AB +λ，即)(AC AB AP +=λ，即AP 与AC AB +同向。 12．B ．解析：解三角形可得∠ABD=90°。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．30° 14．(6,5) 或(0,3) 15．2

π

16．①④

三、解答题：本大题共6小题，共74分。 17．（本小题满分12分） ^

解： 设=（x ,y ），

∵⊥，∴0=?，∴2y – x =0，①

又∵∥，=（x +1，y-2），∴3( y-2) – (x +1)=0，即：3y – x-7=0，② 由①、②解得，x =14，y=7，∴=（14，7），则=-=（11，6）。 18．（本小题满分12分）

解：⑴∵)sin ,cos 2(αα+=+OC OA ，7||=+OC OA ， ∴7sin )cos 2(22=++αα，∴2

1

cos =α． 又),0(πα∈，∴3

π

α=

，即3

π

=

∠AOC ，

又2

π

=

∠AOB ，∴与的夹角为

6

π． ⑵)sin ,2(cos αα-=，)2sin ,(cos -=αα，

，

由⊥，∴0=?， 可得2

1

sin cos =+αα， ① ∴41)sin (cos 2=

+αα，∴4

3cos sin 2-=αα， ∵),0(πα∈，∴),2(ππ

α∈，

又由4

7

cos sin 21)sin (cos 2=-=-αααα，ααsin cos -＜0， ∴ααsin cos -＝－

2

7， ②

由①、②得471cos -=

α，47

1sin +=α，从而3

74tan +-=α． 19．（本小题满分12分）

解：(1)∵B ，E ，C 三点共线，∴=x +(1-x )=2 x a

+(1-x )，① 同理，∵A ，E ，D 三点共线，可得，=y a

+3(1-y)，②

比较①，②得，?

??-=-=)1(31,2y x y x 解得x=52， y=54,∴OE =b

5354+。

~

（2）∵2+=

，103421OM +==，2

32)(21+=+=，

10126OM ON MN +=

-=，10

2OM OL ML +=-=， ∴6=，∴L ，M ，N 三点共线。 20．（本小题满分12分）

解：（1）∵+=，∴OABC 为平行四边形， 又∵0=?OC OA ，∴OA ⊥OC ，∴四边形OABC 为矩形。

∵+==(1-2t ，2+t)，

x

y O

A

B

C 图1

K

① 当1-2t>0，即0

1

时，A 在第一象限， B 在第一象限，C 在第二象限，（如图1）

此时BC 的方程为：y-2=t(x +2t)，令x =0，得BC 交y 轴于K(0,2t 2+2), ∴S(t)=S OABC -S △OKC =2(1-t+t 2-t 3). ② ^

③ 当1-2t ≤0，即t ≥2

1

时，A 在第一象限，B 在y 轴上或在第二象限，C 在第二象限，

（如图2）

此时AB 的方程为：y-t=t 1- (x -1)，令x =0，得AB 交轴于

M(0,t+t

1), ∴S(t)= S △OAM =)1(21t

t +.

∴S(t)=???????≥+<<-+-).21(),1(2

1),2

10(),1(23

2t t t t t t t

（2）当0

时，S(t) =2(1-t+t 2-t 3)，S ′(t) =2(-1+2t-3t 2)<0，

∴S(t)在（0，2

1

）上是减函数。

当t ≥21时，S(t) =)1(21t t +，S ′(t) =)1

1(212t -，

∴S(t)在[2

1

，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数。

∴当t=1时，S(t)有最小值为1。 21．（本小题满分12分）

《

解：（1）以O 为原点，正北方向为轴建立直角坐标系。 直线OZ 的方程为y=3x ，①

设A(x 0，y 0)，则x 0=3a 13sin β=9a ，y 0=3a 13cos β=6a ，

∴A(9a ，6a )。

又B(m ，0)，则直线AB 的方程为y=m

a a

-96(x -m) ②

由①、②解得，C(a

m am

a m am 76,72--)，

∴S(m)=S △OBC =2

1

|OB||y c |= a m am 732- ，(a m 7>)。

（2）S(m)=3a [(m-7a )+

a a m a 147492

+-]≥84a 2。 当且仅当m-7a =a

m a 7492

-，即m=14a >7a 时，等号成立，

O A B

C

Z

东

北

x

y

O A

B

C

图2M

故当m=14a 为海里时，补给最合适。 22．（本小题满分14分）

解：（1）设P(x ，y)，A 关于原点的对称点为C ，则C(-3，0)。

依题意，B(0，2λ)，∴)2,3(λ=CB ，),3(y x CP +=，

由反射光线的性质，C ，B ，P 三点共线，∴3y - 2λ(x +3)=0， ① ∵),3(y x -=，且AP ∥b ，∴3λy + 2 (x -3)=0， ②

由①，②消去λ得P 点轨迹方程为：14

92

2=+y x ，（x ，y>0）。 (2) 若A 、B 、P 、O 四点共圆，则∠P=∠AOB=90°，

∴0=?CP AP ，∴x 2 – 9 + y 2=0，又

14

92

2=+y x ，可得y=0，矛盾。 ∴A 、B 、P 、O 四点不能共圆。