解法别样

1 探索无止境 解法别样多

例题 某酒店客房部有三人间、双人间客房，收费标准如下：

为吸引游客，实行团体入住五折．．

优惠措施．一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间？

解法1（设一个未知数）：设三人普通房共住了x 人，则双人普通房共住了)50(x -人.

根据题意，得15102

505.014035.0150=-??+?

?x x ． 解得2650,24=-=x x .所以8324=（间），13226=（间）． 答：三人间普通客房、双人间普通客房分别住了8间、13间．

解法2（设两个未知数，直接设元）：设三人普通房和双人普通房各住了x 间、y 间.

根据题意，得???=?+?=+15105.01405.0150,5023y x y x 解得?

??==.13,8y x 答：三人间普通客房、双人间普通客房分别住了8间、13间．

解法3（设两个未知数，间接设元）：设三人间普通房和双人间普通房各住了x 人、y 人.

根据题意，得??

???=??+??=+151025.014035.0150,50y x y x 解得???==.26,24y x 所以8324=（间），132

26=（间）． 答：三人间普通客房、双人间普通客房分别住了8间、13间．

一元一次不等式组的解法常考题型讲解

一元一次不等式组的解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式组的概念： 几个 一元一次不等式 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集： 一般地，几个不等式的解集的 公共部分 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 2.一元一次不等式组解集四种类型如下表： 二、经典题型分类讲解 题型1：考察一元一次不等式组的概念 1. （2017春雁塔区校级月考）下列不等式组：①???<->32x x ，②???>+>420 x x ，③???>+<+4 2122x x x ， ④???-<>+703x x ，⑤? ??<->+010 1y x 。其中一元一次不等式组的个数是（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个

题型2：考察一元一次不等式组的解法 2.（2018春天心区校级期末）不等式组?? ???>+≤-6 1213312 x x 的解集在数轴上表示正确的是（ ） 3.解下列不等式组，并在数轴上表示解集： ! （1）?? ? ??<--+->++-021331215)1(2)5(7x x x x （2）?????≥-+->-154245 3312x x x x （3）?????≤--+<--+-1213128)3()1(3x x x x （4）?? ? ??< -+≤+321)2(352x x x x —

（5）?????-<+-<-2322125.05.7x x x x （6）?????->≥----62410 2.05.05.04 .073x x x x x ！ 4. 解下列不等式21 153 x --< ≤ \

初中数学常见解题秘籍

1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 6、构造法

一道最值问题的多种解法

一道最值问题的多种解法 浙江省宁波市李惠利中学 沈国标 求变量的最值，是生产生活中最常见的数学问题．解决最值问题的方法很多，若能精选例题，通过一题多解的形式给出解决问题的方法，既能启迪学生发散性思维，又是让学生掌握数学思想方法的最佳途径．在竞赛辅导过程中，笔者研究了文[1]中的一道练习题，发现此题用作介绍有关解决最值问题的方法甚佳． 例 若x ，y 为实数，且x 2+xy+y 2=19，求x 2+y 2 的最值． 一． 代换法 １．二元对称代换 解：因为约束条件是关于x ，y 的对称式，所以可设x ＝a+b ，y ＝a-b 代入x 2+xy+y 2＝3a 2+b 2＝19，∴0≤b 2 ≤19 这时x 2 +y 2 ＝2(a 2 +b 2 )＝2??? ??+-22b 3b 19＝338+3 4 b 2 ∵0≤b 2 ≤19 ∴3 38 ≤x 2 +y 2 ≤38 ∴当b 2＝19，a 2 ＝0，即x ＝ 19，y ＝-19或x ＝-19，y ＝19时，x 2 +y 2 的最大值 是38．当b 2 ＝0，a 2 ＝3 19 ，即x ＝y ＝ 319，或x ＝y ＝- 3 19 时，x 2+y 2 的最小值是 3 38． ２．三角代换之一 解：∵x 2 +xy+y 2 ＝(x+ 2y )2 +4 3 y 2 ＝19 ∴可设 ?????? ???? ??? ?θ=θ-θ=?π∈θθ=θ=+)sin 332(19y )sin 33 (cos 19x )2,0[(sin 19y 2 3cos 192y x ∴x 2 +y 2 ＝19[)sin 33(cos θ- θ2 +θ2sin 3 4 ] ＝19(θ-θ+θ2sin 3 3sin 35cos 22 ) ＝19( θ-θ-?+θ+2sin 3 322cos 13522cos 1)

一题多解之五种方法解一道经典数学题

1 O B C D ① A 一题多解之五种方法解一道经典数学题 江苏海安紫石中学 黄本华 一题多解是我们学习数学的特好方法！通过一题多解，我们可以多角度、多方位地去思考解题的方案，这样不仅能加强知识间的联系，同时也增添新颖性和趣味性，优化我们的思维结构，提升我们的思维能力。更重要的是，一题多解让我们不仅只满足解题目标的实现，而是让我们拥有了研究学问的态度！ 例题 如图，在平面直角坐标系中，点A (－1，0)，B (0，3)，直线BC 交坐标轴于B ， C 两点，且∠CBA ＝45°.求直线BC 的解析式． 【分析】要求BC 解析式，现在已经知道了B 点坐标，所以只要求到C 点坐标就好了。这就要用到条件∠CBA ＝45°。但这个条件如何用呢？这是本题的难点，也是关键点。考虑到这个角是45°，我们可以尝试做垂线，构造等腰直角三角形。如图①，作AD ⊥BC 于D ，由A 、B 的坐标可知1OA =，3OB =，根据勾股定理2 2 10AB OA OB =+=， 5BD AD ==AC x =，则1OC x =+，25DC x =-255BC x =-，在 RT OBC ?中， 根据勾股定理得出222OC OB BC +=，即()2 222 13(55)x x ++=-，解得15 2 x =- （舍去），25x =，求得6OC =，得出C （﹣6，0），然后根据待定系数法即可求得BC 的解析式． 解法一：如图①，作AD ⊥BC 于D ， ∵点A （﹣1，0），B （0，3）， ∴1OA =，3OB =，∴2 2 10AB OA OB =+=， ∵∠CBA =45°，∴△ABD 是等腰直角三角形， ∴5BD AD == 设AC x =，则1OC x =+， ∴25DC x =-，∴BC=+255BC x = -+， 在152 x =- 中，222OC OB BC +=2 ，即()222213(55)x x ++=-）， 解得x 1=﹣ （舍去），25x =， ∴5AC =，6OC =，∴C （﹣6，0）， 设直线BC 的解析式为3y kx =+，

一元一次不等式及其解法常考题型讲解

一元一次不等式及其解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式的概念： 只含有一个未知数，且未知数的次数是1且系数不为0的不等式，称为一 元一次不等式。 2.解一元一次不等式的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3. 注意事项： ①去分母时各项都要乘各分母的最小公倍数，去分母后分子是多项式时，分子要加括号。 ②系数化为1时，注意系数的正负情况。 二、经典题型分类讲解 题型1：考察一元一次不等式的概念 1. （2017春昭通期末）下列各式：①5≥-x ；②03<-x y ；③05<+πx ；④ 32≠+x x ； ⑤x x 333≤+；⑥02<+x 是一元一次不等式的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2.（2017春启东市校级月考）下列不等式是一元一次不等式的是（ ） A 、 67922-+≥-x x x x B 、01=+x C 、0>+y x D 、092≥++x x 3.（2017春寿光市期中）若03)1(2>-+m x m 是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为（ ） A 、1± B 、1 C 、1- D 、0 题型2：考察一元一次不等式的解法 4. （2016秋太仓市校级期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来: （1）)21(3)35(2x x x --≤+ （2）2 2531-->+ x x

5.解不等式 10 1.0)39.1(10 2.06.035.05.12?->---x x x 。 6.（2016秋相城区期末）若代数式 123-+x 的值不大于6 34+x 的值时，求x 的取值范围。 7. （2017春开江县期末）请阅读求绝对值不等式3x 的解集的过程： 因为3x ，从如图2所示的数轴上看：小于3-的数和大于3的数的绝对值是大于3，所以3>x 的解集是3-x 。 解答下列问题： （1）不等式a x <（0>a ）的解集为， 不等式a x >（0>a ）的解集为； （2）解不等式42<-x ； （3）解不等式75>-x 。

考试中数学填空题的四大常用方法

考试中数学填空题的四大常用方法数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是中考数学中的三种常考题型之一。它和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等。 填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学中考命题重 要的组成部分，它约占了整张试卷的三分之一。因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求。 解答填空题的基本策略是准确、迅速、整洁。准确是解答填空题的先决条件，填空题不设中间分，一步失误，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于填空题的答题时间，应该控制在不超过20分钟左右，速度越快越好，要避免超时失分现象的发生；整洁是保住得分的充分条件，只有把正确的答案整洁的书写在答题纸上才能保证阅卷教 师正确的批改，在网上阅卷时整洁显得尤为重要。中考中的

数学填空题一般是容易题或中档题，数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在准、巧、快上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。 方法解析 一、直接法 这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。它是解填空题的最基本、最常用的方法。使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，熟练应用解方程和解不等式的方法，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。 二、特殊化法 当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，而已知条件中含有某些不确定的量，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论。这样可大大地简化推理、论证的过程。 三、数形结合法

行测技巧：直线多次相遇问题的解题技巧

行测技巧：直线多次相遇问题的解题技巧 近几年从试卷分析来看，行测数量关系部分难度逐年提升，对考生的要求也就越来越高。考生需对行测数量关系的各种题型及知识点有更深入的理解和更快速的解题方法。其中行程问题多次在黑龙江省考中出现，尤其是直线型多次相遇更是重中之重。直线多次相遇问题主要分为异地型和同地型两种。今天中公教育专家就带大家来学习下直线异地多次相遇的解题技巧。 一、直线异地多次相遇定义：指甲、乙从直线的两端同时出发相向而行，多次往返的运动。 二、直线异地多次相遇结论： 1)每一次相遇的路程和、时间、甲路程、乙路程等除第一次外均相等，且均为都是第一次相遇所对应量的2倍; 2)从出发到第n次相遇，路程和、时间、甲路程，乙路程等都是第一次相遇所对应量的(2n-1)倍。 下面我们就通过两个例题来，深化理解下上述结论在实践中的应用。 例1.甲、乙两人分别从AB两地同时相向出发，第一次在距离A点6km处相遇，相遇后继续原方向走，在到达对方出发点后立即返回，第二次在距离B点3km处相遇，求AB两点间的距离是多少? A.10km B.15km C.20km 中公教育

D.25km 答案：B 中公解析：此题属于直线异地多次相遇问题。由其结论可知，第二次相遇甲走的距离为第一次相应量的(2n-1)=(2×2-1)=3倍。由题意可知，甲第一次相遇走的路程为6km，因此第二次相遇甲走的路程=3×6=18km。再根据题意“第二次在距离B点3km处相遇”，可求出AB全程为18- 3=15km。 例2.甲、乙两人在长30米的泳池内往返游泳，甲速度为37.5米/分钟，乙速度为52.5米/分钟。两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回。如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇了多少次? A.2 B.3 C.4 D.5 答案：B 中公教育

2020年中考数学 一道竞赛题的多种解法

一道竞赛题的多种解法 数学被公认为是“思维的体操”，原因之一是数学题目本身蕴含或隐藏着各种各样的联系，促使我们去分析，去发现；同时，在一个题目周围，又往往能衍生出一大批与之相关的，相似的内容丰富的问题，引发我们进一步探究和深思。数学解题不在多，而在深。认真研究某一问题，深入钻研进去，就会有异常的收获，因此解题要注意，扩大解题成果。 题：已知a、b、c是三角形ABC的三条边长，△是该三角形的面积. 求证: a2+b2+c2≥43△,指出在什么条件下等号成立？ 解一：分析： 探索求解思路：求证的不等式可以改写为： 先考虑特殊情形：三角形ABC是等边三角形时，即a=b=c时， ∴ △ABC为等边三角形时成立. 又利用“三角形周长一定时，以等边三角形的面积为最大（不妨设为T）”的结论，只需证明“”即可. 证明：∵当三角形的周长a+b+c一定时，以等边三角形的面积为最大，则： ∴ 当且仅当a=b=c时取等号.

证明二：由 得证. 证明三：由三角形面积的海伦公式 16△2=2a2b2+2b2c2+2c2a2-a4-b4-c4 又 a4+b4+c4-(a2b2+b2c2+c2a2) ∴a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2 ∴(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2a2c2 ≥3(2a2b2+2b2c2+2c2a2-a4-b4-c4) =3×16△2=48△2 从而得证. 证明四： (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) 其中当且仅当b+c-a=c+a-b=a+b-c, 即a=b=c时，等号成立. 此题的证法不只限于这几种，大家还可想出更多的新的解题思路。

常见不等式通用解法

常见不等式通用解法总结 一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式 如2260x x --<，2210x x -->，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。 当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。 2260x x --<的解为3 (,2)2 - 当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。 2210x x --> 的解为(,1(1)-∞?+∞ 当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。 ②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元） 如1392x x +->，令3x t =，原不等式就变为2320t t -+<，再算出t 的范围，进而算出x 的范围 又如243 2 x ax >+ ，令2t x =，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结： 如不等式210x ax ++>，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论24a ?=-的正负性即可。 此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ? ??-∞?+∞? 又如不等式223()0x a a x a -++>，发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->，所 以只需要判定2a 和a 的大小即可。 此不等式的解集为22 01,{|}01,(,)(,)01,(,)(,) a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠?? <<-∞?+∞??<>-∞?+∞?

填空题的解法大全

填空题的解法 1.填空题的特征： 填空题是不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”．填空题与选择题也有质的区别：第一，填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活．从历年高考成绩看，填空题得分率一直不是很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫．2．解填空题的基本原则： 解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是“巧做”．解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等． 3．【方法要点展示】 方法一直接法： 直接法就是从题干给出的条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解填空题最常用的策略．这类填空题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法． 例1【湖南省怀化市2019届3月第一次模拟】已知双曲线：的左、右焦点分别为 、，第一象限内的点在双曲线的渐近线上，且，若以为焦点的抛物线： 经过点，则双曲线的离心率为_______． 【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为，焦点为，，可得，① 又，可得，即为，②由，联立①②可得，， 由为焦点的抛物线：经过点，可得，且，即有，即

一道多人相遇问题的多种解法

风雨数学老师谈行程问题 一道多人相遇问题的多种解法 【题目】甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米、100米。甲乙二人在A地，丙在B地与甲乙二人同时相向而行，丙和乙相遇后，又经过2分钟和甲相遇。A、B两地相距多少米？ 【解答】这题经常出现在竞赛中，解法也是非常多的，现在将我的一些方法整理如下： 【解法一】当乙丙相遇时，甲在乙后面2×（100+60）=320米，也就是说乙丙相遇时，乙比甲多行了320米，所以乙丙相遇用了320÷（80-60）=16分钟，由此可以得到两地相距（100+80）×16=2880米。 【解法二】乙丙合行100+80=180米，甲乙就相差80-60=20米，甲乙相差（100+60）×2=320，那么乙丙合行320÷20×180=2880米。 【解法三】甲丙合行100+60=160米，乙丙就比甲丙多行80-60=20米，当甲丙相遇时，乙丙又行了（100+80）×2=360米，所以两地之间的距离是360÷20×160=2880米。 【解法四】乙丙相遇时，乙走了全程的80÷（80+100）=4/9，甲丙相遇时，甲走了全程的60÷（60+100）=3/8，此时乙行了全程的3/8×80/60=1/2，所以乙2分钟行的80×2=160米占全程的1/2-4/9=1/18，因此两地之间的距离是160÷1/18=2880米。 【解法五】乙丙相遇时，乙行了全程的80÷（80+100）=4/9，甲行了全程的4/9×60/80=1/3，当甲丙相遇时，甲行了全程的60÷（60+100）=3/8，所以甲2分钟行的60×2=120米占全程的3/8-1/3=1/24，因此两地之间的距离是120÷1/24=2880米。 【解法六】乙丙相遇时，丙行了全程的100÷（80+100）=5/9，甲丙相遇时，丙行了全程的100÷（100+60）=5/8，从乙丙相遇到甲丙相遇，丙行了2×100=200米，丙行的这200米占全程的5/8-5/9=5/72，所以两地之间的距离是200÷5/72=2880米。

两道经典不等式的多种解法

两道经典代数不等式的多种解法 长沙市明德中学 邓朝发 2019年3月6日 有两道道经典的代数不等式，在很多奥数资料上面都出现过，但是用到的解法过于单一，甚至于太繁琐。笔者在竞赛教学中，集学生的智慧偶得灵感，经过研究发现，此两道不等式有多种解法，而且这些解法的过程相当精妙、相当优雅、相当有韵味。高兴之余，情不自禁，特以此文分享，作初等数学学习、鼓励学生交流之用。 题目：已知12123,,..,0,..1n n x x x x x x x >=，证明： 1 1(1)n i i i x n x =≥-+∑ 方法一： 反证法 解1： 不妨假设 11(1)n i i i x n x =<-+∑ ，进一步211 (1)11n i i i x n n n x n x =->≥--+-+∑； 把1x 用23,,...,n x x x 替换，可得： 1 (1)1,2,3..,)11n i i k k i x n n k n n x n x ≠->≥-=-+-+∑； 取他们乘积： 11(1)1n n k k n n n x =->--+∏ 进一步：12...1n x x x <与条件矛盾！，进而原不等式成立！ 解2：不妨假设 =(1)i i i x y n x -+，进一步：(1)(1,2,..)1i i i n y x i n y -= =- 从而 1(1)11n i i i n y y =-=-∏，不妨假设1111(1)n n i i i i i x y n x == ≥-=∑； 对n 个式子做乘积： 1 (1) n n i k y n =>-∏从而： 1 (1)11n i i i n y y =-<-∏ ，矛盾！进而原不等式成立！ 以上两种都是反证法，只是对结构处理不同，所以这里归结为一类方法。对于多元不等式结构的处理，不同的人处理的角度不一样，因此每一种处理方式都是解题实践经历的，自然是很重要的。

中考数学填空题四大解题技巧

中考数学填空题四大解题技巧【一】直接法 这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。它是解填空题的最基本、最常用的方法。使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，熟练应用解方程和解不等式的方法，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。 【二】特殊化法 【三】数形结合法 "数缺形时少直观，形缺数时难入微。"数学中大量数的问题后面都隐含着形的信息，图形的特征上也表达着数的关系。我们要将抽象、复杂的数量关系，通过形的形象、直观揭示出来，以达到"形帮数"的目的；同时我们又要运用数的规律、数值的计算，来寻找处理形的方法，来达到"数促形"的目的。对于一些含有几何背景的填空题，假设能数中思形，以形助数，那么往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。 【四】等价转化法 其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,〝死记〞之后会〝活用〞。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生〝死记〞名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。 〝教书先生〞恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，〝教书先生〞那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的〝先生〞概念并非源于教书，最初出现的〝先生〞一词也并非有传授知识那般的含义。?孟子?中的〝先生何为出此言也？〞；?论语?中的〝有酒食，先生馔〞；?国策?中的〝先生坐，何至于此？〞等等，均指〝先生〞为父兄或有学问、有德行的长辈。

相遇问题几种特殊解法

相遇问题几种特殊解法（五年级） 解答一般的相遇问题，我们常规的思路是，抓住相遇问题的基本数量关系：（甲速+乙速）×相遇时间=路程来解答。但有一些相遇问题的已知和所求比较特殊，如果仍采用常规的解题思路就难以解决问题，针对各种不同的情况，本文介绍几 种特殊的思维方法。 一、抓住两个数量差并采用对应的思维方法 例1小李从A城到B城，速度是5千米/小时。小兰从B城到A城，速度是4千米/小时。两人同时出发，结果在离A、B两城的中点1千米的地方相遇，求A、B两城间的距离？ 分析与解：这道题的条件与问题如图（1）所示。要求A、B两城的距离，关键是求出相遇时间。因路程是未知的，所以用路程÷（李速+兰速）求相遇时间有一定的困难。抓住题设中隐含的两个数量差，即小李与小兰的速度差：5千米/小时-4千米/小时=1千米/小时；相遇时小李与小兰的路差：1千米×2=2千米。再将其对应起来思维：正因为小李每小时比小 兰多走1千米，所以小李多走2千米所花去的时间2小时不正是小李、小兰相遇的时间吗？因此，求A、B两地距离的综合算式是：（5＋4）×[1 ×2÷（5-4）]=18（千米）。 二、突出不变量并采用整体的思维方法 例2C、D两地间的公路长96千米，小张骑自行车自C往D，小王骑摩托车自D往C，他们同时出发，经过80分两人相遇，小王到C地后马 上折回，在第一次相遇后40分追上小张，小王到D地后马上折回，问再 过多少时间小张与小王再相遇？

分析与解：依题意小张、小王三次相遇情况可画示意图（2）。这道题如果从常规思路入手，运用相遇问题的基本数量关系来求解是非常不易的。但可根据题中小张、小兰三次相遇各自的车速不变和在相距96千米两地其同时相向而行相遇时间不变，进行整体思维。从图（2）可以看到：第三次相遇时，小王走的路程是CD＋CD＋DG，小张走的路程是CG，两人走的总路程是3个CD，所花的时间是80×3=240（分）。可见，从第二次相遇到第三次相遇所经过的时间的综合算式是：80×3-80-40=120（分）。

一道一元一次方程应用题的多种解法

一、行程问题 行程问题地基本关系：路程速度×时间， 速度，时间. ．相遇问题：速度和×相遇时间路程和 例甲、乙二人分别从、两地相向而行，甲地速度是米分钟，乙地速度是米分钟，已知、两地相距米，问甲、乙二人经过多长时间能相遇？ 解：设甲、乙二人分钟后能相遇,则 （）×, . 答：甲、乙二人钟后能相遇. ．追赶问题：速度差×追赶时间追赶距离 例甲、乙二人分别从、两地同向而行，甲地速度是米分钟，乙地速度是米分钟，已知、两地相距米，问几分钟后乙能追上甲？ 解：设分钟后，乙能追上甲，则 （）， . 答：分钟后乙能追上甲. . 航行问题：顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度. 例甲乘小船从地顺流到地用了小时，已知、两地相距千米.水流速度是千米小时，求小船在静水中地速度. 解：设小船在静水中地速度为,则有 （２）×， （千米小时）. 答：小船在静水中地速度是千米小时. 二、工程问题 工程问题地基本关系：①工作量工作效率×工作时间，工作效率，工作时间；②常把工作量看作单位. 例已知甲、乙二人合作一项工程，甲天独立完成，乙天独立完成，甲、乙二人合作天后，甲另有事，乙再单独做几天才能完成？ 解：设甲再单独做天才能完成,有 （）×， . 答：乙再单独做天才能完成. 三、环行问题 环行问题地基本关系：同时同地同向而行，第一次相遇：快者路程－慢者路程环行周长.同时同地背向而行，第一次相遇：甲路程乙路程环形周长. 例王丛和张兰绕环行跑道行走，跑道长米，王丛地速度是米分钟，张兰地速度是米分钟，二人如从同地同时同向而行，经过几分钟二人相遇？ 解：设经过分钟二人相遇，则 （－）, . 答：经过分钟二人相遇. 四、数字问题 数字问题地基本关系：数字和数是不同地，同一个数字在不同数位上，表示地数值不同.

一道高考数学试题的多种解法

一道高考试题的多种解法 2007年普通高等学校招生全国统一考试卷Ⅰ理科数学19题: 四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形, 侧面S B C ⊥底面A B C .已知 45ABC ∠=,2AB =,BC =SA SB ==(Ⅰ)证明SA BC ⊥; (Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成的角的大小. 第一问证法较多,第二问相对作法较少,下面只列 举几种第一问的证法: 证法一:过S 作SO BC ⊥,垂足为O ,连接AO （如图1）. 由侧面S B C ⊥底面A B C D 得SO ⊥底面 A B C D ,AO 、BO 分别是SA 、SB 在底面ABCD 内的射 影. 又SA SB =,∴OA OB = 又45ABC ∠=,∴ABO ?是等腰直角三角形, ∴OA OB ⊥. 由三垂线定理得SA BC ⊥. 证法二:过A 作AO BC ⊥,垂足为O ,连接SO (如图1). 由侧面SBC ⊥底面ABCD 得AO ⊥侧面SBC ,∴SO 是SA 在侧面SBC 内的射影,且,AO SO AO BO ⊥⊥. 在ABO ?中45ABO ∠=,∴OA OB =.又SA SB =,SAO SBO ∴???. 90SOB SOA ∴∠=∠=即OB SO ⊥. 由三垂线定理得SA BC ⊥. 证法三:连接AC ,记BC 的中点为O ,连接 AO 、SO (如图2).在ABC ?中 45ABC ∠=,2AB =,BC =∴ABC ? 是等腰直角三角形, ∴AO BC ⊥.(下同证法二) 证法四:连接AC ,记BC 的中点为O ,连接 AO 、SO (如图2).在ABC ?中45ABO ∠=,2AB =,BC =∴ABC ?是等腰直角三角形, ∴AO BC ⊥. 又侧面SBC ⊥底面ABCD ,∴AO ⊥侧面SBC ,SO 是SA 在侧面SBC 内的射影. 在SAB ?中易得cos SBA ∠=

高中数学 考前归纳总结 常见基本不等式的解法

常见基本不等式的解法 一、简单的一元高次不等式的解法：标根法： 其步骤是： （1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意 奇穿过偶弹回； （3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。 如（1）解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。（答：{}|12x x x ≥=-或）； （2）不等式(0x -的解集是____（答：{}|31x x x ≥=-或）； （3）设函数()()f x x ，g 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{}|12x x ≤<， ()0g x ≥的解集为?，则不等式()()0f x g x ?>的解集为______ （答：()[),12,-∞+∞U ； （4）要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<（解集非空）的每一个x 的值至少满足 不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，则实数a 的取值范围是______. （答：81[7,)8 ） 二、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子 分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式 不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如（1）解不等式25123 x x x -<---（答：()()1,12,3-U ）； （2）关于x 的不等式0ax b ->的解集为()1,+∞，则关于x 的不等式 02ax b x +>-的 解集为____________（答：()(),12,-∞-+∞U ）. 三、绝对值不等式的解法： （1）零点分段讨论法（最后结果应取各段的并集）： 如解不等式312242 x x -++≥（答：x R ∈）； （2）利用绝对值的定义；（3）数形结合； 如解不等式13x x +->（答：()(),12,-∞-+∞U ） （4）两边平方：如若不等式322x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围

一道初中几何题的多种解法

一道初中几何题的多种解法 【题目】已知：过ABC ?的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E . 求证： FB AF ED AE 2=. 【分析】平行线分线段成比例 【提示】系数2既是难点，又是突破点 【解法1】 证：连BE ，则由同高三角形面积关系得 BCF ACF BEF AEF S S S S FB AF ????==，CDE AEC S S ED AE ??= 根据等比性质得： BCE ACE BEF BCF AEF ACF S S S S S S FB AF ??????= --= ∵D 为BC 的中点， ∴D CE BCE S S ??=2 ∴ DE AE FB AF 2=，即FB AF ED AE 2= 【解法2】 证：过D 作CF DM //交AB 于M ， ∵CF DM //， ∴ FM AF ED AE = ∵D 为BC 的中点，CF DM // ∴M 为BF 的中点，即BF MF 2 1 = ， ∴BF AF ED AE 2 1 = ，即FB AF ED AE 2= 【解法3】 证：过D 作AB DN //交CF 于N ， ∵AB DN //， C D B C C

∴ DN AF ED AE = ∵D 为BC 的中点，AB DN // ∴N 为CF 的中点， ∴DN 为BCF ?的中位线，则BF DN 2 1 = ∴ BF AF ED AE 2 1= ，即FB AF ED AE 2= 【解法4】 证：过B 作CF BG //交AD 延长线于G ， ∵CF BG //， ∴ EG AE FB AF = ∵D 为BC 的中点，CF BG // ∴D 为GF 的中点，即DE EG 2= ∴ DE AE FB AF 2=， 即FB AF ED AE 2= 【解法5】 证：过B 作AD BH //交CF 延长线于H ， ∵AD BH //， ∴BH AE FB AF = ∵D 为BC 的中点，AD BH // ∴E 为CH 的中点， ∴DE 为BCH ?的中位线，则DE BH 2= ∴DE AE FB AF 2=，即FB AF ED AE 2= 【解法6】 证：过A 作BC AK //交CF 延长线于K ， ∵BC AK //， G C C

2数学填空题的常用解法

第2讲 高考填空题的常用方法 数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求. 数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。 一、直接法 这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。 例1设,)1(,3)1(j m i b i i m a -+=-+=其中i ，j 为互相垂直的单位向量，又 )()(b a b a -⊥+，则实数m = 。 解：.)2(,)4()2(j m mi b a j m i m b a +-=--++=+∵)()(b a b a -⊥+，∴ 0)()(=-?+b a b a ∴0)4)(2()]4()2([)2(222=-+-?-++-++j m m j i m m m j m m ，而i ，j 为互相垂直的单位向量，故可得,0)4)(2()2(=-+-+m m m m ∴2-=m 。 例2已知函数2 1 )(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则实数a 的取值范围是 。 解：22121)(+-+=++= x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，2 21)(+-=x a x g 在),2(+∞-上为增函数，∴021<-a ，∴2 1 >a 。 例3现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则

圆周率π的计算方法

圆周率π的计算方法 圆周率的计算方法 古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen 用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。 1、 Machin公式 这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。 用马青公式计算Pi至小数点后100位程序 program Pi_Value; {$APPTYPE CONSOLE} //将Pi计算精确小数点后100位 //Machin公式

//Pi=16arctan(1/5)-4arctan(1/239) uses SysUtils; const N=100; S=2*N+50; aNum=5; bNum=239; type Num=array [1..S] of byte; //初始化数组 procedure AZero(var arr:Num); var i:smallint; begin for i:=1 to S do arr:=0; end; //除法 procedure Division(var arr:Num;const b:smallint); var c,y,i:smallint; begin c:=0; for i:=1 to S do begin y:=arr+c*10; c:=y mod b; arr:=y div b; end; end; //加法 procedure Addition(var arr:Num;const b:Num); var i,y,c:smallint; begin c:=0; for i:=S downto 1 do

一道飞行问题的多种解法

一道飞行问题的多种解法 列方程组解风中飞行问题时，首先要了解如下几个概念： 1.飞行速度：风速为零时的速度； 2.顺速：飞机顺着风向飞行的速度； 3.逆速：飞机逆着风向飞行的速度. 其次要掌握下面几个关系式： 顺速＝飞行速度＋风速； 逆速＝飞行速度－风速； 飞行速度＝(顺速＋逆速)÷2； 风速＝(顺速－逆速)÷2. 接下来，我们就以九年义务教材初中《代数》第一册(下)第47页第7题为例，通过一题多解，谈谈如何设未知数列一次方程组解应用题. 题目 A市至B市航线长1200km，一架飞机从A市顺风飞往B市需2小时30分，从B 市逆风飞往A市需3小时20分.求飞机的速度与风速. 分析本题中明显的未知数有两个，即：飞机的速度与风速.除此之外，还有两个隐藏的未知数，即：顺风速度与逆风速度.所以我们可以通过设直接未知数和间接未知数，列出六个二元一次方程组，四个三元一次方程组和一个四元一次方程组求解. 1.列二元一次方程组 解1 设飞机速度为 x km/时，风速为ykm/时，根据路程＝速度×时间列出方程组： 答：飞机的速度为 420 km/时，风速为 60km/时. 解2 设飞机速度为x km/时，顺风速度为 y km/时，根据路程＝速度×时间及上述关系式，列出方程组

∴ 风速＝480－420＝60. 答：飞机的速度为 420 km/时，风速为 60km/时. 解3 设飞机速度为 x km/时，逆风速度为 y km/时，根据路程＝速度×时间及上述关系式列出方程组 ∴ 风速＝420－360＝60. 答：飞机的速度为 420 km/时，风速为 60km/时. 解4 设风速为x km/时，顺风速度为 ykm/时，根据路程＝速度×时间及上述关系式列出方程组 ∴ 飞机速度＝480－60＝420. 答：飞机的速度为 420 km/时，风速为 60km/时. 解5 设风速为 x km/时，逆风速度为ykm/时，根据路程＝速度×时间及上述关系式列出方程组

基本不等式求最值的类型与方法,经典大全

专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=， 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤、图象及性质知，当(0,1]x ∈时，函数 4 ()f x x x =+是减函数。证明：任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则