高二数学导数在研究函数中的应用3

第13讲 函数与导数之导数及其应用(学生版)

第13讲 函数与导数之导数及其应用 一． 基础知识回顾 1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商 ＝Δy Δx 称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率 通 常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即 ． (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0)) 的 ．导函数y ＝f ′(x )的值域即为 ． 3．函数f (x )的导函数：如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开 区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作 ． 4．基本初等函数的导数公式表（右表） 5．导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝ ； (2)[f (x )g (x )]′＝ ； (3)????f (x )g (x )′= [g (x )≠0]． 5．导数和函数单调性的关系：(1)若f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是 函数，f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间；(2)若f ′(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ， b )上是 函数，f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间(3)若在(a ，b )上， f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为 函数，若在 (a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为 函 数． 6．函数的极值：(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果 在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧 ， 右侧 ，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x )；②求方程 的根；③检查f ′(x )在方程 的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处 取得 ；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得 ． 7．函数的最值：(1)函数f (x )在[a ，b ]上必有最值的条件如果函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ] 上 ，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步 骤：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的 ；②将函数y ＝f (x )的各极值与 比较，其中最大 的一个是最大值，最小的一个是最小值． 二．典例精析 探究点一：导数的运算 例1：求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )? ???1＋1x ； (2)y ＝ln x x ；(3)y ＝x e x ； (4)y ＝tan x .

导数在研究函数中的应用(含标准答案)

导数在研究函数中的应用 【自主归纳，自我查验】 一、自主归纳 1．利用导函数判断函数单调性问题 函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若____ ___，则f(x)在这个区间上是增加的． (2)若____ ___，则f(x)在这个区间上是减少的． (3)若_____ __，则f(x)在这个区间内是常数．2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f′(x)． (2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0. (3)根据结果确定f(x)的单调区间． 3．函数的极大值 在包含 x的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值 都_____ x点的函数值，称点0x为函数y＝f(x)的极大值点，其函数 值f( x)为函数的极大值． 4．函数的极小值 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都_____ x点的函数值，称点0x x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数 值f( x)为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值 点与极小值点统称为极值点． 5．函数的最值与导数 1．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值点 x指的是：函数在这个区间上

所有点的函数值都_________f( x)． 2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值点 x指的是：函数在这个区间上 所有点的函数值都_________f( x)． 二、自我查验 1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为() A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R 2．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________． 3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x) 在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a， b)内有极小值点() A．1个B．2个 C．3个D．4个 4．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于() A．2 B．3 C．4 D．5 5.函数ln x =的最大值为（） y x A．1e-B．e C．2e D．10 3 【典型例题】 考点一利用导数研究函数的单调性 【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．

高二数学导数大题练习(详细答案)

1．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所 示． (I)求d c ,的值； （II)若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ,求函数)(x f 的解析式； (ＩＩＩ）在（I Ｉ）的条件下,函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2.已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=. (I ）求函数)(x f 的单调区间; (ＩI)函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，３)上不是单调函数,求m 的取值范围． ３．已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点,且在1=x 处取得极大值． (I)求实数a 的取值范围； (ＩI ）若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式; （ＩII ）对于（II)中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、,求证:81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．已知常数0>a ,e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(,x a x x g ln )(2-=. （I)写出)(x f 的单调递增区间,并证明a e a >; （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数．

5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． (Ｉ)当1k =时,求函数()f x 的最大值； (II ）若函数()f x 没有零点,求实数k 的取值范围; 6．已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． (I ）求实数a 的值； （ＩI ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f (I)当a ＝18时,求函数)(x f 的单调区间； (II)求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值. 8.已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围； (II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2 2 ()()6g x f x x '=+- ，试证明:对任意两个不相等正 数12x x 、,不等式121238|()()|||27 g x g x x x ->-恒成立．

高二数学导数知识要点总结

高二数学《导数》知识要点总结 导数：导数的意义-导数公式-导数应用 1、导数的定义：在点处的导数记作. 2.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率 ①k=f/表示过曲线y=f上P)切线斜率。V=s/表示即时速度。a=v/表示加速度。 3.常见函数的导数公式:①;②;③; ⑤;⑥;⑦;⑧。 4.导数的四则运算法则： 5.导数的应用： 利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数; 注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。 求极值的步骤： ①求导数;

②求方程的根; ③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值; 求可导函数最大值与最小值的步骤： ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。 导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧! 导数是微积分中的重要基础概念。当函数y=f 的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'或df/dx。 导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线

斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。 不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。 对于可导的函数f，x↦f'也是一个函数，称作f的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。 设函数y=f在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f-f;如果Δy与Δx之比当Δx →0时极限存在，则称函数y=f在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f在点x0处的导数记为f'，也记作y'│x=x0或dy/dx│x=x0

导数在研究函数中的应用练习题

导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减. 2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程________的根； ③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得__________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得__________. 3.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函 数f(x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值. (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的________； ②将f(x)的各极值与____________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 要点梳理 1.>< 2.(1)①f′(x)>0f′(x)<0②f′(x)<0f′(x)>0(2)②f′(x)＝0③f′(x)＝0极大值极小值 3.(2)f(a)f(b)f(a)f(b) (3)①极值②f(a)，f(b) 1. f(x)＝3x－x3的单调减区间为_____________________________________________. 2.函数f(x)＝e x－x在区间(－∞，0)内是单调__________(填“增函数”或“减函数”). 3.函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________. 4.如图是y＝f(x)导数的图象，对于下列四个判断： ①f(x)在[－2，－1]上是增函数； ②x＝－1是f(x)的极小值点； ③f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x＝3是f(x)的极小值点. 其中正确的判断是________.(填序号)

高中数学导数典型例题精讲

高中数学导数典型例题 精讲 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

导数经典例题精讲 导数知识点 导数是一种特殊的极限 几个常用极限：（1）1 lim 0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）0 0lim x x x x →=，00 11lim x x x x →=. 两个重要的极限 ：（1）0sin lim 1x x x →=；（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? (e=…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=，则 (1)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????；(2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;(3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则：若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞ ?=?(3)()lim 0n n n a a b b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?( c 是常数) )(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -=' (4) x x 1)(ln ='；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v ±=±.（2）' ' ' ()uv u v uv =+.（3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=. 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.

高中数学导数与积分知识点

高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

人教版数学高二选修2-2作业1.3导数在研究函数中的应用课时作业4

课时作业 函数的最大(小)值与导数 A 组 基础巩固 1．函数y ＝f (x )＝ln x x 的最大值为( ) A ．e －1 B ．e C ．e 2 D ．10 解析：令y ′＝ln x ′x －ln x x 2＝1－ln x x 2＝0?x ＝e. 当x ＞e 时，y ′＜0；当0＜x ＜e 时，y ′＞0， 所以y 极大值＝f (e)＝e －1 ， 在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －1. 答案：A 2．函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1,3])的值域为( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞) B.???? ??32，＋∞ C.? ????32，134 D.???? ??32，134 解析：f ′(x )＝－1x ＋12＋1＝x 2＋2x x ＋12 ， 所以在[1,3]上f ′(x )＞0恒成立，即f (x )在[1,3]上单调递增． 所以f (x )的最大值是f (3)＝ 134，最小值是f (1)＝32 .故选D. 答案：D 3．若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为 ( ) A ．－5 B ．7 C ．10 D ．－19 解析：f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x －3)·(x ＋1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝3或－1. ∵x ∈[－2，－1]时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在[－2，－1]上递减． ∴f (－2)＝2，即a ＋2＝2，a ＝0，它的最小值为f (－1)＝－5. 答案：A 4．f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上( ) A ．是增函数 B ．是减函数 C ．有最大值 D ．有最小值

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？

高二数学导数测试题(经典版)

1 / 4 一、选择题（每小题5分，共70分．每小题只有一项是符合要求的） 1．设函数()y f x =可导，则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于（ ）． A ．'(1)f B ．3'(1)f C ．1 '(1)3 f D ．以上都不对 ２．已知物体的运动方程是4321 4164 S t t t =-+（t 表示时间，S 表示位移），则瞬时速度 为0的时刻是（ ）． A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒 C ．2秒、8秒或16秒 D ．0秒、4秒或8秒 ３．若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）． A B ． C ．23 D ．23 或0 ４．若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）． A ．[0,]π B ．2[0,)[,)23 ππ π C ．2[,)3ππ D ．2[0,)(,)223 πππ ５．设'()f x 是函数()f x 的导数，'()y f x =的图像如图 所示，则()y f x =的图像最有可能的是（ 3 x )． C ．(3,)-+∞ D ．(,3)-∞- ７．已知函数32 ()f x x px qx =--的图像与x 轴切于点(1,0)，则()f x 的极大值、极小 值分别为（ ）． A ．427 ，0 B ．0，427 C ．427- ，0 D ．0，4 27 - 8．由直线21=x ，2=x ，曲线x y 1 =及x 轴所围图形的面积是（ ）． A. 415 B.417 C.2ln 21 D.2ln 2 9．函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则（ ）．

函数导数及其应用

函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示 考纲要求：1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用． [基础真题体验] 考查角度[求函数的定义域] 1．(2014·山东高考)函数f (x )＝1 log 2x －1的定义域为( ) A ．(0,2) B ．(0,2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞) 【解析】 要使函数有意义，则?? ? x >0， log 2x －1>0， 解得x >2. 【答案】 C 2．(2012·广东高考)函数y ＝x ＋1 x 的定义域为______． 【解析】 要使函数有意义，需????? x ＋1≥0，x ≠0.解得????? x ≥－1， x ≠0. ∴原函数的定义域为{x |x ≥－1且x ≠0}． 【答案】 {x |x ≥－1且x ≠0} 考查角度[函数的表示方法] 3．(2013·安徽高考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________. 【解析】 设－1≤x ≤0，则0≤x ＋1≤1，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－x (x ＋1)．又因为f (x

＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝f (x ＋1)2＝－x (x ＋1) 2. 【答案】 －x (x ＋1) 2 考查角度[分段函数] 4．(2013·福建高考)已知函数f (x )＝??? 2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2 ，则f ? ???? f ? ????π4＝________. 【解析】 ∵π4∈??????0，π2，∴f ? ?? ??π4＝－tan π 4＝－1， ∴f ? ?? ?? f ? ????π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 【答案】 －2 [命题规律预测]

《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿

《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 （一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 （二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 （三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，培养学生的探究精神，提高语言表达和概括能力，

高中数学一轮复习 第1讲 导数的概念及其运算

第1讲 导数的概念及其运算 1.已知函数3 2 ()32f x ax x =++,若f′(-1)=4,则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.133 D.103 【答案】 D 【解析】 f′2 ()36x ax x f =+,′(-1)=3a 10643 a -=,=. 2.设y=-2e x sinx,则y′等于( ) A.-2e x cosx B.-2e x sinx C.2e x sinx D.-2e (x sinx+cosx) 【答案】 D 【解析】 ∵y=-2e x sinx, ∴y′=(-2e )x ′sinx+(-2e )(x sinx)′ =-2e x sinx-2e x cosx =-2e (x sinx+cosx). 3.已知3 270()x m f x mx m <,=+,且f′(1)18≥-,则实数m 等于( ) A.-9 B.-3 C.3 D.9 【答案】 B 【解析】 由于f′2 27()3x mx m =+,故f′27(1)183m m ≥-?+≥ -18 , 由m<0得2 27318318270m m m m +≥-?++≤?2 3(3)m +0≤,故m=-3. 4.设曲线11 x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a 等于( ) A.2 B.12 C.12 - D.-2 【答案】 D 【解析】 因为y′22(1) x -= ,-所以切线斜率k=y′|3 x ==1 2-,而此切线与直线ax+y+1=0垂直, 故有()1k a ?-=-,因此12a k ==-. 5.已知12()f x =sin2x+sinx,则f′(x)是( ) A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数 【答案】 B 【解析】 f′12()x =cos 22x ?+cosx=cos2x+cosx =2cos 21x -+cosx=2(cos 29148)x +-. 故f′(x)是既有最大值2,又有最小值98-的偶函数,选B 项.

高二数学导数知识点总结

高二数学《导数》知识点总结 一、早期导数概念----特殊的形式大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分f-f,发现的因子E就是我们所说的导数f'。 二、17世纪----广泛使用的“流数术”17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展在前人创造性研究的基础上大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”他称变量为流量称变量的变化率为流数相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》流数理论的实质概括为他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程在于自变量的变化与函数的变化的比的构成最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。 三、19世纪导数----逐渐成熟的理论1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第五版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点可以用现代符号简单表示{dy/dx)=lim。1823年

柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数如果函数y=f在变量x的两个给定的界限之间保持连续并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言对微积分中出现的各种类型的极限重加表达导数的定义也就获得了今天常见的形式。 四、实无限将异军突起微积分第二轮初等化或成为可能微积分学理论基础大体可以分为两个部分。一个是实无限理论即无限是一个具体的东西一种真实的存在另一种是潜无限指一种意识形态上的过程比如无限接近。就历史来看两种理论都有一定的道理。其中实无限用了150年后来极限论就是现在所使用的。光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论都不是最好的手段。 一、早期导数概念----特殊的形式大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分f-f,发现

导数及其应用教材分析

第三章导数教材分析 一、内容安排 本章大体上分为导数的初步知识、导数的应用、微积分建立的时代背景和历史意义部分. 导数的初步知识.关键是导数概念的建立.这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景，引出导数的概念，给出按定义求导数的方法，说明导数的几何意义.然后讲述初等函数的求导方法，先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则，再进一步给出指数函数和对数函数的导数. 这部分的末尾安排了两篇阅读材料，一篇是结合导数概念的“变化率举例”，另一篇是介绍导数应用的“近似计算”. 导数的应用，这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法.然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法*最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法. 微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分.一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用.另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的. 本章共9小节，教学课时约需18节（仅供参考） 3. 1导数的概念 ............. 约3课时 3. 2几种常见函数的导数........... 约1课时 3. 3函数的和、差、积、商的导数...... 约2课时 3. 4复合函数的导数............. 约2课时 3. 5对数函数与指数函数的导数....... 约2课时 3. 6函数的单调性............. 约1课时 3. 7函数的极值 ............. 约2课时 3. 8函数的最大值与最小值......... 约2课时 3. 9微积分建立的时代背景和历史意义....约1课时 小结与复习.............. 约2课时 二、教学目标 1?了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式：

高考数学第二章 函数与导数第12课时 导数在研究函数中的应用

第二章 函数与导数第12课时 导数在研究函数中的应用 第三章 (对应学生用书(文)、(理)30～32页 ) , 1. (选修22P 28例1改编)函数f(x)＝x 3 －15x 2 －33x ＋6的单调减区间为______________． 答案：(－1，11) 解析：f′(x)＝3x 2 －30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，由(x －11)(x ＋1)<0，得单调减区间为(－1，11)．亦可填写闭区间或半开半闭区间． 2. (选修22P 34习题3改编)若函数f(x)＝e x －ax 在x ＝1处取到极值，则a ＝________． 答案：e 解析：由题意，f ′(1)＝0，因为f′(x)＝e x －a ，所以a ＝e. 3. (选修22P 34习题8)函数y ＝x ＋sinx ，x ∈[0，2π]的值域为________． 答案：[0，2π] 解析：由y′＝1＋cosx ≥0，所以函数y ＝x ＋sinx 在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π]． 4. (原创)已知函数f(x)＝－12x 2 ＋blnx 在区间[2，＋∞)上是减函数，则b 的取值范 围是________． 答案：(－∞，4] 解析：f′(x)＝－x ＋b x ≤0在[2，＋∞)上恒成立，即b≤x 2 在[2，＋∞)上恒成立． 5. (选修22P 35例1改编)用长为90cm 、宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm 时，容器的容积最大． 答案：10 解析：设容器的高为xcm ，即小正方形的边长为xcm ，该容器的容积为V ，则V ＝(90－ 2x)(48－2x)x ＝4(x 3－69x 2＋1080x)，00；当10

高中数学导数典型例题精讲(详细版)

导数经典例题精讲 导数知识点 导数是一种特殊的极限 几个常用极限:(１）1 lim 0n n →∞=,lim 0n n a →∞=（||1a <);(2)00lim x x x x →=，0011lim x x x x →= . 两个重要的极限 ：（1)0sin lim 1x x x →=;（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? （ｅ=2.7182818４５…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=,则 (１)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????;（2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;（3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则:若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==,则(１)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞?=?（3)()lim 0n n n a a b b b →∞ =≠(４)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?（ c 是常数) )(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数).(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='．x x sin )(cos -=' (4） x x 1 )(ln = '；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='． 导数的运算法则 (1）' ' ' ()u v u v ±=±．（2)' ' ' ()uv u v uv =+.（3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点Ｕ处有导数 ''()u y f u =,则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且''' x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1． ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力．

高二数学导数测试题(经典版)

一、选择题（每小题5分，共70分．每小题只有一项是符合要求的） 1．设函数()y f x =可导，则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于（ ）． A ．'(1)f B ．3'(1)f C ．1 '(1)3 f D ．以上都不对 ２．已知物体的运动方程是4321 4164 S t t t =-+（t 表示时间，S 表示位移），则瞬时速度 为0的时刻是（ ）． A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒 C ．2秒、8秒或16秒 D ．0秒、4秒或8秒 ３．若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）． A B ． C ．23 D ．23或0 ４．若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）． A ．[0,]π B ．2[0,)[,)23 ππ π C ．2[,)3ππ D ．2[0,)(,)223πππ ５．设'()f x 是函数()f x 的导数，'()y f x =的图像如图 所示，则()y f x =的图像最有可能的是（ ）． ６．函数3 ( )2f x x ax =+-在区间[1,) +∞内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．[3,)+∞ B ．[3,)-+∞ C ．(3,)-+∞ D ．(,3)-∞- ７．已知函数3 2 ()f x x px qx =--的图像与x 轴切于点(1,0)，则()f x 的极大值、极小值分别为（ ）． '()f x

A ． 427 ，0 B ．0，427 C ．427- ，0 D ．0，4 27 - 8．由直线21=x ，2=x ，曲线x y 1 =及x 轴所围图形的面积是（ ）． A. 415 B. 4 17 C. 2ln 21 D. 2ln 2 9．函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则（ ）． A ．01b << B ．1b < C ．0b > D ．12 b < 10．21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a 的值为（ ）． A ．18 B ．14 C ．1 2 D ．1 11. 已知函数()x x x f cos sin +=，则=)4 ('π f （ ） A. 2 B.0 C. 22 D. 2- 12．函数3 ()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值是（ ） A. 32 B. 16 C. 24 D. 17 13．已知 （m 为常数）在 上有最大值3，那么此函数在 上的最小值为 （ ） A ． B ． C ． D ． 14.dx e e x x ? -+1 0)(= （ ） A ．e e 1 + B ．2e C ． e 2 D ．e e 1- 二、填空题（每小题5分,共30分） 15．由定积分的几何意义可知? --2 22 4x =_________． 16．函数 )0(ln )(>=x x x x f 的单调递增区间是 ． 17．已知函数()ln f x ax x =-，若()1f x >在区间(1,)+∞内恒成立，则实数a 的范围为______________． 18．设 是偶函数，若曲线 在点 处的切线的斜率为1，则该曲线在 处的切线的斜率为_________．