二维形式的柯西不等式
课时提升作业
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.(2016·泰安高二检测)若3x2+2y2≤1,则3x+2y的取值范围是( )
A.[0,]
B.[-,0]
C.[-,]
D.[-5,5]
【解析】选 C.|3x+2y|
≤
·
≤,从而
-≤3x+2y
≤
.
2.设a,b∈R,a2+b2=3,则3a-b的最大值为( )
A.30
B.-30
C.
D.-
【解析】选C.3a-b=3a+(-1)·b ≤·==,当且仅当3b=-a,即a=,b=-时等号成立.
3.(2016·长春高二检测)已知a,b,c,d,m,n都是正实数,P=+,
Q=·,则P与Q的大小关系为( )
A.P≤Q
B.P C.P≥Q D.P=Q 【解析】选A. Q2=(am+cn) ≥=(+)2 =P2, 因为a,b,c,d,m,n都是正实数,所以P≤Q. 二、填空题(每小题6分,共12分) - 1 - 4.设x,y∈R+,则(x+y)·的最小值是________. 【解析】(x+y)≥ =(+)2=5+2, 当且仅当 ·=·时,等号成立. 答案:5+2 5.已知x>0,y>0,且+=1,则2x+y的最小值为________. 【解析】2x+y=(2x+y) =[()2+()2] ≥ =3+2, 当且仅当·=·时,等号成立, 又+=1,则此时 答案:3+2 【一题多解】2x+y=(2x+y) =++3≥2+3 =2+3. 当且仅当=,即2x2=y2时取等号. 又+=1, - 2 - 则此时 答案:2+3 【拓展延伸】利用柯西不等式的关键 利用柯西不等式时关键问题是找出相应的两组数,当这两组数不太容易找时,需分析、增补(特别对数字1的增补:a=1·a)、变形等. 三、解答题(每小题10分,共30分) 6.(2016·天津高二检测)已知m>0,n>0,m+n=p, 求证:+≥,指出等号成立的条件. 【解析】根据柯西不等式,得(m+n)≥=4, 于是+≥=, 当m=n=时等号成立. 7.求函数f(x)=-的最大值. 【解题指南】由二维形式的三角不等式稍作变化, 即得-≤ . 【解析】由于f(x)=- =- =-≤=. 8.已知函数f(x)=|x-4|. (1)若f(x)≤2,求x的取值范围. (2)在(1)的条件下,求g(x)=2+的最大值. 【解析】(1)由已知得,|x-4|≤2,即-2≤x-4≤2, 即2≤x≤6,即x的取值范围为[2,6]. - 3 - (2)由2≤x≤6可得g(x)=2+, 由柯西不等式, 得g(x)≤=2. 当且仅当 =,即x=时,g(x)的最大值为2 . 一、选择题(每小题5分,共10分) 1.已知a,b,x1,x2为互不相等的正数,若y1=,y2=,则y1y2与x1x2的关系为( ) A.y1y2 B.y1y2=x1x2 C.y1y2>x1x2 D.不能确定 【解析】选C.因为a,b,x1,x2为互不相等的正数, 所以y1y2=· = = >==x1x2. 【补偿训练】已知a,b∈R,且P=,Q=,则P,Q的大小关系是( ) A.P≥Q B.P>Q C.P≤Q D.P 【解析】选C.因为(a2+b2) ≥, 当且仅当a ·=b ·,即a=b时“=”成立. 所以≥+,即Q≥P. - 4 - 2.函数y=+的最小值是( ) A.20 B.25 C.27 D.18 【解题指南】由函数式的特征,两项分母x及1-2x的关系可表示为2·x+1-2x=1,这为创造条件利用柯西不等式提供了可能. 【解析】选B.y=+=+ =[2x+(1-2x)] ≥=25, 当且仅当x=时等号成立. 二、填空题(每小题5分,共10分) 3.(2016·广州高二检测)已知函数f(x)=3+4,则函数f(x)的最大值为________. 【解析】由柯西不等式知(3+4)2≤(32+42)·[()2 +()2]=25.当且仅当3=4时,等号成立,因此f(x)≤5. 答案:5 4.已知a,b∈R+,且a+b=1,则+的最小值是________. 【解析】因为a,b∈R+且a+b=1, 所以+=(a+b),由柯西不等式得 (a+b)≥ ==+.当且仅当时等号成立,此时a=-1,b=2-. 答案: + 【一题多解】+=(a+b) =++≥2+ - 5 - =+, 当且仅当a=-1,b=2-时等号成立. 答案:+ 三、解答题(每小题10分,共20分) 5.(2016·天津高二检测)设x>0,y>0,且x+y=2,求+的最小值. 【解题指南】利用柯西不等式求最小值,需要出现(a2+b2)(c2+d2)的结构,我们把+看作一部分,利用x+y=2构造出一部分(2-x+2-y). 【解析】因为x+y=2,根据柯西不等式,有 [(2-x)+(2-y)]= [()2+()2][()2+()2] ≥=(x+y)2=4, 所以+≥ ===2. 当且仅当·=·, 即x=y=1时,等号成立. 所以当x=y=1时,+有最小值2. 6.求证:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=. 【证明】设Q(x,y)是直线上任意一点,则Ax+By+C=0. 因为|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B2≠0.由柯西不等式,得 (A2+B2)[(x-x0)2+(y-y0)2] ≥[A(x-x0)+B(y-y0)]2 =[(Ax+By)-(Ax0+By0)]2 =(Ax0+By0+C)2, 所以|PQ|≥. - 6 - 当且仅当=时,取等号,|PQ|取得最小值. 因此,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=. - 7 - 8