(学生版)第2章 函数

）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面

β+∞

(,)

．一元二次方程根的分布问题

研究一元二次方程的根的分布，一般情况下需要从以下三个方面考虑：）一元二次方程根的判别式；

三角函数的图像及性质(学生版)

三角函数的图像及性质 【知识要点】 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 】 π,

2.求周期：()sin y A x k ωα=++，2T π ω = 【课前小练】 1. 函数tan 4y x π?? =- ??? 的定义域是____________ 2. 函数()sin 10y A x A =+>的最大值是3，则它的最小值是____________ 3. 函数2cos y x =在区间[],0π-上是________函数，在区间[]0,π上是_________函数。 4. 下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ） A. cos 2y x = B. sin 2y x = C. tan 2y x = D. sin 22y x π? ? =- ?? ? | 【例题解析】 考点一 三角函数的定义域与值域 例1：函数()2sin 2-= x x f 的定义域（以下Z k ∈）是（ ） A.????? ?++22,42ππππk k B. ??????++-22,42ππππk k C.?? ? ?? ?+ + 432,4 2πππ πk k D. R 例2：求下列函数的值域： 1）2sin 3y x =- 2）()sin ,,;36f x x x ππ??=∈- -??? ? [

3）()()2sin 2,,;63f x x x ππ??=∈? ??? 4）sin 2sin x y x = + ) 变式1： 求下列函数的定义域 1）函数x x y tan 1)1sin 2lg(-++=的定义域为____________ 2）函数()lg sin y x =+____________ 3）函数 ()sin tan f x x x =++ 的定义域为____________ 变式2：求下列函数的值域 1）()3sin ,,;44f x x x ππ?? =∈- ????

2021新高考一轮复习专题2.1 函数概念及三要素(解析版)

第一讲 函数的概念及三要素 1．函数与映射 函数 映射 两个集合A ，B 设A ，B 是两个非空数集 设A ，B 是两个非空集合 对应法则f ：A →B 如果按某种对应法则f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应 如果按某种对应法则f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素 y 与之对应 名称 称y ＝f (x )，x ∈A 为从集合A 到集合B 的一个函数 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射 记法 函数y ＝f (x )，x ∈A 映射：f ：A →B 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域；对于 A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应．我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域． (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 考向一 函数、映射的判断 【例1】（1）若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( ) 【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始 【套路秘籍】---千里之行始于足下

2020北京各区一模数学试题分类汇编--三角函数(学生版)

2020北京各区一模数学试题分类汇编—三角函数 （2020海淀一模）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3,2 π则点M '到直线BA '的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 12 （2020西城一模）函数()24f x sin x π? ?=+ ???的最小正周期为________;若函数()f x 在区间()0α，上单调递增，则α的最大值为________. （2020西城一模）已知函数()sinx 12sinx f x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ） ①绕着x 轴上一点旋转180?; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称; ④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.

A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④ （2020东城一模）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋 转6π后经过点(-，则sin α=______________. （2020丰台一模）将函数()sin f x x ω=（0>ω）的图象向左平移 2 π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =，下列说法错误．．的是（ ） A. ()g x 为偶函数 B. 02g π-=?? ??? C. 当5ω=时，()g x 在0, 2π??????上有3个零点 D. 若()g x 在0,5π?????? 上单调递减，则ω的最大值为9 （2020朝阳区一模）已知函数()=)(>0)f x ωx φω的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6π=?”是“()f x 的图象关于直线3x π= 对称”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

三角函数知识点总结及高考题库(学生版)

三角函数 知识要点: 定义1角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2角度制，把一周角360等分，每一等分为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为l，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。定义3三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的非负半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数s inα=,余弦函数co sα=,正切函数tanα=, 2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为= 第二象限角的集合为= 第三象限角的集合为=_________________ 任意角 的概念 弧长与扇形 面积公式 角度制与 弧度制 同角三函数 的基本关系 任意角的 三角函数 诱导公式 三角函数的 图象和性质 计算与化简 证明恒等式 已知三角函 数值求角 和角公式倍角公式 差角公式 应用 应用 应用 应用 应用 应用 应用 三角函数知识框架图

P x y A O M T 第四象限角的集合为=___________ 终边在轴上的角的集合为=____________________ 终边在轴上的角的集合为=_________________ 终边在坐标轴上的角的集合为=__________________ 3 、 与 角 终 边 相 同 的 角 的 集 合 为 =__________________ 4、已知 是第几象限角，确定 所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半 轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为 终边所落 在的区域． 5、弧度制与角度制的换算公式：， ， ． 6、若扇形的圆心角为 ，半径为，弧长为，周长为 ，面积为，则 ， ， ． 7、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．(口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦) 8、三角函数线： ， ， ．若 ，则s inx

天津市高三数学总复习 综合专题 三角函数 理 (学生版)

三角函数（理） 考查内容：本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角的函数值、 诱导公式、函数sin()y A x ω?=+图象及其性质、两角和与差公式、 倍角公式、正余弦定理等基础知识，考查基本运算能力。 1、已知函数()??? ??+=42tan πx x f 。 （1）求()x f 的定义域与最小正周期； （2）设0,4πα? ? ∈ ???，若αα2cos 22=??? ??f ，求α的大小。 2、已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈。 （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π?? ????上的最大值和最小值； （2）若006 (),,542f x x ππ?? =∈????，求0cos 2x 的值。 3、在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===。 （1）求AB 的值； （2）求πsin 24A ?? - ???的值。

4、已知函数2()2cos 2sin cos 1(0)f x x x x x ωωωω=++∈R >，)0,(>∈ωR x 的最小正周期是2π 。 （1）求ω的值； （2）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合。 5、已知cos 410x π?? -= ???，324x ππ?? ∈ ???，。 （1）求sin x 的值； （2）求sin 23x π?? + ???的值。 6、在ABC ?中，已知2AC =，3BC =，4 cos 5A =-。 （1）求sin B 的值； （2）求sin 26B π?? + ???的值。 7、已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，，R x ∈。

任意角的三角函数及诱导公式(学生版)

任意角的三角函数及诱导公式 【知识梳理】 1．任意角 (1)角的分类： ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成)(3600 Z k k ∈?+α． (3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，r l =||α,l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径． ③用“弧度”做单位来度量角叫做弧度制．比值 r l 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． ④弧度与角度的换算：π23600=弧度；π=0180弧度． % ⑤弧长公式：r l ||α=，扇形面积公式：2||2 1 21r lr S α==扇形. 2．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义： 设(),P x y 为角α终边上异于原点一点，则角α的正弦、余弦、正切分别是： sin α= cos α= tan y x α= 特别地，当2 2 1x y +=时，sin ,cos y x αα==，()cos ,sin P αα (2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos ,sin αα，即 ()cos ,sin P αα，其中OM =αcos ，MP =αsin ，单位圆与x 轴的正半轴交于点)0,1(A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则AT =αtan .我们把有向AT MP 、叫做α的余弦线、正弦线、正切线. ： (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ) 有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线 (1)平方关系：()2 22222sin cos 1 sin 1cos ,cos 1sin αααααα+==-=-．

函数学生版

函数 1、回顾初中有关函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定了一个x 值，相应地就确定唯一的一个y 值，那么我们称y 是x 的 函数. （1）变量：因变量，自变量 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 （2）一次函数：①若两个变量y ,x 间的关系式可以表示成y kx b =+（b 为常数，k 不等于0）的形式，则称y 是x 的一次函数。②当b =0时，称y 是x 的正比例函数。 （3）一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数y =k x 的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当k <0， b 0时，则经1、2、4象限；当k >0， b <0时，则经1、3、4象限；当k >0， b >0时，则经1、2、3象限。 ④当k >0时，y 的值随x 值的增大而增大，当k <0时，y 的值随x 值的增大而减少。 （4）二次函数： ①一般式：22 24()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0a ≠)，对称轴是,2b x a =- 顶点是 2 4,)24b ac b a a -（－； ②顶点式：2 ()y a x m k =++(0a ≠)，对称轴是,x m =-顶点是(),m k -； ③交点式：12()()y a x x x x =--(0a ≠)，其中（1,0x ），（2,0x ）是抛物线与x 轴的交点

完整word版,三角函数教学设计

4.1、任意角的正弦函数、余弦函数的定义 一、教学内容分析 直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质。三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身. 二、学生学习情况分析 在初中学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。 三、设计思想 教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 四、教学目标 1．掌握任意角的正弦、余弦的定义（包括这二种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）； 2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；掌握并能初步运用公式一；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 3、通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.借助有向线段进一步认识三角函数. 4、通过任意三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。 5、通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。

2函数三要素-讲义版

函数的三要素 【知识点】 一、函数的定义域 （1）研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提，要树立定义域优先的原则． （2）函数的定义域常由其实际背景决定，若只给解析式时,定义域就是使此式子有意义的实数x 的集合（区间表示）． 常见定义域的求法： 常见定义域求法：对于()x f y =而言： ①整式：实数集R ； ②分式：使分母不等于0的实数的集合； [1 (0)x x ≠] ③0指数幂：底数不等于零； [0 (0)x x ≠] ④偶次根式：使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； [2(0)n x x ≥] ⑤对数：真数大于零； [log (0)a x x >] ⑥由几个部分的式子构成：使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)； 实际问题：使实际问题有意义的实数的集合． 二、函数的值域 对于)(x f y =，x A ∈，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数)(x f y =的值域． 三、解析式 （1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解； （2）当已知表达式为()[]x g f 时，可考虑配凑法或换元法．若易将含x 的式子配成()x g ，用配凑法；若易换元后求出x ，用换元法； （3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法； （4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求． 课程类型： 1对1课程 ? Mini 课程 ? MVP 课程

【课堂演练】 题型一 函数定义域 例1 求下列函数的定义域： （1）1()2 f x x =- （2）0()32(2)f x x x = +- （3）1 ()1 2f x x x =+- 练1 求下列函数的定义域： （1）83y x x =+- （2）22 111 x x y x --= - （3）()3||f x x =- 练2 函数0()(12)13 g x x x x = --的定义域为 ． 例2 函数3()1log (63)f x x x = +-的定义域为（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．[1,2)- D ．[1,2]- 练3 函数()3lg(1)f x x x =-+的定义域为（ ） A ．[1,3)- B ．(1,3)- C ．(1,3]- D ．[1,3] - 练4 函数1 ()ln(31) = +f x x 的定义域是（ ） A ．1 (,)3- +∞ B ．1 (,0)(0,)3- +∞U C ．1 [,)3- +∞ D ．[0,) +∞ 题型二 函数值域 ? 一次分式值域 例3 求432+-=x y 在?? ? ???-∈1,32x 上的值域．

(新高考)2021届高考二轮复习专题六 三角函数与解三角形 学生版

1．高考对三角函数的考查主要在于三角函数的定义、图象和性质、三角恒等变换，主要考查三角函数图象的变换、三角函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值），三角恒等变换通常还与解三角交汇命题． 2．解三角形的考查主要在具体面积、角的大小、面积与周长的最值或范围的考查，本部分要求对三角恒等变换公式熟悉． 一、三角函数 1．公式 （1）扇形的弧长和面积公式 如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是l r α=． 相关公式：①l =|α|r ②211 22 S lr r α== （2）诱导公式： 正弦 余弦 正切 α+k ?2π sin α cos α tan α α+π ?sin α ?cos α tan α ?α ?sin α cos α ?tan α π?α sin α ?cos α ?tan α 2 π α+ cos α ?sin α 2 π α- cos α sin α 命题趋势 考点清单 专题 6 ×× 三角函数与解三角形

（3）同角三角函数关系式： sin 2α+cos 2α=1，sin tan cos α αα = （4）两角和与差的三角函数： sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β sin(α?β)=sin αcos β?cos αsin β cos(α+β)=cos αcos β?sin αsin β cos(α?β)=cos αcos β+sin αsin β tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ++= - tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ --= + （5）二倍角公式： sin 22sin cos ααα= 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=- 2 2tan tan 21tan α αα = - （6）降幂公式： 21cos 2sin 2αα-= ，21cos 2cos 2 α α+= 2．三角函数性质

上海专题复习三角函数学生版

上海专题复习 题型二 ：三角函数复习 1.（浦东区2018年模拟11题）在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已 知(2,1)m =u r ，(cos ,cos cos )n c C a B b A =+r ，且m n ⊥u r r . 若227c b = ，且ABC S ?=b . 2. （崇明区2018年模拟题）已知1cos 2cos sin 32)(2 -+=x x x x f ，在ABC ?中， c b a 、、分别是角A ，B ，C 所对的边，若7=a ，3=b ，且3)2 (=A f ，求边 c . 3.（普陀区2017二模7）若关于x 的方程0cos sin =-+m x x 在区间?? ? ???2,0π上有 解，则实数m 的取值范围是 . 4. （徐汇区2017二模9）若行列式1 24 cos sin 022sin cos 8 2 2 x x x x 中元素4的代数余子式的值为1 2，则实数x 的取值集合为____________．

5.如图，在△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，O 是△ABC 的外心，OD BC ⊥于D ，OE AC ⊥于E ，OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于（ ） A. ::a b c B. 111 ::a b c C. sin :sin :sin A B C D. cos :cos :cos A B C 6.（奉贤区2017二模19）如图，半径为1的半圆O 上有一动点B ，MN 为直径，A 为半径ON 延长线上的一点，且2OA =，AOB ∠的角平分线交半圆于点C ． （1）若3=?，求cos AOC ∠的值； （2）若,,A B C 三点共线，求线段AC 的长． 7. 已知定义在(, )2 2 π π - 上的函数()f x 是奇函数，且当(0, )2 x π ∈时， tan ()tan 1 x f x x = +． （1）求()f x 在区间(, )2 2 π π - 上的解析式； （2）当实数m 为何值时，关于x 的方程()f x m =在(, )2 2 π π -有解． O C B A M N

函数三要素教案

（一）教学目标 1．知识与技能 （1）了解函数三要素的含义，掌握根据函数的三要素判定两个函数是否为同一个函数的方法. （2）会求简单函数的定义域和函数值. 2．过程与方法 通过示例分析，让学生掌握求函数定义域的基本题型及方法，进一步加深对函数概念的理解.通过求出函数的函数值，加深对应法则的认识. 3．情感、态度与价值观 通过动手实践研究数学问题，提高分析问题，解决问题能力；体会成功地解答数学问题的学习乐趣，培养钻研精神. （二）教学重点与难点 重点：掌握函数定义域的题型及求法. 难点：理解函数由定义域与对应法则确定函数这一基本原则.

二、授课内容： 【知识要点】 ⑴定义域———自变量x 的取值范围 函数三要素 ⑵值 域———函数值的集合 ⑶对应法则——自变量x 到对应函数值y 的对应规则 注意：①核心是对应法则；②值域是由定义域与对应法则所确定了的，故确定一个函数只需确定其定义域、对应法则则即可；③如何判断“两个”函数为同一函数；④函数()12-= x x f 的对应法则f ：x （平方再 减1整体再开平方）y 。而在此基础上的函数()1+=x f y ，其自变量为式中的x 而不是1+x ，其对应法则x （加1再取f 运算）y ，即x （加1整体平方再整体减1再整体开方）y ，故此时()1)1(12-+=+x x f 。 【典型例题】 1．函数定义域求法 ⑴已知函数的解析式求定义域时需要注意： ①()x f 是整式，则定义域为R ； ②()x f 是分式，则令分母不为0的值为定义域； ③()x f 是偶次根式，则函数定义域为使被开方式为非负数的自变量集合； ④若()x f 由几个部分式子构成，则定义域是使几个部分式子都有意义的值的集合； ⑤函数[]2 )(x f y =的定义域()x f 0≠； ⑥对数函数()x f y a log =（0>a ，且1≠a ）的定义域要求()x f >0； ⑵求函数()[]x g f 的定义域，()x g 相当于()x f 中的x 。 ⑶当函数由实际问题给出时，还应考虑实际意义。 例1：求下列函数的定义域 ①()0 2 )1(4--= x x x f ； ②()1 21 12 2+-+ ++=x x x x x f ； ③()x x f 11111++ = 042 ≥-x 22≤≤-x 解析：①由 ? ∴函数定义域为[)(]2,11,2?- 01≠-x 1≠x 012 ≥++x x （Ⅰ） ② 12 ++x x 的判别式0

高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结学生版

导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数,为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【变式训练1】【2020·天津南开中学月考】已知函数3()sin (),2 f x ax x a R =-∈且在,0,2π??????上的最大值为32π-， （1）求函数f (x )的解析式； (2)判断函数f (x )在（0，π）内的零点个数，并加以证明 【变式训练2】【2020·山东枣庄期末】已知函数()ln 2sin f x x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数. (1)求证:()f x '在()0π，上存在唯一零点; (2)求证:()f x 有且仅有两个不同的零点. ()sin ln(1)f x x x =-+()f x '()f x ()f x '(1,)2 π-()f x

【变式训练3】（2020年3月武汉市高三质检） （1）研究函数()()π，在0x x sin x f =上的单调性； （2）求函数()x cos x x g π+=2的最小值 【变式训练4】（2020年3月武汉市高三质检理） （1）证明函数x cos x x sin e y x 22--=在区间??? ? ?--2ππ,上单调递增； （2）证明函数()x sin x e x f x 2-=在()0,π-上有且仅有一个极大值点，且()200<

三角函数专题(学生版)

三角函数专题 1．在ABC ?中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知0)sin 33(cos sin sin =+ -B B C A . （1）求角C 的大小； （2）若2=c ，且ABC ?的面积为3，求b a ,的值. 2．函数2()sin cos f x x x x =+ （1）求函数f （x ）的递增区间； （2） 当]2, 0[π∈x 时，求f （x ）的值域。 3．已知函数()2sin 22cos 16f x x x π? ?=-+- ??? . （1）求函数()f x 的单调增区间； （2）在ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且()11,2,2 a b c f A =+==，求ABC ?的面积.

4．已知函数()()?ω+=x A x f sin (其中20,0,0π?ω< <>>A )的周期为π，其图象上一个最高点为??? ??2,6πM . （Ⅰ）求()x f 的解析式； （Ⅱ）当?? ????∈4, 0πx 时，求()x f 的最值及相应的x 的值. 5．已知ABC ?的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且ABC ? 的面积 cos 2S ac B =. （1）求角B 的大小； （2）若2a =，且 43A ππ≤≤，求边c 的取值范围. 6．在ABC ?中，若28sin 2cos 272 B C A +-=． （1）求角A 的大小； （2 ）如果3a b c =+=，求ABC ?的面积．

7．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，已知C c A a sin cos 3=． （1）求A 的大小； （2）若6=a ，求c b +的取值范围. 8．已知函数)2||,0,0)(sin()(π?ω?ω< >>+=A x A x f 的图象（部分）如图所示. （1）求函数)(x f 的解析式； （2）求函数)(x f 在区间]2 1,21[- 上的最大值与最小值. 9．已知向量()sin ,1a x =-，13cos ,2b x ? ?=- ?? ?，函数()()2f x a b a =+-． （1）求函数()f x 的最小正周期T ； （2）已知,,a b c 分别为ABC ?内角,,A B C 的对边，其中A 为锐角，23,4a c ==，且()1f A =，求ABC ?的面积S ． 10．已知函数b x a x x x f ++-++=cos )6sin()6sin()(π π（R b a ∈,，且均为常数）. （1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）若)(x f 在区间]0,3[π- 上单调递增，且恰好能够取到)(x f 的最小值2，试求b a ,的值.

函数的三要素学生版

一、函数与映射的基本概念判断 1. 设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是 A 、M 中每一个元素在N 中必有象 B 、N 中每一个元素在M 中必有原象 C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的 D 、N 是M 中所在元素的象的集合 2. 设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任意的x M ∈， ()x f x +是奇数” ，这样的映射f 有____个 3. 设2:x x f →是集合A 到集合B 的映射，若B={1,2}，则B A 一定是_____ 4. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“值同函数”，那么解析式为2y x =，值域为{4，1}的“值同函数”共有______个 5. 以下各组函数表示同一函数是________________ （1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=x x ||，g （x ）=? ??<-≥;01,01x x （3）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2； （4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1。 二、函数的定义域 1.求下列函数的定义域 （1）2161x x y -+= ；（2 ）34x y x +=- 2.（1） 已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。 （2）若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域 （3）已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求 2f x y -的定义域。 3. 求函数()f x = 4. 若函数()f x = 3 442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ）

三角函数求值-学生版 (1)

三角函数式的求值 【知识点精讲】 三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形 三角函数式的求值的类型一般可分为: (1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 （2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解 （3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。 （4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之 三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次 注意点：灵活角的变形和公式的变形 重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论 【例题选讲】 一、“给角求值” 例1、计算)310(tan 40sin 00-的值。 练习1:tan20°+4sin20° 练习2、（1）化简;?--?? ?-20sin 1160sin 20cos 20sin 212； （2）求值： . 练习3：求()0000 1tan21tan24tan21tan24++? ()()()()()000021tan11tan21tan431tan44+?+++ 练习4、不查表求sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°的值 二、“给值求值”： 例2、已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值 练习:)6 sin(,212tan παα+=求已知 例3、已知sin(-4πx)=135，0

任意角的三角函数及诱导公式(学生版)

任意角的三角函数及诱导公式 【知识梳理】 1．任意角 (1)角的分类： ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成)(3600Z k k ∈?+α． (3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，r l =||α,l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径． ③用“弧度”做单位来度量角叫做弧度制．比值r l 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． ④弧度与角度的换算：π23600=弧度；π=0 180弧度． ⑤弧长公式：r l ||α=，扇形面积公式：2||2 1 21r lr S α==扇形. 2．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义： 设(),P x y 为角α终边上异于原点一点，则角α的正弦、余弦、正切分别是： 22 sin y x y α= +，22 cos x x y α= +，tan y x α= 特别地，当221x y +=时，sin ,cos y x αα==，()cos ,sin P αα (2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于 x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos ,sin αα，即 ()cos ,sin P αα，其中OM =αcos ，MP =αsin ，单位圆与x 轴的正半轴交于点)0,1(A ， 单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则AT =αtan .我们把有向线段AT MP OM 、、叫做α的余弦线、正弦线、正切线. 三角函数线 (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ) 有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线

最新函数三要素经典习题(含答案)

函数的三要素练习题 （一）定义域 1 、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}- 2 _ _ _； 定义域为________； [1,1]-； [4,9] 3、若函数(1)f x + (21)f x -的定义域是 ；函数 1(2)f x +的定义域为 。1][,)2 +∞ 4、知函数()f x 的定义域为[]1,1-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。11m -≤≤ 5、求下列函数的定义域 （1）2|1|)43(43 2-+--=x x x y 解：（1）???-≠≠?≠-+≥-≤?≥--3 102|1|410432x x x x x x x 且或 ∴x ≥4或x ≤－1且x ≠－3，即函数的定义域为 （－∞，－3 ）∪（－3，－1）∪[4，+∞] （2）y = {|0}x x ≥ （3）0 1(21)1 11y x x = +-++（二）解析式 1． 设X=｛x|0≤x ≤2｝，Y=｛y|0≤y ≤1｝，则从X 到Y 可建立映射的对应法则是( ) （A ）x y 32= （B ）2)2(-=x y （C ）24 1x y = （D ）1-=x y 2． 设),(y x 在映射f 下的象是)2 ,2(y x y x -+，则)14,6(--在f 下的原象是( ) （A ）)4,10(- （B ）)7,3(-- （C ）)4,6(-- （D ）)2 7,23(-- 3． 下列各组函数中表示同一函数的是 （A ）x x f =)(与2)()(x x g = （B ）||)(x x x f =与?????-=22)(x x x g )0()0(<>x x （C ）||)(x x f =与33 )(x x g = （D ）1 1)(2--=x x x f 与)1(1)(≠+=t t x g 4． 已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ）

学而思高中题库完整版三角函数.板块四.三角函数的综合题.学生版

题型一：与三角恒等变换的综合题 【例1】 函数2π()sin 222sin 4f x x x ? ?=-- ?? ?的最小正周期是 ． 【例2】 设函数()22cos π2cos 32x f x x x ? ?=++∈ ?? ?R ，． ⑴求()f x 的值域； ⑵记ABC △的内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，若()1f B =，1b =， 3c =，求a 的值． 【例3】 已知函数()()2ππ1cot sin sin sin 44f x x x m x x ? ???=+++- ? ?? ???． ⑴当0m =时，求()f x 在区间π3π84?? ???? ，上的取值范围； ⑵当tan 2α=时，()3 5 f x = ，求m 的值． 【例4】 已知函数2()23sin cos 2cos 1()f x x x x x =+-∈R ⑴求函数()f x 的最小正周期及在区间π02? ? ??? ?，上的最大值和最小值； ⑵若06()5f x =，0ππ42x ?? ∈???? ，，求0cos2x 的值． 【例5】 已知函数()()()sin 0,||πf x x ω?ω?=+><的图象如图所示． ⑴求,ω?的值； ⑵设()()4 πg x f x f x ?? =- ?? ?，求函数()g x 的单调递增区间． 板块四.三角函数的综合

y O x 1 π2 π4 -1 【例6】 已知函数()223sin 2sin cos 33cos f x a x a x x a x b =+?++02x π? ?≤≤ ?? ?的值域为 [3,2-]，求a 、b 的值． 【例7】 已知函数213 cos cos 12y x x x =+?+，R x ∈． （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合； （2）该函数的图象可由()sin R y x x =∈的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 【例8】 已知函数()()sin f x A x ω?=+，R x ∈（其中0A >，0ω>，22 ππ ?- <<） ，其部分图象如图所示． y x O - π4 π4 -1 1 ⑴求()f x 的解析式； ⑵求函数()44ππg x f x f x ? ???=+? - ? ?? ???在区间0,2π?? ???? 上的最大值及相应的x 值． 【例9】 已知函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,06π?? ???，,13π?? ??? ． ⑴求实数a 、b 的值； ⑵若0,2πx ?? ∈??? ?，求函数()f x 的最大值及此时x 的值． 【例10】 设函数1 ()3sin cos cos sin 22 πf x x x x x ??=-+- ???．

2020-2021北京高三一轮01三角函数定义.学生版

三角函数的定义考纲 思维导图 讲义导航

知识梳理 一．角的概念 （1）正角：逆时针旋转 负角：顺时针旋转 零角：没有旋转 【注】：1.画角时,不能只标上弧线表示角,由于角分正、负,所以要在图上标出代表角的终边旋转方向的箭头； 2.当角的始边相同时,若角相等,则终边相同;但若终边相同,角则不一定相等；○3按逆时针方向 旋转的角为正角,而钟表的时针、分针以及秒针是按顺时针方向旋转的,因此转过的角应是 负角，注意关键词”顺时针”和“逆时针”。 （2）终边相同的角 所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合： s={β|β=a+k?360°,k∈Z}。 （3）象限角： 通常使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几 象限就是第几象限角。 【注】：注意区分锐角与第一象限角，钝角和第二象限角。 ●给出一个角，判断该角所在象限的方法是：先将此角化为k·360°+a(0°≤a<360°,k∈Z)的形式， 即找出与此角终边相同的角a(0°≤a<360°),再由角a终边所在的象限来判断此角是第几象限角 ●已知θ所在的象限，求θ 或nθ(n∈N+)所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式(含有k(k∈Z)) n 表示，然后两边同除以n或乘以n,再对k进行讨论，得到θ 或nθ(n∈N+)所在的象限。 n 例题： 【例1】下列说法中，正确的是() A．第二象限角是钝角 B．第三象限角必大于第二象限角 C．831 -?是第二象限角 D．9520 ?'是终边相同的角 -?'，98440 ?'，26440

【例2】（2017秋?海淀区校级期末）下列各角中，与50?的角终边相同的角是() A．40?B．140?C．130 -?D．310 -?【例3】角2 α=，则α所在象限角为() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 二．弧度制 角度与弧度的互化 (1)360°=2π rad: (2)180°= π rada (3)1°=（π 180 ）° 弧长公式：l=|a|r 扇形面积公式:S=1 2lr=1 2 |a|r2 (其中l为扇形弧长，a为圆心角，r式圆弧半径) 例题： 【例1】（2018秋?东城区期末）单位圆中，200?的圆心角所对的弧长为() A．10πB．9πC．9 10πD． 10 9 π 【例2】（2017秋?东城区校级期末）扇形周长为6cm，面积为2 2cm，则其中心角的弧度数是() A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5