自考高等数学(一)精讲第三章

第三章一元函数的导数和微分

3.1 导数概念

一、问题的提出

1.切线问题

割线的极限位置——切线位置

如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线.

极限位置即

切线MT的斜率为

2.自由落体运动的瞬时速度问题

二、导数的定义

设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点处的导数，记

为

即

其它形式

关于导数的说明：

在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。

如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。

对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）的导函数，记作

注意：

2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数.

导数定义例题：

例1、115页8

设函数f（x）在点x=a可导，求：

（1）

【答疑编号11030101】

（2）

【答疑编号11030102】

三、单侧导数

1.左导数：

2.右导数：

函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等.

例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。

【答疑编号11030103】

解

闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f （x）在闭区间[a，b]上可导.

由定义求导数

步骤：

例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。

【答疑编号11030104】

解

例4、设函数

【答疑编号11030105】

解

同理可以得到

例5、求

例6、求函数的导数。【答疑编号11030106】

解

例7、求函数

的导数。

【答疑编号11030107】 解

四、常数和基本初等函数的导数公式

五、导数的几何意义

表示曲线y=f （x ）在点

处的切线的斜率，即

切线方程为

法线方程为

例8、求双曲线处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。

【答疑编号11030108】

解

由导数的几何意义, 得切线斜率为

所求切线方程为

法线方程为

六、可导与连续的关系

1.定理凡可导函数都是连续函数.

注意：该定理的逆定理不成立，即：连续函数不一定可导。

我们有：不连续一定不可导

极限存在、连续、可导之间的关系。

2.连续函数不存在导数举例

例9、讨论函数在x=0处的连续性与可导性。【答疑编号11030109】

解：

例10、 P115第10题

设，α在什么条件下可使f（x）在点x=0处。（1）连续；（2）可导。

【答疑编号11030110】

解：（1）

（2）

七、小结

1.导数的实质：增量比的极限；

2.导数的几何意义：切线的斜率；

3.函数可导一定连续，但连续不一定可导；

4.

5.求导数最基本的方法：由定义求导数.

6.判断可导性

3.2 求导法则

3.3 基本求导公式

一、和、差、积、商的求导法则

1.定理：

如果函数在点x处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也可导，并且

推论

2.例题分析

例1、求的导数。【答疑编号11030201】

解

例2、求的导数。

【答疑编号11030202】

解

例3、求y=tanx的导数。【答疑编号11030203】解

同理可得

例4、求y=secx的导数。【答疑编号11030204】解

同理可得

例5、131页例2

设，求.

【答疑编号11030205】

二、反函数的导数

1.定理：

如果函数在某区间内单调、可导且，那么它的反函数在对应区

间内也可导，且有

即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

2.例题分析

例6、求函数y=arcsinx的导数

【答疑编号11030206】

解

同理可得

例7、求函数的导数。【答疑编号11030207】

解

特别地

三、小结：初等函数的求导问题

1.常数和基本初等函数的导数公式

2.函数的和、差、积、商的求导法则设

u=u（x），v=v（x）可导，则

例8、127页1题（6）（14）（15）（1）1题（6）小题

【答疑编号11030208】解：

（2）1题（14）小题【答疑编号11030209】解：

（3）1题（15）小题【答疑编号11030210】解：

例9、115页3

若一直线运动的运动方程为，求在t=3时运动的瞬时速度。

【答疑编号11030211】

解：

例10、115页5

求曲线的与直线y=5x的平行的切线。

【答疑编号11030212】

另一条求出来是

四、分段函数的求导问题

1.114页定理：设

（1）如果函数在上连续，在上可导，且当时，则

（2）如果函数在上连续，在上可导，且当时，

则

2.分段函数的求导问题举例

例11、 116页11 求下列分段函数f（x）的：

（1）

【答疑编号11030213】

解：

五、复合函数的求导法则

1.复合函数的求导法则

定理

如果函数在点x0可导，而y=f（u）在点可导，则复合函数在点x0可导，且其导数为

即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导。（链式法则）

推广设，则复合函数的导数为

2.例题分析

例1.求函数y=lnsinx的导数。

【答疑编号11030301】

解∵y=lnu，u=sinx.

例2.已知y=（2x2-3x+5）100，求。【答疑编号11030302】

例3.求y=sin5x的导数

【答疑编号11030303】

例4.求函数的导数

【答疑编号11030304】

解

例5.（教材133页习题3.3，1题（2）小题）求的导数【答疑编号11030305】

自考 高等数学(工本)公式大全

《高等数学（工本）》公式 第一章 空间解析几何与向量代数 1. 空间两点间的距离公式21221221221)()()(z z y y x x p p -+-+-= 2. 向量的投影 3. 数量积与向量积： 向量的数量积公式：设},,{},,,{z y x z y x b b b a a a == .1?z z y y x x b a b a b a b a ++=? .2?b a ⊥的充要条件是：0=?b a .3 ?b a =∧ )cos(向量的数量积公式： .1?k b a b a j b a b a i b a b a b b b a a a k j i b a x y y x z x x z y z z y z y x z y x )()()(-+-+-==? .2 ?= ?sin .3?b a //的充要条件是0=?b a 4. 空间的曲面和曲线以及空间中平面与直线 平面方程公式： ),,(o o o o z y x M },,{C B A = 点法式：0)()()(=-+-+-o o o z z C y y B x x A 直线方程公式： },,{n m l S = ，),,(o o o o z y x M 点向式：n z z m y y l x x o o o -=-=- 5. 二次曲面 第二章 多元函数微分学 6. 多元函数的基本概念，偏导数和全微分 偏导数公式：

.1?),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψ?=== x v v z x u u z x z ????+ ????=?? y v v z y u u z y z ????+????=?? .2?设),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψ?=== dx dv v z dx du u z dx dz ??+ ??= .3?设0),,(=z y x F Fz Fy y z Fz Fx x z -=??-=?? 全微分公式：设),,(y x f z =dy y z dx x z dz ??+??= 7. 复合函数与隐函数的偏导数 8. 偏导数的应用：二元函数极值 9. 高阶导数 第三章 重积分 10. 二重积分计算公式：. 1???=D kA kd σ（A 为D 的面积） . 2?? ??? ? ?==) () () () (1212),(),(),(y y c d D x x b a dx y x f dy dy y x f dx d y x f ????σ . 3??? ? ?=D rdr r r f d d y x f ) () (12)sin ,cos (),(θ?θ?β α ???σ 11. 三重积分计算公式： .1?利用直角坐标系计算，Ω为?? ? ??≤≤≤≤≤≤b x a x y y x y y x z z y x z ) ()() ,(),(2121 ? ? ????=Ω ) ,() ,() () (2121),,(),,(y x z y x z x y x y b a dz z y x f dy dx d z y x f σ .2?利用柱面坐标计算：Ω为?? ? ??===z y r y r x ??sin cos ? ? ????=Ω ) ,() ,() () (21212 1 ),sin ,cos (),,(?????? ??r z r z r r dz z r r f rdr dx dv z y x f

最新自考高等数学(工本)00023试题及答案解析

2015年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 高等数学(工本) 试卷 (课程代码 00023) 本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。 考生答题注意事项： 1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效。试卷空白处和背面均可作草稿纸。2．第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。 4. 合理安排答题空间，超出答题区域无效。 第一部分选择题 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。 1．已知向量a={-1，3，2)，b={-3，0，1)，则a×b= A. {3，5，9} B. {-3，5，9) C．(3，-5，9) D. {-3，-5，-9) 2．已知函数，则全微分dz= 4. 微分方程是 A．可分离变量的微分方程 B．齐次微分方程 C．一阶线性齐次微分方程 D. 一阶线性非齐次微分方程 5. 无穷级数的敛散性为 A．条件收敛 B. 绝对收敛 C．发散 D. 敛散性无法确定 第二部分非选择题

二、填空题 (本大题共5小题，每小题2分，共10分) 请在答题卡上作答。 6．已知点，则向量的模= _______. 7·已知函数=_______. 8．设积分区域，且二重积分，则常数a= _______．9．微分方程的特解y*=_______. 10. 已知无穷级数=_______. 三、计算题 (本大题共l2小题，每小题5分，共60分) 请在答题卡上作答。 11．求过点A(2，10，4)，并且与直线平行的直线方 12．求曲线的点处的法平面方程·13．已知方程x2+y2-z2+2z=5确定函数z=z(x，y)，求． 14．求函数的梯度 15．计算二重积分，其中D是由y2=x和y=x2所围成的区域． 16. 计算三重积分，其中积分区域． 17. 计算对弧长的曲线积分，其中C是从点A(3，0)到点B(3，1)的 直线段· 18．计算对坐标的曲线积分，其中N抛物线y=x2上从点A(一1，1)到

00020 高等数学(一)自考历年真题

2012年10月高等教育自学考试《高等数学（一）》试题 课程代码：00020 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 1．在区间),0(+∞内，下列函数无界的是（ B ）。 A ．x sin B ．x x sin C ．x x cos sin + D ．)2cos(+x 2．已知极限2 211lim e x bx x =?? ? ??+∞ →，则=b （ D ）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．设函数)(x f 二阶可导，则极限=?? ? ???-?-→?bx x x x f x x f )(')2('lim 000（ C ）。 A ．)(''0x f - B ．)(''0x f C ．)(''20x f - D ．)(''20x f 4．函数 C x F dx x f +=?)()(，则=?xdx x f cos )(sin （ C ）。 A ．C x x F +sin )(sin B ． C x x f +sin )(sin C ．C x F +)(sin D ．C x f +)(sin 5．函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则该函数在点),(00y x 处必（ A ）。 A ．有定义 B ．极限存在 C ．连续 D ．可微 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6．已知函数x x x f +=12)(，则复合函数=)]([x f f x x 314+。 7．极限()=?+∞→x x x 1 sin 1ln lim 0 。 8．某产品产量为q 时总成本2 200 1200)(q q C +=，则100=q 时的边际成本为 1 。 9．极限=-→x x x x ln 1 lim 1 1 。 10．设函数x x y +=1sin 的铅直渐近线为1-=x 。 11．已知直线l 与X 轴平行且与曲线x e x y -=相切，则切点坐标为 （0，-1） 。 12．函数)1ln()(2x x f +=在区间[-1，2]上最小值为 0 。 13．设函数? = Φx tdt t x 20 cos )(，则=Φ)('x x x 2cos 4。 14．求函数)arcsin(22y x z +=的定义域为122≤+y x 。 15．设函数)(2e x z +=，则 =??) 0,1(y z 4 。 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16．求极限x x x x sin 11lim 0--+→。 解：原极限x x x x x sin )11(2lim 0 -++=→ （3分） =1. （5分） 17．已知函数)(x f 可导，且)(sin )(,)0('x f x g a f ==，求)0('g 。 解：x x f x g cos )(sin ')('=， （3分） a f g ==)0(')0('。 （5分） 18．设函数)0(1>=x x y x ，求dy 。 19．设函数)(x f 在区间I 上二阶可导，且0)(''>x f ，判断曲线) (x f e y =在区间I 上的凹 凸性。

最新10月全国自学考试高等数学(工本)试题及答案解析.docx

??????????????????????精品自学考料推荐?????????????????? 全国 2018 年 10 月自学考试高等数学（工本）试题 课程代码： 00023 一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、 多选或未选均无分。 1.向量a={-1，-3，4}与x轴正向的夹角满足（） A. 0<1<< B.= 22 C.<< D.= 2 2.设函数 f(x, y)=x+y,则点（ 0， 0）是 f(x,y)的（） A.极值点 B. 连续点 C.间断点 D. 驻点 3.设积分区域 D： x2+y2≤ 1, x≥ 0,则二重积分ydxdy 的值（） D A.小于零 B. 等于零 C. 大于零 D. 不是常数 4. 微分方程 xy′ +y=x+3 是（） A.可分离变量的微分方程 B. 齐次微分方程 C.一阶线性齐次微分方程 D. 一阶线性非齐次微分方程 5.设无穷级数n p收敛，则在下列数值中p 的取值为（） n 1 A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共10 分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.已知向量 a={3 ， 0， -1} 和 b={1 ， -2， 1} 则 a-3b=___________. 7.设函数 z=2x2+y2，则全微分 dz=___________. 8.设积分区域 D 由 y=x, x=1 及 y=0 所围成，将二重积分 f ( x, y)dxdy 化为直角坐标下的二次积分为 D ___________. 9.微分方程 y″ +3y=6x 的一个特解 y* =___________.

自考高等数学(一)考试重点

《高等数学(一)》考试重点 第一章 函数及其图形（选择题1、填空题1） 1.函数的定义域 2.函数的有界性 3.函数的奇偶性奇偶性：奇函数x y eg x f x f =→??? ?? ?-=-点对称奇函数的定义域关于原为奇函数 )()( 偶函数2)()(x y eg y x f x f =→??? ?? ?=-轴对称偶函数的定义域关于 为偶函数 4.函数的反函数 5.求函数表达式 第二章 极限和连续（选择题、填空题、计算题） 6.记住重要结论：等比级数?? ???≥<-=∑-1 111 q q q a aq n 发散， 调和级数n 1∑ 发散；21 n ∑收敛。（注意级数的敛散性） 7.无穷小量及其性质，无穷大量 8.两个重要极限 1sin lim 0=→x x x ，e n n n =+∞ →)11(lim 9.无穷小量的比较 ??? ?? ? ?∞≠≠→的低阶无穷小量是的等价无穷小量是同阶无穷小量 是的高阶无穷小量 是)()()()(1 )()()1()()(00)()()(lim ()x p x a x p x a x p x a c c x p x a x x p x a x ρ 10.函数的连续性和函数的运算（1）了解函数极限定义以及有极限函数基本性质（唯一性、有界性、 保号性）； （2）分段函数分段点处极限的求法 11.函数的间断点 12.闭区间上连续函数的性质（零点存在定理） 第三章 一元函数的导数和微分（选择题、填空题、计算题） 13.导数的定义及其几何意义，记住求导数的常用公式0 0) ()(lim )(0 x x x f x f x f x x --='→，这个式子再求分 段函数，含有绝对值的函数的导数的应用。

7全国自考高等数学(一)试题及答案解析

1 全国2018年7月自学考试高等数学(一)试题 课程代码：00020 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.若f (x )为奇函数,且对任意实数x 恒有f (x +3)-f (x -1)=0,则f (2)=（ ） A. -1 B.0 C.1 D.2 2.极限x x x )3 1(lim -∞→=（ ） A.e -3 B.e -2 C.e -1 D.e 3 3.若曲线y =f (x )在x =x 0处有切线,则导数f ＇(x 0)（ ） A.等于0 B.存在 C.不存在 D.不一定存在 4.设函数y =(sin x 4)2,则导数x y d d =（ ） A.4x 3cos(2x 4) B.4x 3sin(2x 4) C.2x 3cos(2x 4) D.2x 3sin(2x 4) 5.若f ＇(x 2)=x 1 (x >0),则f (x )=（ ） A.2x +C B. x 1 +C C.2x +C D.x 2+C 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.若f (x +1)=x 2-3x +2,则f (x )=_________.

2 7.无穷级数ΛΛ+?? ? ??-++-+-n 218141211的和为_________. 8.已知函数f (x )= x +11 ,f (x 0)=1,则导数f ＇(x 0)=_________. 9.若导数f ＇(x 0)=10,则极限=--→)()2(lim 000x f h x f h h _________. 10.函数f (x )=52)1(-x 的单调减少区间为_________. 11.函数f (x )=x 4-4x +3在区间[0,2]上的最小值为_________. 12.微分方程y 〃+x (y ＇)3+sin y=0的阶数为_________. 13.定积分 =? -x x x d sin ||2 2 _________. 14.导数 ? =+2 1 4 1d d d x t t x _________. 15.设函数z =22y x +,则偏导数 =??x z _________. 三、计算题(一)（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16.设y =y (x )是由方程e x -e y =sin(xy )所确定的隐函数,求微分d y . 17.求极限x x x x x x ----→tan 2e e lim 0. 18.求曲线y =x 2ln x 的凹凸区间及拐点. 19.计算无穷限反常积分? +∞∞-++=x x x I d 1 1 2. 20.设函数z=x y cot arc ,求二阶偏导数22x z ??,y x z ???2. 四、计算题(二)（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21.设f (x )的一个原函数为2 e x -,求不定积分? x f ＇(x )d x . 22.求曲线y =ln x 及其在点(e,1)的切线与x 轴所围成的平面图形的面积A .

自考笔记 00020 高等数学(一) 完整免费版

自考笔记 00020 高等数学（一）完整免费版小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问https://www.wendangku.net/doc/c817784605.html, 前言《高等数学一》共6章第一章函数 1.主要是对高中知识的复习; 2. 为今后知识打下良好的基础; 3.本章知识在历年考题中所占的分值并不多，一般是 5分左右. 第二章极限和连续主要是学习极限与连续的概念，是后面章节的基础; 本章内容在历年考题中所占分值为20左右. 第三章导数与微分主要是学习函数 的导数和微分，这是高数的核心概念. 本章内容在历年考题中所占分值为15分左右. 第四章微分中值定理和导数的应用主要是掌握微分中值定理的应用，这一章容易出大题、难题; 本章在历年考题中所占分值为20分左右. 第五章一元函数积分学主要学习不定积分和定积分，这又是高数的核心概念; 本章内容在历年考题 中所占分值为25分左右. 第六章多元函数微积分主要是学习多元函数的微积分 的计算; 本章内容在历年考试题中所占分值为15分左右. 第一章函数1.1 预备 知识 1.1.1 初等代数的几个问题 1.一元二次方程 2关于x的方程ax，bx， c,0(a?0)，称为一元二次方程，称为此方程的判别式. (1)求根公式: 当?,0时，方程有两个不同的实根: 当?,0时，方程有一个二重实根: 当?,0时，方程有一对共轭复根: (2)根与系数的关系(韦达定理): 2(3)一元二次函数(抛物线):y,ax，bx，c(a?0)，当a,0时，开口向上，当 a,0时，开口向下. 对称轴 顶点坐标 322例1.若x，x，ax，b能被x,3x，2整除，则a、b是多少, 结论:多项式f(x)，g(x).若f(x)能被g(x)整除，则g(x),0的根均为f(x),0的根. 2解:令x,3x，2,0，解得x,1或2，代入被除式得

自考高等数学二各章节重点(精)

第一章解析几何与向量代数,这里面有几点,一部分是向量代数运算,包括向量的坐标。主要还是怎么利用坐标来进行向量的加减法、数乘以及向量级和数量级,并且给了向量你会求它的长度,会求两个向量之间的夹角,求判断两个向量相互平行,相互垂直,知道他们的充分必要条件。怎么会用向量。比如说用两个向量的向量积求出两个垂直的向量。 第二,空间中的平面与直线。平面方程希望大家抓住平面的点法式方程,你要确定一个平面方程来说,你只要知道这个平面的点和法向量就可以把这个平面写出来。除了这个以外,平面还有一般式方程,任何一个三元一次方程都表示一个空间的平面,这两个之间的关系,给了这个平面方程,一般式方程,你能够从平面的一般式方程里面确定平面的法向量,这样就把这两类方程联系起来。 关于直线方程重点是直向式方程,知道这个直线的点和方向式向量,就可以直接写出这个直线的方程。除了直线式方程之外还有点向式方程,就是把直线看成两个平面的交线。那么你想一想,根据一般式方程,实际上就是给了两个平面的方程,直线是这两个平面的交线,你怎么根据平面方程确定方向向量,从而使这个方程写出直线的点向式方程。这是平面方程和直线方程最基本的要求。 第三,简单的二此曲面。这部分跟过去比有很大的差别。这次要求主要是几个简单的二次曲面,比如说球面、椭球面、母线平行于坐标轴的柱面,知道这几个面的方程特点,您能够判断这个放表示的是 什么样的曲面。这样在选择题、填空题里面都可能会出到这样的题目。还有圆锥面,这也是经常用的,因为这给重积分和曲面积分做准备。 还有旋转抛物面,你要分清什么是旋转抛物面,什么是锥面。大家想想锥面方程边是直的,所以它是直线,所以方程是Z平方等于X 平方加Y平方,这是我拿最简单的锥的例子。 旋转抛物面跟它有什么不同呢?它不是Z平方等于X平方加Y平方,对应是Z 等于X平方加Y平方,如果你看一下截横的话,让Y等于0,Z等于X平方,这就是它

自考高等数学一试题及答案

自考高等数学一试题及答案

10月高等教育自学考试全国统一命题考试 高等数学(一) 试卷 (课程代码 00020) 本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。考生答题注意事项： 1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。2．第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。 4．合理安排答题空间。超出答题区域无效。 第一部分选择题 一、单项选择题(本大题共l0小题。每小题3分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡” 的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。1．方程x2-3x+2=0的根为

3. 极限 A．-2 B．0 C．2 D. ∞ 4．函数的所有间断点是 A．x=0 B. x=-1 C． z=0，z=1 D．x=-1，z=1 6．曲线y=sinx在点(0，O)处的切线方程是 A，y=x B．y=-X C．y=1/2 x D．y=-1/2 x )=0，则f(x) 7．设函数f(x)可导，且f’(x 在x=x 处 A．一定有极大值 B．一 定有极小值 C．不～定有极值 D．一 定没有极值 8．曲线y=x3—3x2+2的拐点为 A．(0，1) B．(1，O) C．(0， 2) D．(2，O) 9．不定积分

A.see x+x B．sec x+x+C A．

23．求不定积分 24．计算二重积分，，其中D是由直线x=1、y=1及x轴、y轴所围成的平面区域．

2020年7月全国自考高等数学(工专)试题及答案解析

1 全国2018年7月高等教育自学考试 高等数学（工专）试题 课程代码：00022 一、单项选择题（本大题共30小题，1—20每小题1分，21—30每小题2分，共40分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 （一）（每小题1分，共20分） 1．函数f(x)=arcsin 23 x -的定义域是（ ） A ．（-1，1） B ．[1，5] C ．（-∞，0） D ．（2，4） 2．函数y=是121 2x x +-（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．周期函数 D ．非奇非偶函数 3．函数f(x)=|sinx|的周期是（ ） A ．2π B ．π23 C ．π D ． 4 π 4．=→x 2x arcsin lim 0x （ ） A ．∞ B ．不存在 C ．0 D ．2 1 5．f(x)在点x 0可导是f(x)在点x 0可微的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充分必要条件 D ．无关条件 6．曲线y=e x 上点（0，1）处的切线方程为（ ） A ．y-1=e x ·x B ．y=x-1 C ．y-1=-x D ．y=x+1 7．设y=arcsinx 2,则dy=（ ）

2 A ． dx x 1x 24 - B ． 4 x 1x 2- C ． dx x 1x 24 + D ． 4 x 1x 2+ 8．设? ??==2 t y t 2x ，则=dy dx （ ） A ．t B ．t 1 C ．2t D ．2 9．函数f(x)=x 2+1的单调减区间是（ ） A ．（-∞，0] B ．（0，+∞） C ．（-∞，+∞） D ．（-1，+∞） 10．函数y=x-ln(1+x 2)的极值是（ ） A ．0 B ．1-ln2 C ．-1-ln2 D ．不存在 11．曲线y=1+ 2 )2x (x 36+（ ） A ．只有一条水平渐近线 B ．只有一条垂直渐近线 C ．有一条水平渐近线及一条垂直渐近线 D ．无渐近线 12．曲线y=2 x 2 e -的拐点有（ ） A ．0个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 13．某运动物体的速度函数为υ（t ）=sec 2t ·tgt ，则路程与时间的关系为（ ） A ．-t tg 212 B ． C t tg 2 12+ C ．t sec 21 2 D ．C t sec 3 1 3+ 14．已知f(x)=? ='+2 x 2)1(f ,dt t 2则（ ） A ．-3 B ．63- C ．36- D ．3 15．广义积分 ? -1 1 2 dx x 1（ ）

00020高等数学(一)自考历年真题

00020高等数学(一)自考历年真题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2 2012年10月高等教育自学考试《高等数学（一）》试题 课程代码：00020 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 1．在区间),0(+∞内，下列函数无界的是（ B ）。 A ．x sin B ．x x sin C ．x x cos sin + D ．)2cos(+x 2．已知极限2 211lim e x bx x =? ? ? ?? +∞ →，则=b （ D ）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．设函数)(x f 二阶可导，则极限=?? ? ???-?-→?bx x x x f x x f )(')2('lim 000（ C ）。 A ．)(''0x f - B ．)(''0x f C ．)(''20x f - D ．)(''20x f 4．函数C x F dx x f +=?)()(，则=?xdx x f cos )(sin （ C ）。 A ．C x x F +sin )(sin B ． C x x f +sin )(sin C ．C x F +)(sin D ．C x f +)(sin 5．函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则该函数在点),(00y x 处必（ A ）。 A ．有定义 B ．极限存在 C ．连续 D ．可微 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6．已知函数x x x f +=12)(，则复合函数=)]([x f f x x 314+。 7．极限()=?+∞→x x x 1 sin 1ln lim 0 。 8．某产品产量为q 时总成本2 200 1200)(q q C +=，则100=q 时的边际成本为 1 。 9．极限=-→x x x x ln 1 lim 1 1 。 10．设函数x x y +=1sin 的铅直渐近线为1-=x 。 11．已知直线l 与X 轴平行且与曲线x e x y -=相切，则切点坐标为 （0，-1） 。 12．函数)1ln()(2x x f +=在区间[-1，2]上最小值为 0 。 13．设函数?=Φx tdt t x 20cos )(，则=Φ)('x x x 2cos 4。 14．求函数)arcsin(22y x z +=的定义域为122≤+y x 。 15．设函数)(2e x z +=，则 =??) 0,1(y z 4 。 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16．求极限x x x x sin 11lim 0--+→。 解：原极限x x x x x sin )11(2lim 0 -++=→ （3分） =1. （5分） 17．已知函数)(x f 可导，且)(sin )(,)0('x f x g a f ==，求)0('g 。 解：x x f x g cos )(sin ')('=， （3分） a f g ==)0(')0('。 （5分） 18．设函数)0(1>=x x y x ，求dy 。 19．设函数)(x f 在区间I 上二阶可导，且0)(''>x f ，判断曲线) (x f e y =在区间 I 上的凹凸性。

4月全国自考高等数学(工专)试题及答案解析

1 全国2018年4月高等教育自学考试 高等数学(工专)试题 课程代码：00022 一、单项选择题(本大题共30小题，1—20每小题1分，21—30每小题2分，共40分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题干的括号内。错选、多选或未选均无分。 (一)（每小题1分，共20分） 1．函数f(x)=arccos x 2的定义域是( ) A ．（-1，1） B ．[0，21 ] C ．（0，1） D ．（0， 2 1） 2．函数f(x)=1x 2e 31 +是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．有界函数 D ．单调增函数 3．=∞→x arctgx lim x ( ) A ．∞ B ．1 C ．0 D ．不存在 4．曲线y=x 1在点（2,21 ）处的切线的斜率为( ) A ．-4 B ．- 4 1 C ． 4 1 D ．4 5．设y=ln(secx+tgx), 则dy=( ) A ．tgx x sec 1 + B ．secx C ． tgx x sec 1 +dx D ．secxdx 6．设???=+=arctgt y )t 1ln(x 2 , 则=dx dy ( ) A ． t 21 B ．1

2 C ．2t D ． 2 1 7．设函数f(x)在点x 0处具有二阶导数且0)x (f 0='，那末当0)x (f 0<''时( ) A ．函数f(x)在点x 0处取得最小值 B ．函数f(x)在点x 0处不取得极值 C ．函数f(x)在点x 0处取得极大值 D ．函数f(x)在点x 0处取得极小值 8．曲线y=3x ( ) A ．的渐近线为x=0 B ．的拐点为x=0 C ．没有拐点 D ．的拐点为（0，0） 9．曲线y=x 2+x 1 的垂直渐近线是( ) A ．y=0 B ．x=0 C ．y=1 D ．x=1 10．若? +=C 2 x sin 2dx )x (f ，则f(x)=( ) A ．cos C 2x + B ．cos 2x C ．2cos C 2x + D ．2sin 2 x 11． ? -dx x 2x 2 =( ) A ．2x 2- B ．2x 2-+ C C ．-2x 2-+C D ．-2x 2- 12．广义积分? +∞ ∞-+ dx x 1x 22( ) A ．发散 B ．收敛 C ．收敛于π D ．收敛于 2 π 13．过点（1，1，-1）且与平面x+2y-3z+2=0垂直的直线方程为( ) A ．31z 21y 11x +=-=- B ．31z 21y 11x -= +=+ C ． 3 1 z 21y 11x --= +=+ D ． 3 2 z 21y 1x --= += 14．设z=e x sin(x+y), 则dz|(0,π)=( ) A ．-dx+dy B ．dx-dy C ．-dx-dy D ．dx+dy

自考高等数学一(微积分)常用公式表

高 数 常 用 公 式 表 常用公式表（一） 1、乘法公式 （1）（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 （2）(a-b)2=a 2-2ab+b 2 （3）(a+b)(a-b)=a 2-b 2 （4）a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) （5）a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2) 2、指数公式： （1）a 0=1 （a ≠0） （2）a P -=P a 1（a ≠0） （3）a m n =m n a （4）a m a n =a n m + （5）a m ÷a n =n m a a =a n m - （6）（a m ）n =a mn （7）（ab ）n =a n b n （8）（b a ）n =n n b a （9）（a ）2=a （10）2a =|a| 3、指数与对数关系： （1）若a b =N ，则N b a log = （2）若10b =N ，则b=lgN （3）若b e =N ，则b=㏑N 4、对数公式： （1）b a b a =log , ㏑e b =b （2）N a aN =log ，e N ln =N （3）a N N a ln ln log = （4）a b b e a ln = （5）N M MN ln ln ln += （6）N M N M ln ln ln -= （7）M n M n ln ln = （8）㏑n M =M n ln 1 5、三角恒等式： （1）（Sin α）2+（Cos α）2=1 （2）1+（tan α）2=(sec α)2 （3）1+(cot α)2=(csc α)2 （4） αααtan cos sin = （5）αα α cot sin cos = （6）ααtan 1cot = （7）ααcos 1csc = （8）α αcos 1 sec =

高等数学一自考历年真题

高等数学一自考历年真 题 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

2012年10月高等教育自学考试《高等数学（一）》试题 课程代码：00020 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 1．在区间),0(+∞内，下列函数无界的是（ B ）。 A ．x sin B ．x x sin C ．x x cos sin + D ．)2cos(+x 2．已知极限2211lim e x bx x =? ? ? ?? +∞ →，则=b （ D ）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．设函数)(x f 二阶可导，则极限=?? ? ???-?-→?bx x x x f x x f )(')2('lim 000（ C ）。 A ．)(''0x f - B ．)(''0x f C ．)(''20x f - D ．)(''20x f 4．函数C x F dx x f +=?)()(，则=?xdx x f cos )(sin （ C ）。 A ．C x x F +sin )(sin B ． C x x f +sin )(sin C ．C x F +)(sin D ．C x f +)(sin 5．函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则该函数在点),(00y x 处必（ A ）。 A ．有定义 B ．极限存在 C ．连续 D ．可微 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6．已知函数x x x f +=12)(，则复合函数=)]([x f f x x 314+。 7．极限()=?+∞→x x x 1 sin 1ln lim 0 。 8．某产品产量为q 时总成本2 200 1200)(q q C +=，则100=q 时的边际成本为 1 。 9．极限=-→x x x x ln 1 lim 1 1 。 10．设函数x x y +=1sin 的铅直渐近线为1-=x 。 11．已知直线l 与X 轴平行且与曲线x e x y -=相切，则切点坐标为 （0，-1） 。 12．函数)1ln()(2x x f +=在区间[-1，2]上最小值为 0 。 13．设函数?=Φx tdt t x 20cos )(，则=Φ)('x x x 2cos 4。 14．求函数)arcsin(22y x z +=的定义域为122≤+y x 。 15．设函数)(2e x z +=，则 =??) 0,1(y z 4 。 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16．求极限x x x x sin 11lim 0--+→。 解：原极限x x x x x sin )11(2lim 0 -++=→ （3分） =1. （5分） 17．已知函数)(x f 可导，且)(sin )(,)0('x f x g a f ==，求)0('g 。 解：x x f x g cos )(sin ')('=， （3分） a f g ==)0(')0('。 （5分） 18．设函数)0(1>=x x y x ，求dy 。 19．设函数)(x f 在区间I 上二阶可导，且0)(''>x f ，判断曲线) (x f e y =在区间 I 上的凹凸性。

1月全国自考高等数学(二)试题及答案解析

1 全国2018年1月高等教育自学考试 高等数学（二）试题 课程代码：00021 一、单项选择题（本大题共18小题，每小题2分，共36分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.行列式 =a 00b 0 a b 00b a 0b 00a （ ） A.a 4-b 4 B.(a 2-b 2)2 C.b 4-a 4 D.a 4b 4 2.若A 是n 阶方阵，且|A|=5，则|（5A T ）-1|=（ ） A.5n+1 B.5n-1 C.5-n-1 D.5-n 3.若A ，B 均为n 阶方阵，且AB=0，则（ ） A.A=0或B=0 B.A+B=0 C.|A|=0或|B|=0 D.|A|+|B|=0 4.若A 与B 均为n 阶可逆阵，C 为2n 阶分块对角阵，C=???? ??B 00A ，则C 的逆矩阵为（ ） A.??? ? ? ?--11 A 00B B.???? ??--11 B 00A C.A -1B -1 D.??? ? ? ?--0B A 01 1 5.设α1=（0,0,0）,α2=（1,2,3），则（ ） A.α1线性无关 B.α2线性相关 C.α1，α2线性无关 D.α1，α2线性相关 6.若含n 个未知量的齐次线性方程组的方程个数m>n ，则此方程组（ ） A.有唯一解 B.有无穷多组解 C.无解 D.有解 7.若秩（A ）=r ，则（ ）

2 A.A 的任意r 个行向量线性无关 B.A 的前r 个行向量线性无关 C.A 有r 个行向量线性无关 D.A 的任意r 个行向量线性有关 8.方程x 1+x 2+x 3+x 4=0的全体解向量形成的子空间的维数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 9.设矩阵A=??? ? ??1551，则A 的特征值是（ ） A.1，5 B.6，-4 C.5（二重） D.1（二重） 10.对任意事件A ，B 下面结论正确的是（ ） A.若P(AB)=0,则AB=φ B.若P(A ∪B)=1,则A ∪B=Ω C.P(A-B)=P(A)-P(B) D.P(A B )=P(A)-P(AB) 11.向指定目标射击两枪，用A i 分别表示事件“第i 枪击中目标”，则事件“最多有一枪击中”可表示为（ ） A.2121A A A A Y B.21A A Y C.A 1A 2 D.21A A 12.已知事件A 、B 相互独立，P(A)=0.5,P(B )=0.6，则P(A ∪B)=（ ） A.0.9 B.0.8 C.0.7 D.0.6 13.若随机变量ξ具有密度函数p(x)==ξξ >λ? ? ?≤>λλ-E D ),0(0x ,00x ,e x 则（ ） A. λ 1 B.1 C.λ D.λ2 14.设随机变量ξ的分布函数为F(x)=???? ???≥<≤<3x , 1,3x 0,x 310x , 0 则F （2）=（ ） A.0 B.31 C. 3 2 D.1

2020年4月全国自考高等数学基础试题及答案解析

1 全国2018年4月自考高等数学基础试题 课程代码：00417 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.对于非零向量,，下列诸等式中不成立的是（ ） A.)(-+=- B.·= C.→→→→=a b b a ·· D.→→→→?=?a b b a 2.下列平面中平行于oy 轴的是（ ） A.y =0 B.x-z =1 C.x +y =1 D.3x -2y +z =0 3.点P 0??? ??-31,21 ,1与球面x 2 +y 2+z 2-2x -y +2z =0的位置关系是（ ） A.P 0在球面上 B.P 0在球面外 C.P 0在球面内但不是球心 D.P 0恰为球面的球心 4.下列函数中以π为最小周期的是（ ） A.f (x )=21 sin(2x +1) B.f (x )=2sin x +1 C.f (x )= cos(x +2) D.f (x )=tan(2x +1) 5.下列函数中，当x →0时是无穷小量的是（ ） A.f (x )=x x sin B.f (x )=x 1 C.f (x )=?????<≥002x x x x D.f (x )=x 1 x)(1+ 6.设曲线y =ax 2+bx -2在点（-1，3）处与直线y =4x +7相切，则a,b 的取值为（ ） A.a =1, b =6 B.a =-1, b =-6 C.a =9, b =14 D.a =-9, b =-14 7.下列曲线中有水平渐近线的是（ ） A.y =arctan x B.y =ln x

自学考试高等数学一考试大纲

自学考试高等数学一考试大纲 本大纲适用于工学理学（生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类等四个一级学科除外）专业的考生。 总要求考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。 自学考试高等数学一考试大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。 自学考试高等数学一考试形式及试卷结构 试卷总分：150分 考试时间：150分钟 考试方式：闭卷，笔试 试卷内容比例： 函数、极限和连续约15% 一元函数微分学约25% 一元函数积分学约20% 多元函数微积分（含向量代数与空间解析几何）约20% 无穷级数约10% 常微分方程约10% 试卷题型比例： 选择题约15% 填空题约25% 解答题约60% 试题难易比例： 容易题约30% 中等难度题约50% 较难题约20% 复习考试内容 一、函数、极限和连续 （一）函数 1、知识范围 （1）函数的概念 函数的定义、函数的表示法、分段函数、隐函数 （2）函数的性质 单调性、奇偶性、有界性、周期性

（3）反函数 反函数的定义、反函数的图像 （4）基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数 （5）函数的四则运算与复合运算 （6）初等函数 2、要求 （1）理解函数的概念。会求函数的表达式、定义域及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单的分段函数的图像。 （2）理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。 （3）了解函数与其反函数之间的关系（定义域、值域、图像），会求单调函数的反函数。 （4）熟练掌握函数的四则运算与复合运算。 （5）掌握基本初等函数的性质及其图像。 （6）了解初等函数的概念。 （7）会建立简单实际问题的函数关系式。 （二）极限 1、知识范围 （1）数列极限的概念 数列：数列极限的定义 （2）数列极限的性质 唯一性、有界性、四则运算法则、夹逼定理、单调有界数列极限存在定理 （3）函数极限的概念 函数在一点处极限的定义、左、右极限及其与极限的关系、趋于无穷时函数的极限、函数极限的几何意义 （4）函数极限的性质 唯一性、四则运算法则、夹通定理 （5）无穷小量与无穷大量 无穷小量与无穷大量的定义、无穷小量与无穷大量的关系、无穷小量的性质、无穷小量的阶 （6）两个重要极限 2、要求 （1）理解极限的概念（对极限定义中“”、“”、“”等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 （2）了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 （3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 （4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。