高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式章末小结与测评创新应用教学案新人教A版选修4_5

——教学资料参考参考范本——高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式章末小结与测评创新应用教学案新人教A版选修4_5

______年______月______日

____________________部门

(1)柯西不等式取等号的条件实质上是：＝＝…＝.这里某一个bi 为零时，规定相应的ai为零．

(2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组．

(3)可以利用向量中的|α||β|≥|α·β|的几何意义来帮助理解柯西不等式的几何意义．

若n是不小于2的正整数，求证：

4

7

＜1－＋－＋…＋－＜.

[证明] 1－＋－＋…＋－1

2n

＝－2＝＋＋…＋，

所以求证式等价于＜＋＋…＋＜.

由柯西不等式，有

?

????1n＋1＋1n＋2

＋…＋12n [(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n]≥n2， 于是＋＋…＋1

2n

≥＝＝≥＝，

又由柯西不等式，有＋＋…＋＜

（12＋12＋…＋12）??

?

???1（n＋1）2＋1（n＋2）2

＋…＋1（2n）2＜ ＝. 设a ，b ，c ，d 为不全相等的正数． 求证：＋＋＋>.

[证明] 记s ＝a ＋b ＋c ＋d ，则原不等式等价于

s

s－d

＋＋＋>. 构造两组数

s－d ，，，；，，，，由柯西不等式得

[()2＋()2＋()2＋()2]·[＋＋＋]≥(1＋1＋1＋1)2. 即[4s －(a ＋b ＋c ＋d)]·(＋＋＋)≥16， 于是＋＋＋≥，

等号成立?s －d ＝s －a ＝s －b ＝s －c ?a ＝b ＝c ＝d. 因题设a ，b ，c ，d 不全相等，故取不到等号， 即＋＋＋>.

利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足．

已知正实数u ，v ，w 满足u2＋v2＋w2＝8，求＋＋的最小值． [解] ∵u2＋v2＋w2＝8.

∴82＝(u2＋v2＋w2)2＝? ??

??u2

3·3＋v24·4＋w25·52

≤(9＋16＋25)， ∴＋＋≥＝.

当且仅当÷3＝÷4＝÷5，

即u ＝，v ＝，w ＝2时取到“＝”号， ∴当u ＝，v ＝，w ＝2时＋＋的最小值为.

设ai∈R＋(i ＝1，2，…，n)且i ＝1，求：

S ＝＋＋…＋的最小值．

[解] S ＝＋＋…＋关于a1，…，an 对称， 不妨设1＞a1≥a2≥…≥an＞0， 则0＜2－a1≤2－a2≤…≤2－an ， 且≥≥…≥＞0，

∴S ≥(a1＋a2＋…＋an)? ??

??1

2－a1＋12－a2＋…＋12－an

＝.

又由柯西不等式，得

[(2－a1)＋(2－a2)＋…＋(2－an)]?

?1

2－a1＋12－a2＋

?

??

…＋

12－an ≥n2， 而(2－a1)＋(2－a2)＋…＋(2－an)＝2n －1， 所以，S≥×＝，

当且仅当a1＝a2＝…＝an ＝时，上面几个不等式的等号成立，于是S 的最小值为.

已知实数x 、y 、z 满足x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，且x ＋y ＋z

的最大值是7，求a 的值．

[解] 由柯西不等式： [x2＋(2y)2＋(3z)2][12＋＋] ≥.

因为x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)， 所以a≥(x＋y ＋z)2， 即－≤x＋y ＋z≤.

因为x ＋y ＋z 的最大值是7， 所以＝7，得a ＝36，

当x ＝，y ＝，z ＝时，x ＋y ＋z 取最大值， 所以a ＝36.

(1)用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．

(2)注意等号成立的条件．

在△ABC 中，试证：≤＜.

[证明] 不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C. 由排序不等式，得

aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC≥bA＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC.

相加，得3(aA ＋bB ＋cC)≥(a＋b ＋c)(A ＋B ＋C)＝π(a ＋b ＋c)． 得≥，①

又由0＜b ＋c －a ，0＜a ＋b －c ，0＜a ＋c －b ，有 0＜A(b ＋c －a)＋C(a ＋b －c)＋B(a ＋c －b) ＝a(B ＋C －A)＋b(A ＋C －B)＋c(A ＋B －C) ＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C) ＝(a ＋b ＋c)π－2(aA ＋bB ＋cC)． 得＜.②

由①、②得原不等式成立．

一、选择题 1．函数y ＝＋2的最大值是( ) A. B. C ．3 D ．5

解析：选B 根据柯西不等式，知y ＝1×＋2×≤×＝. 2．n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是 ( )

A ．1

B ．n

C ．n2 D.1n

解析：选C 设n 个正数为x1，x2，…，xn ，由柯西不等式，

得(x1＋x2＋…＋xn)(＋＋…＋)

≥?

????x1×1x1＋x2×1x2＋…＋xn ×1xn 2 ＝(1＋1＋…＋1)2＝n2.

3．设x 、y 、z ，满足x2＋2y2＋3z2＝3，则x ＋2y ＋3z 的最大值是( )

A ．3

B ．4 C. D ．6

解析：选A 构造两组数：x ，y ，z 和1，，， 由柯西不等式得

[x2＋(y)2＋(z)2][12＋()2＋()2]≥ (x ＋2y ＋3z)2，

∴(x ＋2y ＋3z)2≤18，∴－3≤S ≤3. 二、填空题

4．设a ，b 是给定的正数，则＋的最小值为________． 解析：＋＝(sin2α＋cos2α)? ????

a2sin2α＋b2cos2x

≥＝(a ＋b)2. 答案：(a ＋b)2

5．x ∈R ，则＋的最大值为________．

解析：(＋)2≤(12＋12)(1＋sin x ＋1－sin x)＝4，∴＋≤2. 当且仅当＝，即sin x ＝0时取等号． 答案：2

6．函数y ＝＋的最小值为________． 解析：y ＝＋＝＋

32

1－2x

＝[2x ＋(1－2x)] ≥＝25. 答案：25

7．已知a ，b ，x ，y ＞0，且 ab ＝4，x ＋y ＝1，则(ax ＋by)·(bx ＋ay)的最小值为________．

解析：[()2＋()2]·[()2＋()2] ≥(·＋·)2＝(·x ＋·y)2 ＝ab(x ＋y)2＝ab ＝4. 答案：4 三、解答题

8．已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，求e 的取值范围．

解：∵4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a ＋b ＋c ＋d)2，即4(16－e2)≥(8－e)2，64－4e2≥64－16e ＋e2，即5e2－16e≤0，

∴e(5e －16)≤0，故0≤e ≤.

9．设a 、b 、c 为正数，且a ＋2b ＋3c ＝13，求＋＋的最大值．

解：(a ＋2b ＋3c)??????

（3）2＋12＋? ????132

≥?

?

???a ·3＋2b ·1＋3c ·132

＝(＋＋)2. ∴(＋＋)2≤. ∴＋＋≤.

当且仅当＝＝时取等号．

又a＋2b＋3c＝13，

∴a＝9，b＝，c＝.

∴＋＋有最大值.

10．求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值．

解：由柯西不等式，得

(12＋22＋12)×[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]≥[1×(y －1)＋2×(3－x－y)＋1×(2x＋y－6)]2＝1，

即(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2≥，

当且仅当＝＝，即

x＝，y＝时，上式取等号．

故所求x＝，y＝.

(时间：90分钟满分：120分)

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)

1．设M＝a2＋b2＋c2＋d2，N＝ab＋bc＋cd＋da，则M与N的大小关系是( )

A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N

解析：选A 取两组数a，b，c，d；b，c，d，a，则由柯西不等式有

(a2＋b2＋c2＋d2)(b2＋c2＋d2＋a2)≥(ab＋bc ＋cd ＋da)2， 即(a2＋b2＋c2＋d2)2≥(ab＋bc ＋cd ＋da)2， ∵a2＋b2＋c2＋d2≥0，

∴a2＋b2＋c2＋d2≥ab ＋bc ＋cd ＋da. ∴M ≥N.

2．若a ，b ，c 均为正数且a ＋b ＋c ＝6，则＋＋的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．6 D ．12

解析：选C 不妨设a

3．若5x1＋6x2－7x3＋4x4＝1，则3x ＋2x ＋5x ＋x 的最小值是( )

A. B. C ．3 D.253

解析：选B ∵[3x＋2x ＋

5(－x3)2＋x]≥(5x1＋6x2－7x3＋4x4)2＝1， 即3x ＋2x ＋5x ＋x≥.

4．设x1，x2，x3取不同的正整数，则m ＝＋＋的最小值是( )

A ．1

B ．2 C. D.49

36

解析：选C 设a1，a2，a3是x1，x2，x3的一个排列且满足

a1＜a2＜a3.

∴a1≥1，a2≥2，a3≥3， 又∵1＞＞，

∴x1＋＋≥1＋＋＝.

5．已知(x－1)2＋(y－2)2＝4.则3x＋4y的最大值为( )

A．1 B．10 C．11 D．21

解析：选D ∵[(x－1)2＋(y－2)2](32＋42)≥[3(x－1)＋4(y－2)]2，

即(3x＋4y－11)2≤100.

∴3x＋4y－11≤10，3x＋4y≤21.

当且仅当＝＝时取等号．

6．已知α，β为锐角，且＋＝1，则α＋β等于( )

A. B. C. D.5π12

解析：选A ∵(sin2β＋cos2β)≥sin2α＋cos2α＝1，当且仅

当sin α＝cos β，cos α＝sin β时等号成立，

即α＝β＝，∴α＋β＝.

7．已知x＋3y＋5z＝6，则x2＋y2＋z2的最小值是( )

A. B. C. D．6

解析：选C 由柯西不等式，得x2＋y2＋z2＝(12＋32＋52)·(x2

＋y2＋z2)·≥(1×x＋3×y＋5×z)2×＝62×＝.

8．已知3x2＋2y2≤2，则3x＋2y的取值范围是( )

A．[0，] B．[－，0]

C．[－，] D．[－5，5]

解析：选C |3x＋2y|≤·≤，

∴－≤3x＋2y≤.

9．(湖南高考)设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝( )

A. B. C. D.3 4

解析：选C 由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax

＋by＋cz)2＝400，当且仅当＝＝＝时取等号，因此有＝.

10．已知a，b，c∈R＋，设P＝2(a3＋b3＋c3)，Q＝a2(b＋c)＋

b2(c＋a)＋c2(a＋b)，则( )

A．P≤Q B．P＜Q

C．P≥Q D．P＞Q

解析：选C 取两组数a，b，c；a2，b2，c2.

不管a，b，c的大小顺序如何，a3＋b3＋c3都是顺序和；a2b＋

b2c＋c2a及a2c＋b2a＋c2b都是乱序和，故有

a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a，

a3＋b3＋c3≥a2c＋b2a＋c2b，

∴2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．

∴P≥Q.

二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)

11．函数y＝2＋的最大值是________．

解析：y＝×＋2x－3

≤＝.

答案：3

12．若x＋y＋z＋t＝4，则x2＋y2＋z2＋t2的最小值为________．解析：比较已知条件、待求式子，发现把待求式子乘以一个常量后，可满足四维柯西不等式条件并同时用到已知条件，得

(x2＋y2＋z2＋t2)(12＋12＋12＋12)≥(x＋y ＋z ＋t)2，当且仅当x ＝y ＝z ＝t ＝1时，取最小值4.

答案：4

13．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，且＞，x ＞y ，则与的大小关系是________．

解析：∵＞，∴b＞a ＞0.又x ＞y ＞0， 由排序不等式知，bx ＞ay. 又－＝＞0， ∴＞.

答案：＞y

y＋b

14．设a ，b ，c 均为实数，则的最大值为________． 解析：∵a＋b －c ＝a ＋×b－×c， 由柯西不等式得

(a ＋b －c)2＝? ??

??a＋22×2b－3

3×3c 2

≤(a2＋2b2＋3c2)， ∴a ＋b －c ≤.

∴≤.故所求的最大值为. 答案：

66

6

三、解答题(本大题共有4小题，共50分)

15．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：＋＋≥.

证明：∵左边

＝(12＋12＋12)??????

? ????a＋1a 2＋? ????b＋1b 2＋? ????c＋1c 2

≥13??????1×? ????a＋1a ＋1×? ????b＋1b ＋1×? ????c＋1c 2 ＝13????

??1＋? ????1a ＋1b ＋1c 2 ＝13????

??1＋（a＋b＋c）? ????1a ＋1b ＋1c 2 ≥(1＋9)2＝＝右边． ∴原结论成立．

16．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为正数．求证： 2≥＋＋.

证明：由对称性，不妨设a≥b≥c>0. 于是a ＋b≥a＋c≥b＋c ，a2≥b2≥c2. 故≥≥.由排序原理知：

a2

b＋c ＋＋≥＋＋， a2

b＋c ＋＋≥ b2

b＋c

＋＋， 将上面两个同向不等式相加，得 2≥＋＋.

17．(本小题满分12分)已知a1，a2，…an 为实数且a1＋a2＋a3＋…an ＝10，求a ＋a ＋a ＋…＋a 的最小值．

解：由n(a ＋a ＋…＋a)

＝(1＋1＋…＋1)(a ＋a ＋…＋a) ≥(a1＋a2＋…＋an)2， ∴a ＋a ＋…＋a ≥.

∴a ＋a ＋…＋a 的最小值为.

18．(本小题满分14分)设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c2＝1，求＋＋ c 的最大值．

解：因为a ，b ，c 为正数，

所以a ＋b ＋4c2＝()2＋()2＋(2c)2，

于是(a ＋b ＋4c2)??????

12＋12＋? ????122

＝[()2＋()2＋(2c)2]?

?????

12＋12＋? ????122

≥(＋＋c)2，

故(＋＋c)2≤1×＝， ∴＋＋c ≤.

等号成立?＝＝2c.

解方程组???a＋b＋4c2＝1，

a ＝

b ＝22c.

∴?????a＝25

，b＝2

5，c＝2020

. ∴＋＋c 的最大值为.

沪教版高一数学教案

沪教版高一数学教案 精品文档 沪教版高一数学教案 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征; 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系; 掌握常用数集及其记法; 教学重点:掌握集合的基本概念; 教学难点:元素与集合的关系; 教学过程: 一、引入课题 军训前学校通知:8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生～ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体。 阅读课本P2-P3内容 集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合 ，也简称集。 3. 思考1:判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由: 大于3小于11的偶数; 我国的小河流; 非负奇数; 1 / 3 精品文档 方程x210的解; 某校2007级新生; 血压很高的人; 著名的数学家;

平面直角坐标系内所有第三象限的点全班成绩好的学生。 对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征 确定性:设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。互异性:一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体， 因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。集合相等:构成两个集合的元素完全一样。 5. 元素与集合的关系; 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作:a?A 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作:aA 例如，我们A表示 “1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3?A 4A，等等。 6(集合与元素的字母表示: 集合通常用大写的拉丁字母A，B，C表示，集合的元素用 小写的拉丁字母a,b,c,表示。 ,(常用的数集及记法: 2 / 3 精品文档 非负整数集，记作N; 正整数集，记作N*或N+; 整数集，记作Z; 有理数集，记作Q; 实数集，记作R; 例题讲解: 例1(用“?”或“”符号填空: ; ; Z; 设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国A，美国，印度A， 英国 A。例2(已知集合P的元素为1,m,m23m3, 若3?P且-1P，求实数m的值。

元一次不等式章节复习含知识点

元一次不等式章节复习 含知识点 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

一、归纳总结 1.不等式的概念： 一元一次不等式的概念： 2.不等式的基本性质： 基本性质1： 基本性质2： 基本性质3： 3. 一元一次不等式的解法： 步骤：去分母，，移项，， 在数轴上表示不等式的解集： 解集为： 4.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中，各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集. 一般由两个一元一次不等式组成的不等式组由四种基本类型确定，它们的解集、数轴 表示如下表：（设a；④b （）

A. ②③ B. ②③④ C. ①②③④ D. ②④ 例2 若b a >，则下列不等式成立的是（ ） A ．33-<-b a B ．b a 22->- C ．44b a < D ．1->b a 变式：已知a b <，下列式子：①22a b <；②33a b -<-；③0a b -<；④a b ->-；⑤ac bc <.其中正确的有（ ） 个 B. 2个 C. 3个 D. 5个 例3 解不等式：4(x －1)＞5x －6. 例4 解不等式组：1 2315x x,x x .?-???- -≥-?＜（） 例5 不等式4－3x ≥2x －6的非负整数解有（ ） 个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个 变式：不等式组30,32 x x -≥???2 ,12a x a x 无解，则a 的取值范围是（ ） ≤－3 ＜－3 ≥－3 ＞－3 例7 若关于x 的方程3x+2m=2的解是正数，则m 的取值范围是 。 变式1：m 取何值时，关于x 的方程 的解大于1 x m x 431-=+

3.均值不等式(全国卷1)

第三节：均值不等式 1.★★若正数a b c ，，满足24288c bc ac ab ＋＋＋＝，则2a b c ＋＋的最小值为 A. 3 B.23C.2 D.2 2 答案：D 2. ★★(2014 河北唐山二模文)若实数a b c ，，满足2228a b c ＋＋＝，则a b c ＋ ＋的最大值为 A.9 B.23 C.3 2 D.2 答案：D 3. ★★(2014 河北衡水四调理)已知,,,ABC A B C ?∠∠∠中的对边分别为,,a b c ,若 1, 2 2a cosC c b =+=,则ABC ?的周长的取值范围是__________. 答案：](32， 4. ★ (2014 河北衡水三调理)已知,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a c b >> 答案：C 5.★★( 2014 河北衡水三调理)已知各项均为正数的等比数列满足, 若存在两项 的最小值为 （ ） A ． B ． C ． D ．9 答案：A 6. ★★(2014 河北衡水三调文)已知0,0,lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，则113x y +的最小值是. 答案：4 7. ★★(2014 河北衡水四调文)函数2()2l n f x x x b x a =+-+(0,)b a R >∈在点{}n a 7652a a a =+,m n a a 114 4,a m n =+则3 2 539 4

(),()b f b 处的切线斜率的最小值 是（ ） A.2 1 答案：A 8. ★★(2014 河北冀州中学月考文)若正实数满足 恒成立，则 的最大值为. 答案：1 9. ★★★(2012 山西襄汾中学高考练兵理)设x 、y 满足约束条件，若目 标函数(00)z ax by a b =+>>其中，的最大值为3，则+的最小值为 A ．3 B ．1 C ．2 D ．4 答案：A 10. ★★★(2014 河南郑州2014第一次质量预测理)已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ?=?= ，则对任意的正实数t ，1||c ta b t ++ 的最小值是（ ） A ．2 B ．．4 D ．答案：B 11. ★★(2014 河南中原名校期中联考理)已知00x y ＞，＞，若222y x m m x y 8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．42m m ≥≤或－ B ．24m m ≥≤或－ C ．24m －＜＜ D ．42m －＜＜ 答案：D 12. ★(2013 河南许昌市期中理)若实数x y ，满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是 ． 答案： ,x y 2x y +=M ≥M 23023400x y x y y -+≥?? -+≤??≥? 1a 2 b

柯西不等式的应用(整理篇)

柯西不等式的证明及相关应用 摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式： ()2 2211n n b a b a b a +++Λ()()2 222122221n n b b b a a a ++++++≤ΛΛ()n i R b a i i Λ2,1,,=∈ 等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数 ()()()2 2 222 11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=Λ =()()() 2 222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ 由构造知 ()0≥x f 恒成立 又22120n n a a a +++≥Q L ()()() 0442 2221222212 2211≤++++++-+++=?∴n n n n b b b a a a b a b a b a ΛΛΛ 即()()() 22221222212 2211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即12 12n n a a a b b b ===L 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法 （1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()2 11a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ( )()()()2 2 22 22222212 1211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++ ()()()2 22 1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立 （2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()() 22 221222212 2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当 i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立 设A=22221k a a a +++Λ B=2 2221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L 2 C AB ≥∴

高中数学目录(沪教版)

高中数学教材（沪教版）目录 高一上 第一章集合与命题 一集合 1.1集合及其表示法 1.2集合之间的关系 1.3集合的运算 二四种命题的形式 1.4命题的形式及等价关系 三充分条件与必要条件 1.5充分条件、必要条件 1.6子集与推出关系 第二章不等式 2.1不等式的基本性质 2.2一元二次不等式的解法2.3其他不等式的解法 2.4基本不等式及其应用 *2.5不等式的证明 第三章函数的基本性质3.1函数的概念3.2函数关系的建立 3.3函数的运算 3.4函数的基本性质 第四章幂函数、指数函数和对数函数（上）一幂函数 4.1幂函数的性质与图像 二指数函数 4.2指数函数的性质与图像 *4.3借助计算器观察函数递增的快慢 高一下 第四章幂函数、指数函数和对数函数（下）三对数 4.4对数的概念及其运算 四反函数 4.5反函数的概念 五对数函数 4.6对数函数的性质与图像 六指数方程和对数方程 4.7简单的指数方程

4.8简单的对数方程 第五章 三角比 一 任意角的三角比 5.1任意角及其度量 5.2任意角的三角比 二 三角恒等式 5.3同角三角比的关系和诱导公式 5.4两角和与差的正弦、余弦和正切 5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切 三 解斜三角形 5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形 第六章 三角函数 一 三角函数的图像及性质 6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 6.2正切函数的图像与性质 6.3函数()sin y A x ωφ=+的图像与性质 二 反三角函数与最简三角方程 6.4反三角函数 6.5最简三角方程 高二上 第七章 数列与数学归纳法 一 数列 7.1数列 7.2等差数列 7.3等比数列 二 数学归纳法 7.4数学归纳法 7.5数学归纳法的应用 7.6归纳—猜想—证明 三 数列的极限 7.7数列的极限 7.8无穷等比数列各项的和 第八章 平面向量的坐标表示 8.1向量的坐标表示及其运算 8.2向量的数量积 8.3平面向量的分解定理 8.4向量的应用 第九章 矩阵和行列式初步 一 矩阵 9.1矩阵的概念 9.2矩阵的运算 二 行列式 9.3二阶行列式 9.4三阶行列式

必修5-第三章不等式知识点总结

不等式知识总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,；bc ac c b a 0,;bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,>; (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax （0>a ）和)0(02><++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 )(x x < 有两相等实根b x - == 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于取两边，小于取中间 三、均值不等式：若0a >，0b >，则a b +≥，即).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 1. 使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 2、常用的基本不等式：①()2 2 2,a b ab a b R +≥∈；②()22 ,2 a b ab a b R +≤∈； ③()20,02a b ab a b +?? ≤>> ???；④()2 22,22a b a b a b R ++??≥∈ ? ?? ;⑤)0(2>≥+ab b a a b 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 211 2 a b a b +≥≥ ≥ +（当a = b 时取等）

高中数学不等式知识点总结

弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、

三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a

一元一次不等式章节复习(含知识点)

一元一次不等式（组）章节复习 一、归纳总结 1.不等式的概念： 一元一次不等式的概念： 2.不等式的基本性质： 基本性质1： 基本性质2： 基本性质3： 3. 一元一次不等式的解法： 步骤：去分母， ，移项， ， 在数轴上表示不等式的解集： 解集为： 4.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中，各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集. 一般由两个一元一次不等式组成的不等式组由四种基本类型确定，它们的解集、数轴 表示如下表：（设a；④b y ≤.其中是不等式的有（ ） A. ②③ B. ②③④ C. ①②③④ D. ②④ 例2 若b a >，则下列不等式成立的是（ ） A ．33-<-b a B ．b a 22->- C ．44b a < D ．1->b a

变式：已知a b <，下列式子：①22a b <；②33a b -<-；③0a b -<；④a b ->-；⑤ac bc <.其中正确的有（ ） A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 5个 例3 解不等式：4(x －1)＞5x －6. 例4 解不等式组：1 2315x x,x x .?-???- -≥-?＜（） 例5 不等式4－3x ≥2x －6的非负整数解有（ ） A.1 个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个 变式：不等式组30,32 x x -≥???2 ,12a x a x 无解，则a 的取值范围是（ ） A.a ≤－3 B.a ＜－3 C.a ≥－3 D.a ＞－3 例7 若关于x 的方程3x+2m=2的解是正数，则m 的取值范围是 。 变式1：m 取何值时，关于x 的方程 的解大于1 的解满足11 x y ?，求k 的变式2：求关于x ，y 的方程组: 整数值。 x m x 431-=+3223x y k y x +=??-=?

高中数学竞赛均值不等式讲义

均值不等式 1.均值不等式 知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元，即： 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数，则 12n a a a n ++ + ≥1 23 a a a a n === =）. 如何证明? 知识点2: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数 ,n Q , 12n n a a a A n ++ += , n G =, 12 111n n n H a a a = ++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当 123a a a a n ====) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1 1 ( )n i i a n α α =∑,特 别的,我们有: lim ()n f G αα→=，1 1 ()( )n i i a f n α α α==∑为关于α的增函数. 知识点3:重要结论 (1)2 22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (2) ()2 ,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5) ,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++ (6) 222;2a a a b b a b b -≥-+≥(a,b,c>0) (7) 2222221 ()()3 a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0) (8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则 21 1 1 n n i i i i a n a ==?≥∑∑ (当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++ 知识点4:加权平均值不等式 已知 12+...1(0,1,2.,,,) n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数 12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥.

不等式知识点详解

考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ §06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a b b a （对称性） （2）c a c b b a >?>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+?>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +≤（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.

2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式达标训练新人教A版选修

2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式达 标训练新人教A 版选修 基础·巩固 1.如下图所示，矩形OPAQ 中，a 1≤a 2，b 1≤b 2，则阴影部分的矩形的面积之和_________空白部分的矩形的面积之和. 思路分析：这可沿图中线段MN 向上翻折比较即知.当然由图我们可知,阴影面积=a 1b 1+a 2b 2,而空白面积=a 1b 2+a 2b 1.根据顺序和≥反序和可知答案. 答案：≥ 2.设a 、b 、c 为某一三角形三边长，求证： a 2(b+c-a)+ b 2(c+a-b)+ c 2(a+b-c)≤3abc. 思路分析：运用排序原理，关键是弄出有序数组，通常从函数的单调性质去寻找，如f(x)=x 2在R +单调递增，f(x)=在R +单调递减. 证明：不妨设a≥b≥c，易证a(b+c-a)≤b(c+a -b)≤c(a+b -c). 由排序原理得a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c) ≤a·b(c+a -b)+b·c(a+b -c)+c·a(b+c -a)=3abc. 3.对a,b,c∈R +,比较a 3+b 3+c 3与a 2b+b 2c+c 2a 的大小. 思路分析:将式子理解为积的形式a 2·a+b 2·b+c 2·c,a 2b+b 2c+c 2a,再依大小关系可求解. 解：取两组数a,b,c ；a 2,b 2,c 2. 不论a,b,c 的大小顺序如何，a 3+b 3+c 3都是顺序和，a 2b+b 2c+c 2a 都是乱序和； 故由排序原理可得a 3+b 3+c 3≥a 2b+b 2c+c 2a. 4.求证:正实数a 1,a 2,…,a n 的任一排列为a 1′,a 2′,…，a n ′，则有≥n. 思路分析:本题考查如何将和的形式构造为积的形式,本题关键是将n 理解为n 个1相加,而把1理解为x·的形式.这种方法有普遍的应用,应该加以重视. 证明：取两组数a 1,a 2,…,a n ；,,…,. 其反序和为=n ，原不等式的左边为乱序和，有≥n. 5.已知a,b,c∈R +，求证：≥a 10+b 10+c 10. 思路分析:可以发现左右两边的次数相等,因此,应该进行适当的拼凑,使其成为积的形式. 证明：不妨设a≥b≥c>0,则>0且a 12≥b 12≥c 12>0, 则ab c bc b ab a ab c ca b bc a 12 1212121212++≥++ c c b b a a a c c b b a 11 1111111111++≥++==a 10+b 10+c 10. 6.设a 1,a 2, …,a n 是1,2, …,n 的一个排列，求证： n n a a a a a a n n 1322113221-++≤-+++ .

沪教版高中数学高二下册 -12.7 抛物线的标准方程 教案

教学题目：抛物线的标准方程 教学目标： 1. 能力与技能： （1）掌握抛物线的定义，理解抛物线的发生过程 （2）掌握抛物线的四种标准方程、图像、焦点、准线之间的关系 （3）会用待定系数法确定抛物线标准方程。 2. 过程与方法： （1） 有实际问题引入要研究的课题，发展学生的实践能力，通过实验使学生 发现抛物线的形成过程。 （2） 求抛物线的焦点坐标和准线方程中贯彻数形结合的思想。 （3） 掌握待定系数法在方程中的应用。 3. 情感与价值观： 让学生学会细心观察周围的事物，数学来源于生活，又为生活服务。 教学过程： 一.引入：探照灯、汽车前灯、卫星天线、激光 望远镜都是利用抛物线原理制成的，因此在生活当 中，抛物线是一个用途非常广泛的曲线。下面简单 介绍抛物线的光学反射原理，引起学生的兴趣。从 而引出课题：抛物线的标准方程。 二.新课： 1. 抛物线的定义：先从一个有趣的实验说起，仔细讲解实验的过程，让学生从实验的过程中发现抛物线的特点，从中学生可以自己总结出抛物线的定义：平面上与一个定点F 和一条定直线l(F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F 叫做抛物线的焦点。定直线l 叫做抛物线的准线。同时强调抛物线定义也是抛物线的性质即：是抛物线上的点就满足到焦点距离等于到准线的距离。 2. 抛物线标准方程的推导： 求一般曲线的方程（一般步骤）：1.建系2.设点3列式4.化简 建立抛物线的坐标系（由学生讨论）过点F 做准线L 的垂线，垂足为K 。以直线KF 为x 轴，线段KF 的中垂线为y 轴建立直角坐标系。 设︱KF ︱= p,则焦点F 的坐标是(2p ,0),准线l 的方程为2 p x -=

【高中数学】公式总结(均值不等式)

均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』

例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

二维形式的柯西不等式知识点梳理

课题：二维形式的柯西不等式 备课教师：沈良宏参与教师：郭晓芳、龙新荣审定教师：刘德清 1、教学重点：二维形式柯西不等式的证明思路，二维形式柯西不等式的应用. 2、教学难点：二维形式柯西不等式的应用. 3、学生必须掌握的内容： 1．二维形式的柯西不等式 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 2．柯西不等式的向量形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 3．二维形式的三角不等式 设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2. 注意： 1．二维柯西不等式的三种形式及其关系 定理1是柯西不等式的代数形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式． 根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示． 2．理解并记忆三种形式取“＝”的条件 (1)代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号． (2)向量形式中当存在实数k，α＝kβ或β＝0时取等号． (3)三角形式中当P1，P2，O三点共线且P1，P2在原点O两旁时取等号． 3．掌握二维柯西不等式的常用变式 (1) a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|. (2) a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|. (3) a2＋b2·c2＋d2≥ac＋bd. (4)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2. 4．基本不等式与二维柯西不等式的对比 (1)基本不等式是两个正数之间形成的不等关系．二维柯西不等式是四个实数之间形成的不等关系，从这个意义上讲，二维柯西不等式是比基本不等式高一级的不等式． (2)基本不等式具有放缩功能，利用它可以比较大小，证明不等式，当和(或积)为定值时，可求积(或和)的最值，同样二维形式的柯西不等式也有这些功能，利用二维形式的柯西不等式求某些特殊函数的最值非常有效． 4、容易出现的问题： 在二维形式的柯西不等式相关要点中，对式子(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2取等号的条件容易忽略，由于式子过长容易弄错各个数据之间的对应关系，使用公式时容易混淆公式中数据之间的关系，数据位置易出错。 5、解决方法：

不等式知识点归纳与总结

授课教案 教学标题 期末复习（三） 教学目标 1 、不等式知识点归纳与总结 教学重难点 重点：不等式基础知识点的熟练掌握 难点：不等式在实际应用中的相互转换 上次作业检查 授课内容： 一、数列章节知识点复习 1 等差数列 （1）性质：a n =an+b ，即a n 是n 的一次性函数，系数a 为等差数列的公差； （2） 等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ?? ? ? ?-+?? ? ??=+=22122即S n 是n 的不含常数项的二次函数； 若{a n }，{b n }均为等差数列，则{a n ±n n },{ ∑=k 1 i k a },{ka n +c}（k ，c 为常数）均为等差数 列； 当m+n=p+q 时，a m +a n =a p +a q ，特例：a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…；当2n=p+q 时，2a n =a p +a q ； ① 等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍...,,232k k k k k S S S S S --； ② 若等差数列的项数为2()+∈N n n ，则， 奇偶nd S S =-1 +=n n a a S S 偶 奇 ； 等差数列 等比数列 定义 d a a n n =-+1 )0(1 ≠=+q q a a n n 递推公式 d a a n n +=-1；()n m a a n m d =+- q a a n n 1-=；m n m n q a a -= 通项公式 d n a a n )1(1-+= 11-=n n q a a （0,1≠q a ） 中项 2 k n k n a a A +-+= （*,,0n k N n k ∈>>） )0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±= （*,,0n k N n k ∈>>） 前n 项和 )(2 1n n a a n S += d n n na S n 2 )1(1-+ = () ? ????≠--=--==)1(111)1(111q q q a a q q a q na S n n n 重要性质 ),,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈+=+) ,,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈?=?

不等式选讲知识点归纳及近年高考真题

不等式选讲知识点归纳及近年高考真题 考点一：含绝对值不等式的解法 例1．(2011年高考辽宁卷理科24)已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|. （I ）证明：-3≤f （x ）≤3；（II ）求不等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集. 解：（I ）3, 2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤?? =---=-<+-=a x a x x f （1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集；(2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{} 1-≤x x ，求a 的值。

高中数学知识点精讲精析 排序不等式

2 排序不等式 先来看一个问题： 设有10个人各拿一只水桶去接水，若水龙头注满第i 个人的水桶需要i a 分钟，且这些i a 各不相同。那么，只有一个水龙头时，应如何安排10个人接水的顺序，才能使它们等待的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？ 解决这一问题，就需要用到排序不等式的有关内容。在没有找到合理的解决办法之前，同学们可以猜测一下，怎样安排才是最优的接水顺序？ 为了解决这一问题，先来了解排序不等式。 一般地，设有两组正数n a a a ,,,21 与n b b b ,,,21 ，且n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21. 若将两组中的数一对一相乘后再相加， 则其和同序时最大，倒序时最小.即 （倒序）（乱序）（同序）1 12121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n i n i i n n n +++≥+++≥+++- 其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的任一个排列，等号当且仅当n a a a === 21或 n b b b === 21时成立。 下面采用逐步调整法证明排序不等式。 证明：考察任意和式n i n i i b a b a b a s +++= 2121。 若1i b 是1b ，则转而考察2i b ； 若1i b 不是1b ，而某一k i b 是1b 。将1i b 与k i b 调整位置，得 n k i n i k i i b a b a b a b a s +++++=' 1221 则 0))(()()(111111≥--=-+-=-'i k i i k i i b b a a b b a b b a s s k k 这就是说，当把第一项调整为11b a 后，和不会减少。同样，可将第二项调整为22b a ，…，

高中数学讲义 均值不等式

微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n n H a a a = +++L （2）几何平均数：12n n n G a a a =L （3）代数平均数：12n n a a a A n +++= L （4）平方平均数：222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两个2x ，则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??=

基本不等式柯西不等式知识点复习

基本不等式及应用 一、考纲要求： 1.了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．了解证明不等式的基本方法——综合法． 二、基本不等式 三、常用的几个重要不等式 (1)a 2＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R) (2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (3)a 2 ＋b 2 2≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零) 上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b. 四、算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的 算术平均数不小于它们的几何平均数． 四个“平均数”的大小关系； a ， b ∈R+： 当且仅当a ＝b 时取等号. 五、利用基本不等式求最值：设x ，y 都是正数． (1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2P. (2)如果和 x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值14 S 2 . 强调：1、 “积定和最小，和定积最大”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数； +≤≤2 a b ≤+2ab a b

定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。 等：等号成立的条件必须存在. 2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．） 想一想:错在哪里？ 3、已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋1x )(y ＋1 y )的最小值为________． 解一：因为对a>0，恒有a ＋1a ≥2，从而z ＝(x ＋1x )(y ＋1 y )≥4，所以z 的最小值是4. 解二：z ＝2＋x 2y 2 －2xy xy ＝(2 xy ＋xy)－2≥2 2 xy ·xy －2＝2(2－1)，所以z 的最小值是2(2－1)． 【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的． 【正确解答】 z ＝(x ＋1x )(y ＋1y )＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋x ＋y 2 －2xy xy ＝2 xy ＋xy －2， 令t ＝xy ，则0-+ =x x x x f 33 ()222 23326f x x x x x x x x x =+ ≥? -->?? =?=?-? 解：当且仅当即时，函数 的最小值是23x =+大家把代入看一看，会有 什么发现？用什么方法求该函数的 最小值？