江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳数学应试笔记
第20讲 函数与方程
一．课标要求：
1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；
2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。 二．命题走向
函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。
预计高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。
（1）题型可为选择、填空和解答；
（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。 三．要点精讲
1．方程的根与函数的零点
（1）函数零点 概念：对于))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点。
二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的零点：
１）△＞０，方程02
=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；
２）△＝０，方程02
=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；
３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。 零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
0)()(
2.二分法
二分法及步骤：
对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε； （2）求区间a (，)b 的中点1x ； （3）计算)(1x f ：
①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；
②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）；
③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）； （4）判断是否达到精度ε；
即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4。 注：函数零点的性质
从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；
从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；
若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点； 若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点。
注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件)(a f ·)(b f 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。 3．二次函数的基本性质
（1）二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ；y =a (x －x 1)(x －x 2)；y =a (x －x 0)2
+n 。
（2）当a >0，f (x )在区间［p ，q ］上的最大值M ，最小值m ，令x 0=2
1
(p +q )。
若－a b 2
b 2)=m ，f (q )=M ；
若x 0≤－a b 2 b 2≥q ，则f (p )=M ，f (q )=m 。 （3）二次方程f (x )=ax 2 +bx +c =0的实根分布及条件。 ①方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小?a ·f (r )<0； ②二次方程f (x )=0的两根都大于r ??? ? ????>?>->-=?0)(,2,042r f a r a b ac b ③二次方程f (x )=0在区间(p ，q )内有两根??????? ??>?>?<- <>-=??; 0)(,0)(,2, 042p f a q f a q a b p a c b ④二次方程f (x )=0在区间(p ，q )内只有一根?f (p )·f (q )<0，或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检 验)检验另一根若在(p ，q )内成立。 四．典例解析 题型1：方程的根与函数零点 例1．方程lg x +x =3的解所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) 题型2：零点存在性定理 例2．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； B ．若0)()( C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； D ．若0)()( 例3．方程0)(=x f 在[0，1]内的近似解，用“二分法”计算到445.010=x 达到精确度要求。那么所取误差限ξ是（ ） A ．0.05 B ．0.005 C ．0.0005 D ．0.00005 解析：由四舍五入的原则知道，当)4455.0,4445.0[10∈x 时，精度达到445.010=x 。此时差限ξ是0.0005，选项为C 。 点评：该题考察了差限的定义，以及它对精度的影响。 题型4：应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解 例4．借助计算器，用二分法求出x x 32)62ln(=++在区间（1，2）内的近似解（精确到0.1）。 解析：原方程即023)62ln(=+-+x x 。 令23)62ln()(+-+=x x x f ， 取区间中点1x =1.5，且00.1)5.1(-≈f ，从而，可知零点在（1，1.5）内； 再取区间中点2x =1.25，且20.0)25.1(≈f ，从而，可知零点在（1.25，1.5）内； 同理取区间中点3x =1.375，且0)375.1( 由于区间（1.25，1.375）内任一值精确到0.1后都是1.3。故结果是1.3。 点评：该题系统的讲解了二分法求方程近似解的过程，通过本题学会借助精度终止二分法的过程。 题型5：一元二次方程的根与一元二次函数的零点 例5．设()()f x ax bx c a =++>2 0，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足121 0x x a <<< . 当() x x ∈01,时，证明()x f x x <<1。 证明：由题意可知 ))(()(21x x x x a x x f --=-， a x x x 1 021<<<<Θ, ∴ 0))((21>--x x x x a , ∴ 当()x x ∈01,时，x x f >)(。 又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f , ,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且 ∴ 1)(x x f <, 综上可知，所给问题获证。 变式．已知二次函数)0,,(1)(2 >∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x . （1）如果4221<< 题型6：二次函数的图像与性质 例6．在下列图象中，二次函数y =ax 2 +bx 与指数函数y =（ a b ）x 的图象只可能是（ ） 题型7：二次函数的综合问题 例7．已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =+。 (Ⅰ)求函数()g x 的解析式； (Ⅱ)解不等式()()1g x f x x ≥--； (Ⅲ)若()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围。 解析：(Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则 000 0,,2 .0,2 x x x x y y y y +?=?=-???? +=-??=??即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上 ∴()2 2 2 22,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故 (Ⅱ)由()()2 1210g x f x x x x ≥----≤， 可得 当1x ≥时，2 210x x -+≤，此时不等式无解。 当1x <时，2 210x x +-≤，解得112 x -≤≤。 因此，原不等式的解集为11,2 ??-??? ? 。 （Ⅲ）()()()21211h x x x λλ=-++-+ ①()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数， 1λ∴=- ②11.1x λ λλ -≠-= +当时，对称轴的方程为 ⅰ）111, 1.1λ λλλ-<-≤-<-+当时,解得 ⅱ）111,10.1λ λλλ ->-≥--<≤+当时,解得 0.λ≤综上， 点评：本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。 五．思维总结 1．函数零点的求法： ①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函 数的性质找出零点。 2．学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题。 由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质。 （1）二次函数的一般式c bx ax y ++=2 )0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数。 （2）数形结合：二次函数()0)(2 ≠++=a c bx ax x f 的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易， 形象直观。因为二次函数()0)(2 ≠++=a c bx ax x f 在区间]2,(a b - -∞和区间),2[+∞-a b 上分别单调，所以函数()x f 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数)(x f 在 闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得。 【课后提高】 1、设方程2210x x +=的根为β,则β∈（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 2、方程2 23x x -+=的实数解的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．1 D ．4 3、函数()26ln f x x x =-+的零点一定位于下列哪个区间( ) A. (1,2) B.(2,3) C.()3,4 D. ()4,5 4、若方程2ax 2 －x －1=0在x ∈（0，1）内恰有一解，则a 的取值范围是 （ ） A ．a<－1 B ．a>1 C ．－1 8 44212121x x x x x x 是成立的 （ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6、函数()2x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ） A ．(2,1)-- B ．(1,0)- C ．(0,1) D ．(1,2) 7、若存在负实数使得方程 1 1 2-= -x a x 成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．),2(+∞ B. ),0(+∞ C. )2,0( D. )1,0( 8、如果函数()22f x x a x =-()0a >没有零点，则a 的取值范围为( ) A ．()0,1 B ．()0,1) 2,+∞U C ．()0,1()2,+∞U D ．(2()2,+∞U 9、若函数a ax ax y 1 2+-=的定义域为R ，则实数a 的取值范围为______________. 10、已知二次函数．()2(21)12f x x a x a =+-+- （1）判断命题：“对于任意的∈a R （R 为实数集），方程1)(=x f 必有实数根”的真假，并写出判断过程 （2），若()y f x =在区间)0, 1(-及)2 1,0(内各有一个零点．求实数a 的范围 11、如图是一个二次函数()y f x =的图象. （1）写出这个二次函数的零点； （2）写出这个二次函数的解析式及[]2,1x ∈-时函数的值域。 12、已知二次函数0),c(a bx ax f(x)2<++=不等式x 2f(x)->的解集为（1，3）. （Ⅰ）若方程0a 6f(x)=+有两个相等的实根，求f(x)的解析式； （Ⅱ）若f(x)的最大值为正数，求实数a 的取值范围. 第21讲函数模型及其应用 一．课标要求： 1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义； 2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。 二．命题走向 函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。 预测高考将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。 （1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题； （2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。 三．要点精讲 1．解决实际问题的解题过程 （1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量； （2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式； （3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示： 2 （1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间 的关系，数据的单位等等； （2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建 立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定 义域； （3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算 函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。 四．典例解析 题型1：正比例、反比例和一次函数型 例1．某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？ 题型2：二次函数型 例2．一辆中型客车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数x（x∈N）的变化关系如表所示，则客车的运输年数为（）时该客车的年平均利润最大。 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 变式．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，要继续向前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫刹车距离。为测定某种型号汽车的刹车性能，对这种型号的汽车在国道公路上进行测试，测试所得数据如下表。在一次由这种型号的汽车发生的交通事故中，测得刹车距离为15.13m，问汽车在刹车时的速度是多少？ 例3．某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元. （1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：50 3000 3600- =12 ，所以 这时租出了88辆车. （2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为：f （x ）=（100－ 50 3000 -x ）（x －150）－503000-x ×50，整理得：f （x ）=－502x +162x －21000=－50 1（x －4050）2 +307050.所 以，当x =4050时，f （x ）最大，其最大值为f （4050）=307050.即当每辆车的月租金定为4050 元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元. 题型3：分段函数型 例4．某集团公司在2000年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理工厂，如下表： 一期2000年投入1亿元 兴建垃圾堆肥厂 年处理有机肥十多万吨 年综合收益 2千万元 二期2002年投入 4亿元 兴建垃圾焚烧发电一 厂 年发电量1.3亿kw/h 年综合收益 4千万元 三期2004年投入 2亿元 兴建垃圾焚烧发电二厂 年发电量1.3亿kw/h 年综合收益 4千万元 如果每期的投次从第二年开始见效，且不考虑存贷款利息，设2000年以后的x 年的总收益 为f (x )（单位：千万元），试求f （x ）的表达式，并预测到哪一年能收回全部投资款。 解析：由表中的数据知，本题需用分段函数进行处理。由表中的数据易得， f (x )= ?? ? ??∈-+-+∈-+∈}765{ ),4(4)2(42}43{ ),2(42}21{ ,2Λ，，，，x x x x x x x x x 。显然，当n ≤4时，不能收回投资款。 当n ≥5时，由f (n)=10n-24>70，得n>9.4，取n=10。 所以到2010年可以收回全部投资款。 变式．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市 场售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2—10中（2）的抛物线表示. （1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P ＝f （t ）； 写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g （t ）； （2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大? （注：市场售价和种植成本的单位：元／102 ，ｋg ，时间单位：天） 题型4：指数、对数型函数 例5．有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V 立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合。 用)0(])0([)(≥-+=-p e r p g r p t g t v r ，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称 其湖水污染质量分数），)0(g 表示湖水污染初始质量分数。 （1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数； （2）分析r p g < )0(时，湖水的污染程度如何。 解析： （1）设210t t <≤， 因为)(t g 为常数，)()(21t g t g =，即0]][)0([21=----t v r t v r e e r p g ，则r p g =)0(； （2）设210t t <<，=-)()(21t g t g ]][)0([21t v r t v r e e r p g ---- =2112])0([t t v r t v r t v r e e e r p g +-?- 因为0)0(<- r p