西南财经大学高等数学期末考卷及解答
西南财经大学本科期末考试试卷
课程名称：《高等数学》下册 担任教师：涂晓青等
考试学期：2010－ 2011学年第 二 学期 专业： 学号： 年级： 姓名：
考试时间：2009年 6 月 日（星期 ） 午 ： -- ：
题号 一 二 三 四 五 六 七
八
总分 阅卷
人
成绩
出题教师必填：1、考试类型：闭卷。
2、本套试题共 道大题，共 页，完卷时间 分钟。
3、考试用品中除纸、笔、尺子外，可另带的用具有：
计算器[ ] 字典[ ] 等
（请在下划线上填上具体数字或内容，所选[ ]内打钩） 考生注意事项：1、出示学生证或身份证于桌面左上角，以备监考教师查验。
2、拿到试卷后清点并检查试卷页数，如有重页、页数不足、空白页及刷模糊等举手向监考教师示意调换试卷。
3、做题前请先将专业、年级、学号、姓名填写完整。
4、考生不得携带任何通讯工具进入考场。
5、严格遵守考场纪律。
一、填空题（每小题2分，共20分）：
1. 微分方程230y y y '''--=的通解为 .
2. ,1,0,450x y z d ++==点(2)到平面3的距离 .
3．过点(1,1,1)M ，且垂直向量2n i j k =+-的平面为 ．
4. 设()()2
2
2
2,x
y f x y x y e x
y ++-=-，则f
= .
5. 若x y y x f =),(，且0>y ，则),1(e f xy
''= . 6. 设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{3
1=n ，则)
3,2,1(n u ??= .
7. 二次积分2
11
y x
dx e dy =?? .
8. 设(,)f x y 连续，且(,)2(,)D
f x y xy f u v dudv =+??, 其中22{(,)2}D x y x y x =+≤，则
(,)f x y ＝ .
9．已知椭圆22
143
x y +
=的周长为a , 则32(34)x y ds +?＝ . 10. 将函数()2x f x e -=展为x 的幂级数为2x e -= . 二、选择题（每小题2分，共10分）：
1. 方程()dy x xydx dy dx x y 232+=+-是（ ）. ① 变量可分离方程 ② 齐次方程 ③ 一阶线性方程 ④ 以上均不正确 2．下列曲面中，( ) 是平行x 轴的柱面．
① 223x y += ② 22x z y =+ ③ 22z x -= ④ 22231y z +=
3．设方程xyz =(,)z z x y =，则(,)z x y 在点(1,0,1)-处的全微分dz =（ ）.
① dx ② dx +
③ dx -- ④ dx -+
4．1
2200
()dx f x y dy +=?( )．
(1) 1
20
2()f r dr π? ②
1
()8
rf r dr π
?
③ 1
202()rf r dr π? ④ 1
220
()8
f r dr π
?
5．下列关于函数的结论中正确是( )．
① 驻点一定是可微分极值点 ② 可微分极值点一定是驻点 ③ 有极大值一定有最大值 ④ 有最大值一定有极大值 二、 解答题（每小题7分，共56分）： 1．求微分方程x
y y
y -=
'的通解. 2．求"2y y x +=-微分方程的通解. 3. 设y
x z arctan
=，求z z x y x y ??+??.
4. 设(,)0ax bz cy dz Φ+-=，验证
1d z b z
c y a x
??-=??. 5
．求二重积分D
，其中D 由y = x 2，y =1 及 y 轴所围成.
6．设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，求曲线积分?-L
ydx xdy 2的值.
7. 求幂级数∑
∞
=+1
1
n n
n x 的收敛区间. 8．求幂级数21
1(1)(1)2n
n
n x x n ∞
=+-<∑的和函数f (x ). 四、应用题（每小题8分，共8分）：
某厂生产甲、乙两种型号的汽车，当日产量分别为x 辆、y 辆时，总成本函数
2
22
1),(y xy x y x C +
-=（万元） 总收入函数为y x y x R 24),(+=，且两种汽车日产量共19辆。问各生产多少辆时，总利润最多？
四、证明题（每小题6分，共6分）：
证明：22
22
22, 0(,) 0, 0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?
在点(0,0) 处不连续但偏导数存在.
2008级《高等数学》期末试题参考解答
一、填空题（每小题2分，共20分）： 1.()为任意常数21231,C C e C e C y x x -+=.；
2..
；
3．12(1)(1)022x y z x y z -+---=+-=或 ； 4.22e ; 5. 2;
6. 33;
7. 1(1)2
e - ; 8.
xy ; 9． 12a ; 10.0
(2)!n n
n x n ∞
=-∑.
三、 选择题（每小题2分，共10分）：
1. ③； 2．④； 3．①； 4．④； 5．②. 四、 解答题（每小题7分，共56分）： 1．解： 将原方程化为一阶线性非齐次方程
11
=+x y
dy dx 3分 所以原方程的通解为
11
112
dy dy
y y C x e e
dy C y y -
????=??+=+???????. 7分 2．解：所给方程对应的齐次方程为"0y y +=
特征方程为10λ+=，特征根为i λ=± 2分 所以对应齐次方程的通解为 *12cos sin y C x C x =+ 4分
设非其次方程的特解形式为 10~
A x A y +=y Ax = 代入原方程解的2A =- , 于是非齐次方程的一个特解为2y x =- 6分 故原方程的通解为 122cos sin y x C x C x =-++. 7分 3. 解：2
2222
22)()
(11,1)
(11y x x
y x y
x y
z y x y
y y
x x
z
+-==-+=??+=+=??
6分 ∴ 2222
0xy xy z z
x
y x y x y x y ??+=-=??++ 7分
4. 解：12(,)()()0x x ax bz cy dz a bz dz ΦΦ+-++?-= 12(,)()()0y y ax bz cy dz bz c dz ΦΦ+-+?-= 3分 12
2121,a c z z x
d b y d b ΦΦΦΦΦΦ??=
=
?-?- 6分 21
2121
1d b d z b z c y
a x
d b d b ΦΦ??-=
-=??Φ-ΦΦ-Φ 7分
5．解:
21
1
x
D
dx =??
3分
23
1
120
2|3x y dy =? 5分
1
303221(1)3342
x dx =-=?=? 7分
6．解：正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，用参数方程可表示为
.2
0:,
sin 2,
cos 2π
θθθ→
??
?==y x 2分
于是
θθθθθπ
d ydx xdy L
]sin 2sin 22cos 2cos 2[220
?+?=-??
5分
=.2
3sin 220
2π
θθππ
=
+?d 7分 7.解： 11
121
lim
lim
1
=++=∞
→+∞→n n a a n n
n n , 所以收敛半径为1. 2分 当x = 1时, 得级数∑
∞
=+1
1
1
n n 发散, 4分 当x = －1时, 得级数∑
∞
=+-1
1
)1(n n
n 收敛. 6分 于是收敛区域为[－1, 1). 7分 8．解: 212
1()(1)1n n n x f x x x ∞
-='=-=-
+∑ 3分
上式两边从0到x 积分，得
2
201()(0)ln(1)12
x
t f x f dt x t -=-=-++?
6分 由f (0) = 1, 得
21
()1ln(1),(1)2
f x x x =-+< 7分
四、应用题（每小题8分，共8分）：
解：设总利润函数为2
22
124),(),(),(y xy x y x y x C y x R y x L -
+-+=-= 2分 约束条件为x + y = 19
)19(2
1
24),,(22-++-+-+=y x y xy x y x y x F λλ 4分
令??
?
??=-+=+-+=++-0
19020
24y x y x y x λλ 解得???==118y x 7分
由于实际问题存在最大值，所以工厂分别生产甲、乙两种型号的汽车8，11辆 时，总利润最多，5.17)11,8(max =L （万元）。 8分 四、证明题（每小题6分，共6分）：
证明：因为
所以
),(lim 0
0y x f y x →→ 不存在, 所以),(y x f 在点(0, 0) 处不连续, 3分
但(,0)(0,)0f x f y ==，则(0,0)(0,0)0x y f f ==
故(,)f x y 在点(0,0) 处偏导数存在. 6分