2020届 重庆市南开中学 高三下学期3月月考数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市南开中学高三下学期4月月考数学（理）试
题
一、单选题 1．如果复数12ai
i
-+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为（ ） A ．1 B ．-1
C ．3
D ．-3
【答案】D
【解析】由复数的除法运算化简得到实部和虚部，令其相等即可得解. 【详解】
()()()()()1221212225
ai i a a i
ai i i i ----+-==++-， 由题意知：21255
a a
-+=-，解得3a =-. 故选D. 【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算及实部和虚部的定义，属于基础题. 2．若{0,1,2}A =，{|2,}a B x x a A ==∈，则A B =U （ ） A ．{0,1,2} B ．{0,1,2,3} C ．{0,1,2,4} D ．{1,2,4}
【答案】C
【解析】先求出集合B ，再求并集即可. 【详解】
由{}0,1,2A =，得{}
{}|2,1,2,4a
B x x a A ==∈=.
{}0,1,2,4A B ?=.
故选C. 【点睛】
本题主要考查了集合的描述法及并集的运算，属于基础题.
3．向量(2,)a t =v
，(1,3)b =-v
，若a v ，b v
的夹角为钝角，则t 的范围是（ ） A ．23
t <
B ．23
t >
C ．2
3
t <
且6t ≠- D ．6t <-
【答案】C
【解析】若a v ，b v 的夹角为钝角，则0a b v n v <且不反向共线，进而利用坐标运算即可
得解. 【详解】
若a v
，b v
的夹角为钝角，则0a b v n v
<且不反向共线，
230a b t =-+ v n ，得23 t <. 向量()2,a t =v ，()1,3b =-v 共线时，23t ?=-，得6t =-.此时2a b v v =-. 所以2 3 t <且6t ≠-. 故选C. 【点睛】 本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题. 4．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 4 π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米， 你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ） （参考数据：2 1.414,3 1.732≈≈） A ．1.012米 B ．1.768米 C ．2.043米 D ．2.945米 【答案】B 【解析】由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长. 【详解】 由题：“弓”所在弧长 5 4488 l ππππ =++=，其所对圆心角 5 8 52 4 π π α ==， 两手之间距离2 1.25 1.768 d=?≈. 故选：B 【点睛】 此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息. 5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有 A．60种B．70种C．75种D．150种 【答案】C 【解析】试题分析：因,故应选C． 【考点】排列数组合数公式及运用． 6．已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的表面积是( ) A．162 +B．122226 +C．1822 +D．1622 + 【答案】B 【解析】如图所示，还原几何体，证明CD CP ⊥，计算表面积得到答案. 【详解】 还原几何体，如图所示：连接AC 简单计算得到22AC CD ==4=AD ，故AC CD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，故 PA CD ⊥.故CD CP ⊥，23PC = 表面积为：()11111 2422242222222322222 S = ?+?+??+??+??? 122226=+故选：B 【点睛】 本题考查了三视图，表面积的计算，还原几何体是解题的关键. 7．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 x π =对称的函数是（ ） A ．2sin 23y x π?? =+ ?? ? B ．2sin 26y x π?? =- ?? ? C ．2sin 23x y π??=+ ??? D ．2sin 23y x π?? =- ?? ? 【答案】B 【解析】首先选项C 中函数2sin 23x y π?? =+ ???的周期为241 2T ππ==,故排除C,将3 x π = ,代入A,B,D 求得函数值,而函数sin()y A x B ω?=++在对称轴处取最值,即可求 出结果. 【详解】 先选项C 中函数2sin 23x y π?? =+ ???的周期为241 2 T π π==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值为0,3而函数sin()y A x B ω?=++在对称轴处取最值. 故选:B . 【点睛】 本题考查三角函数的周期性、对称性,难度较易. 8．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ） A ．20i <，1 S S i =-，2i i = B ．20i ≤，1S S i =-，2i i = C ．20i <，2S S =，1i i =+ D ．20i ≤，2 S S = ，1i i =+ 【答案】D 【解析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 【详解】 根据题意可知，第一天1 2S =，所以满足2S S =，不满足1S S i =-，故排除AB ， 由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2 S S =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤. 故选D. 【点睛】 本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题. 9．已知α是第二象限角，且3 sin()5 πα+=-，则tan2α的值为（ ） A ． 45 B ．237- C ．247 - D ．249 - 【答案】C 【解析】根据诱导公式得sin α，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得tan α，再 利用正切的二倍角公式可得解. 【详解】 由()3sin 5πα+=- ，得3sin 5 α=. 因为α是第二象限角，所以4 cos 5 α=- . 3 4 sin tan cos ααα= =-. 232tan 242tan291tan 7 116 ααα- == =---. 故选C. 【点睛】 本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题. 10．己知函数()ln 1f x x x kx =-+在区间1,e e ?????? 上恰有一个零点，则实数k 的取值范 围是（ ） A ．{|1k k =或1}k e >- B ．1 {|11k k e ≤≤+或1}k e >- C ．1 {|11k k e e + <≤-或1}k e >- D ．1 {|11k k e e + <≤-或1}k = 【答案】D 【解析】构造函数()1 ln g x x x =+，利用导数得出其单调性，将零点问题，转化为函数的交点问题，即可得出答案. 【详解】 解：令ln 10x x kx -+=，则1 ln k x x =+ ；.令()1ln g x x x =+；()22111 x g x x x x -'= -=； ∴当1,1x e ??∈???? 时，() 0g x ￠<，()g x 单调递减；当[] 1,x e ∈时，() 0g x ￠>，()g x 单调递增； ∴当1x =时，有()min 1g x =，又∵11g e e ??=- ???，()11g e e =+ ，∴()1g e g e ??< ??? ∵()f x 在1,e e ?????? 上只有一个零点，∴()g x k =只有一个解；∴1k =或 1 11k e e +<≤-. 【点睛】 本题主要考查了已知函数的零点个数求参数范围，属于中档题. 11．在ABC ?中，AB AC == ABC ?所在平面内存在一点P 使得 22233PB PC PA +==，则ABC ?面积的最大值为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，写出,,A B C 三点的坐标，利用两点间距离公式，以及圆与圆的位置关系，解不等式，得出a 的范围，再由三角形的面积公式以及二次函数的性质，即可得出ABC ?面积的最大值. 【详解】 以BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系 设(),0B a -，(),0C a ，()0a >，则( A 设(),P x y ，由22233PB PC PA +==得 () () ( 2 2 2 2 2 233x a y x a y x y ? ?+++-+=+=??? ? 即2 2 2 32 x y a +=-，(2 21x y +-= 即点P 既在()0,0(为圆心，1为半径的圆上 可得11≤≤+，由两边平方化简可得22316 a ≤ 则ABC ?的面积为122S a =?== 由2 2316a ≤ ，可得2 2316a =，S . 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了两点间距离公式的应用以及由圆与圆的位置关系求参数范围，属于中档题. 二、填空题 12．已知抛物线24x y =焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y ，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为1A ，1B ，以下四个结论：①124x x =-，② 121AB y y =++，③112 A F B π ∠= ，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为 2.其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】设直线AB 为1y kx =+与抛物线联立，由韦达定理可判断①，由抛物线定义可判断②，由0FA FB ?=u u u r u u u r 可判断③，由梯形的中位线定理及韦达定理可判断④. 【详解】 物线24x y =焦点为(0,1)F ，易知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 为1y kx =+. 由2 1 4y kx x y =+?? =?，得2440x kx --=. 则12124,4x x k x x +==-，①正确； 1212||||||112AB AF BF y y y y =+=+++=++，②不正确； 1212(,2),(,2),40,FA x FB x FA FB x x FA FB =-=-∴?=+=∴⊥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，112 A F B π∠=， ③正确； AB 的中点到抛物线的准线的距离 21112121111 (||||)(2)(112)(44)22222 d AA BB y y kx kx k =+=++=++++=+≥ . 当0k =时取得最小值2. ④正确. 故选C. 【点睛】 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，转化与化归的能力，属于中档题. 13．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________. 【答案】40 【解析】先求出5(2)x y -的展开式的通项，再求出43,T T 即得解. 【详解】 设5(2)x y -的展开式的通项为555155(2)()(1)2r r r r r r r r r T C x y C x y ---+=-=-， 令r=3,则32323 454=40T C x y x y =--， 令r=2,则23 2 3 2 358=80T C x y x y =， 所以展开式中含x 3y 3的项为233233(40)(80)40x x y y x y x y ?-+?=. 所以x 3y 3的系数为40. 故答案为：40 【点睛】 本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．在锐角三角形ABC 中，a ，b ， c 分别为角A 、B 、C 所对的边，2sin c A =， c =ABC ?的面积为 2 ，+a b 的值为__________． 【答案】5 【解析】由正弦定理边化角可得3 C π =，由面积公式和余弦定理列方程可得+a b . 【详解】 2sin c A =，结合正弦定理可得 2sin sin ,sin 0,sin 2 A C A A C =≠∴= Q . 在锐角三角形ABC 中，可得3 C π = . 所以ABC ?的面积1333 sin 242 S ab C ab = == ，解得6ab =. 由余弦定理可得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=， 解得5a b +=. 故答案为5. 【点睛】 本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题. 15．如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上. （1）每次只能移动一个金属片； （2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为()f n ，则 ()f n =__________． 【答案】2n -1; 【解析】【详解】 设h （n ）是把n 个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数 n=1时，h （1）=1； n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h （2）=3=22-1； n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h （2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h （2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]， h （3）=h （2）×h （2）+1=3×2+1=7=23-1， h （4）=h （3）×h （3）+1=7×2+1=15=24-1， … 以此类推，h （n ）=h （n-1）×h （n-1）+1=2n -1， 故答案为:2n -1． 16．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是5)A ， B ，(0,1,0)C ，D ，则该四面体的外接球的体积为__________． 【答案】 92 π 【解析】 径，从而得解. 【详解】 采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体的长 3=，所以球半径为32，体积为34932 r ππ=. 【点睛】 本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题. 三、解答题 17．设数列{}n a 满足11 23 n n a a += +,14a = (1)求证:数列{}3n a -是等比数列; (2)求数列{}n a 的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析;(2)313123n n T n ?? ??=+- ? ? ????? . 【解析】（1）计算得到 131 33 n n a a +-=-，得到证明. （2）计算1 133n n a -??=+ ??? ，利用分组求和法计算得到答案. 【详解】 (1)1123n n a a +=+,14a =，故11123133333 313n n n n n n a a a a a a +-===---+-- 故{}3n a -是首项为1,公比为 1 3 的等比数列. (2) 1 133n n a -??-= ??? 故1 133n n a -??=+ ??? 故 011 1 1 1113 3(3 1 3331 3 ) n n n T n n - ?? - ? ???????? =++++=+ ? ? ? ??????- L 31 31 23 n n ?? ?? =+- ? ? ? ?? ?? 【点睛】 本题考查了等比数列的证明，分组求和法，意在考查学生对于数列方法，公式的综合应 用. 18．某市对全市高二学生的期末数学测试成绩统计显示，全市10000名学生的数学成 绩服从正态分布()2 100,15 N.现从甲校高二年级数学成绩在100分以上（含100分） 的共200份试卷中用系统抽样的方法抽取了20份试卷进行分析（试卷编号为001， 002，…，200），成绩统计如下： 试卷编号 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n 6 n 7 n 8 n 9 n 10 n 试卷得分109118112114126128127124126120 试卷编号 11 n 12 n 13 n 14 n 15 n 16 n 17 n 18 n 19 n 20 n 试卷得分135138135137135139142144148150 注：表中试卷编 123420 029 n n n n n <<<<<< L. （1）写出表中试卷得分为144分的试卷编号（写出具体数据即可）； （2）该市又用系统抽样的方法从乙校中抽取了20份试卷，将甲乙两校这40份试卷的 得分制作成如图所示的茎叶图，在这40份试卷中，从成绩在140分以上（含140分） 的学生中任意抽取3人，这3人中数学成绩在全市排名前15名的人数记为X，求随 机变量X的分布列和期望. 附：若()2, X Nμσ :，则()68.3% P X μσμσ -<<+=， () 2295.5% P X μσμσ -<<+=，() 3399.7% P X μσμσ -<<+= 【答案】（1）180；（2）详见解析. 【解析】（1）根据等距抽样的定义直接得到答案； （2）根据正态分布得到全市排名前15名的成绩全部在146分以上，（含146分），根据茎叶图，得出ξ的取值及其相应概率，即可得出随机变量X 的分布列和期望. 【详解】 （1）因为200份试卷中用系统抽样中等距抽样的方法抽取了20份试卷，所以相邻两份试卷编号相差为1，所以试卷得分为144分的试卷编号180. （2）∵15 0.001510000 =，根据正态分布可知： ()7414699.7%P X <<=， ∴()199.7% 1460.00152 P X -≥==，即全市排名前15名的成绩全部在146分以上，（含146分） 根据茎叶图可知这40人中成绩在146分以上含146分的有3人，而成绩在140分以上含140分的有8人， ∴ξ的取值为0，1，2，3 ()35385028C P C ξ===，()21 533 815 128C C P C ξ?=== ()12533815256C C P C ξ?===，()12533 81 356 C C P C ξ?=== ∴ξ的分布列为 因此()51515190123282856568 E ξ=?+?+?+?=. 【点睛】 本题主要考查了系统抽样，正态分布，分布列以及期望，属于中档题. 19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PC 上的点，且BE ⊥平面APC （1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ； （2）当三棱锥P ABC -体积最大时，求二面角B AC P --的余弦值． 【答案】（1）见证明；（2） 3 . 【解析】（1）通过侧面PAB ⊥底面ABCD ，可以证明出BC ⊥面PAB ，这样可以证明出 ⊥AP BC ，再利用BE ⊥平面APC ，可以证明出AP BE ⊥，这样利用线面垂直的判 定定理可以证明出AP ⊥面PBC ，最后利用面面垂直的判定定理可以证明出平面 PAD ⊥平面PBC ； （2）利用三棱锥体积公式可得 111 323 P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==????=??， 利用基本不等式可以求出三棱锥P ABC -体积最大值，此时可以求出,PA PB 的长度，以点O 为坐标原点，以OP ，OB 和OF 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -．求出相应点的坐标，求出面PAC 的一个法向量，面ABC 的一个法向量，利用空间向量数量积的运算公式，可以求出二面角B AC P --的余弦值. 【详解】 （1）证明：∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB ?底面ABCD AB =，四边形ABCD 为正方形，∴BC AB ⊥，面ABCD ， ∴BC ⊥面PAB ， 又AP ?面PAB ， ∴⊥AP BC ， BE ⊥平面APC ，AP ?面PAC ， ∴AP BE ⊥， BC BE B =I ，,BC BE ?平面PBC ， ∴AP ⊥面PBC ， AP ?面PAD ， ∴平面PAD ⊥平面PBC ． （2）111 323 P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --== ????=??， 求三棱锥P ABC -体积的最大值，只需求PA PB ?的最大值． 令,PA x PB y ==，由（1）知，PA PB ⊥， ∴224x y +=， 而22112 3323 P ABC x y V xy -+=≤?=， 当且仅当2x y == ，即2PA PB ==时， P ABC V -的最大值为 2 3 ． 如图所示，分别取线段AB ，CD 中点O ，F ，连接OP ，OF ， 以点O 为坐标原点，以OP ，OB 和OF 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -． 由已知(0,1,0), (0,1,2),(1,0,0)A C P -， 所以(1,1,0),(0,2,2)AP AC ==u u u r u u u r ， 令(,,)n x y z =r 为面PAC 的一个法向量， 则有0220x y y z +=??+=? ， ∴(1,1,1)n =-r 易知(1,0,0)m =r 为面ABC 的一个法向量， 二面角B AC P --的平面角为θ，θ为锐角 则cos 3n m n m θ?===?r r r r . 【点睛】 本题考查了证明面面垂直，考查了三棱锥的体积公式、基本不等式的应用，以及利用空间向量的数量积求二面角余弦值的问题. 20．已知点A ，B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，三角形ABM 的两条边AM ，BM 所在直线的斜率之积是3 4 - ． （I ）求点M 的轨迹方程： （II ）设直线AM 方程为()20x my m =-≠，直线l 方程为2x =，直线AM 交l 于P 点，点P ，Q 关于x 轴对称，直线MQ 与x 轴相交于点D ．若APD ? 面积为求m 的值． 【答案】（1）221(2)43x y x +=≠±（2 ）m = 【解析】(1)本题可以先将点M 的坐标设出，然后写出直线AM 的斜率与直线BM 的斜率,最后根据AM 、BM 所在直线的斜率之积是34 - 即可列出算式并通过计算得出结果； (2)首先可以联立直线AM 的方程与直线l 的方程，得出点P Q 、两点的坐标，然后联立直线AM 的方程与点M 的轨迹方程得出M 点坐标并写出直线MQ 的方程，最后求出 D 点坐标并根据三角形面积公式计算出m 的值． 【详解】 （1）设点M 的坐标为(),x y ，因为点A B 、的坐标分别为()20-， 、()20，， 所以直线AM 的斜率()22AM y k x x = ≠-+，直线BM 的斜率()22 BM y k x x =≠-， 由题目可知3224y y x x ?=-+-，化简得点M 的轨迹方程()22 1243 x y x +=≠±； （2）直线AM 的方程为()20x my m =-≠，与直线l 的方程2x =联立， 可得点42,P m ?? ???，故42,Q m ? ?- ?? ?. 将2x my =-与22143 x y +=联立，消去x ，整理得() 22 34120m y my +-=， 解得0y =，或2 1234m y m =+，根据题目可知点2226812,3434m m M m m ??- ?++?? ， 由42,Q m ? ? - ??? 可得直线MQ 的方程为()2221246842203434m m x y m m m m ??-????+---+= ? ? ?++??????， 令0y =，解得22 64 32m x m -=+，故2264032m D m ??- ?+?? ，， 所以22 22 641223232 m m AD m m -=+=++，APD ?的面积为22224112423232m m m m m ??=++ 又因为APD ?的面积为，故 2 2432 m m =+ 整理得2 320m m -+=，解得m =m =． 【点睛】 本题考查轨迹方程以及直线相交的综合应用问题，处理问题的关键是能够通过“AM 、 BM 所在直线的斜率之积是34 - ”列出等式以及使用m 表示出M Q D 、、三点的坐标， 然后根据三角形面积公式得出算式，即可顺利解决问题，计算量较大，是难题． 21．己知函数()2 x f x e ax =+，()3 ln g x ax x ax e x =+-，a R ∈. （1）求函数()f x 的零点个数； （2）若()()f x g x >对任意()0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）( ) 3 ,a e ∈-+∞. 【解析】（1）分离参数，利用导数得出()2x e t x x =的单调性，结合图象，即可得出函数 ()f x 的零点个数； （2）构造函数3()ln h t t a t e a =++-，t e ≥，分类讨论a 的值，利用导数得出其单 调性以及最值，即可得出a 的取值范围. 【详解】 解：（1）由题意，可知()01f =，∴0x =不是()f x 的零点 当0x ≠时，令()2 0x f x e ax =+=，整理得，2x e a x -= 令()2x e t x x =，0x ≠.则()()4 2x x x e t x x -'=. ()02t x x '>?>或0x <；()002t x x ' ∴函数()t x 在(),0-?上单调递增，在()0,2上单调递减，在()2,+? 上单调递增 即在2x =处取得极小值()2 24 e t =. ∵x →-∞，0t →；0x →，t →+∞；x →+∞，t →+∞ ∴函数()t x 大致图象如下图所示： 结合图形可知：①当0a -≤，即0a ≥时，2 x e a -=无解，即20x e ax +=无解，此时 ()f x 没有零点， ②当204e a <-<，即2 04e a <<时，20x e ax +=有1个解，此时()f x 有1个零点， ③当24e a -=，即2 4e a =-时，20x e ax +=有2个解，此时()f x 有2个零点， ④当24e a ->，即2 4 e a <-时，20x e ax +=有3个解，此时() f x 有3个零点， 综上所述，当0a ≥时，没有零点； 当2 04 e a -<<时，有1个零点； 当2 4e a =-时，有2个零点； 当2 4 e a <-时，有3个零点. （2）()()() 3 2 ln 0x f x g x e e x a x x x x -=++-->在()0,x ∈+∞上恒成立 ∴()33 ln 1ln 10x x x e e e a x e e a x x x x ??++- ++?-=??->在()0,x ∈+∞上恒成立 令x e t x =，2 (1)x x e t x '-= 01t x ' >?>；001t x ' e t x =在区间()0,1上单调递减，在区间 ()1,+?上单调递增，则t e … 令3()ln h t t a t e a =++-，t e ≥，()1a t a t h t t ' +=+ = 当a e ≥-时，()0h t '…，则函数()h t 在区间[),e +∞上单调递增 即33()()ln 0h t h e e a e e a e e =++-=+>…恒成立 当a e <-时，()0h t t a '>?>-；()0h t e t a ' 则函数()h t 在区间[),e a -上单调递减，在区间(,)a -+∞上单调递增 3()()ln()20h t h a a a e a ∴-=-+->…在区间[),e +∞上恒成立 令3()ln()2d a a a e a =-+-，()ln()10d a a '=--> ()d a ∴在区间(,)e -∞-上单调递增 ()33333ln 20d e e e e e -=-++=Q 3ln()20a a e a -+->，解得() 3 ,a e e ∈-- 综上，( ) 3 ,a e ∈-+∞ 【点睛】 本题主要考查了利用导数求函数零点的个数以及研究不等式的恒成立问题，属于中档题. 22．在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲 线C 的极坐标方程为2sin 2cos a ρθθ=（0a >），直线l 的参数方程为 22 4x y ? =-+??? ?=-?? （t 为参数）. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）己知点()2,4P --，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，若PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值. 【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为22y ax =（0a >），直线l 的普通方程为 20x y --=；（2）1. 【解析】（1）利用极坐标化直角坐标，参数方程化普通方程的方法化简即可； （2）直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，利用参数的几何意义，进行求解即可. 【详解】 解：（1）把cos sin x y ρθ ρθ =?? =?代入2sin 2cos a ρθθ=中，得到曲线C 的直角坐标方程为 22y ax =（0a >） 22 4x y ? =-+??? ?=-?? 消掉参数，得到直线l 的普通方程为20x y --= （2）直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，得 )()24840t a t a -+++= ()840a a ?=+>，点M ，N 分别对应参数1t ，2t 恰为上述方程的两实根 则)124t t a +=+，()1284t t a =+， 由PM ，MN ，PN 成等比数列得2 1212t t t t -=，即()2 1212124t t t t t t +-=， 代入得)() ()()2 448484a a a +-?+=+，解得1a =或4a =-，∵0a >∴ 1a =. 【点睛】 本题主要考查了极坐标化直角坐标，参数方程化普通方程，直线参数方程参数的几何意 重庆南开中学高2018级高一(上)期中考试数学(试题+答案) 重庆南开中学高2018级高一（上）期中考试 数 学 试 题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满 分150分，考试时间120分钟。 第I 卷（选择题 共60分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求） 1.下列说法正确的是（ ） A. N ∈-1 B. Q ∈2 C. π?R D. Z ?? 2.已知全集R,U = 集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =∈≥R ， 则右图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. {1} B ．{0,1} C ．{1,2} D ．{0,1,2} 3.给定映射f ：()(),2,2x y x y x y →+-，在映射f 下(3,1)的原像为（ ） A ．(1,3) B ．(3,1) C ．(1,1) D ．(5,5) 4.“2x y +>”是“1>x 且1y >”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要 条件 （ ） A ．3(,)2+∞ B ．(0,)+∞ C ．3 (0,)2 D ．3(,3)2 11.已知集合} 0,,,,0|{},032|{22 ≠∈≤++=>--=ac R c b a c bx ax x B x x x A ，若 (] 4,3=B A I ，R B A =Y ，则 22c a a b +的最小值是（ ） A ．3 B ．32 C ．1 D ．34 12.设集合{|16,}A x x x N =≤≤∈，对于A 的每个非空子集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（如：{1,2,5}的“交替和”是5214-+=，{3}的“交替和”就是3）.则集合A 的所有这些“交替和”的总和为（ ） A. 128 B. 192 C. 224 D. 256 第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）. 13.设2,(2015) ()(5),(2015) x x f x f x x +≤?=? ->? ，则(2018)f = ． 高三文科数学模拟试题 满分：150分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题 满分50分 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数31i i ++（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．2 B ．1- C ．2i D ．i - 2．已知集合{3,2,0,1,2}A =--，集合{|20}B x x =+<，则()R A C B ?=（ ） A ．{3,2,0}-- B ．{0,1,2} C ． {2,0,1,2}- D ．{3,2,0,1,2}-- 3．已知向量(2,1),(1,)x ==a b ，若23-+a b a b 与共线，则x =（ ） A ．2 B ． 12 C ．1 2 - D ．2- 4．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那 么这个几何体的表面积为（ ） A ．4π B ． 3 2 π C .3π D .2π 5．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6 π 个单位，得到函数 () y g x =的图象，则它的一个对称中心是（ ） A ．(,0)2π - B . (,0)6π- C . (,0)6π D . (,0) 3π 6．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ） A ．10- B ．3- C ． 4 D ．5 7. 已知圆22 :20C x x y ++=的一条斜率为1的切线1l ，若 与1l 垂直的直线2l 平分该圆，则直线2l 的方程为（ ） A. 10x y -+= B. 10x y --= C. 10x y +-= D. 10x y ++= 8．在等差数列{}n a 中，0>n a ，且301021=+++a a a Λ， 则65a a ?的最大值是( ) A ． 94 B ．6 C ．9 D ．36 正视图 侧视图 俯视图 1k k =+结束 开始 1,1 k s ==5?k < 2s s k =- 输出s 否 是 重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学（理科） 试题 一、单选题 (★) 1 . （） A．B．C．D． (★) 2 . 设集合，，则（）A．B．C．D． (★) 3 . 等差数列的前7项和为28，，则（） A．6B．7C．9D．14 (★) 4 . 若双曲线的一条渐近线方程为，则（） A．B．1C．2D．-8 (★★) 5 . 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（） A．42B．45C．46D．48 (★★) 6 . 重庆奉节县柑桔栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐 橙的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在的概率为（） 附：若，则； ； A．0.6826B．0.8413C．0.8185D．0.9544 (★★) 7 . 设，满足约束条件，则的最小值是（） A．4B．5C．8D．9 (★) 8 . 如图，给出的是求的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（） A．B．C．D． (★★) 9 . 记，则 （） A．81B．365C．481D．728 (★★) 10 . 已知函数的最小正周期为，且是函数图象的一条对称轴，则的最大值为（） A．1B．C．D．2 (★★★★) 11 . 已知函数，若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（） A．B．C．D． (★★) 12 . 如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（） A．-2B．1C．4D． 二、填空题 (★) 13 . 已知向量，且，则实数__________． (★★) 14 . 已知函数，则不等式的解集为__________． 2017年重庆市南开中学小升初招生真题卷 （时间：100分钟 满分：120分） 一、计算题（每小题5分，共35分） 1. ????????? ? ?--÷3224.3613922 2. 125.7545.68.0411836?+?+÷ 3. 143199163135115131+++++ 4. 2015 201420142014÷ 5. ?? ? ??-???? ??-???? ??-???? ??-???? ??+???? ??+???? ??+???? ??+???? ??+9117115113111011811611411211 6. 解方程： 612001500=+x x 7. 解方程：x x 312132211=??? ??+- 二、填空题（每小题3分，共30分） 1. 5 4的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的分数单位，如果它的分子增加9，要使分数大小不变，那么分子应该增加（ ）。 2. 已知A=532??, B=7322???, C=5332???，那么A 、B 、C 的最大公因数是 （ ），最小公倍数是（ ）。 3. 在一个减法算式中，差与减数的比是3：5，减数是被减数的（ ）%。 4. 一堆煤有15吨，先运走它的 31，再运走余下的31，还剩下（ ）吨。 5. 把2.7 ：541化成最简整数比是（ ）。 6. 50吨比40吨多（ ）%。 7. 一项工程，甲队单独做12天完成，乙队单独做15天完成，甲、乙两队合作需要 （ ）天完成。 8. 在比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是9 8，另外一个内项是（ ）。 9. 一个正方体的表面积为96平方厘米，若将它平均分成两个长方体，那么分成的一个 长方体的表面积为（ ）平方厘米。 10. 小明和甲、乙、丙、丁四个同学一起参加象棋比赛，每两人都要比赛一场。到现在 为止，小明已经比赛了4场，甲赛了3场，乙赛了2场，丁赛了1场，那么丙赛了 （ ）场。 三、解决问题（每小题5分，共55分） 1. 学校原来有足球和篮球共36个，其中足球和篮球个数之比为7 ：2，后来又买进一 些足球，这样使得足球占足球、篮球总数的80%，那么现在学校一共有多少个篮球和 足球？ 2. 把100克含盐30%的盐水稀释成含盐24%的盐水，还需要加水多少克？ 高考数学模拟试卷 数 学 第I 卷(客观题共60分) 一、选择题（共12题，每题5分，共60分） 1、已知集合{}{} 12,03A x x B x x =-<=<<，则A B =I （ ） A ．{} 13x x -<< B ．{} 03x x << C ．{ } 12x x -<< D ．{ } 23x x << 2、已知}5,53,2{2+-=a a M ，}3,106,1{2+-=a a N ，且}3,2{=?N M ，则a 的值（ ） A ．1或2 B ．2或4 C ．2 D ．1 3、设集合{|32}M m m =∈-< 重庆南开中学初2019级七年级（上）期末考试 数 学 试 题 卷 （全卷共四个大题，满分100分，考试时间120分钟） 注意事项：1．试题的答案书写在答题卷上，不得在试卷上直接作答． 2．考试结束，试题卷由学生自己保管，监考人员只收答题卷． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题2分，共20分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内． 1．在﹣3，﹣1，0，2这四个数中，最小的数是 A ．﹣3 B ．﹣1 C ．0 D ． 2 2．下列调查方式合适的是 A ．为了了解一批电视机的使用寿命，采用普查方式 B ．为了了解全国中学生的视力状况，采用普查方式 C ．对嫦娥三号卫星零部件的检查，采用抽样调查的方式 D ．为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式 3．右图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为 4．某班有60名学生，班长把全班学生对周末出游地的意向绘制成了扇形统计图，其中“想去重庆金佛山滑雪的学生数”的扇形圆心角是600，则下列说法正确的是 A ．想去重庆金佛山滑雪的学生有12人 B ．想去重庆金佛山滑雪的学生肯定最多 C ．想去重庆金佛山滑雪的学生占全班学生的 6 1 D ．想去重庆金佛山滑雪的学生占全班学生的60% 5．下列计算正确的是 A ．x 2+ x 2= x 4 B ．x 3·x ·x 4 = x 7 C ．a 4·a 4= a 16 D ． A ·a 2= a 3 6．下列判断错误．．的是 A ．多项式5x 2 － 2x + 4是二次三项式 B ．单项式4 3 2 c b a 的系数是－1，次数是9 C ．式子m +5，ab ，x=1，－2， s v 都是代数式 D.当k=3时，关于x ，y 的代数式(－3kxy + 3y )+(9xy － 8x + 1)中不含二次项 7．小明将前年春节所得的压岁钱买了一个某银行的两年期的理财产品，该理财产品的年回报率为4.5%，银行告知小明今年春节他将得到利息288元，则小明前年春节的压岁钱为 A ．6400元 B ．3200元 C ．2560元 D ．1600元 8．如图，已知A 、B 是线段EF 上两点，EA ：AB ：BF = 1：2：3， M 、N 分别为EA 、BF 的中点，且MN=8cm ，则EF 长 A. 9cm B ．10cm C ．11cm D ．12cm 2013年普通高考理科数学仿真试题 本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．第1卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上． 3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第I 卷(共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的． 1.函数12y x =-的定义域为集合A ，函数()121y n x =+的定义域为集合B ，则A B ?= A.11,22??- ??? B.11,22??- ??? C.1,2? ?-∞ ??? D.1,2??+∞???? 2.已知a R ∈，则“a ＞2”j “112 a ＜”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知向量()()1,,1,2a n b n ==--，若a 与b 共线，则n 等于 A.2 4.若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于 B.20π C.25π D.100π 5.若方程()()()211,1n x k k k Z x += +∈的根在区间上，则k 的值为 或2 或1 2015-2016学年重庆市南开中学高一（上）期末数学试卷 一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．已知集合A={x|2x≤4}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=（） A．[1，2] B．（1，2] C．（0，1）D．（0，1] 2．“”是“”的（）条件． A．充分不必要B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．已知一个扇形的周长为10cm，圆心角为2弧度，则这个扇形的面积为（）cm2．A．25 B．5 C．D． 4．已知函数，则f（x）的零点所在的区间为（） A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4） 5．函数f（x）=lg（﹣x2+x+6）的单调递减区间为（） A．B．C．D． 6．将函数y=sinx的图象上的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变得到图象C1，再将图象C1向右平移个单位得到的图象C2，则图象C2所对应的函数的解析式为（）A．B．C． D． 7．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c 8．已知α∈（0，π）且，则cosα的值为（） A．B．C．D． 9．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x）恒成立，且f（1）=1，则f+f A．0 B．1 C．2 D．3 10．化简tan20°+4sin20°的结果为（） A．1 B．C．D． 11．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，点B的坐标为（﹣1，2），点C位于第一象限，∠AOC=α．若|BC|=，则sin cos+cos2﹣=（） A．﹣B．﹣C．D． 12．已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（） A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1） 二.填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程） 13．已知幂函数在（0，+∞）单调递减，则实数m的值 为． 14．计算：= ． 15．已知θ∈（0，2π）且，则tanθ的值为． 16．已知函数，若存在实数k使函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围为． 2018-2019学年重庆市南开中学七年级（下）期末数学试卷 （考试时间：90分钟 满分：120分 ） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．使分式 24 x x -有意义的x 的取值范围是 （A ）2x = （B ）2x ≠ （C ）2x =- （D ）2x ≠- 2．5的算术平方根是 （A ）5-． （B ）5±． （C ）5． （D ）5±． 3．下列各数中，在1与2之间的数是 （A ）－1． （B ）3． （C ） 3 7 ． （D ）3． 4．一次函数2+=x y 的图象不经过．．． （A ）第一象限 （B ） 第二象限 （C ） 第三象限 （D ） 第四象限 5．如图，△ABC 的两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将该直角三角形折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ．则BE 的长为 （A ）4 cm ． （B ）5 cm ． （C ）6 cm ． （D ）10 cm ． 6．如图，将AOB △绕点O 逆时针旋转90，得到A OB ''△．若点A 的坐标为()a b ，，则点A '的坐标为 （A ）),(a b - （B ）),(b a - （C ）),(a b - （D ）),(b a - 7. 已知点A （1，m ）B （2，n ）是一次函数22--=x y 图象上的两点，则m 与n 的大小关系是 （A ）m > n ． （B ）m < n ． （C ）m = n ． （D ）以上都不对 2 4 A B C D E （第5题） （第6题） （第8题） 8. 如图，在平面直角坐标系中，点P （1 2 -，a ）在直线22y x =+与直线24y x =+之间，则a 的取值范围为 （A ）1＜a ＜3． （B ）2＜a ＜4． （C ）1＜a ＜2． （D ）0＜a ＜2． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9．计算:23-= ． 10．若分式 1 3 x x -+的值为0，则x 的值为 ． 11．已知正比例函数y kx =的图象经过点(2,6) -，则这个正比例函数的表达式为 . 12．将函数6y x =-的图象向上平移5个单位得到的函数关系式为___________. 13．在平面直角坐标系中，点（2，-1）关于x 轴的对称点的坐标是___________. 14．直线b x y +=2与x 轴的交点坐标是（2，0），则关于x 的方程02=+b x 的解是x ＝ ． 三、解答题（本大题共9小题，共78分） 15．（6分）计算：020164+3 8-- 16. （6分）计算：273 1321418-+- 高三数学模拟试卷 选择题（每小题5分，共40分） 1．已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,2,3}，N ＝{3,4,5}，则M ∩(eU N )＝（ ） A. {1,2} B.｛4,5｝ C.｛3｝ D.｛1,2,3,4,5｝ 2. 复数z=i 2(1+i)的虚部为（ ） A. 1 B. i C. -1 D. - i 3．正项数列{a n }成等比，a 1+a 2=3，a 3+a 4=12,则a 4+a 5的值是（ ） A. -24 B. 21 C. 24 D. 48 4．一组合体三视图如右，正视图中正方形 边长为2，俯视图为正三角形及内切圆， 则该组合体体积为（ ） A. 23 B. 43 π C. 23+ 43 π D. 5434327π+ 5．双曲线以一正方形两顶点为焦点，另两顶点在双曲线上，则其离心率为（ ） A. 22 B. 2+1 C. 2 D. 1 6．在四边形ABCD 中，“AB u u u r =2DC u u u r ”是“四边形ABCD 为梯形”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7．设P 在[0,5]上随机地取值，求方程x 2+px +1=0有实根的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 8．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R ,A >0,ω>0,|φ|<2 π ) 的图象（部分）如图所示，则f (x )的解析式是（ ） A ．f (x )=5sin( 6πx +6π) Ｂ．f (x )=5sin(6πx -6π) Ｃ．f (x )=5sin(3πx +6π) Ｄ．f (x )=5sin(3πx -6 π ) 二、填空题：（每小题5分，共30分） 9.直线y =kx +1与A （1,0），B （1,1）对应线段有公 共点，则k 的取值范围是_______. 10．记n x x )12(+ 的展开式中第m 项的系数为m b ，若432b b =，则n =__________. 11．设函数 3 1 ()12 x f x x -=--的四个零点分别为1234x x x x 、、、，则 1234()f x x x x =+++ ； 12、设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ 11.2 1 1 lim ______34 x x x x →-=+-. 14. 对任意实数x 、y ，定义运算x *y =ax +by +cxy ，其中 x －5 y O 5 2 5 重庆南开中学初2015级九年级(上)阶段测试(二) 数学试题 2014.12 参考公式：抛物线)0(2 ≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为???? ??--a b ac a b 4422，，对称轴为直线a b x 2-= 一、选择题(本大题12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号为 A 、 B 、 C 、 D 的四个答案。其中只有一个是正确的，请将答卷上对应的方框涂黑。 1．上下楼梯时，如果将上3步台阶记为+3，那么下3步台阶应该记为(▲)· A ．﹣3 B ．3 C ．+3 D ．0 2．计算()23 x 的结果是(▲)。 A ．5x B ．6x C ．9x D ．32x 3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(▲)。 4．函数x y -=3中，自变量x 的取值范围是(▲)。 A ．x ≠3 B ．3≥x C ．3＜x D ．3≤x 5．下列调查中，调查方式选择正确的是(▲)。 A ．为了了解某品牌手机的屏幕是否耐摔，选择全面调查 B ．为了了解玉兔号月球车的零部件质量，选择抽样调查 C ．为了了解南开步行街平均每天的人流量，选择抽样调查 D ．为了了解中秋节期间重庆市场上的月饼质量，选择全面调查 6．如图，直线m l ∥，将含?45角的三角板ABC 的直角顶点C 放在直线m 上， 若?=∠251，则2∠的度数为(▲)。 A ．20° B ．25° C ．30° D ．35° 7．如图，在ABCD 中，E 为CD 上一点，且32：：=CE DE ，连结AE 、 BD 相交于点F ，则△DEF 和△ABF 的面积之比为(▲)。 A ．2：3 B ．4：9 C ．2：5 D ．4：25 8．分式方程0347=-+x x 的根是(▲)。 A ．3-=x B ．3=x C ．1-=x D ． 1=x 9．如图，△ABC 的三个顶点都在 O 上，连结CO 、BO ，已知?=∠55A ，则BCO ∠ 的度数是(▲)。 A ．55° B ．45° C ．35° D ．30° 高三数学模拟试题及答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设集合≤ ≤ , ≤ ≤ ，则 2. 计算： A. B.- C. 2 D. -2 3. 已知是奇函数，当时，，则 A. 2 B. 1 C. D. 4. 已知向量 ,则的充要条件是 A. B. C. D. 6. 已知函数，则下列结论正确的是 A. 此函数的图象关于直线对称 B. 此函数的最大值为1 C. 此函数在区间上是增函数 D. 此函数的最小正周期为 8. 已知、满足约束条件， 若，则的取值范围为 A. [0，1] B. [1，10] C. [1，3] D. [2，3] 第二部分非选择题共100分 二、填空题本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分。 一必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。 9. 已知等比数列的公比为正数，且，则 = . 10. 计算 . 11. 已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线方程为 . 12. 若 n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 . 13. 已知 依此类推，第个等式为. 二选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的只算前一题得分。 14. 坐标系与参数方程选做题已知曲线C的参数方程为θ为参数，则曲线C上的点到直线3 -4 +4=0的距离的最大值为 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题满分12分 某连锁超市有、两家分店，对该超市某种商品一个月30天的销售量进行统计：分店的销售量为200件和300件的天数各有15天; 分店的统计结果如下表： 销售量单位：件 200 300 400 天数 10 15 5 1根据上面统计结果，求出分店销售量为200件、300件、400件的频率; 2已知每件该商品的销售利润为1元，表示超市、两分店某天销售该商品的利润之和，若以频率作为概率，且、两分店的销售量相互独立，求的分布列和数学期望. 19.本小题满分14分 已知数列中，，且当时，， . 记的阶乘 ! 1求数列的通项公式;2求证：数列为等差数列; 3若，求的前n项和. 20.本小题满分14分 已知椭圆：的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为 . 1求椭圆的方程; 2设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹的方程; 3设O为坐标原点，取上不同于O的点S，以OS为直径作圆与相交另外一点R，求该圆面积的最小值时点S的坐标. 21.本小题满分14分 2019-2020重庆市南开中学数学中考第一次模拟试题(含答案) 一、选择题 1．如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（）A．B．C．D． 2．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是() A．B．C．D． 3．在△ABC中（2cosA-2）2+|1-tanB|=0，则△ABC一定是（） A．直角三角形B．等腰三角形 C．等边三角形D．等腰直角三角形 4．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD AC ⊥于点D，连接BD，BC，且10 AB=，8 AC=，则BD的长为（） A．25B．4C．213D．4.8 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=5，BC=2，则sin∠ACD的值为（） A．5 B． 25 C．5D． 2 3 6．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=70°，则∠AED度数为( ) A．110°B．125°C．135°D．140° 7．如图，在矩形ABCD中，AD=3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为（） A ．3 B ．23 C ．32 D ．6 8．如图，正比例函数1y=k x 与反比例函数2k y= x 的图象相交于点A 、B 两点，若点A 的坐标为（2，1），则点B 的坐标是（ ） A ．（1，2） B ．（－2，1） C ．（－1，－2） D ．（－2，－1） 9．如图，在半径为13的O e 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=?，6,1AB AE ==，则CD 的长是（ ） A ．26 B ．210 C ．211 D ．43 10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函 数a b c y x ++=在同一坐标系内的图象大致为( ) A ． B ． C ． D ． 11．一元二次方程(1)(1)23x x x +-=+的根的情况是（ ） 重庆南开中学2018-2019学年高一（上）期中考试 数 学 试 题 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。 第I 卷（选择题 共60分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求） 1、下列说法正确的是（ ） A 、1N -∈ B 、Q C 、R π? D 、Z ?? 2、已知全集U R =，集合{}{}1,2,3,4,5,2A B x R x ==∈≥，则右图中阴影部分所表示的集合为（ ） A 、{}1 B 、{}0,1 C 、{}1,2 D 、{}0,1,2 3、给定映射()():,2,2f x y x y x y →+-，在映射f 下()3,1的原像为（ ） A 、()1,3 B 、()3,1 C 、()1,1 D 、 ()5,5 4、“2x y +>”是“11x y >>且”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件 5、已知函数y = ） A 、(,1??-∞ B 、(,2??-∞ C 、() (,22,1??-∞-- D 、) ()1,22,??+∞ 6、已知函数()131f x x +=+，则()f x 的解析式为（ ） A 、()32f x x =- B 、()23f x x =- C 、()32f x x =- D 、()3f x x = 7、已知()1y f x =+是R 上的偶函数，且()21f =，则()0f =（ ） A 、1- B 、0 C 、1 D 、2 8、函数y ） A 、(),1-∞ B 、()2,1- C 、()1,4 D 、()1,+∞ 9、已知奇函数()f x 在()0,+∞上的图象如图所示，则不等式()01 f x x <-的解集为 （ ） A 、()()()3,10,11,3-- B 、()()()3,10,13,--+∞ C 、()()(),31,03,-∞--+∞ D 、()()(),31,00,1-∞-- 10、已知函数()()( )2 2,20f x x x g x ax a =-=+>，若对任意1x R ∈，都存在 )22,x ??∈-+∞，使得()()12f x g x >，则实数a 的取值范围是（ ） A 、3,2?? ??? +∞ B 、()0,+∞ C 、30,2?? ??? D 、3,32?? ??? 11、已知集合{}{} 22230,0,,,,0A x x x B x ax bx c a b c R ac =-->=++≤∈≠， 若(3,4A B ??=，A B R =，则2b a a c +的最小值是（ ） A 、3 B 、32 C 、1 D 、3 4 12、设集合{}16,A x x x N =≤≤∈，对于A 的每个非空子集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数 重庆南开中学2019—2019学年度初2019级七（上）期中考试 数 学 试 题 （时间120分钟，满分100分） 一、精心选一选：（只有一个选项是符合题目要求的，请将答题卡上符合题目选项涂黑。每小题2分，共24分） 1、1 2 的相反数是（ ） A 、2 B 、1 2 C 、12 - D 、2- 2、下列各式符合代数式书写规范的是（ ） A 、8a B 、 s t C 、1m -元 D 、215 x 3、如下图所示，将图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（ ） 4、钓鱼岛是位于我国东海钓鱼岛列岛的主岛，被誉为“深海中的翡翠”，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为（ ） A 、6 4.410? B 、5 0.4410? C 、5 4410? D 、5 4.410? 5、将右图折叠成正方体后，与“是”字相对面上的汉字是（ ） A 、爱 B 、南 C 、开 D 、的 6、下列去括号正确的是（ ） A 、()a b c a b c +-=++ B 、()a b c a b c --=-- C 、()a b c a b c --+=-- D 、()a b c a b c ---=++ 7、用一个平面去截一个几何体，截面不可能．．．是圆的几何体是（ ） A 、棱柱 B 、球 C 、圆锥 D 、圆柱 8、下列各组数中，结果相等的是（ ） A 、()2 2 11--与 B 、3 32233?? ??? 与 C 、()22----与 D 、()3 3 33--与 9、下列各式计算正确的是（ ） A 、253a b ab -+= B 、2 66a a a += C 、2 2 422m n mn mn -= D 、2 2 2 352ab b a ab -=- 10、下图为魔术师在小美面前表演的经过： 高三数学模拟试题（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．已知x x x f 2)(2 -=，且{}0)(<=x f x A ，{} 0)(>'=x f x B ，则B A I 为（ ） A ．φ B ．{}10< …… …… 第5排第4排第3排 第2排 第1排 162163221336321y x 第12题图 B A C D O 1 第9题图 第7题图 第6题图 E F O C D B C D B D B C O A B A A A 重庆南开中学初2016级九年级（上）期末考试 数 学 试 题 （全卷共5个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线()2 0y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为2b x a =-。 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、 B 、 C 、 D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡．．．上对应题目的正确答案标号涂黑。 1、7的倒数是（ ） A 、 17 B 、1 7 - C 、7 D 、－7 2、下列四个字母既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A 、N B 、K C 、Z D 、X 3、运算( )3 2mn -的结果是（ ） A 、35m n - B 、36m n C 、36m n - D 、35m n 4、分式方程 3121 x x =-的解为（ ） A 、x ＝1 B 、x ＝2 C 、x ＝3 D 、x ＝4 5、南开中学举行了首届“南开故事会”讲故事比赛，有12名学生参加了决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己是否进入前6名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这12名学生成绩的（ ） A 、众数 B 、方差 C 、平均数 D 、中位数 6、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 作AD ∥BC ，若∠1＝65°，则∠BAC 的大小为（ ） A 、45° B 、50° C 、60° D 、65° 7、如果，AB 是⊙O 的弦，半径为OA ＝2，∠AOB ＝120°，则弦AB 的长为（ ） A 、25 B 、32 C 、23 D 、22 8、一个小组新年互送贺卡，若全组共送贺卡42张，则这个小组有（ ）人。 A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 9、将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF ，若AB ＝3，则BC 的长为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、2 重庆南开中学高一数学下期末综合 复习试题 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑 重庆南开中学高一下期末数学试卷 <考试时间：120分钟满分150分） 一、选择题：<本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）b5E2RGbCAP 1. 下列说法中正确的是<）. (A>若∥，则与方向相同 (B>若||＜||，则＜ (C>起点不同，但方向相同且模相等的两个向量相等 (D>所有的单位向量都相等 2. 已知sin+cos=,且，则tan=( >. (A> (B> (C> (D> 3. 若为平行四边形的中心，，，则 等于<）. (A> (B> (C> (D> 4. =<）. (A> (B> (C> (D> 5. 已知的周期为1，最大值与最小值的差是3，且函数的图象过点，则函数表达式为<）. 数学（文）模拟试卷 1.复数2i i 1 z = -（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（） 第二象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第三象限 2.已知命题p ：0x ?>，总有(1)1x x e +>，则p ?为（ ） A ．00x ?≤，使得0 0(1)1x x e +≤ B ．0x ?>，总有(1)1 x x e +≤ C ．00x ?>，使得0 0(1)1x x e +≤ D ．0x ?≤，总有(1)1x x e +≤ 3.已知集合{}{} 21,0,1,2,3,20,A B x x x =-=->则A B =I （） A ．{3}= B.{2,3} C.{－1,3} D.{1,2,3} 4.如下图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（ ） A ．8π B ．16π C. 32π D ．64π 5.秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ,x 的值分别为3,4则输出v 的值为（ ） A ．399 B ．100 C ．25 D ．6 6.要得到函数x x x f cos sin 2)(=的图象，只需将函数x x x g 22sin cos )(-=的图象（ ） A ．向左平移 2π个单位 B ．向右平移2π个单位 C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4 π 个单位 7.若变量x ，y 满足约束条件10 21010x y x y x y -+≥?? --≤??++≥? ，则目标函数2z x y =+的最小值为（ ） 重庆南开中学初2012级九年级下期5月模拟考试 数 学 试 卷 （本卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将答案写在答卷上。） 1、有理数12- 的倒数是（ ） A 、2- B 、2 C 、1 2- D 、1 2 2、下列计算正确的是（ ） A 、326a a a ?= B 、824a a a ÷= C 、()33ab ab = D 、()3 26a a -=- 3、下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） 4、如图，在A B C ?中，90C ∠= 。若//,20BD AE D BC ∠= ，则C A E ∠的 度数是（ ） A 、40° B 、60° C 、70° D 、80° 5、下列调查中，适合用全面调查方式的是（ ） A 、了解一批灯泡的使用寿命 B 、了解一批炮弹的杀伤半径 C 、了解某班学生50米跑的成绩 D 、了解一批袋装食品是否含有防腐剂 6、如图，在O 中，弦AB 、C D 相交于点P ，若25,80A APD ∠=∠= ， 则B ∠等于（ ） A 、40° B 、45° C 、50° D 、55° 7、如图所示的几何体的左视图是（ ） 8、甲地连降大雨，某部队前往救援。乘车行进一段路程之后，由于道路受阻，汽车无法通行，部队短暂休整后决定步行前往，则能反映部队与甲地的距离s （千米）与时间t （小时）之间函数关系的大致图象是（ ） 9、下面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形，第①个图形中有1个等腰梯形，第②个图形中有4个等腰梯形，……依此类推，则第6个图形中有（ ）个等腰梯形。 A 、16 B 、26 C 、36 D 、56 10、如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点()3,0A -，对称轴 为直线1x =-。则以下结论错误．． 的是（ ） A 、24b ac > B 、20a b += C 、0a b c ++= D 、5a b < 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答卷上。） 11、第30届奥运会将于2012年7月27日至8月12日在伦敦举行。据伦敦媒体 报道，整个奥运会开闭幕式的预算约为8100万英镑。将数据8100万用科学记数法表示为 万。 12、如图，在A B C ?中，点D 、E 分别在AB 、A C 边上， //D E B C ，若3B C D E =， 15A B =，则AD = 。 13、学校团委组织九年级的共青团员参加植树活动，八个团支部 植树的棵树分别 为：16，13，14，11，14，16，14，15。则这组数据的众数是 。 14、已知一个扇形的弧长为10cm π，其圆心角度数是150°，则该扇形的半径为 cm 。 15、有十张正面分别标有数字3,2,1,0,1,2,3,4,5,6---的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同。现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，将该卡片上的数字加1记为b 。则数字,a b 使得关于x 的方程210ax bx +-=有解的概率为 。 16、第三届中国大学生方程式汽车比赛赛前，甲、乙两辆参赛小汽车在一个封闭的环形跑道内进行耐久测试。两车从同一地点沿相同方向同时起步后，乙车速超过甲车速，在第15分钟时甲车提速，在第18分钟时甲车追上乙车并且开始超过乙，在第23分钟时，甲车再次追上乙车。已知在测试中甲、乙两车均是匀速行驶，那么如果甲车不提速，乙车首次超过甲车所用的时间是 分钟。 三、解答题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。请将解答过程写在答卷上。） 17()()1020121412π-??---+--- ???重庆南开中学高2018级高一(上)期中考试数学(试题+答案)
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