全等三角形经典例题(含答案)

新思路全等三角形的经典例题

判定方法 条件

注意 ⑴边边边公理（SSS ） 三边对应相等

三边对应相等

⑵边角边公理(SAS) 两边和它们的夹角对应相等 （“两边夹一角”） 必须是两边夹一角，不能是两边对

一角

⑶角边角公理(ASA) 两角和它们的夹边对应相等 （“两角夹一边”）

不能理解为两角及任意一边

⑷角角边公理(AAS)

两角和其中一角的对边对应相等

例1：已知：如图，过?ABC 的顶点A ，作AF ⊥AB 且AF=AB ，作AH ⊥AC ，使AH=AC ，连结BH 、CF ，且BH 与CF 交于D 点。求证：（1）BH=CF （2）BH ⊥CF 分析：从图中可观察分析，若证BH=CF ，显然，若能证出?ABH ≌?AFC ，问题就能解决。从已知看，已经知道AF=AB ，AC=AH 。这两个三角形已经具备两条边对应相等了。还要证明第三条边相等，显然不可能用“边边边”公理了。只能寻求两对应边的夹角了。从已知看，∠BAF 和∠HAC 都是直角。而图中的∠BAC 显然是公共角，根据等式性质，问题可以顺利解决。 证明：（1）∵AF ⊥AB ，AH ⊥AC ∴∠BAF=∠HAC=90? ∴∠BAF +∠BAC=∠HAC +∠BAC ∴即∠F AC=∠BAH 在?ABH 和?AFC 中

()()

()

AB AF BAH FAC AH AC =∠=∠=????

???已知已证已知

∴?ABH ≌?AFC （边角边）

∴BH=FC （全等三角形对应边相等） （2）设AC 与BH 交于点P 在?APH 中 ∵∠HAP=90? ∴∠2+∠3=90?（直角三角形中两个锐角互余） ∵∠1=∠2（全等三角形对应角相等） ∠3=∠4 ∴∠1+∠4=∠2+∠3=90? 在

?PDC 中

∵∠1+∠4=90? ∴∠HDC=90? ∴BH ⊥CF 例2：已知，如上图：BD 、CE 是?ABC 的高，分别在高上取点P 与Q ，使BP=AC ，CQ=AB 。求证：AQ=AP 分析：从要证的结论AQ=AP ，只有在?ABP 和?QCA 中找对应原素，不难发现，已经有BP=AC 、CQ=AB ，也就是这两个三角形中已经有两条对应边相等。也只有找到其中夹角相等，全等就可以了，问题的关键在于如何找出∠1=∠2？再分析已知条件，不难看出，既然BD 、CE 都是高，就有∠BDA=∠CEA=90?，这样就可看出∠1和∠2都是∠BAC 的余角了。根据同角的余角相等这条性质得到∠1=∠2，这样问题就可以迎刃而解了。

证明：∵BD ⊥AC 于D CE ⊥AB 于E ∴∠BDA=∠CEA=90? ∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90? ∴∠1=∠2 在?ABP 和?PCA 中

()

()()

AB CQ BP AC =∠=∠=???????已知已证已知12 ∴?ABP ≌?QCA （边角边）

∴AQ=AP （全等三角形对应边相等） 例3：已知：如图，OA=OB 、OC=OD 求证：AE=BE 分析：从要证明的结论AE=EB 看，我们不难看出，应当在?ADE 和?BCE 中去寻找答案，而要证明?ADE ≌?BCE ，比较明显的有一组对顶角相等，即∠AED=∠BEC ，另外可以通过等式性质得到，OA －OD=OB －OC ，即AD=BC ，那么这两个三角的全等条件仍然差一个，从证明的结论AE=BE 上分析，不可能再寻找边的对应相等了，那么只有找一组对应角是否相等就可以了，如能否证出∠A=∠B （或∠ADE=∠BCE ），∠A=∠B 除了是?ADE 和?BCE 的对应角外，它们还是?AOC 和?BOD 的对应角，只要?AOC ≌?BOD ，那么就可以推出∠A=∠B ，这样问题便迎刃而解了，同学们自己分析一下?AOC 和?BOD 全等条件够吗？ 证明：在?AOC 和?BOD 中

()

()()

OA OB O O OC OD =∠=∠=???????已知公共角已知

∴?AOC ≌?BOD （边角边）

∴∠A=∠B （全等三角形的对应角相等） ∵OA=OB （已知） OC=OD （已知） ∴AD=BC （等式性质） 在?ADE 和?BCE 中

()()()

∠=∠∠=∠=???????A B AED BEC AD BC 已证对顶角相等已证 ∴?ADE ≌?BCE （角角边）

∴AE=BE （全等三角形对应边相等） 同学们自己动手试一试，可不可通过证明∠ADE=∠BCE 来证明?ADE ≌?BCE 呢？ 例4：已知：如图，AD ∥BC ，AE 、BE 分别平分∠DAB 和∠CBA ，DC 过点E 。求证：AB=AD +BC 分析：从要证明的结论AB=AD+BC 上看，显然是两条线段的和与另外一条线段相等，可以考虑，能否在长的AB 边上截一段等于AD （或BC ），利用角平分线的条件证全等。 证明（一）：在AB 上截AF=AD ，连结EF 在?A DE 和?AFE 中

()

()()

AD AF DAE FAE AE AE =∠=∠=????

???已作已知

公共边

∴?ADE ≌?AFE

∴∠D=∠AFE （全等三角形对应角相等） ∵AD ∥BC （已知）

∴∠D+∠C=180?（两直线平行，同旁内角互补） 又∵∠D=∠AFE （已证）

∴∠BFE=∠C （等角的补角相等） 在?BFE 和?BCE 中

()()()

∠=∠∠=∠=????

???BFE C FBE CBE BE BE 已证已知公共边

∴?BFE ≌?BCE （角角边） ∴BF=BC ∴AB=AD+BC 证明（二）：延长AE 、BC 交于点F 。 ∵AE 、BE 分别是∠DAB 和∠CBA 的平分线。 又∵AD ∥BC ∴∠1+∠2+∠3+∠4=180?（两直线平等，同旁内角互补） ∴∠2+∠3=90? ∴∠AEB=90? ∴∠BEF=90? 在?ABE 和?FBE 中

()

()()

∠=∠=∠=∠=?????

???3490已知公共边已证BE BE AEB BEF

∴?ABE ≌?FBE （角边角） ∴AB=BF AE=EF

在?AED 和?FEC 中

()()()

∠=∠=∠=∠????

???1F AE EF AED FEC 两直线平等，内错角相等已证对顶角相等

∴?AED ≌?FEC

∴AD=FC ∴AB=AD+BC （等量代换） 例5：已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD 、CE ⊥AB 于E ，且∠B+∠D =180?。求证：AE=AD+BE 分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC 是角平分线，所以在AE 上截AF=AD ，连结FC ，可证出?ADC ≌?AFC ，问题就可以得到解决。

证明（一）：在AE 上截取AF=AD ，连结FC 。 在?AFC 和?ADC 中

()

()()

AF AD AC AC =∠=∠=????

???已作已知公共边12

∴?AFC ≌?ADC （边角边）

∴∠AFC=∠D （全等三角形对应角相等） ∵∠B+∠D=180?（已知）

∴∠B=∠EFC （等角的补角相等） 在?CEB 和?CEF 中

()()()

∠=∠∠=∠=?=???????B EFC CEB CEF CE CE 已证已知公共边90 ∴?CEB ≌?CEF （角角边）

∴BE=EF ∵AE=AF+EF ∴AE=AD+BE （等量代换）

证明（二）：在线段EA 上截EF=BE ，连结FC （如右图）。

同样也可以证明，同学们自己试一试，证明过程是怎样的，看一看，

当推导过程不通时，想一想，还有哪些已知条件没有充分考虑到，或是还有哪些定理，性质用的不熟，自己找一找思维障碍是什么？ 小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。 如例：已知：?ABC 中，AD 是BC 边上的中线。求证：()AD AB AC <+12

分析：求证()AD AB AC <

+1

2

，即可变形为2AD AB AC <+，其结构恰好为中线的2倍。小于原三角形的两边之和，如果添加辅助线，造出一个三角形，使其两边恰与AB 、AC 相等，而另一边正好为AD 的2倍，问题就迎刃而解了。 证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连结BE 。 在?ADC 和?EDB 中

()

()()

AD DE ADC EDB CD BD =∠=∠=???????所作对顶角相等中线定义

∴?ADC ≌?EDB （边角边）

∴AC=BE （全等三角形对应边相等）

在?ABE 中，AE AB BE <+（三角形中，两边之和大于第三边）

∴()AD AB AC <+1

2

全等三角形证明经典题(含答案)

全等三角形证明经典题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADCBD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即 4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 4. 5. 证明：连接BF 和EF ∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三 角形BEF 中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF 。 ∵∠ABC=∠AED 。∴∠ABE=∠AEB 。∴AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三角形ABF 和三角形AEF 全等。∴∠BAF=∠ EAF(∠1=∠2)。 6. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C

过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又EF ∥AB ∴∠EFD ＝∠1∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG 又EF ＝CG ∴EF ＝AC 7. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E ∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C 8. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° ∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF ∴∠B ＝∠CFE ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC ∴△ADC ≌△AFC （SAS ） ∴AD ＝AF ∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 9. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 在BC 上截取BF=AB ，连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o ∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCECE 平分∠BCDCE=CE ∴⊿DCE ≌⊿FCE （AAS ）∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD 10. 已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C AB ‖ED ，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度， ∵∠EAB=∠BDE ， B A C D F 2 1 E D C B A F E A

全等三角形练习题很经典

第十二章 全等三角形 第Ⅰ卷（选择题 共30 分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列说确的是（ ） A.形状相同的两个三角形全等 B.面积相等的两个三角形全等 C.完全重合的两个三角形全等 D.所有的等边三角形全等 2. 如图所示，a,b,c 分别表示△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定全等的三角形是（ ） 3.如图所示，已知△ABE≌△ACD ，∠1=∠2， ∠B=∠C， 下列不正确的等式是（ ） A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD C.BE=DC D.AD=DE 4. 在△ABC 和△A /B /C /中,AB=A /B /,∠B=∠B /,补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A /B /C /,则补充的这个条 第3题图 第5题图 第2题图 A B C D

件是( ) A ．BC= B / C / B ．∠A=∠A / C ．AC=A /C / D ．∠C=∠C / 5.如图所示，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ） A.△ACE≌△BCD B.△BGC≌△AFC C.△DCG≌△ECF D.△ADB≌△CEA 6. 要测量河两岸相对的两点A,B 的距离，先在AB 的垂 线BF 上取两点C,D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE ，使A,C,E 在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定△EDC≌△ABC 最恰当的理由是（ ） A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.边边角 7.已知：如图所示，AC=CD ，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ） A ．∠A 与∠D 互为余角 B ．∠A=∠2 C ．△ABC≌△CE D D．∠1=∠2 8. 在△ABC 和△FED 中，已知∠C=∠D，∠B=∠E，要判定这两个三角形全等，还需要条件（ ） A.AB=ED B.AB=FD C.AC=FD D.∠A=∠F 9.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC、∠ACB 的平分 第9题图 第7题图 第6题图

全等三角形的典型例题

全等三角形（1） 一．全等三角形的判定1：三边对应相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“SSS ” 几何符号语言：在ABC ?和DEF ?中 ∵?? ???===DF AC EF BC DE AB ∴ABC ?≌DEF ?（SSS ） 三．练习： 1．下列说法正确的是（ ） A ．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B ．全等三角形的周长和面积分别相等 C ．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D ．所有等边三角形都全等. 2．如图，在ABC ?中，AC AB =，D 为BC 的中点，则下列结论中：①ABD ?≌ACD ?；②C B ∠=∠；③AD 平分BAC ∠；④BC AD ⊥，其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．如图，若AC AB =，DC DB =，根据 可得ABD ?≌ACD ?. 5．如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，CF BE =，DE AB =，DF AC =. 求证：D EGC ∠=∠ 6．在ABC ?中，?=∠90C ，D 、E 分别为AC 、AB 上的点， 且BD AD =，BC AE =，DC DE =. 求证：AB DE ⊥ 7．如图，点A 、C 、F 、D 在同一直线上，DC AF =，DE AB =，EF BC = 求证：DE AB // 四．强化练习： 1．如图，AD AB =，CD CB =，?=∠30B ，?=∠46BAD ，则ACD ∠的度数是（ ） A ．120° B ．125° C ．127° D ．104° 2．如图，线段AD 与BC 交于点O ，且BD AC =，BC AD =，则下面的结论中不正确的是（ ） A ．ABC ?≌BAD ? B ．DBA CAB ∠=∠ C ．OC OB = D ．D C ∠=∠ 3．在ABC ?和111C B A ?中，已知11B A AB =，11C B BC =，则补充条件____________，可得到ABC ?≌111C B A ?． 4．如图，CD AB =，DE BF =，E 、F 是AC 上两点，且CF AE =．欲证D B ∠=∠，可先运用等式的性质证明AF =________，再用“SSS ”证明________≌_________?得到结论． 5．如图，在四边形ABCD 中，CD AB =，BC AD =. 求证：①CD AB //；②BC AD //． 6．如图，已知CD AB =，BD AC =，求证：D A ∠=∠． 7．如图，AC 与BD 交于点O ，CB AD =，E 、F 是BD 上两点， 且CF AE =， BF DE =． 求证：⑴B D ∠=∠；⑵CF AE // 8.如图，已知DC AB =，DB AC =．求证：12∠=∠．

全等三角形经典题型50题带答案

全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=E G ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ， ∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE⊥AB 所以∠CEB＝∠CEF＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° 所以∠D＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC≌△AFC（SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD, 则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F= C D B D E A B A C D F 2 1 E

八年级上数学_全等三角形典型例题(一)

全等三角形典型例题： 例1：把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．求 证：AF ⊥BE ． 练习1：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ， AE 是过点A 的直线，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ， 如果CE=3，BD=7，请你求出DE 的长度。 例2： △DAC, △EBC 均是等边三角形，AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N, 求证：（1）AE=BD ； (2)CM=CN ； (3) △CMN 为等边三角形；（4）MN ∥BC 。 例3：（10分）已知，△ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC ，过A 任作一直线l ，作BD ⊥l 于D ，CE ⊥l 于E ，观察三条线段BD ，CE ，DE 之间的数量关系． ⑴如图1，当l 经过BC 中点时，DE = （1分），此时BD CE （1分）． ⑵如图2，当l 不与线段BC 相交时，BD ，CE ，DE 三者的数量关系为 ，并证明你的结论．（3分） ⑶如图3，当l 与线段BC 相交，交点靠近B 点时，BD ，CE ，DE 三者的数量关系为 ． 证明你的结论（4分），并画图直接写出交点靠近C 点时，BD ，CE ，DE 三者的数量关系为 ．（1分） 图1 图2 图3 C B A l B C A B C D E l A B C l E D

练习1：以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边，分别向外作等边三角形△ABE和等边△BCF，连结EF、EC。试说明：（1）EF＝EC；（2）EB⊥CF B A F E 练习2： 如图（1）A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC若AB=CD，G是EF的中点吗？请证明你的结论。 若将⊿ABC的边EC经AC方向移动变为图（2）时，其余条件不变，上述结论还成立吗？为什么？

全等三角形经典题型50题含答案

全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ， AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°， 求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ， CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则 ⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C AB//ED,AE//BD 推出AE=BD, C D B D C B A F E A B A C D F 2 1 E

人教版八年级上全等三角形经典例题整理

全等三角形的典型习题 一、全等在特殊图形中的运用 1、如图，等边△ABC 中，D 、E 分别是AB 、CA 上的动点，AD ＝CE ，试求∠DFB 的度数． 2、如下图所示，等边△ABC 中，D 、E 、F 是AB 、BC 、CA 上动点，AD ＝BE ＝CF ，试判 断△DEF 的形状． 3、如下图所示，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，且点B 、A 、D 在同一直线上，AC 、BE 相交于点G ，AE 、CD 相交于点F ，试说明△AGF 是等边三角形． Ex 、如图，四边形ABCD 与BEFG 都是正方形，AG 、CE 相交于点O ，AG 、BC 相交于点M ，BG 、CE 相交于点N ，请你猜测AG 与CE 的关系(数量关系和位置关系)并说明理由． 4、△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°，D 是底边BC 的中点，DE ⊥DF ，试说明BE 、CF 、EF 为边长的三角形是直角三角形。 A B A A

m 二．证明全等常用方法（截长法或补短法） 5、如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝2∠C ，∠BAC 的平分线交BC 于点D ．请你试说明AB ＋BD ＝AC ． Ex1，∠C ＋∠D ＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4．试用截长法说明AD ＋BC ＝AB ． Ex2、五边形ABCDE 中,AB ＝AE,∠BAC ＋∠DAE ＝∠CAD,∠ABC ＋∠AED ＝180°,连结AC ，AD ．请你用补短法说明BC ＋DE ＝CD ．（也可用截长法，自己考虑） 6、如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上的点，F 是BC 上的点，且∠EDF ＝45°．请你试用 补短法说明AE ＋CF ＝EF ． Ex1.、如图所示，在△ABC 中，边BC 在直线m 上，△ABC 外的四边形ACDE 和四边形ABFG 均为正方形，DN ⊥m 于N ，FM ⊥m 于M ．请你说明BC ＝FM ＋DN 的理由．(分别用截长法和补短法) （连结GE ，你能说明S △ABC ＝S △AGE 吗？） B B C F C A B

全等三角形经典题型题带标准答案

全等三角形经典题型题带答案

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全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥ AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. C D B A B A C D F 2 1 E

全等三角形经典题型50题带答案知识讲解

全等三角形经典题型50题带答案

全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

证明：连接BF 和EF 。因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。连接BE 。在三角形BEF 中,BF=EF 。所以 ∠EBF=∠BEF 。又因为 ∠ABC=∠AED 。所以 ∠ABE=∠AEB 。所以 AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中， AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C C D B A B A C D F 2 1 E

全等三角形经典例题(含答案)

全等三角形证明题精选 一．解答题（共30小题） 1．四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO． 2．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE； （2）若BF=13，EC=5，求BC的长．

3．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD． 4．如图，点O是线段AB和线段CD的中点． （1）求证：△AOD≌△BOC； （2）求证：AD∥BC．

5．如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D． 6．如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC．

7．如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF． 8．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE． 9．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB 求证：AE=CE．

10．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．

11．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB． 12．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N．

《全等三角形》典型例题课件.doc

全等三角形知识梳理一、知识网络 性质对应角相等对应边相等 边边边SSS 全等形全等三角形边角边SAS 应用 判定角边角ASA 角角边AAS 斜边、直角边HL 角平分线 作图 性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。 （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因 此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 1

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 全等三角形的判定训练 1．已知AD 是⊿ABC 的中线，BE⊥AD，CF⊥AD，问BE= C F 吗？说明理由。 A F B C D E 2．已知AC= B D，AE =CF，BE=DF ，问AE∥CF 吗？ E F A C B D 3．已知AB= C D，BE =DF，AE =CF ，问AB∥CD 吗？ A B E F C D 4.已知AC=AB，AE= A D，∠1=∠2，问∠3=∠4 吗？ A 1 2 E D 3 4 B C 5. 如图, 已知线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC请, 说明∠A=∠C. 2

最新全等三角形题型归纳(经典完整)

一，证明边或角相等 方法：证明两条线段相等或角相等，如果这两条线段或角在两个三角形内，就证明这两个三角形全等； 如果这两条线段或角在同一个三角形内，就证明这个三角形是等腰三角形；如果看图时两条线段既不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，那么就利用辅助线进行等量代换，同样如果角不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，也是用等量代换（方法是：（1）同角（等角）的余角相等（2） 同角（等角）的补角相等，此类型问题一般不单独作一大题，往往是通过得出角相等后用来证明三角 形全等，而且一般是在双垂直的图形中） 1.已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 2．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6． 3．已知：如图△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，BD 、CE 交于H 。 求证：HB=HC 。 2、如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ．求证：AC=EF ． A E D C B 654 32 1E D C B A F G E D C B A F B C A M N E 1234

E D C B A 二.证明线段和差问题 （形如：AB+BC=CD,AB=AD - CD) 证明两条线段和等于另一条线段，常常使用截长补短法。①截长法即为在这三条最长的线段截取一段使它等于较短线段中的一条，然后证明剩下的一段等于另一条较短的线段。②补短法即为在较短的一条线段上延长一段，使它们等于最长的线段，然后证明延长的这一线段等于另一条较短的线段。 证明两条线段差等于另一条线段，只需把差化成和来解决即可。 1.如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求 证：AD +BC =AB ． 2、如图,已知：△ABC 中,∠BAC ＝90, AB ＝AC ,AE 是过A 一直线,且点B 、C 在AE 的异侧,BD ⊥AE 于D ,CE ⊥AE 于E . 求证：BD ＝DE ＋CE ； 3、如图，AB ∥CD ，DE 平分∠ADC ，AE 平分∠BAD ，求证：AB=AD - CD P E D C B A

全等三角形经典题型50题(含答案)

全等三角形证明经典50题（含答案） 1.已知：AB=4 , AC=2 , D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 至U E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BE

形AEF 全等。所以Z BAF=Z EAF ( Z 1= Z 2)。

4.已知：/ 1= / 2, CD=DE , EF//AB，求证:EF=AC 证明：过E点，作EG//AC ，交AD延长线于G则 / DEG=Z DCA / DGE=/2 又；CD=DEU AD3" GDE ( AAS ) ??? EG=ACv EF//AB /-Z DFE=Z 1 v/ 1= / 2：丄 DFE=Z DG E A EF=EG：EF=AC 5.已知：AD 平分Z BAC, AC=AB+BD，求证：Z B=2 / C 证明：在AC上截取AE=AB，连接 ED ?/ AD 平分 Z BACA Z EAD=Z BAD又 ?/ AE=AB ， AD=AD ：?" AEM" ABD ( SAS) ?：Z AED=ZB ， DE=DB ?/ AC=AB+BD AC=AE+CE ?: CE=DE：Z C=Z ED C vZ AED=Z C+Z EDC=2Z C： Z B=2ZC 6.已知：AC平分Z BAD ,CE丄AB， Z B+ Z D=180 °，求证：AE=AD+BE 证明：在AE上取F，使EF = EB，连接CF因为CE丄AB 所以Z CEB=Z CEF= 90 °因 为EB = EF，CE = CE，所以△ CEB^A CEF 所以Z B=Z CFE 因为Z B+Z D= 180 Z CFE+Z CFA= 180 ° 所以Z D=Z CFA 因为AC 平分Z BAD 所以Z DAC=Z FAC 又因 为AC = AC 所以△ ADC^A AFC ( SAS) 所以AD = AF 所以AE = AF + FE = AD + BE 12.如图，四边形ABCD中，AB // DC，BE、CE分别平分Z ABC、Z BCD，且点E在AD 上。求证： BC=AB+DC。 B D A

全等三角形——经典试题汇编 含答案

北京中考/一模之全等三角形试题精编 北京中考 16．已知：如图，点E A C ，，在同一条直线上，AB CD ∥，AB CE AC CD ==，． 求证：BC ED =. 16、△BAC ≌△BCD （SAS ） 所以，BC ＝ED 海淀一模 15. 如图，AC //FE , 点F 、C 在BD 上，AC=DF , BC=EF . 求证：AB=DE . 15．证明：∵ AC //EF ， ∴ ACB DFE ∠=∠． ………………………………………1分 在△ABC 和△DEF 中， ?? ? ??=∠=∠=,,, EF BC DFE ACB DF AC ∴ △ABC ≌△DEF ． ………………………………4分 ∴ AB=DE ． ……………………5分 东城一模 16. 如图，点B C F E 、、、在同一直线上，12∠=∠，BF EC =，要使ABC ?≌DEF ?， 还需添加的一个条件是 （只需写出一个即可），并加以证明． A B C D E F A B C D E F

16．（本小题满分5分） 解：可添加的条件为：AC DF B E A D =∠=∠∠=∠或或（写出其中一个即可）. …1分 证明：∵ BF EC =， ∴ BF CF EC CF -=-. 即 BC EF = . -------2分 在△ABC 和△DEF 中， , 12,,AC DF BC EF =?? ∠=∠??=? ∴ △ABC ≌△DEF . --------5分 西城一模 15．如图，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90o，D 为AB 延长线 上一点，点E 在BC 边上，且BE=BD ，连结AE 、DE 、DC . (1) 求证：△ABE ≌△CBD ； (2) 若∠CAE=30o，求∠BCD 的度数. 15.（1）证明：如图1. ∵ ∠ABC=90o，D 为AB 延长线上一点， ∴ ∠A BE=∠CBD=90o . …………………………………………………1分 在△ABE 和△CBD 中, ?? ? ??=∠=∠=,,,BD BE CBD ABE CB AB ∴ △ABE ≌△CBD. …………………… 2分 （2）解：∵ AB=CB ，∠ABC=90o， ∴ ∠CAB =45°. …….…………………… 3分 又∵ ∠CAE=30o， ∴ ∠BAE =15°. ……………………………………………………………4分 ∵ △ABE ≌△CBD ， ∴ ∠BCD =∠BAE =15°. ……………………………………………………5分 图1

全等三角形经典例题整理

全等三角形的典型习题、全等在特殊图形中的运用 1如图，等边△ ABC中，D、E分别是AB、CA上的动点，AD = CE，试求 / DFB的度数. BC、CA 上动点，AD =BE 2、如下图所示，等边△ ABC中，D、E、F是AB、 =CF，试判断△ DEF的形状. 3、如图，△ ABC和厶ADE都是等边三角形，线段BE、CD相交于点H，线段BE、AC相交于点G，线段BE、CD相交于点H .请你解决以下问题： (1)试说明BE = CD的理由； (2)试求BE和CD的夹角/ FHE 的度数

Ex1、如下图所示，△ ABC和厶ADE都是等边三角形，且点B、A、D在同一 直线上，AC、BE相交于点G，AE、CD相交于点F,试说明AG = AF的理由. Ex2、如图，四边形ABCD与BEFG都是正方形, BC相交于点M ， BG、CE相交于点N，请你猜测 和位置关系）并说明理由. F 4、A ABC是等腰直角三角形，AB = AC，/ BAC = 90° / B =Z C= 45° D是底边BC 的中点，DE丄DF，试用两种不同的方法说明BE、CF、EF为边长的三角形 是直角三角 精选文档

?证明全等常用方法（截长发或补短法） 5、如图所示，在厶 ABC 中，/ ABC = 2/ C , 你 试说明AB + BD = AC 的理由. Ex1,Z C+Z D = 180°，/ 1 = AB. 形。 Z 2,Z 3=Z 4.试用截长法说明 AD + BC = C A

Ex2、五边形ABCDE 中,AB = AE, / BAC+Z DAE = / CAD, / ABC + Z AED = 180°，连结AC, AD ?请你用补短法说明 自己考虑） 6、如图，正方形ABCD中，E是AB上的点，F 是BC上的点，且Z EDF = 45° ?请 你试用补短法说明AE + CF= EF .

全等三角形经典培优题型(含答案)

三角形培优练习题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C C D B A B C D E F 2 1 A D B C A B A C D F 2 1 E

5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 6 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 7已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 8.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB

9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 10．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B 12如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。 求证：AM 是△ABC 的中线。 F A E D C B P E D C B A D C B A M F E C B A

全等三角形经典练习题

D O C B A A B C D E F 全等三角形 一、选择 1、如图，有两个三角锥ABCD 、ＥFG Ｈ,其中甲、乙、丙、丁分别表示?ＡＢC 、?ACD 、 ?ＥF Ｇ、?EGH 。若∠ACB =∠ＣＡD ＝∠ＥFG =∠E ＧH =７０?，∠B ＡC =∠A ＣD =∠EG Ｆ=∠EH Ｇ =5０?,则下列叙述何者正确? ( ) ? (Ａ)甲、乙全等,丙、丁全等 （B) 甲、乙全等,丙、丁不全等 (C ） 甲、乙不全等,丙、丁全等 (Ｄ) 甲、乙不全等，丙、丁不全等 2.如图，OAB △绕点O 逆时针旋转80到OCD △的位置,已知45AOB ∠=，则 AOD ∠等于( ) Ａ．55 Ｂ．45 Ｃ．40 D.35 3、如图, R ｔ△ABC 中,AB ⊥AC ,A Ｄ⊥ＢC ，ＢE 平分∠ＡBC ，交A D 于E ,EF ∥AC ,下列结论一定成立的是（ ) Ａ.AB =ＢF B.AE ＝ED Ｃ.AD =DC Ｄ.∠ABE =∠DFE , 二、填空 1．如图，BAC ABD ∠=∠，请你添加一个条件: ,使OC OD =(只添一个即可). 2、如图，Ｃ为线段AE 上一动点(不与点Ａ,E 重合）,在A Ｅ同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CD Ｅ，AD 与B Ｅ交于点Ｏ,AD 与ＢC 交于点P,BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论: ① ＡＤ=ＢE; ② ＰQ ∥AE ； ③ AＰ=B Ｑ； ④ DE=DＰ; ⑤ ∠AOB=60°. 恒成立的结论有___＿_＿____＿＿__（把你认为正确的序号都填上). ３.已知在△ABC 和△A １B 1C 1中，AB=A 1B 1,∠A ＝∠A 1，要使△ＡBC ≌△Ａ1B 1Ｃ1,还需添加一个．． 条件,这G 50? A B C D E F 70? 50? 70? 50? 70? 50? 70? H 甲 乙 丙 丁 A B C E D O P Q