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2017年全国硕士研究生入学统一考试
数学(三)试题
(科目代码:303)
考生注意事项
1.答题前,考生须在试题册指定位置上填写考生和考生编号;在答题卡指定位置上填写报考单位、考生和考
生编号,并涂写考生编号信息点。
2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上,非选择提的答案必须书写在答题卡指定位置的边
框区域,超出答案区域上写的答案无效;在草稿纸、试题册上答案无效。
3.填(书)写必须用黑色字迹签字笔或钢笔书写,字迹工整,笔记清楚;涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
4.考试结束,将答题卡和试卷册按规定交回。
本卷得分
一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将所选选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1
.若函数10(),0x f x ax b x ?->?=??≤?
在0x =处连续,则 ( ) (A )12ab =(B )12
ab =-(C )0ab =(D )2ab = 2.二元函数(3)z xy x y =--的极值点是 ( )
(A )(0,0) (B )03(,) (C )30(,) (D )11(,)
3.设函数()f x 是可导函数,且满足()()0f x f x '>,则 ( )
(A )(1)(1)f f >- (B )11()()f f <- (C )11()()f f >- (D )11()()f f <-
4. 若级数211sin ln(1)n k n n ∞
=??--????∑收敛,则k = ( ) (A )1 (B )2 (C )1- (D )2-
5.设α为n 单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则
(A )T E αα-不可逆 (B )T
E αα+不可逆
(C )2T E αα+不可逆 (D )2T E αα-不可逆 6.已知矩阵200021001A ?? ?= ? ???,210020001B ?? ?= ? ???,100020002C ?? ?= ? ???
,则 ( )
(A ),A C 相似,,B C 相似 (B ),A C 相似,,B C 不相似
(C ),A C 不相似,,B C 相似 (D ),A C 不相似,,B C 不相似
7.设A,B,C 是三个随机事件,且,A C 相互独立,,B C 相互独立,则A B 与C 相互独立的充分必要条件是 ( )
(A ),A B 相互独立 (B ),A B 互不相容
(C ) A,B 与C 相互独立 (D )A,B 与C 互不相容
8.设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本,若1
1n
i i X X n ==∑,则下列结论中不
正确的是 ( )
(A )21
()n i i X
μ=-∑服从2χ分布 (B )()2
12n X X -服从2χ分布 (C )21()n i i X
X =-∑服从2χ分布 (D )2()n X μ-服从2χ分布
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在答题纸指定位置上)
9
.3(sin x dx ππ-=? .
10.差分方程122t t t y y +-=的通解为yt .
11.设生产某产品的平均成本()1Q C Q e -=+,其中Q 为产量,则边际成本为 .
12.设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数,且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++,(0,0)0f =,则
(,)f x y =
13.设矩阵101112011A ?? ?= ? ???
,123,,ααα为线性无关的三维列向量,则向量组123,,A A A ααα的秩
为 .
14.设随机变量X 的概率分布为{}122
P X =-=,{}1P X a ==,{}3P X b ==,若0EX =,则DX = .
三、解答题(15-23小题,共94分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15.(本题满分10分)
求极限0lim t x dt +→
16.(本题满分10分)
计算积分3
242(1)D
y dxdy x y ++??,其中D
是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域.
17.(本题满分10分) 求21lim ln 1n
n k k k n
n →∞=??+ ???∑
18.(本题满分10分)
已知方程11ln(1)k x x
-=+在区间(0,1)有实根,确定常数k 的取值围.
19.(本题满分10分) 设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+,()S x 为幂级数0
n n n a x ∞=∑的和函数 (1)证明0n n
n a x ∞
=∑的收敛半径不小于1.
(2)证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-,并求出和函数的表达式.
20.(本题满分11分)
设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值,且3122.ααα=+
(1)证明:()2r A =;
(2)若123,βααα=+,求方程组Ax β=的通解.
21.(本题满分11分)
设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为
221122y y λλ+,求a 的值及一个正交矩阵Q .
22.(本题满分11分)