此文发表于华师大主办的《数学教学》20127

此文发表于华师大主办的《数学教学》2012、7的杂志上 提炼基本图形，妙解旋转问题

-----------对一类旋转相似三角形的探究

上海市上宝中学（201101）王同启

作者简介：王同启（1968- ）男，上海人，中学高级教师，主要从事中学数学教学有效性和中考试题研究. 邮箱：138********@https://www.wendangku.net/doc/ca18008982.html,

摘要：在几何习题课教学当中，培养学生养成总结基本图形，提炼基本图形的习惯，本文从一个基本图形展开，对一类旋转相似三角形进行了探究，从而培养学生的解题能力和创新意识，以达到“做一题，通一类，会一片”的效果. 关键词：基本图形，旋转相似

在习题课教学中，要提高课堂教学的有效性，关键要教给学生将复杂问题简单化,在较短的时间内抓住问题的本质,达到举一反三、触类旁通的目的.这一切都需要教师在教学过程中不断地培养学生发掘、提炼、总结基本图形，以达到“做一题，通一类，会一片”的效果，从而提高学生的数学素养和创造性地解决问题的能力.本文展示一类旋转相似三角形在解题中的广泛应用．

基本图形：(上海市九年级第一学期教材第32页)已知：如图1，DE AD AE

BC AB BC

==.求证:△ADB ∽AEC. 简析：由

DE AD AE

BC AB BC ==，可得△ADE ∽△ABC,从而可得∠DAE=∠BAC,所以∠DAB=∠EAC,

再由AD AE

AB BC

=,可得出△ADB ∽△AEC. 结论:当△ADE 绕它的顶点A 旋转一定的角度且它的两边AD 、AE 按一定的比例放大或缩小后

得到的△ABC 与原△ADE 相似.从而又生成△ADB ∽△AEC. 一、 基本应用

在解决这类问题时,最关键的是首先学会识别基本图形,要找出一个三角形绕一个顶点旋转得到另一个和它相似的三角形,从而再找出生成的另一对相似三角形. 例1、（2012上海市宝山区九年级数学期末测试卷第18题）已知在△ABC 中，∠C=90°，AB=9，cosA=

2

3

，把△ABC 绕点C 旋转，使得点A 落在点A ′，点B 落在点B ′.若点A ′在边AB 上,则点B

与点B ′的距离为 ．

简析:此题没图,根据题意画出如图2的图形,由△ABC 绕点C 旋转得到△A ′B ′C,由基本图形可知△CAA ′∽△CBB ′,要求BB ′的长,易求

AC=6,BC=,只需求出AA ′的长即可,过点C 作CH ⊥AB,

AA AC

BB CB

'=',所以可求得BB ′垂足为H,利用△AHC ∽△ACB,可求出AH=4,所以可得AA ′=8,所以由

=点评:在学生做此题时,发费了很多时间,学生主要存在的问题是没有发现△CAA ′∽△CBB ′,从而导致求不出BB ′的长,因此如果熟悉上面的基本图形, 由△ABC 绕点C 旋转得到△A ′B ′C,从而生成△CAA ′∽△CBB ′,在很短时间内就能抓住问题的本质,也就很容易求解了.也有的同学通过△CAA ′∽△CBB ′,证出AB ⊥BB ′,在Rt △A ′B ′B 中,利用勾股定理求出BB ′的长.

例2、（2008年北京市门头沟区中考数学一模试卷）如图3，在等边△ABC 和等边△A 1B 1C 1，点O 既是AC 的中点，又是A 1C 1 的中点，求AA 1：BB 1的值.

简析：连结OB 、OB 1，由基本图形可知，△AOB 绕点O 旋转变换得到△A 1OB 1从而生成△OAA 1∽△

OBB 1，这两个三角形的相似比为AA 1 ：BB 1= OA ：OB=1

点评:本题在求AA 1：BB 1的值时，很多同学不知从哪一方面下手，有的同学虽然连结了OB 、OB 1，但没发现△OAA 1∽△OBB 1.本题的关键是发现基本图形△AOB 绕点O 旋转变换得到△A 1OB 1，从而生成△OAA 1∽△OBB 1寻找出边AA 1、BB 1所在的两个三角形相似，从而答案可求.

例3、(普陀区2011年初三统一考试卷) 如图4,直角三角板ABC 中，∠A =30°，BC ＝1.将其绕直角顶点C 逆时针旋转一个角α（090α?<

B 图１

图2

1

图3

简解：当090α?<

∵ DE ∥''A B ， ∴

CD CE

CA CB =

''

. 由旋转性质可知，CA ='CA ，CB ='CB ， ∠ACD=∠BCE .

∴ CD CE CA CB =，∴ CD CA

CE CB

=

. ∴ △CAD ∽△CBE .∴

BE BC AD AC =.∵∠A =30°∴y x

=3BC AC =.

∴3

y x =（0﹤x ﹤2） 点评：通过批阅试卷，可以看出学生对基本图形不熟悉没有发现△CAD ∽△CBE ，此题可认为Rt △ACB 绕点C 旋转得到Rt △A ′

CB ′，又因为DE ∥''A B ，可以得到Rt △ACB ∽Rt △A ′CB ′.因此可认为Rt △ACB 通过旋转变换得到Rt △DCE ，从而生成△CAD ∽△CBE .

二、 拓展应用

当对上面基本图形学会识别后，在解决较复杂的问题时，可以构造出上面的基本图形，把复杂的问题简单化，把不可解的问题变为可解. 例4、（2010年全国数学竞赛题）如图5，在△ABC 中，60BAC ∠=?，2AB AC =．点P 在△ABC 内，

且

52PA PB PC ===，，求△ABC 的面积．

简解：由60BAC ∠=?，2AB AC =易得90ACB ∠=?

如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ

∽△ACP . 从而可得

△ACB ∽△APQ

由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是

224AQ AP BQ CP ====．

60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=?.

由90ACB ∠=?知，90APQ ∠=?

，于是3PQ =．

所以 2

2

2

25BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=?． 于是

222()28AB PQ AP BQ =++=+

故

216sin 60282

ABC S AB AC AB ?+=

??==

． 点评:本题中要求△ABC 的面积,虽然可证出△ABC 是直角三角形,但缺少边长,如果能求出△ABC 的任何一边即可,发现∠BAC=60°,可巧妙利用这个角度构造相似三角形,同时也不破坏这个特殊角,可以利用基本图形构造相似三角形, 作△ABQ ，使得

QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP ,从而可得△ACB ∽△APQ,因此可得到

BQ=4,AQ=所以可证得90BQP ∠=?,所以由(

)22228AB PQ BQ AP =++=+再由1

sin 602

ABC S AB AC ?=

??,从而可求出△ABC 的面积. 例5，如图6，已知三条平行线1l 、2l 、3l ，这三条直线中相邻两条之间的距离依次

为1h 、2h 、3h （10h >，20h >，1h ＜2h ），求作等边△ABC ，使它的三个顶点分别

落在这三条平行线上.

⊥3l 于点D ，则等边△ADE 可作

简析：假设等边△ABC 已作出，如图6，过A 点作AD

图4

E

D

B'

A'

C

B

A

l

l l C D

出，因此可以把△ABE 看作由△ADC 旋转60°得到，而∠BEA=90°，所以可以过E 点作BE ⊥AE 交直线2l 于点B ，然后，再确定点C.因此得出以下作法.

作法:在直线1l 上任取一点A,作AD ⊥3l ,垂足为D ,以AD 为一边作等边△ADE,过E 作BE ⊥AE,垂足为E, 交2l 于点B,以点A 为圆心,AB 为半径画弧交3l 于点C,连结AB 、BC 、AC.则△ABC 即为所求的等边三角形.

较复杂的题目,都是有若干个简单的题目组合而成的.在解题教学中,首先不断引导学生去总结一些基本图形,吃透这些基本图形的本质,然后再让学生在以后的解题过程中遇到复杂的图形学会识别这些基本图形,最后在熟练掌握这些基本图形的基础上学会构造出这些基本图形,从而培养了学生思维的广阔性、深刻性和创新意识.

参考文献

1. 汪宗兴 由中考压轴题变式引发的系列思考[j]《中学数学教学参考：中旬》 2011、9