高一数学分段函数
第九课时 分段函数 【学习导航】
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分段函数??
???分段函数图象分段函数定义域值域分段函数定义
学习要求
1、了解分数函数得定义;
2、学会求分段函数定义域、值域;
3、学会运用函数图象来研究分段函数;
自学评价:
1、分段函数得定义
在函数定义域内,对于自变量x 得不同取值范围,有着不同得对应法则,这样得函数叫做分段函数;
2、分段函数定义域,值域;
分段函数定义域各段定义域得并集,其值域就是各段值域得并集(填“并”或“交”)
3、分段函数图象
画分段函数得图象,应在各自定义域之下画出定义域所对应得解析式得图象;
【精典范例】
一、含有绝对值得解析式
例1、已知函数y=|x －1|+|x+2|
(1)作出函数得图象。
(2)写出函数得定义域与值域。
【解】:
(1)首先考虑去掉解析式中得绝对值符号,第一个绝对值得分段点x=1,第二个绝对值得分段点x=－2,这样数轴被分为三部分:(－∞,－2],(－2,1],(1,+∞) 所以已知函数可写为分段函数形式:
y=|x －1|+|x+2|=??
???>+≤<--≤--)1(12)12(3)2(12x x x x x
在相应得x 取值范围内,分别作出相应函数得图象,即为所求函数得图象。(图象略)
(2)根据函数得图象可知:函数得定义域为R,值域为[3,+∞)
二、实际生活中函数解析式问题
例2、某同学从甲地以每小时6千米得速度步行2小时到达乙地,在乙地耽搁1小时后,又以每小时4千米得速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中,离甲地得距离S(千米)与时间t(小时)得函数关系式,并作出函数图象。
【解】:
先考虑由甲地到乙地得过程:
0≤t ≤2时, y=6t
再考虑在乙地耽搁得情况:
2 最后考虑由乙地返回甲地得过程: 3 所以S(t)=?? ???≤<+-≤<≤≤)63(244)32(12)20(6t t t t t 函数图象(略) 点评:某些实际问题得函数解析式常用分段函数表示,须针对自变量得分段变化情况,列出各段不同得解析式,再依据自变量得不同取值范围,分段画出函数得图象、 三、二次函数在区间上得最值问题 例3、已知函数f(x)=2x 2－2ax+3在区间[－1,1]上有最小值,记作g(a)、 (1)求g(a)得函数表达式 (2)求g(a)得最大值。 【解】: 对称轴x=讨论分12 ];1,1[2122>-∈-+-≤≤---<+) 2(52)22(23)2(522 a a a a a a 利用分段函数图象易得:g(a)max =3 点评:二次函数在闭区间上得最值问题往往结合图象讨论。 追踪训练 1、设函数f(x)=???>≤+) 2(,2)2(,22x x x x 则f(－4)=___________,若f(x 0)=8,则 x 0=________ 答案:18;6-或4。 2、已知函数f(x)=?? ???<=>)0(0)0(1)0(2x x x x 求f(1),f[f(－3)],f{f[f(－3)]}得值、 答案:1;1;1。 3、出下列函数图象 y=┃x+2┃－┃x －5┃ 解:原函数变为 y=?? ???+∞∈-∈---∞∈-),5[,7)5,2(,32]2(,7x x x ，x 下面根据分段函数来画出图象 图象(略)。 4、已知函数y=?? ???-+=+==)1()()1(3)1(1)0(n nf n f n f f f ,则f(4)=_______、 答案:22。 5、已知函数f(x)=1 |1|122++++-x x x x (1)求函数定义域; (2)化简解析式用分段函数表示; (3)作出函数图象 答案:(1)函数定义域为{x ┃x R x ∈-≠,1} ( 2 ) f(x)=┃x-1┃+1 |1|++x x =?? ???≥<<---<-1,11,21,x x x x x x (3) 图象(略)。 分层练习 1、设f(x)=?? ???>+≤--1||111||,2|1|2x ，x x x ,则f[f(21)]=( ) A 、 21 B 、13 4 C 、 －59 D 、412 5 2、若f(x)=???≥)0()0(2 x x x x ? ??<-≥=)0()0()(2x x x x x ?,则当x<0时,f[?(x)]=( ) A 、 －x B 、 －x 2 C 、x D 、x 2 3、已知,若f(x)=.______)2(2)21()1(22的取值范围是则x x x x x x x ?? ???≥<<--≤+ 4、下列各组函数表示同一函数得就是( ) ①f(x)=|x|,g(x)=? ??<-≥)0()0(x x x x ②f(x)=2 42--x x ,g(x)=x+2 ③f(x)=2x ,g(x)=x+2 ④f(x)=1122-+-x x g(x)=0 x ∈{－1,1} A 、①③ B 、① C 、②④ D 、①④ 5、某产品得总成本y(万元)与产量x(台)之间得函数关系式为y=3000+20x －0、1x 2,x ∈ (0,240),若每台产品得售价为25万元,则生产者不亏本得最低产量为( ) A 、100台 B 、120台 C 、150台 D 、180台 6、f(x)=????-∈]10[,3]10[1， x x ，，x ,使等式f[f(x)]=1成立得x 值得范围就是_________、 7、若方程2|x －1|－kx=0有且只有一个正根,则实数k 得取值范围就是__________、 拓展延伸 8、某商品在近30天内每件得销售价格P(元)与时间t(天)得函数关系式为P=???∈≤≤+-∈<<+*) ,3025(100*),250(20N t t t N t t t ,该商品得日销售量Q(件)与时间t(天)得函数关系式为Q=－t+40,(0