合肥一六八中学2017年面向全省自主招生考试《科学素养》测试数学试卷及答案解析
合肥一六八中学2017年面向全省自主招生考试《科学素养》测试数学试卷及答案解析
2 合肥168中学2017年面向全省自主招生考试
《科学素养》测试数学试卷
【卷首语】亲爱的同学们，欢迎参加一六八中学自主招生考试，希望你们凝神静气，考出水平！ 开放的一六八中学热忱欢迎你们！
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、 已知5353a -=
+，5+3
5-3
b = 3319a b ab ++ 的值是（ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9
2，有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽
取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于x 的不等式组()
4311
22x x x x a ?≥+?
?--??＜ 有解的概率为（）
A 、13
B 、4
9 C 、59 D 、23
3、已知一次函数=+y kx b 的图像经过点（3,0),且与坐标轴围成的三角形的面积为6，满足条件的函数有（ ）
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
4、若实数≠a b ，且、a b 满足22850,850-+=-+=a a b b .则11
11
--+
--b a a b 的值为（ ）
A 、-20
B 、2
C 、2或20
D 、2或20
3
Q
B
O
C
A
5、对于每个非零自然数n ，抛物线2211
(1)(1)
与轴交于、+=-
+++n n n y x x x A B n n n n 以
n n A B 表示这两点间的距离，则112220172017++
+A B A B A B 的值是（ ）
A 、
20172016 B 、20162017 C 、20172018 D 、2018
2017
6、已知,,a b c 是△ABC 的三边，则下列式子一定正确．．．．的是（ ） A 、222＞++++a b c ab bc ac B 、
11
＜
++++a b c
a b c C ＞a b c 、333＞+a b c
7、如图，从△ABC 各顶点作平行线∥∥AD EB FC ，各与其对边或其延长线相交于.，，D E F 若△ABC 的面积为1，则△DEF 的面积为（ ）
A 、3
B 3、5
2
D 、2
8、半径为 2.5的圆Ｏ中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P ，已知:4:3BC CA =，点P 在弧AB 上运动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ,则CQ 的最大值为（ ） A 、254 B 、20
3
C 、163
D 、92
F
C
D
A
E
B
第7题图 第8题图
4 P C
B
A 二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
9、若分式方程
1
x a
a x -=+无解．．，则a 的值为_________ 10、已知一列数123,,,a a a 满足1234123
1
111,,,,,2
111a a a a a a a ==
==--- 依次
类推，则122017,,
,a a a 这2017个数的积为__________
11、某公司加工252个零件，计划若干天完成，加工了2天后，由于改进新技
术，每天可多加工9个零件，因此提前1天完成任务，则原计划完成任务的天数为_______.
12、已知函数224y x mx =-+（m 是实数）与x 轴两交点的横坐标为12,x x ，当
1212,13x x ＜＜＜＜ ，则m 的范围是________.
13、如图，已知四边形ABCD 是矩形，2BC AB = ,A B 、两点的坐标分别是
（-1,0），（0,1），C D 、两点在反比例函数(0)k
y x x
=＜ 的图象上，则k 的值等
于_________.
14、如图，在0t ABC R △（∠C=90）内取一点P ，
且 AP AC a BP CP b ====， ，则22
2
2
a b a b +- 的值是_________
15、足球运动员在足球场上，常需要带球跑动到一定位置后，再进行射门，这个位置为射门点，射门点与球门边框两端点的夹角是射门角。如果点,A B 表示球门边框（不考虑球门的高度）的两端点，点C 表示射门点，连接AC BC 、 ，
5
图片（2）
l
D
B
C A
图（3）
球门
l Q
C
O
B
A
则ACB ∠就是射门角
球门
C
B
A
在不考虑其他因素的情况下，一般地，射门角越大，射门进球的可能性越大。如图（1）（2）（3）是运动员带球跑动的三种常见的路线（用直线l 表示），则下列说法：
①如图（1），AB l ∥,当运动员在线段AB 的垂直平分线与l 的交点C 处射门，进球的可能性很大；
②如图（2），AB l ⊥垂足为D ,设=2,AB a BD b =，当运动员在离底线AB 的距离22b ab +的点C 处（即2=2CD b ab + ）射门时，进球的可能性最大； ③如图（3），AB 与l 相交于点O ,设AB 的中点为O ，当点C 满足OQ CQ =时，运动员在点C 处射门时，进球的可能性最大；
④如图（3），过点C 作直线l 的垂线与线段AB 的垂直平分线交于点M ，当点M 恰好是ABC △的外心时，运动员在点C 处射门时，进球的可能性最大.
图（1）
球门
C
B
A
6
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16.(本题10分)
若实数,,a b c 满足16816835223,a b a b a b c a b c -+--=+--+- 求c 的值.
17.(本题12分)x a a = 2
2
2424x x x x x x
++++-+
18.（本题13分）某学校在大课间举行跳绳活动，为此学校准备购置长、中、短三种跳绳若干，要求中跳绳的条数是长跳绳的2倍，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍，已知长跳绳单价是20元，中跳绳的单价是15元，短跳绳的单价是8元。
（1）若学校准备用不超过2300元的现金购买200条长、中、短跳绳，问学校有几种购买方案可供选择？
（2）若学校准备恰好用3000元的现金购买n条长、中、短跳绳.求n的最大值.
19.（本题13分）如图，四边形ABCD内接O,AB是O的直径，AC和BD相交于点E,且2
DC CE CA
= .
（1）求证：BC CD
=
（2）分别延长,
AB DC交于点P,若,22,
==求圆O的半径.
PB OB CD
7
8
20.（本题13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A B 、为x 轴上两点，C D 、为y 轴上的两点，经过点A C B 、、的抛物线的一部分1C 与经过点A D B 、、 的抛物线的一部分2C 组成一条封闭曲线，已知点C 的坐标为（0，-3），点M 是抛物线()22230C y mx mx m m =--<： 的顶点. （1）求A B 、两点的坐标
（2）在第四象限内是否存在一点P ，使得PBC △的面积最大？若存在，求出PBC △面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当BDM △为直角三角形时，m 的值.
9
21.(本题14分) 已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （11，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B C 、重合），经过点O P 、折叠该纸片，得点B ' 和折痕OP ．设BP t =． （1）如图①，当30BOP ∠=? 时，求点P 的坐标；
（2）如图②，经过点P 再次折叠纸片，使点C 落在直线PB '上，得点C '和折痕
PQ ，若AQ m =，试用含有t 的式子表示m ；
（3）在（2）的条件下，当点C '恰好落在边OA 上时，求点P 的坐标．
10
y
x
A
C
B
2017年学科素养考核数学试题参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1-5 DBBAC ，6-8 CDB
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共
11
35分）
9、±1 10、12
11、7 12、2＜m ＜13
6 13、-6 143 15、①②④ 三、共75分
16、（10分）解：∵16801680
a b a b -+≥??
--≥?
，∴a+b=168 ……3分 352230
a b c a b c +--+-=
∴3520230
a b c a b c +--=??
+-=?
……7分 解得：
c=170
……10分 17、（12分） 由
x a a
=得：
x+2=a+1a
， ……3分 2
2
114x x a a a a ?
?+=-=-
??
? ……8分
12
∵0
x a
=
≥，∴a≥1，10a a
-≥ ……10分
所以，原式
=2
22a a a
= ……12分
18、解：（1）设学校购买a 条长跳绳，由题意得：
()2002620152820032300
a a a a a a --≤???+?+-≤?? ……3分
解
得：212
2226913
a ≤≤ ……5分 ∵a 为正整数，∴a 的整数值为23,24,25,26 所以学校共有4种购买方案可供选择． ……6分
（2）设学校购买a 条长跳绳，由题意得：
()2620152833000
n a a a a a n a --≤???+?+-=?? ……8分
化简得91341500
n a a n ≤??
+=?
，得13a=4(375-n)， ……10分
∴a 为4的倍数，设为4k （k 为整数），则
13
n=375-13k ， ∴375-13k≤36k ，
∴32749k ≥，∴k 的最小值为8，n 的最大值为271． ……13分
19、（1）证明：∵DC2=CE·CA ，
∴DC CA
CE DC =
， ……3分 △CDE ∽△CAD ，∴∠CDB=∠DBC ， ∴BC=CD
；
……6分 （2）解：如图，连接OC ， ∵BC=CD ，∴∠DAC=∠CAB ， 又
∵AO=CO
，
∴∠CAB=∠ACO
，
∴∠DAC=∠ACO ，
∴AD ∥OC ，∴PC PO PD PA =
， ……10分
∵PB=OB ，CD=222
3
22
PC =
+ ∴PC=42
又∵PC·PD=PB·PA
14
所以，半径
OB=4 ……13分
20、解：（1）y=mx2-2mx-3m=m(x-3)(x+1)，∵m≠0， ∴当y=0时，
11
x =-，
23
x =，∴A （-1,0），B
（3,0）； ……2分 （2）设1
C ：y=ax2+bx+c ，
将A 、B 、C 三点的坐标代入得：
01930233a b c a a b c b c c -+==????
++=?=-????=-=-??
，
故
1
C ：
y=x2-2x-3
……8分
如图：过点P 作PQ ∥y 轴，交BC 于Q ， 由B 、C 的坐标可得直线BC 的解析式为： y=x-3 ……5分
15
设P （a ，a2-2a-3），Q （a ，a-3）
()()2
2
2
39323324
PQ a a a a a a ?
?=----=-+=--+
??
?
所以3
=
2
BCP
S
PQ △
当32
x =时，PBC
S
△有最大值为27
8 此
时，P （
32
，
3
2
-）
……8分
（3分）y=mx2-2mx-3m=m(x-1)2-4m ，顶点M 坐标（1，-4m ），
当x=0时，y=-3m ，∴D （0，-3m ），B （3，0）， ∴DM2=(0-1)2+(-3m+4m)2=m2+1, MB2=(3-1)2+(0+4m)2=16m2+4， BD2=(3-0)2+(0+3m)2=9m2+9，
……10分
当△BDM 为Rt △时有：DM2+BD2=MB2或
16
DM2+MB2=BD2．
①DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4， 解得m=-1（∵m ＜0，∴m=1舍去）； ②DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=19m2+9， 解得m=22舍去）．
综上，m=-1或2时，△BDM 为直角三角形． ……13分 21、
（
1
）
（
23
，
6） …
…2分
（2）因为△OB ＇P ≌△OBP ，△QC ＇P ≌△QCP ∴∠OPB ＇=∠OPB ，∠QPC ＇=∠QPC ，∴∠BOP=∠CPQ 所
以
△OBP ≌△PCQ
，
∴OB BP PC CQ
=
……5分 由
PC=11-t,CQ=6-m ，得：
()2
111
601166
m t t t =-+＜＜ ……7分 （3）过P 作PE ⊥OA 与点E
17
易得，△PC ＇E ∽△C ＇QA ∴'
''PE PC AC C Q
=
∵PC ＇=PC=11-t,PE=OB=6，AQ=m ，
'C Q
=CQ=6-m ……9分
22''3612AC C Q AQ m
-=-63612t
m
=-
即
：
36-12m=t2
……12分 将2
111
66
6
m t
t =-
+代入得：
3t2-22t+36=0，解得：1
1113t -=，2
1113
t +=
所以，点P 的坐标为：1113-，6）或（1113+，
6） ……14分