第1课时
2.14.5.12周一
【教学题目】§5.5诱导公式——§5.5.1()0360k k Z α+?∈的诱导公式
【教学目标】
1.掌握()0360k k Z α+?∈角的正弦、余弦、正切的诱导公式;
2.能利用()0360k k Z α+?∈角的正弦、余弦、正切的诱导公式解答相关问题。
【教学内容】
1.()0360k k Z α+?∈角的正弦、余弦、正切的诱导公式;
2.利用()0360k k Z α+?∈角的正弦、余弦、正切的诱导公式解答相关问题.
【教学重点】利用()0360k k Z α+?∈角的正弦、余弦、正切的诱导公式解答相关问题.
【教学难点】利用()0360k k Z α+?∈角的正弦、余弦、正切的诱导公式解答相关问题.
【教学过程】
一、导课
问题:030角与0390角是终边相同的角,0sin 30与0sin 390之间具有什么关系? 探讨:因为030角与0
390角是终边相同的角,根据任意角三角函数的定义可知 0sin 30=0sin 390.
二、新授
(一)终边相同角的同名三角函数值有什么关系?
探讨:在单位园中,可以看出,由于角α与单位圆的交点就是与它终边相同的任意一 个角的终边与单位圆的交点.
诱导公式(一) ααsin )360sin(=??+k
ααcos )360cos(=??+k ααtan )360tan(
=??+k (其中k Z ∈) (二)诱导公式(一)的弧度制形式
弧度制可写成: απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+k
απαtan )2tan(
=+k (其中k Z ∈) (三)说明
(1)诱导公式(一)的作用
把任意角的正弦、余弦、正切化为0o―360o之间角的正弦、余弦、正切,其方法是先在0o―360o内找出与角α终边相同的角,再把它写成诱导公式(一)的形式,然后得出结果.
(2)其特征是:等号两边是同名函数,且符号都为正.
(3)运用公式时,注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用,如写成:
()00sin 602sin 60k π+=, 0cos 360cos 66k ππ??+?= ???
是不对的. 三、例题讲解
例、求下列三角函数值
(1)9cos 4π ; (2)0sin 780; (3)11tan()6
π-. 解析:利用诱导公式(一)将任意角的三角函数转化为[]0,2π内的角的三角函数.
解:9(1)cos cos(2)cos 4442
ππππ=+==;
0000(2)sin 780sin(602360)sin 60=+?==
11(3)tan()tan (1)2tan 666ππππ??-
=+-?==???? 四、学生练习
(1)7cos 3
π ; (2)0sin 750. 解:(1)71cos cos 2cos 3332ππππ??=+== ??
?; (2)()00001sin 750sin 302360
sin 302
=+?==. 五、课堂小结
(一)与α角终边相同的角的集合
}z ,360{∈??+k k α
(二)终边相同角的同名三角值相同 ααsin )360sin(=??+k
απαsin )2sin(=+k ααcos )360cos(=??+k απαcos )2=+k ααtan )360tan(=??+k απαtan )2tan(=+k
(其中k Z ∈)
六、布置作业
(一)默写()0360k k Z α+?∈的诱导公式
(二)求下列三角函数值:
1.7sin 3π;
2.25cos 4π;
3.13n 6ta π;
4.11sin 3π??- ???
;5.0sin 780 . 七、教学反思
本节课的难点是让学生理解在单位圆中,由于角α的终边与单位圆的交点坐标为()cos ,sin P αα,当终边旋转()0360k k Z ?∈时,点()cos ,sin P αα又回到原来的位置,所以角α的各三角函数值并不发生变化.由此得到结论:终边相同的角的同名三角函数值相同.此外,通过本节课要使学生能理解()0360
k k Z α+?∈的诱导公式的作用是将求任意角的三角函数值的问题转化为求00~360之间的角的三角函数值的问题.最后,教学实践
证明,本节课将求终边相同的角和()0360k k Z α+?∈的诱导公式两个知识点相结合,因而具有一定的综合性,需加大力度练习.
同角三角函数基本关系 1,平方关系:sin 2α+cos 2α=1; 2,商数关系:tan α=α αcos sin 3,同角三角函数的关系式的基本用途: 根据一个角的某一个三角函数值,求出该角的其他三角函数值;化简同角三角函数式;证明同角的三角恒等式. 题型一,同角间的计算 利用基本关系计算,开方时注意正负 1,若sin α=45 ,且α是第二象限角,则tan α的值等于( ) A .-43 B.34 C .±34 D .±43 2,化简1-sin 2160°的结果是( ) A .cos160° B .-cos160° C .±cos160° D .±|cos160°| 3,若cos α=-817 ,则sin α=________,tan α=________ 4,若α是第四象限的角,tan α=-512 ,则sin α等于( ) A.15 B .-15 C.315 D .-513 5,若α为第三象限角,则cos α1-sin 2α+2sin α1-cos 2α 的值为( ) A .3 B .-3 C .1 D .-1 6,计算1-2sin40°·cos40°sin40°-1-sin 240° =________。 7,已知8 1cos sin =?αα,则ααsin cos -的值等于( ) A .±34 B .±23 C .23 D .-2 3
8,已知 2cos sin cos sin =-+θθθθ,求θθcos sin ?的值。 9,已知sin α·cos α= 81,且24παπ<<,则cos α-sin α的值是多少? 10,已知sin θ +cos θ=51,θ∈(0,π),求值: (1)tan θ; (2)sin θ-cos θ;(3)sin 3θ+cos 3θ。 11,求证: ()x x x x x x x x cos sin 1sin cos 2cos 1sin sin 1cos ++-=+-+。
同角三角函数的基本关系式及诱导公式 一、基本知识: (1)同角三角函数的基本关系式:平方关系:sin 2α+cos 2α=1, 1tan sec 22=-αα, 1cot csc 22=-αα, 商式关系: sin α cos α =tan α, αα αcot sin cos =, 倒数关系:tan αcot α=1, ααcos 1sec = ααsin 1csc = (2)诱导公式:函数名称不变,符号看象限。 二、例题分析: 例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π) cos(π-α)tan(3π-α) . 解 原式= (-sin α)tan α[-cot(α+π) ] (-cos α)tan(π-α) = (-sin α)tan α(-cot α) (-cos α)(-tan α) = sin α·cos α sin α cos α =1 . 例2 若sin θcos θ= 18 ,θ∈(π4 ,π2 ),求cos θ-sin θ的值. 解 (cos θ-sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ-2sin θcos θ=1- 14 = 34 . ∵θ∈(π4 ,π2 ),∴ cos θ<sin θ. ∴cos θ-sin θ= - 3 2 . 变式1 条件同例, 求cos θ+sin θ的值.
变式2 已知cos θ-sin θ= - 3 2 , 求sin θcos θ,sin θ+cos θ的值. 例3 已知tan θ=3.求(1) α αααsin 3cos 5cos 2sin 4+-;(2)cos 2θ+sin θcos θ的值. 例4、证明:1+2sin αcos α cos 2α-sin 2α =1+ tan α 1-tan α
第2节同角三角函数基本关系式与诱导公式 最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,sin α cos α =tan α;2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2± α,π±α的正弦、余弦、正 切的诱导公式. 知识梳理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. (2)sin α cos α =tan__α. 2.三角函数的诱导公式 [常用结论与微点提醒] 1.诱导公式的记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限. 2.同角三角函数基本关系式的常用变形: (sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. 3.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.( ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( ) (3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指π 2的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.( ) (4)若sin(k π-α)=13(k ∈Z ),则sin α=1 3.( ) 解析 (1)对于α∈R ,sin(π+α)=-sin α都成立. (4)当k 为奇数时,sin α=1 3, 当k 为偶数时,sin α=-1 3. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.(2018·成都诊断)已知α为锐角,且sin α=4 5,则cos (π+α)=( ) A.-35 B.35 C.-45 D.45 解析 因为α为锐角,所以cos α=1-sin 2α=3 5,所以cos(π+α)=-cos α =-3 5,故选A. 答案 A 3.已知sin ? ????5π2+α =1 5,那么cos α=( ) A.-25 B.-15 C.15 D.25 解析 ∵sin ? ????5π2+α=sin ? ???? π2+α=cos α,∴cos α=15.故选C. 答案 C 4.(必修4P22B3改编)已知tan α=2,则 sin α+cos α sin α-cos α 的值为________. 解析 原式=tan α+1tan α-1=2+1 2-1 =3. 答案 3 5.已知sin θ+cos θ=43,θ∈? ? ???0,π4,则sin θ-cos θ的值为________. 解析 ∵sin θ+cos θ=43,∴sin θcos θ=7 18.
同角三角函数基本关系式和诱导公式 编稿:李霞 审稿:孙永钊 【考纲要求】 1.理解并熟练应用同角三角函数的基本关系式:,1cos sin 22=+x x sin tan ,cos x x x = tan cot 1x x =,掌握已知一个 角的三角函数值求其他三角函数值的方法. 2.能熟练运用诱导公式,运用任意角的三角函数值化简、求值与证明简单的三角恒等式. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、同角三角函数基本关系式 1.平方关系:222222sin cos 1; sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α. 2.商数关系:sin cos tan ;cot cos sin ααα=α=αα . 3.倒数关系:tan cot 1;sin csc 1; cos sec 1α?α=αα=α?α= 要点诠释: ①同角三角函数的基本关系主要用于:(1)已知某一角的三角函数,求其它各三角函数值;(2)证明三角恒等式;(3)化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用,解决某些问题若用“1”代换,如22 1sin cos =α+α, 221sec tan tan 45=α-α==o L ,则可以事半功倍;同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用. 考点二、诱导公式 sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .πααπααπαα+=-+=-+= sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .αααααα-=--=-=- sin()sin , cos()cos ,tan()tan . πααπααπαα-=-=--=-
Xx 学校学科教师辅导讲义 一)一、定义:角可以看作成平面内一条射线绕着端点从一个位置到另一个位置所称的图形。旋转开始时的射线、终止时 的射线分别叫作_______、_______,射线的端点O 叫做_________.按逆时针方向旋转形成的角叫做_______,顺时针方向旋转形成的角叫做_______,若一条射线没有作任何旋转,称它形成了一个_______。 二、在直角坐标系内讨论角: (1)角的顶点在原点,始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边(除端点外)在第几项先,就说这个角是第几象限角(或 者说这个角属于第几象限); 例如:30°、390°、-330°等都是第一象限角;120°、480°、-240°等都是第二象限角;240°、600°、-120°等 都是第三象限角;-30°、-390°、330°等都是第四象限角。 注意:锐角_____第一象限角,但第一象限角_______锐角;钝角______第二象限角,但第二象限角________钝角。(填 “都是”或者“不都是”) (2)若角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任一象限。 例如:直角、周角、平角都不属于任一象限。 三、终边相同的角(重点) 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={Z k k ∈?+=?,360/αββ },即任一与角α终 边相同的角都可以表示为角α与整个周角的和。 四、1弧度角的定义:我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。单位符号是 rad,读作弧度。2、弧度 数:在单位圆中,当圆心角为周角时,它所对的弧长为2π,所以周角的弧度数为2π,周角是2πrad 的角. 任意一个0°~360°的角的弧度数必然适合不等式 0≤x<2π. 任一正角的弧度数都是一个正实数;,任一负角的弧度数都是一个负实数; 零角的弧度数是0. 五、弧度制与角度制的换算 360°=2πrad ;180°=πrad ;1°= 180πrad ≈;1rad=π 180 ≈°≈57°18′。
21 同角三角函数的关系及诱导公式 一、考试要求:理解同角三角函数的基本关系,能熟练运用上述关系解决问题. 二、重点与难点:同角三角函数的基本关系反映了三种三角函数之间的制约关系,知一即知三,这种关系也是转化函数结构的基本工具,最典型的是“切化弦”,常用的还有通过“整体代换”x x t cos sin ±=来沟通x x cos sin +、x x cos sin -及x x cos sin . 三、知识点与方法: (一)同角三角函数的关系:平方关系:__________________;商数关系:____________________. (二)诱导公式:诱导公式可概括为:奇变偶不变,符号看象限. 一、基础训练 1.10cos 3 π= . 2.已知3, 2παπ? ?∈ ???,tan 2α=,则cos α= . 3.若3sin 65πα??+= ???,则cos 3πα??-= ??? . 4.若cos(80)k ?-=,则tan100?= . 5.已知sin 2cos x x =,则2sin 1x += . 6= . 7.442cos sin 2sin x x x -+= . 8.已知tan 2θ=,则22sin sin cos 2cos θθθθ+-= . 二、例题精讲 例 1.(1)已知8cos 17α=- ,求sin α,tan α的值; (2)已知0, 2πα??∈ ???,且11sin 2cos 5αα+= ,求tan α.
例2.已知02x π-<<,1sin cos 5 x x +=, (1)求sin cos x x -的值; (2)求2sin 22sin 1tan x x x +-的值. 例3.求证: cos 1sin 1sin cos x x x x +=-. 例4.已知()()() 3sin cos 2tan 2()cos f ππαπαααπα??---+ ???=--, (1)求313f π??- ???的值; (2)若()22f f ππαα??+=+ ??? ,求2sin cos cos sin cos ααααα++-的值; (3)若3()5f α= ,求sin ,tan αα的值.
§4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1. (2)商数关系:sin αcos α =tan α. 2. 下列各角的终边与角α的终边的关系 3.
1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角. ( × ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角. ( × ) (3)若cos(n π-θ)=13(n ∈Z ),则cos θ=1 3 . ( × ) (4)已知sin θ=m -3m +5,cos θ=4-2m m +5,其中θ∈[π 2,π],则m <-5或m ≥3. ( × ) (5)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=3-12,则tan θ的值为-3或-3 3 . ( × ) (6)已知tan α=-12,则1+2sin αcos αsin 2α-cos 2α 的值是-1 3. ( √ ) 2. 已知sin(π-α)=log 814,且α∈(-π 2,0),则tan(2π-α)的值为 ( ) A .-25 5 B.255 C .±25 5 D. 52 答案 B 解析 sin(π-α)=sin α=log 814=-2 3, 又α∈(-π 2,0), 得cos α=1-sin 2α= 53, tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α=-sin αcos α=25 5. 3. 若tan α=2,则2sin α-cos α sin α+2cos α 的值为________. 答案 34
同角三角函数基本关系式与诱导公式一、选择题 1.(2017·长沙模拟)已知α是第四象限角,sin α=-12 13 ,则tan α= ( ) A.- 5 13 B. 5 13 C.- 12 5 D. 12 5 解析因为α是第四象限角,sin α=-12 13, 所以cos α=1-sin2α= 5 13, 故tan α=sin α cos α =- 12 5 . 答案 C 2.已知tan α=1 2 ,且α∈ ? ? ? ? ? π, 3π 2 ,则sin α=( ) A.- 5 5 B. 5 5 C.25 5 D.- 25 5 解析∵tan α=1 2 >0,且α∈ ? ? ? ? ? π, 3π 2 ,∴sin α<0, ∴sin2α= sin2α sin2α+cos2α = tan2α tan2α+1 = 1 4 1 4 +1 = 1 5 , ∴sin α=- 5 5 . 答案 A 3.1-2sin(π+2)cos(π-2)=( ) A.sin 2-cos 2 B.sin 2+cos 2 C.±(sin 2-cos 2) D.cos 2-sin 2 解析1-2sin(π+2)cos(π-2)=1-2sin 2cos 2
=(sin 2-cos 2)2=|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2. 答案 A 4.(2017·甘肃省质检)向量a =? ???? 13,tan α,b =(cos α,1),且a ∥b ,则 cos ? ???? π2+α=( ) A.-13 B.13 C.- 23 D.- 22 3 解析 ∵a =? ???? 13,tan α,b =(cos α,1),且a ∥b , ∴13×1-tan αcos α=0,∴sin α=1 3, ∴cos ? ???? π2+α=-sin α=-13. 答案 A 5.(2017·广州二测)cos ? ????π12-θ=13,则sin ? ???? 5π12+θ=( ) A.1 3 B.22 3 C.-13 D.-223 解析 sin ? ???? 5π12+θ=sin ??????π2-? ????π12-θ =cos ? ????π12-θ=1 3. 答案 A 6.(2017·孝感模拟)已知tan α=3,则1+2sin αcos α sin 2α-cos 2α的值是( ) A.12 B.2 C.-12 D.-2 解析 原式=sin 2α+cos 2α+2sin αcos α sin 2α-cos 2α =(sin α+cos α)2(sin α+cos α)(sin α-cos α)=sin α+cos α sin α-cos α