2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)
2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数z满足z?(1?2i)=i（i是虚数），则复数z在复平面内对应的点在（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】
B
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
【解答】
由z?(1?2i)=i，得z=i
1?2i =i(1+2i)
(1?2i)(1+2i)
=?2
5
+1
5
i，
∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(?2
5,1
5
)，在第二象限．
2. 已知集合A={x|?2 A.(?2,?1) B.(?2,?3) C.(?∞,?1) D.(?∞,?3) 【答案】 D 【考点】 并集及其运算 【解析】 利用并集定义直接求解． 【解答】 ∵集合A={x|?2 ∴A∪B={x|x<3}={?∞，3)． 3. 命题p:?a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解，则￢p为（） A.?a<0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解 B.?a<0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解 C.?a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解 D.?a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解 【答案】 C 【考点】 命题的否定 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：根据含有量词的命题的否定可得，?p为?a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解． 故选C． 4. 在直角坐标系中，若角α的终边经过点P(sin 5π3 ,cos 5π3 )，则sin(π+α)=( ) A.?1 2 B.?√32 C.1 2 D.√32 【答案】 A 【考点】 三角函数 【解析】 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin(π+α)的值． 【解答】 ∵ 角α终边经过点P(sin 5π3 ,cos 5π 3)，即点P(?√ 32,?1 2 )， ∴ x =?√32 ，y =1 2，r =|OP|=1， 则sin(π+α)=?sinα=?y r =?y =?1 2． 5. 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤 【答案】 B 【考点】 等差数列的通项公式 等差数列的前n 项和 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：用a 1,a 2,?,a 8，表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列{a n }(n =1,2,3,?,8)是公差为17的等差数列，且这8项的和为996， ∴ 8a 1+ 8×72 ×17=996，解得a 1=65， ∴ a 8=65+7×17=184． 故选B ． 6. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入x 的值为（ ） A.3或?2 B.2或?2 C.3或?1 D.?2或?1或3 【答案】 A 【考点】 程序框图 【解析】 根据已知中的程序框图，分类讨论满足y =1的x 值，综合可得答案． 【解答】 当x >2时，由y =log 3(x 2?2x)=1得：x 2?2x =3，解得：x =3，或x =?1（舍） 当x ≤2时，由y =?2x ?3=1，解得：x =?2， 综上可得若输出的结果为1，则输入x 的值为3或?2， 7. 小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5:00?6:00之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午5:30?6:00．快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李．若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中．则小李需要去快递柜收取商品的概率为（ ） A.1 9 B.8 9 C.5 12 D.7 12 【答案】 D 【考点】 几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】 设快递员送达的时刻为x ，小李到家的时刻为y ，根据题意列出有序实数对(x,?y)满足的区域， 以及小李去快递柜收取商品对应的平面区域，计算面积比即可得出答案． 【解答】 假设快递员送达的时刻为x ，小李到家的时刻为y ， 则有序实数对(x,?y)满足的区域为 {(x,?y)|{5≤x ≤6 5.5≤y ≤6 }， 小李需要去快递柜收取商品，即序实数对(x,?y)满足的区域为 {(x,?y)|{5≤x ≤6 5.5≤y ≤6x +1 6 }， ∴ 小李需要去快递柜收取商品的概率为 P =S S = 12×(13+56)×12 12 ×1= 7 12 ． 8. 在正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱CD ，CC 1，A 1B 1的中点，用过点E ，F ，G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【考点】 简单空间图形的三视图 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：取AA 1的中点H ，连结GH ，则GH 为过点E,F,G 的平面与正方体的面A 1B 1BA 的交线．延长GH ，交BA 的延长线于点P ，连结EP ，交AD 于N ，则NE 为过点E ，F,G 的平面与正方体的面ABCD 的交线．同理，延长EF ，交D 1C 1的延长线于Q ，连结GQ ，交B 1C 1于点M ，则FM 为过点E,F,G 的平面与正方体的面BCC 1B 1的交线．所以过点E,F,G 的平面截正方体所得的截面为图中的六边形EFMGHN ．故可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为选项C 所示． 故选C ． 9. 已知函数f(x)= 1?2x 1+2，实数a ，b 满足不等式f(2a +b)+f(4?3b)>0，则下列不 等式恒成立的是（ ） A.b ?a <2 B.a +2b >2 C.b ?a >2 D.a +2b <2 【答案】 C 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【解析】 此题暂无解析 解：由题意得f(?x)=1?2?x 1+2= 2x ?12+1 =? 1?2x 2+1 =?f(x)，故函数f(x)为奇函数， 又f(x)=? 2x ?1 1+2x =?(2x +1)?21+2x =?1+2 1+2x ,故函数f(x)在R 上单调调递减． ∵ f(2a +b)+f(4?3b)>0， ∴ f(2a +b)>?f(4?3b)=f(3b ?4), ∴ 2a +b <3b ?4, ∴ b ?a >2． 故选C ． 10. 已知双曲线C: x 2 a 2 ?y 2 b 2=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 是双曲线C 上的两点，且AF 1→ =3F 1B → ，cos∠AF 2B =3 5，则该双曲线的离心率为（ ） A.√10 B.√10 2 C.√52 D.√5 【答案】 B 【考点】 双曲线的特性 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：∵ AF 1→ =3F 1B → ， ∴ A,F 1,B 共线，且点F 1在线段AB 上，如图，设A,B 是双曲线C 左支上的两点， 令|AF 1|=3|F 1B |=3m(m >0)，由双曲线的定义可得|BF 2|=2a +m,|AF 2|=2a +3m ， 在△F 2AB 中，由余弦定理得(4m)2=(2a +m)2+(2a +3m)2?2×(2a +m)×(2a +3m)×3 5，整理得3m 2?2am ?a 2=0，解得m =a 或m =?1 3a (舍去)． ∴ |AB|=4a,|BF 2|=3a,|AF 2|=5a ， ∴ △F 2AB 为直角三角形，且∠ABF 2=90°． 在Rt △F 1BF 2中，|F 1B |2+|BF 2|2=|F 1F 2|2， 即a 2+(3a)2=(2c)2，即10a 2=4c 2， ∴ e 2 =c 2 a 2=5 2,∴ e =√10 2，即该双曲线的离心率为√102 ． 故选B ． 在(0,?π)上单调．下列说法正确的是（）A.ω=1 2 B.f(?π 8)=√6?√2 2 C.函数f(x)在[?π,?π 2 brack上单调递增 D.函数y=f(x)的图象关于点(3π 4 ,0)对称 【答案】 C 【考点】 正弦函数的单调性 【解析】 根据题意，设置满足条件的ω，φ的值，依次对各选项讨论即可．【解答】 由f(π 8)=√2，即2sin(ωπ 8 +φ)=√2，可得：ωπ 8 +φ=π 4 +2kπ或ωπ 8 +φ=3π 4 +2kπ， k∈Z； 令ωπ 8+φ=π 4 ……(1)，(2)(3)解得：ω=2，不满足题意： 令ωπ 8+φ=3π 4 ……(4)，(5)(6)解得：ω=2 3 ，满足题意： ∴f(x)=2sin(2 3x+2π 3 ) 对于B:f(?π 8)=2sin(?2 3 ×π 8 +2π 3 )=2sin7π 12 =√6+√2 2 ，∴B不对． 对于C：令?π 2≤2 3 x+2π 3 ≤π 2 ，解得：?3π 2 ≤x≤π 4 ， ∴函数f(x)在[?π,?π 2 brack上单调递增，∴C对． 对于D：当x=3π 4，可得f(3π 4 )=2sin(2 3 ×3π 4 +2π 3 )=?2sinπ 6 =?1， ∴函数y=f(x)的图象不是关于点(3π 4 ,0)对称，∴D不对． 故选：C． 12. 已知点I在△ABC内部，AI平分∠BAC，∠IBC=∠ACI=1 2 ∠BAC，对满足上述条件的所有△ABC，下列说法正确的是（） A.△ABC的三边长一定成等差数列 B.△ABC的三边长一定成等比数列 C.△ABI，△ACI，△CBI的面积一定成等差数列 D.△ABI，△ACI，△CBI的面积一定成等比数列 【答案】 B 【考点】 命题的真假判断与应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：设∠IBC=∠ACI=∠BAI=∠CAI=θ,IA=IC=m,IB=n，在△IAC中，m=b 2cosθ ， 在△ABI,△BCI,△ABC中，分别由余弦定理得 n2=c2+m2?2cmcosθ， m2=a2+n2?2ancosθ， a2=b2+c2?2bcos2θ， 由+整理得2(cm+an)cosθ=a2+c2， ∴ cm+an=a2+c2 2cosθ ， 将m=b 2cosθ代入上式可得n=a2+c2?bc 2acosθ ， 又由三角形面积公式得1 2bcsin2θ=1 2 mcsinθ+1 2 ansinθ+1 2 bmsinθ， ∴2bccosθ=mc+an+bm=m(b+c)+an， ∴ 2bccosθ=b(b+c) 2cosθ+a2+c2?bc 2cosθ =a2+b2+c2 2cosθ ， ∴ 4bcos2θ=a2+b2+c2， ∴ 2bc(1+cos2θ)=a2+b2+c2， 由得cos2θ=b2+c2?a2 2bc ， ∴ 2bc(1+b2+c2?a2 2bc )=a2+b2+c2， 整理得a2=bc，故△ABC的三边长一定成等比数列． 故选B． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 已知两个单位向量a→，b→的夹角为π 3 ，则(2a→+b→)?(a→?b→)=________．【答案】 1 2 【考点】 平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】 直接利用向量的数量积的运算法则求解即可． 【解答】 两个单位向量a → ，b → 的夹角为π 3， 则(2a → +b → )?(a → ?b → )=2a → 2?a → ?b → ?b → 2=2?12?1=12， 在(2x +1)2(x ?2)3的展开式中，x 2的系数等于________． 【答案】 10 【考点】 二项式定理的应用 【解析】 化简(2x +1)2(x ?2)3=(4x 2+4x +1)(x 3?6x 2+12x ?8)，展开后可得含x 2项的系数． 【解答】 ∵ (2x +1)2(x ?2)3=(4x 2+4x +1)(x 3?6x 2+12x ?8)， ∴ x 2的系数等于4×(?8)+4×12?6=(10) 已知半径为3cm 的球内有一个内接四棱锥S ?ABCD ，四棱锥S ?ABCD 的侧棱长都相 等，底面是正方形，当四棱锥S ?ABCD 的体积最大时，它的底面边长等于________cm ． 【答案】 4 【考点】 柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：如图，设四棱锥S ?ABCD 的侧棱长为x ，底面正方形的边长为a ，棱锥的高为?， 由题意可得顶点S 在底面上的射影为底面正方形的中心O 1，则球心O 在高SO 1上，在Rt △OO 1B 中，OO 1=??3,OB =3，O 1B =√2 2a ， ∴ 32 =(??3)2 + (√22a)2，整理得a 2=12??2?2． 又∵ 在Rt △SO 1B 中，有x 2 =?2 +(√22a) 2=?2+(6???2)=6?，∴ ?= x 26 .∴ a 2 =2x 2 ? x 418, ∴ V S?ABCD =1 3?a 2??=1 3×(2x 2?x 4 18)×x 26 =1 324(?x 6+36x 4)， 设f(x)=?x 6+36x 4，则f ′(x)=?6x 5+144x 3=?6x 3(x 2?24)， ∴ 当0 ∴ 当a =2√6时，f(x)取得最大值，即四棱锥S ?ABCD 的体积取得最大值， 此时a 2=2×(2√6)2? (2√6)418 =16，解得a =4， ∴ 四棱锥S ?ABCD 的体积最大时，底面边长等于4cm ． 故答案为：4． 为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距5km，且与C村相距√31km的地方．已知B村在A村的正东方向，相距3km，C村 在B村的正北方向，相距3√3km，则垃圾处理站M与B村相距________km． 【答案】 2或7 【考点】 解三角形 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则 A(0,0),B(3,0),C(3,3√3). 由题意得处理站M在以A(0,0)为圆心，半径为5的圆A上，同时又在以C(3,3√3)为圆心，半径为√31的圆C上，两圆的方程分别为x2+y2=25和(x?3)2+(y?3√3)2=31， 联立{x2+y2=25 (x?3)2+(y?3√3)2=31 ，解得{ x=5 y=0，或{ x=?5 2 y=5√3 2 ， ∴垃圾处理站M的坐标为(5,0)或(?5 2,5√3 2 )， ∴|MB|=2或|MB|=√(?5 2?3) 2 +(5√3 2 ) 2 =7， 即垃圾处理站M与B村相距2km或7km． 故答案为：2或7． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知等比数列{a n}的前n项和S n满足4S5=3S4+S6，且a3=9． (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式； (Ⅱ)设b n=(2n?1)?a n，求数列{b n}的前n项的和T n． 【答案】 (Ⅰ)设数列{a n}的公比为q． 由4S5=3S4+S6，得S6?S5=3S5?3S4，即a6=3a5， ∴q=3，∴a n=9?3n?3=3n?1． (Ⅱ)b n=(2n?1)?a n=(2n?1)?3n?1， ∴T n=1?30+3?31+5?32+?+(2n?1)?3n?1， 3T n=1?31+3?32+?+(2n?3)?3n?1+(2n?1)?3n， ∴?2T n=1+2?31+2?32+?+2?3n?1?(2n?1)?3n=?2+(2?2n)?3n，∴T n=(n?1)?3n+1． 【考点】 数列的求和 【解析】 (Ⅰ)利用已知条件求出数列的公比，然后求数列{a n}的通项公式； (Ⅱ)化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可． 【解答】 (Ⅰ)设数列{a n}的公比为q． 由4S5=3S4+S6，得S6?S5=3S5?3S4，即a6=3a5， ∴q=3，∴a n=9?3n?3=3n?1． (Ⅱ)b n=(2n?1)?a n=(2n?1)?3n?1， ∴T n=1?30+3?31+5?32+?+(2n?1)?3n?1， 3T n=1?31+3?32+?+(2n?3)?3n?1+(2n?1)?3n， ∴?2T n=1+2?31+2?32+?+2?3n?1?(2n?1)?3n=?2+(2?2n)?3n，∴T n=(n?1)?3n+1． 为了解A市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图． (Ⅰ)根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩u0；（精确到个位）(Ⅱ)研究发现，本次检测的理科数学成绩X近似服从正态分布X～N(μ,?σ2)(u=u0，σ约为19.3)．①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占46%，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）②已知A市理科考生约有1000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？ =?1???\p?i(\dfrac{{x}_{1}???u}{?sigma})}表示{x\gt x_{1}}的概率,{\phi(\dfrac{{x}_{1} - u}{\sigma})}用来将非标准正态分布化为标准正态分布,即{X\sim N(0,\, 1)}, 从而利用标准正态分布表{\phi (x_{0})},求{x\gt x_{1}}时的概率{P(x\gt x_{1})},这里{x_{0}= \dfrac{{x}_{1} - u}{\sigma}}.相应于{x_{0}}的值{\phi (x_{0})}是指总体取值小于{x_{0}}的概率,即{\phi (x_{0})= P(x\lt x_{0})}.参考数据:{\phi (0.7045)= 0.54},{\phi (0.6772)= 0.46},{\phi (0.21)= 0.5832)}$． 【答案】 （1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为： u0 =65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18 +125×0.1+135×0.05+145×0.03=103.2≈1(03) （2）①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为x1， 根据题意，P(x>x1)=1??(x1?u0 σ)=1??(x1?103 19.3 )=0.46，即?(x1?103 19.3 )=0.54． 由?(0.7054)=0.54得，x1?103 19.3 =0.7054?x1=116.6≈117， 所以，本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分． P(x>7)=1??(107?103 19.3 )=1??(0.2072)≈1?0.5832=0.4168， 所以，理科数学成绩为107分，大约排在10000×0.4168=4168名． 【考点】 正态分布的密度曲线 【解析】 （I）以组中值代替小组平均值，根据加权平均数公式计算平均成绩；(II)①根据所给公式列方程求出x1；②根据成绩计算概率，得出大体名次．【解答】 （1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为： u0 =65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18 +125×0.1+135×0.05+145×0.03=103.2≈1(03) （2）①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为x1， 根据题意，P(x>x1)=1??(x1?u0 σ)=1??(x1?103 19.3 )=0.46，即?(x1?103 19.3 )=0.54． 由?(0.7054)=0.54得，x1?103 19.3 =0.7054?x1=116.6≈117， 所以，本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分． P(x>7)=1??(107?103 19.3 )=1??(0.2072)≈1?0.5832=0.4168， 所以，理科数学成绩为107分，大约排在10000×0.4168=4168名． 在四棱锥P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB?//?CD，AB⊥AD，O为AD中点，PA=PD=√5，AD＝AB＝2CD＝2． (Ⅰ)求证：平面POB⊥平面PAC； (Ⅱ)求二面角A?PC?D的余弦值． 【答案】 （1）证明：由条件可知，Rt △ADC ?Rt △BAO ，∴ ∠DAC ＝∠ABO ， ∴ ∠DAC +∠AOB ＝∠ABO +∠AOB ＝90°， ∴ AC ⊥BO ．∵ PA ＝PD ，且O 为AD 中点，∴ PO ⊥AD ． ∵ {PAD ⊥ABCD PAD ∩ABCD =AD PO ⊥AD PO ?PAD ，∴ PO ⊥平面ABCD ． 又∵ AC ?平面ABCD ，∴ AC ⊥PO ． 又∵ BO ∩PO ＝O ，∴ AC ⊥平面POB ． ∵ AC ?平面PAC ， ∴ 平面POB ⊥平面PAC ． （2）以O 为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0,?0,?2)，A(1,?0,?0)，D(?1,?0,?0)，C(?1,?1,?0)，PA → =(1,0,?2)，AC → =(?2,1,0)，PD → =(1,0,?2)，CD → =(0,?1,0)， 设n 1→ =(x,y,z)为平面PAC 的一个法向量， 由{n 1→?PA → =0n 1 → ?AC → =0 得{x ?2z =0?2x +y =0 ，解得{z =1 2x y =2x ． 令x ＝2，则n 1→=(2,4,1)． 同理可得，平面PDC 的一个法向量n 2→ =(?2,0,1)， ∴ 二面角A ?PC ?D 的平面角θ的余弦值cosθ=|n 1→?n 2→ | |n 1→||n 2→| = √105 = √105 35 ． 【考点】 平面与平面垂直 二面角的平面角及求法 【解析】 (Ⅰ)通过Rt △ADC ?Rt △BAO ，推出∠DAC ＝∠ABO ，证明AC ⊥BO ，PO ⊥AD ．推出PO ⊥平面ABCD ． 得到AC ⊥PO ．AC ⊥平面POB ，即可证明平面POB ⊥平面PAC ． (Ⅱ)以O 为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PAC 的一个法向量，平面PDC 的一个法向量，利用向量的数量积求解即可． 【解答】 （1）证明：由条件可知，Rt △ADC ?Rt △BAO ，∴ ∠DAC ＝∠ABO ， ∴ ∠DAC +∠AOB ＝∠ABO +∠AOB ＝90°， ∴ AC ⊥BO ．∵ PA ＝PD ，且O 为AD 中点，∴ PO ⊥AD ． ∵ {PAD ⊥ABCD PAD ∩ABCD =AD PO ⊥AD PO ?PAD ，∴ PO ⊥平面ABCD ． 又∵ AC ?平面ABCD ，∴ AC ⊥PO ． 又∵ BO ∩PO ＝O ，∴ AC ⊥平面POB ． ∵ AC ?平面PAC ， ∴ 平面POB ⊥平面PAC ． （2）以O 为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0,?0,?2)，A(1,?0,?0)，D(?1,?0,?0)，C(?1,?1,?0)，PA → =(1,0,?2)，AC → =(?2,1,0)，PD → =(1,0,?2)，CD → =(0,?1,0)， 设n 1→ =(x,y,z)为平面PAC 的一个法向量， 由{n 1→?PA → =0n 1 → ?AC → =0 得{x ?2z =0?2x +y =0 ，解得{ z =1 2x y =2x ． 令x ＝2，则n 1→=(2,4,1)． 同理可得，平面PDC 的一个法向量n 2→ =(?2,0,1)， ∴ 二面角A ?PC ?D 的平面角θ的余弦值cosθ=|n 1→?n 2→ | |n 1→||n 2→| = √105 = √105 35 ． 已知点A(1,?0)和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O:x 2+y 2=4． (Ⅰ)求动点B 的轨迹方程； (Ⅱ)已知点P(2,?0)，Q(2,??1)，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ，N 两点，求证：直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值． 【答案】 （1）如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A′(?1,?0)． 依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线， ∵ O 为AA′的中点，C 为AB 中点，∴ A′B =20C ． ∴ |BA′|+|BA|=20C +2AC =20C +2CD =20D =4>|AA′|=2 依椭圆得定义可知，动点B 的轨迹为椭圆， 其中：|BA′|+|BA|=2a =4，|AA′|=2c =2， ∴ a =2，c =1，∴ b 2=a 2?c 2=3， x 2y 2 （2）证明：当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x =2， 此时直线l 与椭圆 x 24 + y 23 =1相切，与题意不符． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y +1=k(x ?2)． 由{y +1=k(x ?2) x 24 +y 2 3 =1 得(4k 2+3)x 2?(16k 2+8k)x +16k 2+16k ?8=0． 设M(x 1,?y 1)，N(x 2,?y 2)， 则{ x 1+x 2=16k 2+8k 4k 2+3x 1x 2=16k 2 +16k?8 4k 2+3△>0?k <12 ， ∴ k PM +k PN =y 1 x 1 ?2 +y 2 x 2 ?2 =k(x 1?2)?1x 1?2 + k(x 2?2)?1x 2?2 =2k ?(1 x 1 ?2 +1 x 2?2 ) =2k ? x 1+x 2?4(x 1?2)(x 2?2)=2k ?x 1+x 2?4 x 1x 2?2(x 1+x 2)+4 =2k ? ( 16k 2+8k 4k 2+3 )?4 16k 2+16k?84k 2+3?2(16k 2+8k 4k 2+3 )+4=2k +3?2k =3． ∴ 直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值3． 【考点】 轨迹方程 圆锥曲线的综合问题 【解析】 (Ⅰ)设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A′(?1,?0)．圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，依椭圆得定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，由此能求出动点B 的轨迹方程． (Ⅱ)设直线l 的方程为y +1=k(x ?2)．由{y +1=k(x ?2) x 24+y 23=1 得(4k 2+3)x 2?(16k 2+ 8k)x +16k 2+16k ?8=0．由此利用韦达定理、根的判别式，结合已知条件能证明直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值3． 【解答】 （1）如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A′(?1,?0)． 依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线， ∵ O 为AA′的中点，C 为AB 中点，∴ A′B =20C ． ∴ |BA′|+|BA|=20C +2AC =20C +2CD =20D =4>|AA′|=2 依椭圆得定义可知，动点B 的轨迹为椭圆， 其中：|BA′|+|BA|=2a =4，|AA′|=2c =2， ∴ a =2，c =1，∴ b 2=a 2?c 2=3， ∴ 动点B 的轨迹方程为 x 24 + y 23 =1． （2）证明：当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x =2， 此时直线l 与椭圆 x 24 + y 23 =1相切，与题意不符． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y +1=k(x ?2)． 由{y +1=k(x ?2) x 24+y 2 3=1 得(4k 2+3)x 2?(16k 2+8k)x +16k 2+16k ?8=0． 设M(x 1,?y 1)，N(x 2,?y 2)， 则{ x 1+x 2=16k 2+8k 4k 2+3x 1x 2=16k 2 +16k?8 4k 2+3△>0?k <12 ， ∴ k PM +k PN =y 1 x 1 ?2 +y 2 x 2 ?2 =k(x 1?2)?1x 1?2 + k(x 2?2)?1x 2?2 =2k ?(1 x 1 ?2 +1 x 2?2 ) =2k ? x 1+x 2?4(x 1?2)(x 2?2)=2k ?x 1+x 2?4 x 1x 2?2(x 1+x 2)+4 =2k ? ( 16k 2+8k 4k 2+3 )?4 16k 2+16k?84k 2+3?2(16k 2+8k 4k 2+3 )+4=2k +3?2k =3． ∴ 直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值3． 已知函数f(x)=(x ?1)e x ?ax 2（e 是自然对数的底数）． (Ⅰ)判断函数f(x)极值点的个数，并说明理由； (Ⅱ)若?x ∈R ，f(x)+e x ≥x 3+x ，求a 的取值范围． 【答案】 （1）∵ f′(x)=xe x ?2ax =x(e x ?2a)， 当a ≤0时，f(x)在(?∞,?0)上单调递减，在(0,?+∞)上单调递增， ∴ f(x)有1个极值点；
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