人教版九年级数学上册 期中培优提升卷及答案
人教版九年级数学上册期中培优提升卷及答案
(时间：120分钟满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ C ）
2．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方后可得(A)
A．(x＋5)2＝16 B．(x＋5)2＝1
C．(x＋10)2＝91 D．(x＋10)2＝109
3．(2018·济宁)如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为(－1，0)，AC＝2，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标是( A)
A．(2，2) B．(1，2) C．(－1，2) D．(2，－1)
4．(雅安中考)将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线的解析式为(D) A．y＝(x－2)2B．y＝(x－2)2＋6
C．y＝x2＋6 D．y＝x2
5．某商品原售价为50元，10月份下降了10%，从11月份起售价开始增长，12月份售价为64.8元，设11、12月份每个月的平均增长率为x，则下列结论正确的是（D）
A．10月份的售价为50(1＋10%)元
B．11月份的售价为50(1＋10%)元
C．50(1＋x)2＝64.8
D．50(1－10%)(1＋x)2＝64.8
6．已知a≥2，m，n为x2－2ax＋2＝0的两个根，则(m－1)2＋(n－1)2的最小值是（ A ）
A．6 B．3 C．－3 D．0
7．(呼和浩特中考)在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是（D）
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是( A )
A.7 B．2 2 C．3 D．2 3
第8题图第9题图第10题图
9．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为( A)
A．①②B．②③C．①③D．①②③
10．(2018·达州)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y轴的交点B在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x＝2.下列结论：
①abc<0；
②9a ＋3b ＋c>0；
③若点M ? ????12，y 1、点N ? ????52，y 2是函数图象上的两点，则y 1 ④－35 其中正确结论有( D ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 11．如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为直线x ＝2. 第11题图 第15题图 第18题图 12．一元二次方程(x ＋3)2－x ＝2(x 2＋3)化成一般形式为x 2－5x －3＝0，方程根的情况为有两个不相等的实数根． 13．等边三角形绕中心点至少旋转120度后能与自身重合，正方形绕中心点至少旋转90度后能与自身重合． 14．平面直角坐标系中有一个点A(－2，6)，则与点A 关于原点对称的点的坐标是(2，－6)，经过这两点的直线的解析式为y ＝－3x . 15．(原创)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，不等于x2＋bx＋c＞x＋m的解集为x＜1或x＞3. 16．一位运动员投掷铅球的成绩是14 m，当铅球运行的水平距离是6 m时达到最大高度4 m，若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是1.75 m. 17．已知方程(p－2)x2－x＋p2－3p＋2＝0的一个根为0，则实数p的值是1. 18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则 C′B 三、解答题(本大题共7小题，共66分) 19．(8分)(1)解方程3x2－x－1＝0； 解：∵a＝3，b＝－1，c＝－1 ∴b2－4ac＝(－1)2－4× 3×(－1)＝13＞0， ∴x＝－（－1）±13 2× 3 ＝ 1±13 6， ∴x1＝1＋13 6，x2＝ 1－13 6； (2)通过配方，写出抛物线y＝1＋6x－x2的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解：y＝1＋6x－x2＝－(x－3)2＋10，开口向下，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是(3，10)． 20．(8分)如图所示，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，AP＝5，则PP′的长是多少？ 解：由旋转易知AP′＝AP＝5，∠BAP＝∠CAP′，∵∠BAC ＝90°，∴∠PAP′＝∠CAP＋∠CAP′＝∠CAP＋∠BAP＝90°，则在Rt△PAP′中，由勾股定理得PP′＝AP2＋AP′2＝5 2. 21(8分)(眉山中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－3，2)，B(－1，4)，C(0，2)． (1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C； (2)平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为(－5，－2)，画出平移后的△A2B2C2； (3)若将△A 2B 2C 2绕某一点旋转可以得到△A 1B 1C ，请直接写出旋转中心的坐标． 解：(1)如图； (2)如图； (3)旋转中心的坐标为(－1，0)． 22．(8分)如图，经过原点O 的抛物线y ＝ax 2＋bx(a ≠0)与x 轴交于另一点 A ? ????32，0，在第一象限内与直线y ＝x 交于点B(2， t)． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M 在抛物线上，且∠MBO ＝∠ABO ，求点M 的坐标． 解：(1)抛物线解析式为y ＝2x 2－3x ； (2)连接AB ，OM ，设MB 交y 轴于点N ， ∵B(2，2)，∴∠AOB ＝∠NOB ＝45°，△AOB ≌△NOB(ASA )， ∴ON ＝OA ＝32，∴N ? ?? ??0，32，∴可设直线BN 解析式为y ＝kx ＋32，把B 点坐标代入可得2＝2k ＋32，解得k ＝14 ，∴直线BN 的解析式为y ＝14x ＋32，联立直线BN 和抛物线解析式可得?????y ＝14x ＋32，y ＝2x 2－3x ， 解得?????x ＝2，y ＝2，或? ??x ＝－38，y ＝4532.∴M ? ????－38，4532. 23．(10分)(2018·抚顺)俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y 本，销售单价为x 元． (1)请直接写出y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围； (2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2 400元？ (3)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 最大？最大利润是多少元？ 解：(1)y＝300－10(x－44)，即y＝－10x＋740(44≤x≤52)； (2)根据题意得(x－40)(－10x＋740)＝2 400， 解得x1＝50，x2＝64(舍去)． 答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2 400元； (3)w＝(x－40)(－10x＋740)＝－10x2＋1 140x－29 600＝－10(x－57)2＋2 890， 当x<57时，w随x的增大而增大，而44≤x≤52，所以当x ＝52时，w有最大值，最大值为－10×(52－57)2＋2 890＝2 640(元)． 答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大，最大利润是2 640元． 24．(12分)抛物线y＝x2－6x＋5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P. (1)直接写出抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式________； (2)直接写出抛物线关于原点对称的抛物线的解析式________； (3)直接写出抛物线关于点B成中心对称的抛物线的解析式________； (4)已知点D(－1，0)，将△COD绕点M旋转180°后，点C，D的对应点E，F分别落在抛物线上，求点M的坐标． 解：(1)y ＝－x 2＋6x －5； (2)易求A ，P 关于原点O 对称的点A′(－1，0)，P′(－3，4)，设所求抛物线为y ＝a(x ＋3)2＋4，将A′(－1，0)代入解析式得a ＝－1，∴y ＝－(x ＋3)2＋4； (3)构造全等易求点P(3，－4)关于点B(5，0)的对称点P′(7， 4)，设y ＝a(x －7)2＋4，将B(5，0)代入得a ＝－1，∴y ＝－(x － 7)2＋4. (4)易知四边形CDEF 为平行四边形，∵C(0，5)，D(－1，0)， 由平移性质可设E(a ，a 2－6a ＋5)，∴F(a ＋1，a 2－6a ＋10)， ∴(a ＋1)2－6(a ＋1)＋5＝a 2－6a ＋10，∴a ＝5，E(5，0)，F(6， 5)， ∴M ? ?? ??52，52. 25.(12分)(2018·宜宾)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线 的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)，如图，直线y ＝14x 与抛物 线交于A ，B 两点，直线l 为y ＝－1. (1)求抛物线的解析式； (2)在l 上是否存在一点P ，使PA ＋PB 取得最小值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3)已知F(x 0，y 0)为平面内一定点，M(m ，n)为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标． 解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(2，0)，设抛物线的解析式为y ＝a(x －2)2. ∵该抛物线经过点(4，1)，∴1＝4a ，解得a ＝14 ， ∴抛物线的解析式为y ＝14(x －2)2＝14 x 2－x ＋1. (2)联立直线AB 与抛物线解析式，得 ???y ＝14x ，y ＝14 x 2－x ＋1，解得?????x 1＝1，y 1＝14，?????x 2＝4，y 2＝1. ∴点A 的坐标为? ????1，14，点B 的坐标为(4，1)． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA ＋PB 取得最小值．∵点B(4，1)，直线l 为y ＝－1，∴点B′的坐标为(4，－3)，设直线AB′的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)， 将A ? ????1，14，B′(4，－3)代入y ＝kx ＋b ，得 ??? ??k ＋b ＝14，4k ＋b ＝－3，解得? ??k ＝－1312，b ＝43.∴直线AB′的解析式为y ＝－1312x ＋43 . 当y ＝－1时，得x ＝2813，∴点P 的坐标为? ????2813，－1， (3)∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴(m －x 0)2＋(n －y 0)2＝(n ＋1)2， ∵m 2－2x 0m ＋x 20－2y 0n ＋y 20＝2n ＋1. ∵M(m ，n)为抛物线上一动点，∴n ＝14 m 2－m ＋1， ∴m 2－2x 0m ＋x 20－2y 0? ????14m 2－m ＋1＋y 20＝2? ????14m 2－m ＋1＋1，整理得? ?? ??12－12y 0m 2＋(2－2x 0＋2y 0)m ＋x 20＋y 20－2y 0－3＝0， ∵m 为任意值， ∴?????12－12y 0 ＝0，2－2x 0＋2y 0＝0，x 20＋y 20－2y 0－3＝0，∴?????x 0＝2，y 0 ＝1，∴定点F 的坐标为(2，1)．