最新上海市崇明区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案)
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崇明区2018学年第一次高考模拟考试试卷
数 学
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】
1．计算：20
lim
31
n n n →∞+=+ ▲ ．
2．已知集合{}12x x A =-<<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =∩ ▲ ． 3．若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z = ▲ ．
4．8
21x x ?
?- ???
的展开式中含7x 项的系数为 ▲ （用数字作答）．
5．角θ的终边经过点(4,)P y ，且3
sin 5
θ=-，则tan θ= ▲ ．
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为5，则点P 的横
坐标是 ▲ ．
7．圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于 ▲ ． 8．设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于 ▲ ． 9．若函数2
()log 1
x a
f x x -=+的反函数的图像过点(3,7)-，则a = ▲ ． 10．2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么
不同的录取方法有 ▲ 种．
11．设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上单调递减，且满足()1f π=，
(2)2f π=，则不等式组12
1()2x f x ??
?≤≤≤≤的解集为 ▲ ． 12．已知数列{}n a 满足：①10a =，②对任意的*n ∈N 都有1n n a a +>成立．
函数1
()sin ()n n f x x a n =-，1[,]n n x a a +∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m =总有
两个不同的根，则{}n a
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】
13．若0a b <<，则下列不等式恒成立的是
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(A)
11a b
> (B)a b -> (C)22a b > (D)33a b <
14．“2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
15．已知向量a b c ,,满足0a b c ++=，且2
2
2
a b c <<，则a b ?、b c ?、a c ?中最小的值是
(A)a b ?
(B)b c ?
(C)a c ?
(D)不能确定的
16．函数()f x x =，2()2g x x x =-+．若存在129,,...,0,2n x x x ??
∈????
，使得
1()f x +2()...f x ++1()n f x -+()n g x =1()g x +2()...g x ++1()n g x -+()n f x ，则n 的最大值是
(A) 11 (B) 13 (C) 14 (D) 18
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】
17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分） 如图，设长方体1111B ABC A C D D -中，2AB BC ==，直线1A C 与平面ABCD 所成的角为4
π． （1）求三棱锥1A A BD -的体积；
（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小．
18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
已知函数23()cos sin 3cos f x x x x =?+-
． （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）在锐角ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1
()2
f A =
，3,4a b ==， 求ABC △的面积．
19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分9分） 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元～1600万元的投资收益． 现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）
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的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（即：设奖励方案函数模型为()y f x =时，则公司对函数模型的基本要求是：当[25,1600]x ∈
时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；③()5x
f x ≤恒成立．）
（1）判断函数()1030
x
f x =
+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由； （2
）已知函数()5g x =(1)a ≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围．
20．（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小
题满分7分）
已知椭圆22
22:1(0)x y a b a b
Γ+=>>，1B 、2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点；1F 是椭圆的
左焦点，P 是椭圆上异于点1B 、2B 的点，112B F B △是边长为4的等边三角形．
（1）写出椭圆的标准方程；
（2）当直线1PB 的一个方向向量是1,1（）
时，求以1PB 为直径的圆的标准方程； （3）设点R 满足：11RB PB ⊥，22RB PB ⊥．求证：12PB B △与12RB B △的面积之比为定值．
21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小
题满分8分）
已知数列{}n a ,{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，11()n n n a b S n *
+=+∈N ．
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（1）若11,2
n n
a b ==
，求4a 的值； （2）若{}n a 是公比为q (1)q ≠的等比数列，求证：数列11n b q ??
+??-??为等比数列；
（3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：23,,
,,
n a a a 成等差数列
的充要条件是1
2d =．
崇明区2018学年第一次高考模拟考试数学学科参考答案与评分标准
一、填空题
1.
13； 2.{0,1}； 3.12i -； 4.56-； 5.3
4
-； 6.4； 7.2；
8.3； 9.6； 10.1518； 11.[2,82]ππ--； 12.(1)2
n n n a π-=.
二、选择题
13. D ； 14.B ； 15.B ； 16.C
三、解答题
17. 解：（1）联结AC ， 因为1AA ABCD ⊥平面，
所以1A CA ∠就是直线1A C 与平面ABCD 所成的角，……………………………………2分 所以1
4
ACA π
∠=
，所以1AA =4分
所以11113A BD ABD ABD A A V V S A A --==?=7分
（2）联结1A D ，BD
因为11//A B CD ，所以11//A D B C
所以1BA D ∠就是异面直线1A B 与1B C 所成的角或其补角………………………3分
在1BA D
中，12
cos 3BA D ∠==
所以12
arccos 3
BA D ∠=……………………………………6分
所以异面直线1A B 与1B C 所成角的大小是2
arccos 3
……………………………………7分
18. 解：（1
）2()cos sin f x x x x =?
1sin 2sin(2)23
x x x π=+=+……………………………………3分 由222,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈，得：51212
k x k π
πππ-
≤≤+
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所以函数()f x 的单调递增区间是5[,],1212
k k k Z π
πππ-+∈…………………………6分 （2）1
()sin(2)32
f A A π
=+= 因为(0,)2
A π∈，所以4
2(,)3
33
A πππ+∈
所以5236A π
π+
=，
A π
=……………………………………2分 由222cos 2
2
b c a A bc +-==，得：1
c =……………………………………5分
因为ABC △是锐角三角形，所以1c =
……………………………………6分
所以ABC △的面积是1
sin 22
ABC S bc A ==……………………………………8分
19. 解：（1）因为525
(25)10
65
f =>， 即函数()f x 不符合条件③
所以函数()f x 不符合公司奖励方案函数模型的要求……………………………………5分 （2）因为1a ≥，所以函数()g x 满足条件①，……………………………………2分 结合函数()g
x 满足条件①，由函数()g x 满足条件②，得：575≤，所以2a ≤ ………………………………………………………………
4分 由函数()g x 满足条件③，得：55
x
≤对[25,1600]x
∈恒成立 即a
≤
[25,1600]x ∈
恒成立 2≥，当且仅当25x =时等号成立……………………………………7分
所以2a ≤………………………………………………………………8分
综上所述，实数a 的取值范围是[1,2]a ∈……………………………………9分
20. 解：（1）
22
1164
x y +=………………………………………4分 （2）由题意，得：直线1PB 的方程为2y x =+…………………………………1分
由2221164y x x y =+???+=??，得：2
1121605,265x x y y ?=-?=????=??=-??
…………………………………3分
故所求圆的圆心为84(,)55-，半径为
5
………………………………………4分
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所以所求圆的方程为：2
284128
()()5
525
x y ++-=
………………………………………5分
（3） 设直线12PB PB ，的斜率分别为,'k k ，则直线1PB 的方程为2y kx =+． 由11RB PB ⊥，直线1RB 的方程为(2)0x k y +-=．
将2y kx =+代入221164
y x +=，得()
2241160k x kx ++=， 因为P 是椭圆上异于点12B B ，的点，所以P x =2
1641
k k -+．……………3分 所以21
'4P P y k x k
+=
=- …………………………………4分 由22RB PB ⊥，所以直线2RB 的方程为42y kx =-．
由(2)042
x k y y kx +-=??=-? ，得2
441R k x k =+． …………………………………6分 所以121220216414441
PB B RB B R k S x k S x k
k ??-+==
=+． …………………………………7分
21.解：（1）由11,2
n n
a b ==
，知2344,6,8a a a ===.………………………4分 （2）因为11n n n a b S +=+①， 所以当2n ≥时，111n n n a b S --=+②， ①-②得，当2n ≥时，11n n n n n a b a b a +--=③， 所以111111
n n n n n n n a a b b b a a q q
--++=
+=+，………………………3分 所以111111n n b b q q q -??
+
=+ ?--??
，………………………5分 又因为1
01n b q
+≠-（否则{}n b 为常数数列与题意不符）， 所以1
{}1n b q
+- 为等比数列。………………………6分
（3）因为{}n b 为公差为d 的等差数列，所以由③得，当2n ≥时，()1n n n n n a b a b d a +--=, 即()()11n n n n a a b d a +-=-，因为{}n a ，{}n b 各项均不相等，所以10,10n n a a d +-≠-≠,
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所以当2n ≥时，11n n
n n b a d a a +=--④, 当3n ≥时，11
1
1n n n n b a d a a ---=--⑤, 由④-⑤，得当3n ≥时
111111n n n n n n n n a a b b d
a a a a d d
--+---==----⑥,………………………3分
先证充分性：即由1
2
d =
证明23,,,,
n a a a 成等差数列,
因为12d =
，由⑥得111
1n n n n n n a a a a a a -+--=--, 所以当3n ≥时，1
11
1n n n n n n a a a a a a -+-+=--,
又0n a ≠，所以11n n n n a a a a +--=- 即23,,
,,
n a a a 成等差数列.………………………5分
再证必要性：即由23,,,,
n a a a 成等差数列证明1
2
d =
. 因为23,,,,n a a a 成等差数列，所以当3n ≥时，11n n n n a a a a +--=-,
所以由⑥得，
11111111n n n n n n n n n n n n a a a a d
a a a a a a a a d
--+----=-==-----
所以1
2
d =
，………………………7分 所以23,,,,
n a a a 成等差数列的充要条件是1
2
d =
.…………………8分
第一单元《土壤与生命》
1、土壤中常见的小动物有：（蚯蚓）、（蚂蚁）、（屎壳郎）、（青蛙）、（蟋蟀）、（蜈蚣）、（蜘蛛）等。