抽象函数习题精选精讲.doc
含有函数记号“()f x ”有关问题解法
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。由于函数概念比较抽象，对函数记号()f x 的更是感到困惑，针对这一问题，归纳这类知识进行分析如下： 一、定义域问题
例1. 已知函数()
2
f x 的定义域是［1，2］，求()f x 的定义域。
解：()
2f x 的定义域是［1，2］，是指12x ≤≤，所以()
2f x 中的2x 满足2
14x ≤≤，从而函数()
f x 的定义域是［1，4］ 评析：一般地，已知函数()()f
x ?的定义域是A ，求()f x 的定义域问题，相当于已知()()f x ?中x
的取值范围为A ，据此求()x ?的值域问题。
例2. 已知函数()f x 的定义域是[]1,2-，求函数()12
log 3f x ??
-???
?
的定义域。
解：()f x 的定义域是[]1,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]1,2-中，由此可得
()12
1log 32x -≤-≤?21
11322x -????
≤-≤ ? ??????1114x ≤≤
所以函数()12log 3f x ??-????
的定义域是1114??
????，
评析：这类问题的一般形式是：已知函数()f x 的定义域是A ，求函数()()f x ?的定义域。正确理解
函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知()x ?的值域B ，且
B A ?，据此求x 的取值范围。例2和例1形式上正相反。
二、函数值与值域问题
例1. 已知定义域为R +
的函数()f x ，同时满足下列条件：①()2=1f ，()16=
5
f ；②()()()f x y f x f y ?=+，求()3f ，()9f 的值。
解：取x =2，y =3得()()()623f f f =+。因为()2=1f ，()16=5f ，所以()4
35
f =- 又取3x y ==，得()()()8
9335
f f f =+=-
评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取x =2，y =3，这样便把已知条件()2=1f ，()16=5
f 与欲求的()3f 沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。
例2. 设函数()f x 定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，()()()f x y f x f y +=总成立，且存在
12x x ≠，使得()()12f x f x ≠，求函数()f x 的值域。
解：
12x x ≠时，()()12f x f x ≠，∴函数为单调函数。 令0x y ==，得()()2
00f f =????，即有()00f = 或 ()01f =。若()00f =，则()()()
()000f x f x f x f =+==，()=0f x ∴，∴ 对任意x R ∈，()=0f x 均成立，这与存在实数12x x ≠，使得()()12f x f x ≠成立矛盾，故()00f ≠，必有()01f =。由于()()()f x y f x f y +=对任意x y R ∈、均成立，因此，对任意x R ∈，有
()2
022222x x x x x f x f f f
f ??
????
????=+==≥ ? ? ? ???????
??????
下面来证明，对任意x R ∈，()f x ≠0
设存在0x R ∈，使得0()f x =0，取00,x x y x ==-，则(0)f =()()()0000f x x f x f x -=-= 这与上面已证的()01f =矛盾，因此，对任意x R ∈，()f x ≠0 ， 所以()0f x >
评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。
例3、（递推法求函数值） 已知()f x 是定义在R 上的函数，()1f =1,且对任意x ∈R 都有
()()55f x f x +≥+，()()11f x f x +≤+。若()()1g x f x x =+-，则()2002g =_________.
解： 由()()1g x f x x =+-， 得 ()()1f x g x x =-+，
所以()()()()55115g x x g x x +++-≥+-+，()()()()11111g x x g x x +++-≤+-+ 即 ()()5g x g x +≥，所以()()()()()()54321g x g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤+≤+
故()()=1g x g x + ， 又()11g =， 故 ()20021
g = 三、求表达式：（5种方法）
1.换元法：即用中间变量u 表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法。
例1：已知 (
)211x
f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴1()2111u u f u u u +=+=-- ∴1()1x f x x
+=- 2.凑合法或称为配凑法：已知(())()f g x h x =，利用公式对代数式变形，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换，即可求出()f x 。 例2：已知3
3
1
1
()f x x x
x +=+
，求()f x 解：∵2
2211111()()(1)()(()3)f x x x x x x
x x x x +=+-+
=++- 又∵11||||2||
x x x x +=+≥ ∴2
3
()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥2)
注意：函数定义域的求解
3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 是二次实函数，且2
(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .
解:设()f x =2
ax bx c ++()0a ≠，则
22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+
=22222()24ax bx a c x x +++=++， 比较系数得 2()4
1321
,1,2222
a c a a
b
c b +=??
=?===??=?
∴ 213()22
f x x x =
++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,2()2f x x x =+,求()f x
解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
设0x <， -x >0, ∴ ()()2
2
()22f x x x x x -=-+-=-, ∵ ()f x 为奇函数，
∴()()f x f x -=- ∴当x <0时 ()()f x f x =-=－（2
2x x -）=2
2x x -+
∴ 222,0()2,0
x x x f x x x x ?-≥?
=?-+
练习：已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x
解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。 ∵-x >0, ∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-， ∴当x <0时
()lg(1)f x x =--， ∴lg(1),0
()lg(1),0x x f x x x +≥?=?--
例5．已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1
()1
g x x =
-， 求()f x ,()g x . 解：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,
不妨用-x 代换()f x +()g x =
1
1x - ………①中的x , ∴1()()1f x g x x -+-=--即()f x －1
()1
g x x =-+……②
显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1
x
g x x =-
5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式
例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件()()()f x y f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x
解：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++， ∵(1)f =1, ∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+，
以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =
(1)2n n + ， ∴1
()(1),2
f x x x x N =+∈ 6、方程组法：通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。 例 7.已知1
()+2()1f x f x x
=+，求()f x 的表达式 解：用
1x 代替x 得到11()+2()1f f x x x =+ （1）， 又1
()+2()1f x f x x
=+ （2） 2（1）-（2）得到：23()1f x x x =-+，于是 21
()333
x f x x =
-+ 四、利用函数性质，解()f x 的有关问题 1.判断函数的奇偶性：
例1 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①
在①中令y =0，则2(0)f =2[]2
(0)f ， ∵ (0)f ≠0 ， ∴(0)=1f ∴()()2()f y f y f y +-= ∴()()f y f y -= ∴()f x 为偶函数。 2、单调性问题
例2. 设()f x 定义于实数集R 上，当0x >时，()1f x >，且对于任意实数x 、y ，有
()()()f x y f x f y +=?，求证：()f x 在R 上为增函数。
证明：在()()()f x y f x f y +=?中取0x y ==， 得(0)f =[]2
(0)f ，则()01f =或()00f =， 若()00f =，令0x >， 0y =，得()()()000f x f x f +==， 则()0f x =，与0x >时()1f x >的已知条件矛盾，所以()0f ≠0，即有(0)f =1，当0x >时，()1f x >>0； 当0x <时，0x ->，
()10f x ->>，而()()()=0=1f x f x f ?- ， 所以()()
1
1=
0f x f x >>-，又当0x =时，
()010f => ，所以对任意x R ∈，恒有()0f x >。设12x x -∞<<<+∞，则
210x x ->,()211f x x ->，所以()()2121f x f x x x =+-????=()()121f x f x x -()1f x >，所以()y f x =在R 上为增函数。
另解()01f =，论证如下：1
0x y ==，，代入()()()f x y f x f y +=?，得()()()10=10f f f +，由已知当0x >时，()1f x >，则()01f =
评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分
解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
变式训练1. 设()f x 定义于实数集R 上，对于任意实数x 、y ，有(
)()()f x y f x f y +=+，当0
x >时，都有()0f x <，求证：()f x 在R 上为减函数。
证明：设12x x -∞<<<+∞，则()()2121f x f x x x =+-????=()()121f x f x x +-，即
()()()2121f x f x f x x -=-，210x x ->，()210f x x ∴-<，所以()y f x =在R 上为减函数。
变式训练2：设()f x 定义于()0,+∞上，对于任意实数x 、y ()0,∈+∞，有()()()f x y f x f y =+，当1x >时，都有()0f x <，求证：()f x 在()0,+∞上为减函数。
证：设120x x <<，2
1
1x x ∴
>，()()2221111x x f x f x f x f x x ????==+ ? ?????，()()2211x f x f x f x ??-= ???
，
已知当1x >时，都有()0f x <，()()22110x f x f x f x ??
-=< ???
，()()21f x f x <，则()f x 在()
0,+∞上为减函数。 3、对称性问题
（1）设,a b 均为常数，函数()y f x =对一切实数x 都满足()()2f a x f a x b ++-=?函数()y f x =的图象关于点(,)a b 成中心对称图形。
（2）设,a b 均为常数，函数()y f x =对一切实数x 都满足()()0f a x f b x ++-=?函数()
y f x =的图象关于点(
,0)2
a b
+成中心对称图形。 （3）设,a b 均为常数，函数()y f x =对一切实数x 都满足()()f a x f b x +=-?函数()y f x =的
图象关于轴2
a b
x +=对称。
例3. 已知函数()y f x =满足()()=2002f x f x +-，求()()112002f x f x --+-的值。
解：已知式即在对称关系式()()=2f a x f a x b ++-中，取0a =，22002b =，所以函数()y f x =的图象关于点（0，1001）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数()1y f x -=的图象关于点
（1001，0）对称。 所以()()1
110011001=0f
x f x --++-
将上式中的x 用1001x -代换，得()()11
20020f x f x --+-=
评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a 、b 均为常数，函数()y f x =对一切实数x 都满足()()=2f a x f a x b ++-，则函数()y f x =的图象关于点（a ，b ）成中心对称图形。下对该性质进行证明：任取x R ∈，令12,x a x x a x =+=-，则12x x a a +=+，若12()()2f x f x b +=，而点11(,())x f x 与点22(,())x f x 的中点为（
()()1212,22
f x f x x x ++），即(,)a b 。由x 的任意性，知函数)(x f y =的图象关于点(,)a b 对称.
另证明：设P （00,x y ）为()y f x =图上任一点，则P 关于(,)a b 对称点是（002,2a x b y --），则
()()000002222f a x f a a x b f a a x b f x b y 轾-=+-=-+-=-=-臌
（）（）（），所以点 （002,2a x b y --）也在函数)(x f y =的图象上，所以函数)(x f y =的图象关于点(,)a b 对称。
4.确定参数的取值范围
例4：奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2
(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。 解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2
(1)(1)f m f m -<--， ∵()f x 为奇函数，
∴ 2(1)(1)f m f m -<-， 又∵()f x 在（-1，1）内递减， ∴2
21111110111m m m m m -<--?
5、解不定式的有关题目
例5：若二次函数()f x =2
ax bx c ++开口向上，对任意的t 有()(2)2f t f t +=-,比较
(1)(2)(4)f f f 、、的大小
解：对任意t 有()(2)2f t f t +=- ∴x =2为抛物线y =2
ax bx c ++的对称轴
又∵其开口向上 ∴f (2)最小，f (1)=f (3) ∵在［2，＋∞)上，()f x 为增函数 ∴f (3) 说明：函数y f x =（）对任意一个x 都满足()()f a x f a x +=-，则函数图像关于2 a b x += 对称。证：设P （00,x y ）为图像上一点，则P 关于2 a b x += 的对称点是（00,a b x y +-），所以 ()()()()00000f a b x f a b x f b b x f x y 轾轾+-=+-=--==臌臌 ，则点（00,a b x y +-）也在图像上，所以函数图像关于2 a b x += 对称。 五 、周期问题 命题1：若a 是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x ，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数： 条件1：函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期. 条件2：函数y=f(x)满足()() 1 f x a f x += ，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期. 条件3：函数y=f(x)满足()()1f x a f x ++=，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期. 命题2：若a 、b(a b 1)是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x ，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数： 条件1：函数y=f(x)满足()()f x a f x b +=+，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. 条件2：函数图象关于两条直线x=a ，x=b 对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. 条件3：函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. 条件4：函数图象关于直线x=a ，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期. 命题3：若a 是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x ，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数： 条件1：若f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=a 对称，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期. 条件2：若f(x)是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x=a 对称，则f(x)是周期函数，且4a 是它的一个周期. 我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似. 设条件A: 定义在R 上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a 对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a 是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: ①已知A 、B → C （2001年全国高考第22题第二问），∵f(x)是R 上的偶函数，∴f(-x)=f(x) ， 又∵f(x)关于x=a 对称，∴f(-x)=f(x+2a) ，∴f(x)=f(x+2a)，∴f(x)是周期函数,且2a 是它的一个周期 ②已知A 、C →B ，∵定义在R 上的函数f(x)是一个偶函数，∴f(-x)=f(x) ，又∵2a 是f(x)一个周期，∴f(x)=f(x+2a) ，∴f(-x)=f(x+2a)， ∴ f(x)关于x=a 对称 ③已知C 、B →A ， ∵f(x)关于x=a 对称，∴f(-x)=f(x+2a) ，又∵2a 是f(x)一个周期，∴f(x)=f(x+2a) ， ∴f(-x)=f(x)， ∴f(x)是R 上的偶函数 。 由命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T 的奇函数，则T =02 f 骣÷?÷?÷?桫 基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系.根据上述命题，我们易得函数周期，从 而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用. 1.求函数值 例1：f(x) 是R 上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x ∈[0，2]时f(x)=x ，求f(2007) 的值 解：方法一 ，∵f(x)=－f(x+4) ，∴f(x+8)=－f(x+4)=f(x) ，∴8是f(x)的一个周期 ∴f(2007)= f(251×8-1)=f(-1)=－f(1)=－1 方法二 ∵f(x)=－f(x+4)，f(x)是奇函数 ，∴f(-x)=f(x+4) ，∴f(x)关于x=2对称 ，又∵f(x)是奇函数 ，∴8是f(x)的一个周期，以下与方法一相同. 例2：已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 解：由条件知f(x)≠1，故()()() 121f x f x f x ++= -，1(2)1 (4)1(2)() f x f x f x f x ++∴+= =--+ 类比命题1可知，函数f(x)的周期为8，故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=2 2. 求函数解析式 例3：已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]2,0x ∈-时，f(x)=－2x+1，则当[]4,6x ∈时，求f(x)的解析式 解：当[]0,2x ∈时，[2,0]x -∈-，∴f(－x)=2x+1，∵f(x)是偶函数，∴f(－x)=f(x) ，∴f(x)=2x+1 当[]4,6x ∈时，4[0,2]x -+∈，(4)2(4)127f x x x \+=++=－ －－，又函数f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4，故()()4f x f x -+= ∴当[]4,6x ∈时，得f(x)=2x －7 3.判断函数的奇偶性 例4：已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足()() 1 999f x f x +=-，()999(999)f x f x +=－， 试判断函数f(x)的奇偶性. 解：由()() 1 999f x f x +=- ，类比命题1可知，函数f(x)的周期为1998，即f(x+1998)=f(x)；由()999(999)f x f x +=－，知f(x)关于x=999对称，即f(－x)=f(1998+x)，故f(x)=f(－x) ∴f(x)是偶函数 4.判断函数的单调性 例5：已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]2,0x ∈-时，f(x)是减函数，求证：当[]4,6x ∈时，f(x)为增函数 解：设1246x x ≤<≤，则212440x x -≤-+<-+≤， ∵ f(x)在[-2，0]上是减函数 ∴21(4)(4)f x f x -+>-+，又函数f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4，故()()4f x f x +=， ∴21()()f x f x ->-，()() f x f x -=Q ∴21()()f x f x >，故当[]4,6x ∈时，()f x 为增函数。 六、五类抽象函数解法 1、线性函数型抽象函数： 线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。 例1、已知函数f x （）对任意实数x ，y ，均有()()()f x y f x f y +=+，且当x ＞0时，()f x ＞0，12f （-）＝-，求f x （）在区间[－2，1]上的值域。 分析：由题设可知，函数()f x 是(),0y kx k =≠的抽象函数，因此求函数f （x ）的值域，关键在于研究它的单调性。 解：设12x x <，则210x x ->， ∵当0x >时，0f x >（）， ∴()210f x x ->， ∵()()()()2211211f x f x x x f x x f x 轾=-+=-+臌， ∴()()()21210f x f x f x x -=->， 即()()21f x f x >， ∴f （x ）为增函数。 在条件中， 令y x ＝－， 则()()()0f f x f x =+-， 再令0x y ＝＝，则020f f =（）（），∴ f （0）＝0， 故f （－x ）＝－f （x ）， f （x ）为奇函 数，∴ f （1）＝－f （－1）＝2， 又()()()()211214f f f f -=-+-=-=- ∴ f （x ）的值域为［－4，2］。 例2、已知函数f x （）对任意,x y R ∈，满足条件 2 f x f y f x y ++（）+ （）= （） ，且当x ＞0时， 2f x （）＞，f （3）＝5，求不等式()2223f a a --<的解。 分析：由题设条件可猜测：f x （）是y ＝x ＋2的抽象函数，借助函数模型进行解决问题，且f x （）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设12x x <，则210x x ->，∵当0x >，时2f x >（），∴21f x x -（）> 2，则 []221121111-22-2f x f x x x f x x f x f x f x =-+=-+>+=（）（）（）（）（）（）， 即21f x f x （）>（） ，∴f （x ）为单调增函数。 ∵()()()()()()()()32121211212314f f f f f f f f =+=+-=+-+-=-????， 又∵f （3）＝5， ∴f （1）＝3。 ∴() 2 221f a a f --<（） ，∴2221a a --<， 即2 230a a --<， 解得不等式的解为13a -<<。 2、指数函数型抽象函数 例3、设函数f x （）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在12x x ≠，使得12f x f x ≠（）（），对任何x 和y ，f x y f x f y +（）=（）（）成立。 求：（1） f （0）； （2）对任意值x ，判断f （x ）值的正负。 分析：由题设可猜测f x （）是指数函数x y a =的抽象函数，从而猜想f （0）＝1且f （x ）＞0。 解：（1）令y ＝0代入f x y f x f y +（）=（）（），则00f x f x f +（）=（）（）， ∴()100f x f -=????（）。若f （x ）＝0，则对任意12x x ≠，使得12f x f x （ ）=（）=0，这与题设矛盾，∴f （x ）≠0，∴f （0）＝1。 （2）令y ＝x ≠0，则[]2 0f x f x f x f x ≥（2）=（）（）=（）， 又由（1）知f （x ）≠0， ∴f （2x ）＞0， 因为x 的任意性，所以f （x ）＞0， 故对任意x ，f （x ）＞0恒成立。 例4、是否存在函数f （x ），使下列三个条件：①f （x ）＞0，x ∈N ； ②,,f a b f a f b a b N +=∈（ ）（）（）；③f （2）＝4。同时成立？若存在，求出f （x ）的解析式，如不存在，说明理由。 分析：由题设可猜想存在x f x a =（），又由f （2）＝4可得a ＝2．故猜测存在函数2x f x =（），用数学归纳法证明如下： （1）x ＝1时，∵[]2 2111114f f f f f =+===（ ）（）（）（）（），又∵x ∈N 时，f （x ）＞0， ∴()1122f ==，结论正确。 （2）假设(),1x k k k N =≥∈且时，有2k f k =（），则x ＝k ＋1时， 111222k k f k f k f ++===（）（）（），∴x ＝k ＋1时，结论正确。 综上所述，x 为一切自然数时2x f x =（）。 3、对数函数型抽象函数 对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。 例5、设f （x ）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足()()()f xy f x f y =+，()31f =，求：（1）f （1）； （2）若f （x ）＋f （x －8）≤2，求x 的取值范围。 分析：由题设可猜测f （x ）是对数函数3log y x =的抽象函数，f （1）＝0，f （9）＝2。 解：（1）∵()()()()31313f f f f =?=+， ∴10f （）＝。 或令1x y ==，则()()()111f f f =+， ∴10f （）＝。 （2）()()()()933332f f f f =?=+=， 从而有f （x ）＋f （x －8）≤f （9）， 即()()89f x x f -≤????， ∵f （x ）是（0，＋∞）上的增函数， 故 ()89 80 x x x x -≤>-> 解之得：8＜x ≤9。 例6、 设函数y f x ＝（）的反函数是y g x ＝（）。如果f ab f a f b （）＝（）＋（），那么g （a ＋b ）＝ g （a ）·g （b ）是否正确，试说明理由。 分析: 由题设条件可猜测y ＝f （x ）是对数函数的抽象函数，又∵y ＝f （x ）的反函数是y ＝g （x ），∴y ＝g （x ）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g （a ＋b ）＝g （a ）·g （b ）正确。 解：设f （a ）＝m ，f （b ）＝n ，由于g （x ）是f （x ）的反函数，∴g （m ）＝a ，g （n ）＝b ，从而 ()()()()()m n f a f b f ab f g m g n +=+==?????，∴g （m ）·g （n ）＝g （m ＋n ），以a 、b 分别 代替上式中的m 、n 即得g （a ＋b ）＝g （a ）·g （b ）。 4、三角函数型抽象函数 三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。 例7、己知函数()f x 的定义域关于原点对称，且满足以下三条件： ①当12x x ，是定义域中的数时，有()()()()() 2112211 f x f x f x x f x f x ?+-= - ②f （a ）＝－1（a ＞0，a 是定义域中的一个数）； ③当0＜x ＜2a 时，f （x ）＜0。 试问：（1）()f x 的奇偶性如何？说明理由。 （2）在（0，4a ）上, ()f x 的单调性如何？说明理由。 分析: 由题设知()f x 是1tan y x =- 的抽象函数，从而由1 tan y x =-及题设条件猜想：()f x 是奇函数且在（0，4a ）上是增函数（这里把a 看成 4 π 进行猜想）。 解：（1）∵f （x ）的定义域关于原点对称，且12x x ，是定义域中的数时有()()()()() 2121121 f x f x f x x f x f x ?+-=-， ∴()1212x x x x ---在定义域中。 ∵()()()()()()()()()() 21211221122111==f x f x f x f x f x x f x x f x f x f x f x ?+?+---=-????--=－()21f x x -， ∴f （x ）是奇函数。 （2）设0＜x 1＜x 2＜2a ，则0＜x 2－x 1＜2a ，∵在（0，2a ）上f （x ）＜0， ∴f （x 1），f （x 2），f （x 2－x 1）均小于零，进而知 ()()()() 21121 f x f x f x f x ?+-中的()()120f x f x -<，于 是()()12f x f x <，∴在（0，2a ）上()f x 是增函数。 又()()()()()()2122f a f a f a f a a f a f a ?+=-= -， ∵f （a ）＝－1， ∴()()()() 21 12f a f a f a f a ?+-=-， ∴f （2a ）＝0，设2a ＜x ＜4a ，则0＜x －2a ＜2a ， ()()()()()()211 202f x f a f x a f a f x f x ?+-= =<--，于是f （x ）＞0，即在（2a ，4a ）上f （x ）＞0。设 2a ＜x 1＜x 2＜4a ，则0＜x 2－x 1＜2a ，从而知f （x 1），f （x 2）均大于零。f （x 2－x 1）＜0， ∵()()()()() 2121121 f x f x f x x f x f x ?+-= -， ∴()()120f x f x -<，即 12f x f x （）＜（），即f （x ）在（2a ，4a ）上也是增函数。综上所述，f （x ）在（0，4a ）上是增函数。 5、幂函数型抽象函数 幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。 例8、已知函数f （x ）对任意实数x 、y 都有f （xy ）＝f （x ）·f （y ），且f （－1）＝1，f （27）＝9，当01x ≤≤时，()[)0,1f x ∈。 （1）判断f （x ）的奇偶性； （2）判断f （x ）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明； （3）若0a ≥，且( )1f a +≤a 的取值范围。 分析：由题设可知f （x ）是幂函数23 y x =的抽象函数，从而可猜想f （x ）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。 解：（1）令y ＝－1，则f （－x ）＝f （x ）·f （－1），∵f （－1）＝1，∴()()f x f x -=， ()f x 为偶函数。 （2）设120x x ≤≤，∴1 2 01x x ≤ <，()()1112222x x f x f x f f x x x ????=?=? ? ????? ， ∵01x ≤≤时，()[)0,1f x ∈，∴1 2 1x f x ?? < ??? ，∴()()12f x f x <，故()f x 在［0，＋∞）上是增函数。 （3）∵()27f ＝9，又()()()()()()()3 39393333f f f f f f f ?=?=??=????， ∴()3 9=3f ????， ∴( )3f ∵( )1f a +()()13f a f +≤， ∵0a ≥[)1,30,a +∈+∞， ∴13a +≤，即2a ≤，又0a ≥，故02a ≤≤。 六、综合问题 例1. 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数,m n ，总有()()()f m n f m f n +=?，且当0x >时，()01f x <<。 （1）判断()f x 的单调性； （2）设()()()(){}2 2 = ,|1A x y f x f y f ?>，( )({},|1,B x y f ax y a R =-=∈， 若A B ?=?，试确定a 的取值范围。 解：（1）在()()()f m n f m f n +=?中，令1,0m n ==，得()()()110f f f =?，因为()10f ≠，所以()01f =。在()()()f m n f m f n +=?中，令,m x n x ==-，因为当0x >时，0<()f x <1， 所以当0x <时0x ->，()10f x ->>，而()()()=0=1f x f x f ?- ， 所以()() 1 = 0f x f x >- 又当0x =时，()010f => ，所以对任意x R ∈，恒有()0f x >，设12x x -∞<<<+∞，则 210x x ->，()2101f x x <-<，所以()()()()()21211211f x f x x x f x f x x f x =+-=?- （2） 由于函数()y f x =在R 上为减函数，所以()() () ()2222 1f x f y f x y f ?=+> 即有22 1x y +< 又(()10f ax y f -+==， 根据函数的单调性，有0ax y -= 由A B ?=? ，所以直线0ax y -=与圆面2 2 1x y +<无公共点。 1≥， 解得11a -≤≤。 f x>0的结论。评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题，二是() 这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。 高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题 1、分段函数已知???>-≤+=) 0(2)0(1)(2x x x x x f 则 （1）若=)(x f 10，则x= ；（2）)(x f 的值域为 _____. 2、画出下列函数的图象（请使用直尺） (1) Z x x y ∈-=,22且 2≤x (2) x x y -=2 3、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ， 试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x 之间的函数关系式。 4、根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式 观察法(1)221)1(x x x x f +=+ 方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+ 换元法（3）13)2(2++=-x x x f D P C P A P B 待定系数法 （4）已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。 （复合函数的解析式）---代入法 （5）已知1)(2-=x x f ，1)(+=x x g ，求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。 5、抽象函数的定义域的求解 1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(-x f 的定义域为 。 2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为 。 练习：1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。 2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ，求)(x f 的解析式。 3、已知)(x f 是二次函数，且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+，求()x f 的表达式。 4、若()32+=x x f ，)()2(x f x g =+，求函数)(x g 的解析式 5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ； 含有函数记号“ ()f x ”有关问题解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号 ()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数 概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量 表示原自变量x 的代数式，从而求出 ()f x ， 这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。 例1：已知 ( )211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+= --∴ 2()1x f x x -= - 2.凑合法：在已知 (())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求 ()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：已知 33 11()f x x x x +=+，求 ()f x 解：∵ 22211111 ()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+ ≥ ∴ 23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设 ()f x =2ax bx c ++，则 22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22 222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=??=?===??=? ∴213()22 f x x x = ++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵ ()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴ ()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, 指数函数及其基本性质 指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1 ,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数的图像及性质 函数值的分布情况如下： 指数函数平移问题（引导学生作图理解） 用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系（作图略）， ⑴y =1 2+x 与y =2 2+x . ⑵y =12 -x 与y =2 2 -x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x ＋a )的图象; 向右平移a 个单位得到f (x －a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )＋a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x )－a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 （1）4 12-=x y ； （2）|| 2()3 x y =； （3）1241++=+x x y ； 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 及时演练 例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1,3，1 2 时，幂函数y＝xα是增函数 D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数 解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数． 答案C 例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x 1 5 (7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋ ∞)上为增函数，求实数t的值． 分析关于幂函数y＝xα(α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设p q (|p|、|q|互 质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x p q 是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝ x p q 的奇偶性与p的值相对应． 解∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0. 当t＝0时，f(x)＝x 7 5 是奇函数； 当t＝－1时，f(x)＝x 2 5 是偶函数； 当t＝1时，f(x)＝x 8 5 是偶函数，且 2 5 和 8 5 都大于0，在(0，＋∞)上为增函数． 故t ＝1且f (x )＝x 85或t ＝－1且f (x )＝x 2 5 . 点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件 t ∈Z 给予足够的重视． 例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) A ．-1 指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 1．比较大小 例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-，∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2 321(25) (25) x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2 2 25(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2 (25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14 x > ．∴x 的取值范围是1 4 ?? + ??? ， ∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2 16 0x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令2 6x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2 061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数的值域是[)01， ． 实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为{|y|y ≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 1.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】（基础题）指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C．b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b 解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c． 【例3】（基础题）比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 一、选择题（每小题4分，共计40分） 1．下列各式中成立的一项是 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ． 33 39= C ．4 343 3 )(y x y x +=+ D ．31243)3(-=- 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 9- B ．a - C ．a 6 D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确．．． 的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 指数函数习题精选精讲 指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 1．比较大小 例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则3 21x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵22 25(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x >．∴x 的取值范围是14??+ ??? ，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴206 1x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数的值域是[)01， ． 指数函数 1．指数函数的定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 的图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且的图象和性质。 a>10 ()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中 间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x 的取值范围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． 高一数学期末复习幂函数、指数函数和对数函数 1、若函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则有 （ ） A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且 2、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3x y -= B ．3-=x y C ．32x y = D ．13-=x y 3、1．指数式b c =a （b >0，b ≠1）所对应的对数式是 （ ） A ．log c a =b B ．log c b =a C ．log a b =c D ．log b a =c 4、若210,5100==b a ，则b a +2= （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 5、若0≠xy ，那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 （ ） A 、0,0>>y x B 、0,0<>y x C 、0,0> 数学练习题抽象函数(含答案) 高考一轮专练——抽象函数 1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1 x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2 x ),试判断f (x )的奇偶 性。 2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m ) 6. 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f （x+y ）+f （x-y ）=2f （x ）f （y ）且f （0）≠0. （1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f （x ）为偶函数. 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ， 当a+b ≠0，都有b a b f a f ++)()(＞0 （1）若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小； （2）若f （k ) 293()3 --+?x x x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成 立，求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知2 2 (sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. （1）求证: ()f x 是奇函数;（2）若(3),(24)f a a f -=试用表示. 指数函数·例题解析 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜ b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 【例3】比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 358945 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵＞，＞， ∴＞． --- -45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6 ∴ 4.54.1＞3.73.6． 说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)． 【例4】解 比较大小与＞且≠，＞． 当＜＜，∵＞，＞， a a a a a n n n n n n n n n n n n -+-+-=-111 1 111 1(a 0a 1n 1)0a 1n 10() () 幂函数练习题及答案 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分，共50分). 1.下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是??( ) A ．y x =43? B.y x =32 C ．y x =-2 ? D.y x =- 14 ２．函数2 -=x y 在区间]2,2 1 [ 上的最大值是???( ） Ａ. 4 1 ?Ｂ．1-?Ｃ．4 D.4- 3.下列所给出的函数中，是幂函数的是? ?( ） A.3 x y -=?Ｂ．3 -=x y ? C.3 2x y =?Ｄ．13 -=x y 4.函数3 4x y =的图象是? ( ） Ａ． B. Ｃ． D ． 5．下列命题中正确的是? ? ( ) Ａ.当0=α 时函数αx y =的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(０，0)和(1，1）点 C.若幂函数αx y =是奇函数,则α x y =是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 ６.函数3 x y =和3 1x y =图象满足 ? （ ) A.关于原点对称 Ｂ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 ? D.关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|,满足 ( ） A.是奇函数又是减函数 B.是偶函数又是增函数 C.是奇函数又是增函数 ?D ．是偶函数又是减函数 8．函数 2422-+=x x y 的单调递减区间是 ( ） A ．]6,(--∞ ? B ．),6[+∞- C.]1,(--∞ ? D.),1[+∞- 9. 如图１—9所示，幂函数α x y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ) Ａ．102431<<<<<αααα Ｂ．104321<<<<<αααα Ｃ.134210αααα<<<<< D ．142310αααα<<<<< １0． 对于幂函数5 4 )(x x f =,若210x x <<，则 )2( 21x x f +，2 ) ()(21x f x f +大小关系是( ) A.)2( 21x x f +>2)()(21x f x f + ?Ｂ. )2(21x x f +<2) ()(21x f x f + C ． )2( 21x x f +=2 ) ()(21x f x f + ? D. 无法确定 二、填空题：请把答案填在题中横线上(每小题6分,共2４分). １１．函数y x =- 3 2 的定义域是 . 12．的解析式是?? . 1３．9 42 --=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数,则整数a 的值是 . 1４．幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m x y m n k ∈=-图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为 ． 三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤（共76分) . 1５．（1２分)比较下列各组中两个值大小 （１)06072088089611 611 53 53 ..(.)(.).与；（）与-- 1α 3α 4α 2α 求证:恰有一个定义在所有非零实数上的函数f,满足:(1)对任意x≠0，f(x)=x*f(1/x);(2)对所有的x≠-y且xy≠0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y) 解：首先，令g(x)=f(x)-1，把条件写成 g(x+y)=g(x)+g(y) (1) g(x)+1=xg(1/x)+x (2) (1)称为Cauchy函数方程，一般来讲是需要额外条件(诸如连续性、单调性之类)才能得到g 是线性函数，对于这个问题而言，(2)就是所谓的额外条件，所以不再需要连续性的条件。首先，在(2)当中取x=-1得到g(-1)=-1。 再对(1)取y=-x-1得-1=g(x-x-1)=g(x)+g(-x)+g(-1)，所以g(-x)=-g(x)，即g是奇函数。 将(2)变形为 g(x)-x=x[g(1/x)-1/x] (3) 如果存在a>0使得g(a)>a，那么g(1/a)>1/a，利用奇函数的性质，g(-a)=-g(a)<-a，继续在(3)中取x=-a得到g(-1/a)>-1/a，这样g(1/a)=-g(-1/a)<1/a，矛盾。同理可以证明不存在a>0使得g(a) 第四讲 函数 【例题精讲】 一、选择题 1．下列函数中，不是二次函数的是（ ）． （A ）)32(2-=x x y （B ）2 1 )21(22--=x y （C ）)1)(1(21 +-= x x y （D ）22)2(x x y --= 2．若y 与x 1成反比例，x 与z 1 成正比例，则y 是x 的（ ） （A ）正比例函数 （B ）反比例函数 （C ）一次函数 （D ）二次函数 3．若点),(),,(),,(332211y x y x y x 都在反比例函数x y 1 - =的图象上， 并且3210x x x <<<，则下列各式中正确的是（ ） （A ）321y y y << （B ）132y y y << （C ）123y y y << （D ）231y y y << 4．直线b kx y +=经过点)1,(m A 和),1(m B -，其中1>m ，则（ ） （A ）0,0<>b k （B ）0,0>>b k （C ）0,0<+-=>= -=-=x x y x x y x y x y ，其中y 随x 的增大而减小的函数有（ ） （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个 二、填空题 5．抛物线1322 +-=x x y 的顶点坐标是__________. 6．已知函数c bx ax y ++=2的图象是以点（2，3）为顶点，并且经过点（3，1），求这个函数的解析式_________________. 7．已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象与32 --=x y 的图象形状相同，开口方向也相同，又经过（－1，0），（0，6）两点，求这个二次函数的解析式_________________. 8．已知正比例函数x m y )12(-=的图象上两点),(),,(2211y x B y x A ，当21x x <，有 21y y >，那么m 的取值范围是______________. 9．若k 、b 是一元二次方程02 =-+q px x 的两个实数根)0(≠kb ，在一次函数b kx y +=中，y 随x 的增大而减小，则一次函数的图象一定经过第______________象限. 10．二次函数b ax x y ++=2 2的图象经过（2，3）点，并且其顶点在直线23-=x y 上，则_____________,==b a ． 指数函数习题 新泰一中闫辉 一、选择题 1．下列函数中指数函数的个数是 ( ). ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．若，，则函数的图象一定在（） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 3．已知，当其值域为时，的取值范围是（）A． B． C． D． 4．若，，下列不等式成立的是（） A． B． C． D． 5．已知且，，则是（） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇偶性与有关 6．函数（）的图象是（） 7．函数与的图象大致是( ). 8．当时，函数与的图象只可能是（） 9．在下列图象中，二次函数与指数函数的图象只可能是（） 10．计算机成本不断降低,若每隔3年计算机价格降低 ,现在价格为8100元的计算机,则9年后的价格为( ). A．2400元 B．900元 C．300元 D．3600元 二、填空题 1．比较大小： （1）；（2） ______ 1；（3） ______ 2．若，则的取值范围为_________． 3．求函数的单调减区间为__________． 4．的反函数的定义域是__________． 5．函数的值域是__________ ． 6．已知的定义域为 ,则的定义域为__________. 7．当时, ,则的取值范围是__________. 8．时，的图象过定点________ ． 9．若 ,则函数的图象一定不在第_____象限. 10．已知函数的图象过点 ,又其反函数的图象过点(2,0),则函数的解析式为____________. 11．函数的最小值为____________. 12．函数的单调递增区间是____________. 13．已知关于的方程有两个实数解,则实数的取值范围是_________. 14．若函数（且）在区间上的最大值是14，那么等于 _________． 三、解答题 1．按从小到大排列下列各数： ，，，，，，， 2．设有两个函数与，要使（1）；（2），求、的取值范围． 3．已知 ,试比较的大小. 4．若函数是奇函数，求的值． 5．已知，求函数的值域． 6．解方程： 经典例题透析 类型一、求函数解析式 例1.已知幕函数y = (nr-m-])x,,,2-2m~3,当xw(0, + 8)时为减函数，则幕函数y二___________________ . 解析：由于丁 =(加2—血—1)#宀2心为幕函数， 所以m2— \ = \,解得m = 2 ,或m = —\. 当ni = 2时，nr -2m-3 = -3 , y = x~3在(0, + 8)上为减函数； 当m = -l时，/7?2-2m-3 = 0, y = %° =1(x^0)在(0, + ?)上为常数函数，不合题意，舍去. 故所求幕函数为y = x-3. 总结升华：求慕函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白需函数的定义是关键. 类型二、比较幕函数值大小 例2.比较下列各组数的大小. 4 4 _ 3 _ 3 (1)3」4万与兀了；(2)(-近门与(-73)^. 4 4_4 解：⑴由于幕函数y = ?亍(x>0)单调递减且3」4 <龙，???3.14万 > 兀了. _3 (2)由于y =兀5这个幕函数是奇函数.???f (-x) =-f (x) —_ 3 _ 3 _ 3 _ 3 _ _因此，(一血门二一(血)V,(―巧)V =—(內)V ,而y = (x>0)单调递减，且血 3 3 3 3 3 3 ???(血戸 >"门即(一血门v( 总结升华. (1)各题中的两个数都是“同指数”的幕，因此可看作是同一个幕函数的两个不同的函数值，从而可根据幕函数的单调性做出判断. (2)题(2)中，我们是利用幕函数的奇偶性，先把底数化为正数的幕解决的问题.当然，若直接利用x<0 上幕函数的单调性解决问题也是可以的. 举一反三 【变式一】比较O.805, O.905, 0.9皿的大小. 思路点拨:先利用幕函数)=兀"的增减性比较0?8°5与0.9°"的大小，再根据幕函数的图象比较0.9°"与0.9七5的大小. 解：y = x Q-5^.(0, + oo)上单调递增，且0.8 v 0.9 , .?,0.805 <0.905. 作出函数y = X05与歹=兀七5在第一象限内的图彖， 易知0.严< 0.9心. 幂函数 函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终，而幂函数是其中的一部分内容，这部分内容虽然少而简单，却包含了一些重要的数学思想．下面剖析几例，以拓展同学们的思维． 一、分类讨论的思想 例1 已知函数223n n y x --=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象． 解：因为图象与y 轴无公共点，故2230n n --≤，又图象关于y 轴对称，则223n n --为偶数，由2230n n --≤，得13n -≤≤， 又因为n ∈Z ，所以0123n =±，，，． 当0n =时，2233n n --=-不是偶数； 当1n =时，2234n n --=-为偶数； 当1n =-时，2230n n --=为偶数； 当2n =时，2233n n --=-不是偶数； 当3n =时，2230n n --=为偶数； 所以n 为1-，1或3． 此时，幂函数的解析为0(0)y x x =≠或4y x -=，其图象如图１所示． 二、数形结合的思想 例2 已知点(22)，在幂函数()f x 的图象上，点124?? - ???，，在幂函数()g x 的图象上． 问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <． 分析：由幂函数的定义，先求出()f x 与()g x 的解析式，再利用图象判断即可． 解：设()m f x x =，则由题意，得2(2)m =， ∴2m =，即2()f x x =．再令()n g x x =，则由题意，得1 (2)4n =-， ∴2n =-，即2()(0)g x x x -=≠．在同一坐标系中作出 ()f x 与()g x 的图象，如图2所示．由图象可知： （1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >； （2）当1x =±时，()()f x g x =； （3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <． 小结：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中()g x 的隐含条件0x ≠． 三、转化的数学思想 例3 函数1 224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是（ ） ． Ａ．(512)-， Ｂ．(51)-+，∞高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题
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