平面与平面平行的性质

平面与平面平行的性质

¤知识要点：

1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 用符号语言表示为：//,,//a b a b αβγαγβ==?.

2. 其它性质：①//,//l l αβαβ??； ②//,l l αβαβ⊥?⊥；③夹在平行平面间的平行线段相等.

¤例题精讲：

【例1】如图，设平面α∥平面β，AB 、CD 是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β. 求证：MN ∥α.

【例2】如图，A ，B ，C ，D 四点都在平面α，β外，它们在α内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点，在β内的射影A 2，B 2，C 2，D 2在一条直线上，求证：ABCD 是平行四边形．

【例3

】如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 、G 是侧面对角线上的点，且BE CF AG ==，求证：平面EFG ∥平面ABC .

【例4】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，面对角线1AB ，1BC 上分别有两点E 、F ，且11B E C F =. 求证：EF ∥平面ABCD .

直线与平面垂直的判定

¤知识要点：

1. 定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥. l －平面α的垂线，α－直线l 的垂面，它们的唯一公共点P 叫做垂足.（线线垂直→线面垂直）

2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ?α，n ?α，则l ⊥α

3. 斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.

¤例题精讲：

【例1】四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且EF AC =

，90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD .

【例2】已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值.

【例3】三棱锥P ABC -中，PA BC PB AC ⊥⊥，，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，求证：O 为底面△ABC 垂心.

βα

E

N

M D B C A G N

M F

E E C D B A D 1

C 1B 1

A 1

【例4】已知Rt ABC ?，斜边BC //平面α，,A α∈ AB ，AC 分别与平面α成30°和45°的角，已知BC =6，求BC 到平面α的距离.

平面与平面垂直的判定

¤知识要点：

1. 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）

2. 二面角的平面角：在二面角l αβ－－的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 范围：0180θ?<

3. 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作αβ⊥.

4. 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直→面面垂直）

¤例题精讲： 【例1】已知正方形ABCD 的边长为1，分别取边BC 、CD 的中点E 、F ，连结AE 、EF 、AF ，以AE 、EF 、FA 为折痕，折叠使点B 、C 、D 重合于一点P .

（1）求证：AP ⊥EF ；（2）求证：平面APE ⊥平面APF .

B

D

A

E F

G

E

D

C 1

B 1

A 1

C

B

A

【例2】如图, 在空间四边形ABCD 中，,,AB BC CD DA == ,,E F G 分别是,,CD DA AC 的中点，求证：平面BEF ⊥平面

BGD .

【例3】如图，在正方体1111

ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，求证：

1A BD BED ⊥平面平面． C 1

B 1

C

B

A α

【例4】正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=2AB ，D 、E 分别是侧棱BB 1、CC 1上的点，且EC =BC =2BD ，过A 、D 、E 作一截面，求：（1）截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.

线面、面面垂直的性质

¤知识要点：

1. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直→线线平行）

2. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若αβ⊥，l αβ=，a α?，a l ⊥，则a β⊥.（面面垂直→线面垂直）

¤例题精讲：

【例1】把直角三角板ABC 的直角边BC 放置于桌面，另一条直角边AC 与桌面所在的平面α垂直，a 是α内一条直线，若斜边AB 与a 垂直，则BC 是否与a 垂直？

【例2】如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC . （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.

【例3】三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==,PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，求证：O 为底面△ABC 的外心.

【例4】三棱锥P ABC -中，三个侧面与底面的二面角相等，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，求证：O 为底面△ABC 的内心.

小结：

1、证明两直线平行的主要方法是：

①三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半； ②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；

③线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；

④平行线的传递性：c a b c b a ////,//?

⑤面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；

⑥垂直于同一平面的两直线平行；

2、证明两直线垂直的主要方法： ①利用勾股定理证明两相交直线垂直； ②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直； ③利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；

④利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，

④利用圆中直径所对的圆周角是直角，此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等结论。

3、空间角及空间距离的计算 （1）异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点，过该点作另一条直线平行线，

（2）斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA 是平面α的一条斜线，A 为斜足，O 为垂足，OA 叫斜线PA 在平面α上射影，PAO ∠为线面角。

（3）二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角

l αβ--，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直

用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：

①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？ 而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。 （求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”）

4.异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的 公垂线段的长度。如图PQ 是两异面直线间的距离

（异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线）

5.点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。 如图：O 为P 在平面α上的射影， 线段OP 的长度为点P 到平面α的距离 求法通常有：定义法和等体积法

----,,l OA OB l OA l OB l AOB αβαβαβ??⊥⊥∠如图：在二面角中，O 棱上一点，，，的平面角。且则为二面角

,PO OA PA a PA a a OA ααα⊥??⊥?⊥??

??

图线线线如：是在平面上的射影 又直且即：影垂直斜垂直，反之也成立。 a b ''??如图：直线a 与b 异面，b//b ，直线a 与直线b 的夹角为两异面直线与所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90]

等体积法：就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。如图在三棱锥V ABC - 中有：S ABC A SBC B SAC C SAB V V V V ----===

两个平面平行的判定和性质

两个平面平行的判定和性质（一） ●教学目标 (一)教学知识点 1．两个平面的位置关系． 2．两个平面平行的判定方法． (二)能力训练要求 1．等价转化思想在解决问题中的运用． 2．通过问题解决提高空间想象能力． (三)德育渗透目标 1．渗透问题相对论观点． 2．通过问题的证明寻求事物的统一性． ●教学重点 两个平面的位置关系；两个平面平行的判定． ●教学难点 判定定理、例题的证明． ●教学方法 启发式 在启发、诱思下逐步完成定理的证明过程． 平面的位置关系也需以实物(教室)为例，启发诱思完成．通过师生互议，解决例1问题． ●教具准备 投影片两张 第一张：(记作§9．5．1 A) 第二张：(记作§9．5．1 B)

●教学过程 Ⅰ．复习回顾 师生共同复习回顾，线面垂直定义，判定定理． 性质定理：归纳小结线面距离问题求解方法，以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题． 立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题；二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会． 下面继续研究面面位置关系． Ⅱ．讲授新课 1．两个平面的位置关系 除教材上例子外，我们以所在教室为例，观察面与面之间关系． ［师］观察教室前、后两个面，左、右两个面及上、下两个面都是平行的，而其相邻两个面是相交的．［师］打开教材竖直放在桌上，其间有许多个面，它们共同点是都经过一条直线．观察教室的门与其所在墙面关系，随着门的开启，门所在面与墙面始终有一条公共线．结合生观察教室的结论，引导其寻找平面公共点，然后给出定义． 定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行． 如果两个平面有公共点，它们相交于一条公共直线． 两个平面的位置关系只有两种： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有一条公共直线． ［师］两个平面平行，如平面α和平面β平行，记作α∥β． 下面给出两个示意图，同学们考虑哪个较直观？ ［生］图(1)较直观，图(2)不直观． ［师］从以上两种画法，告诉我们画图过程中应注意什么？图(2)为何不直观？

两个平面平行的判定和性质39

两个平面平行的判定和性质 一.选择题 1.α,β是两个不重合的平面,b a ,是两条不同的直线,在下列条件下,可判断βα//的是 A.α,β都平行于直线b a , B.α内有三个不共线的点到β的距离相等 C.b a ,是α内两条直线,且ββ//,//b a D.b a ,是异面直线,且ββαα//,//,//,//b a b a 2. 已知:n m ,表示两条直线,γβα,,表示平面,下列命题中正确的个数是 ( ) ①若βαγβγα//,//,,则且n m n m =?=? ②若n m ,相交且都在α,β外,βαβα//,//,//,//n n m m ,则βα// ③若,//,//βαm m 则βα// ④若,//,//,//n m n m 且βα则βα// A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个 3. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成角θ的取值范围是（ ） A.2 0π θ< < B.2 0π θ≤ < C.3 0π θ≤ ≤ D.3 0π θ≤ < 4. 给出下列四个命题: ①夹在两个平行平面间的线段中,较长的线段与平面所成的角较小; ②夹在两个平行平面间的线段相等,则它们与两个平面所成的角相等; ③夹在两个平行平面间的线段相等,则这两线段必平行; ④夹在两个平行平面间的平行线段必相等.其中正确的命题有( ) A.①②④ B.②③④ C.①③ D.④ 二.填空 5.如果平面α内的两条相交直线与平面β所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是 6.如果βα//，AB 和AC 是夹在平面α与β之间的两条线段，AC AB ⊥，且2=AB ，直线AB 与平面α所成的角为?30，则线段AC 长的取值范围为 . 7.(1)直线b a //，α平面//a ，则b 与平面α的位置关系是_____________． (2)A 是两异面直线a 、b 外的一点，过A 最多可作___________个平面同时与a 、b 平行． 三、解答题 8.如图，βα//，AB βα，交于A 、B ，CD βα，交 于C 、D ，AB ?CD ＝O ，O 在两平面之间，

两个平面平行的判定和性质

两个平面平行的判定和性质 年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____ 一、选择题(共21题，题分合计105分) 1.夹在两平行平面之间的两条线段的长度相等的充要条件是 A.两条线段同时与平面垂直 B.两条线段互相平行 C.两条线段相交 D.两条线段与平面所成的角相等 2.平面α与平面β平行,它们之间的距离为d (d >0),直线a 在平面α内,则在平面β内与直线a 相距2d 的直线有 A.一条 B.二条 C.无数条 D.一条也没有 3.以下四个命题:①P A ?PB 是平面α的两条相等的斜线段,则它们在平面α内的射影必相等;②平面α内的两条直线l 1? l 2,若l 1?l 2均与平面β平行,则α//β;③若平面α内有无数个点到平面β的距离相等,则α//β;④α?β为两相交平面,且α不垂直于β,α内有一定直线a ,则在平面β内有无数条直线与a 垂直.其中正确命题的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.已知直线l ⊥平面α,直线m 平面β,有下列四个命题:(1) α∥β?l ⊥m ;(2) α⊥β?l ∥m ;(3)l ∥m ?α⊥β;(4)l ⊥ m ?α∥β,其中正确的两个命题是: A.(1)与 (2) B.(1)与(3) C.(2)与(4) D.(3)与(4)

5.两个平面平行的条件是 A.一个平面内一条直线平行于另一个平面 B.一个平面内两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内的无数条直线平行于另一个平面 D.一个平面内的任一条直线平行于另一个平面 6.两平面α与β平行,α ? a,下列四个命题中 ①α与β内的所有直线平行 ②α与β内的无数条直线平行 ③α与β内的任何一条直线都不垂直 ④α与β无公共点 其中真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 7.给出下列命题: ①平行于同一条直线的两平面平行;②垂直于同一平面的两平面平行;③一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,则这两个平面平行④一条直线和两个平面所成的角相等,则这两个平面平行. 其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 8.在下列条件中,可判断平面α与β平行的是 A.α?β都垂直于平面r. B.α内存在不共线的三点到β的距离相等. C.l,m是α内两条直线,且l∥β,m∥β. D.l,m是两条异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β. 9.给出下列命题: ①平行于同一条直线的两平面平行;②垂直于同一平面的两平面平行;③一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,则这两个平面平行④一条直线和两个平面所成的角相等,则这两个平面平行. 其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 10.给出以下命题: (1)平面α∩平面β=直线l,点P∈α,点P∈β,则P∈l (2)过平面的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个

2.2.4平面与平面平行的性质教案

张喜林制 [ 2.2.4平面与平面平行的性质教案 【教学目标】 1、通过图形探究平面与平面平行的性质定理； 2、熟练掌握平面与平面平行的性质定理的应用； 3、进一步培养学生的空间想象能力,以及逻辑思维能力. 【教学重难点】 重点：通过直观感知，操作确认，概括并证明平面和平面平行的性质定理。 难点：平面和平面平行的性质定理的证明和应用。 【教学过程】 1、 教师引导学生借助长方体模型思考、交流得出课前预习学案中的结论 结论：<1>结合长方体模型，可知：或平行或异面； <2>直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面平 行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； <3>文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； 符号语言：b a b a //,,//?=γ?β=β?αβα；图形语言如图所示： <4>应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面.应用线面平 行性质定理的口诀：“见到面面平行，先过某些直线作两个平面的交线.” 2、思考：如果平面βα//,那么平面α内的直线a 和平面β内的哪些直线平行？怎么 找出这些直线？ (教师引导学生借助长方体模型思考、交流得出结论) 结论：过直线a 做平面与平面β相交,则交线和a 平行. (在教师的启发下，师生共同概括完成上述结论及证明过程，从而得到两个平面平行的 性质定理)。 3、平面和平面平行平行的性质定理 定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： b a b a ////??? ???==γβγαβα 证明： ==,,a b a b a b a b a b αγβγαβ αβ ??因为∩，∩所以，又因为∥所以没有公共点 又因为同在平面γ内 所以∥ 教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

平面与平面平行的性质导学案

课题 平面与平面平行的性质 班级：_______姓名：_______ 自学导航 学习目标： 1`．通过图形探究面面平行的性质定理。２．熟练掌握面面平行的性质定理的应用。 ３．进一步培养学生的空间想象能力，以及逻辑思维能力。 重点：面面平行的性质。 难点：面面平行性质的应用。 学法指导： 平行是一种非常重要的位置关系，不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范。面面平行的性质定理给出了由面面平行．．．．转化为线线平行．．．． 的方法。 自主学习 知识链接：平面与平面平行的判断方法有 自主探究： 预习教材60页至61页，找出疑惑之处，并完成下列问题： 问题提出 1.平面与平面平行的判定定理是什么？ 2.平面与平面平行的判定定理解决了平面与平面平行的条件问题，反之，在平面与平面平行的条件下，可以得到什么结论呢？ 思考1:若α∥β，l ?α，则直线l 与平面β的位置关系如何？ 思考2：若α∥β，直线l 与平面α平行，那么直线l 与平面β的位置关系如何？ 思考3:若α∥β，直线l 与平面α相交，那么直线l 与平面β的位置关系如何？ 思考4:若α∥β，平面α与平面γ相交，则平面β与平面γ的位置关系如何？ 思考5:若α∥β，平面α、β分别与平面γ相交于直线a 、b ，那么直线a 、b 的位置关系如何？为什么？ 由下图反映出来的性质就是一个定理，分别用文字语言和符号语言可以怎样表述？ 思考6:如果两个相交平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线的位置关系如何？ γβα b a

思考5:若平面α、β都与平面γ平行，则平面α与平面β的位置关系如何？ 小组交流、展示提升 例1 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等. 例2 在正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，点M 在CD BD 的位置关系，并说明理由. 例3 如图，已知AB 、CD 是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M 、 N 分别为AB 、CD 的中点，求证：MN ∥平面β.

平面与平面平行的性质教学设计

《2.2.4平面与平面平行的性质》教学设计 一、教材分析： 本节内容是人教版新教材必修②高一数学第二章第二节的第4课时 平行与垂直是空间中两种特殊而重要的位置关系，也是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与辅助面，找出符号语言与图形语言之间的关系解决问题。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。 二、学情分析： 本节内容是在学生已经学习了平行公理，直线与平面平行的判定与性质等内容的基础上的学习，只要掌握了平行线的概念和面与面平行的概念，该性质定理的证明不难理解，难点是选择或添加适当的平面或线，将空间问题转化为平面问题，利用平面图形的几何特征解决问题。 三、教学目标： 1、知识与技能 （1）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。 （2）提高分析解决问题的能力,进一步渗透等价转化的思想。 2、情感态度与价值观 （1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力； （2）进一步体会类比的作用； （3）通过证明问题，树立创新意识。 四、教学重、难点： 1．重点：两个平面平行的性质定理的探索过程及应用。 2．难点：两个平面平行的性质定理的探究发现及其应用。 五、教学设想： 学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者。引导学生自己探索与研究两个平面平行的性质定理，培养和发展学生发现问题，解决问题的能力。学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。 六、教学方法设计： 由直线与直线平行的定义得到的两个平面平行性质定理是证明直线与直线

平行的重要方法。在两个平面平行的性质定理的研究中，重在引导学生如何将两个平面平行的问题转化为直线与直线平行、直线与平面平行的问题。 七、教学流程： ↓ ↓ ↓ 八、学法与教学用具 1、学法：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。 2、教学用具：多媒体、长方体模型 九、教学过程： 复习提问：（大屏幕展示） 如何判断平面和平面平行? （答:有两种方法,一是用定义法,须判断两个平面没有公共点;二是用平面和平面平行的判定定理,须判断一个平面内有两条相交直线都和另一个平面平行.） 你会用符号语言描述判定定理吗？(目的:(1)通过学生回答，来检查学生能否正确叙述学过的知识，正确理解平面与平面平行的判定定理.(2)板书定义及定理内容，是为学生猜测并发现平面与平面平行的性质定理作准备) 探究新知 思考:如果两个平面平行，会有哪些结论呢?(学生议论，教师引导学生大胆猜想，同时提示研究问题的方法) 探究1. 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？

两个平面平行的性质

两个平面平行的性质 一、教学目的：（1）掌握两个平面平行的性质；（2）能利用性质解决有关线线平行的问题； （3）明确两平行平面间的距离并求两平行平面间的距离. 二、教学重点、难点：两个平面平行的性质；利用性质解决有关线线平行的问题. 三、教学过程：1、复习：两个平面平行的判定方法： 2、两个平面平行的性质（1）：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. 3、两个平面平行的的性质（2）：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 4、练习：判断下列命题的真假，对真命题给出证明，对假命题举出反例. 1、;////,//,,βαββαα???n m n m 2、n m n m //,,//???βαβα； 3、βαβα//,//l l ??； 4、α内的任一直线都平行于βαβ//?. 四、典型例子分析： [例1]：求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 已知： 求证： [说明]：（1）βαβα⊥?? ??⊥l l //，可以用来判断直线与平面垂直依据. （2）和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线； （3）夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段； （4）两个平行平面的公垂线的长度叫做这两个平行平面的距离. α β l

[例2]：如图，b a ,是异面直线，,//,,//,αβααa b b a ?? （1） 求证：βα//； （2） 求证：b a ,间的距离等于平行平面α与平面β平面的距离. [说明]： 练习：求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等. [思考题]：AB 、CD 为夹在两个平行平面βα,间的异面线段，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，求证：MN//)//(βαMN . 作业：1 、一条直线和两个平行平面相交，求证它和两个平面所成的角相等. 2、两个平行平面之间的距离等于12cm ，一条直线和它们相交成060角，求这条直线上夹在这两个平面间的线段的长. α β a b

2.2.4平面与平面平行的性质

2、2、4 平面与平面平行的性质教案 【教学目标】 1、通过图形探究平面与平面平行的性质定理； 2、熟练掌握平面与平面平行的性质定理的应用； 3、进一步培养学生的空间想象能力,以及逻辑思维能力. 【教学重难点】 重点：通过直观感知, 操作确认, 概括并证明平面和平面平行的性质定理。 难点：平面和平面平行的性质定理的证明和应用。 【教学过程】 1、 教师引导学生借助长方体模型思考、交流得出课前预习学案中的结论 结论：<1>结合长方体模型, 可知：或平行或异面； <2>直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面平 行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行； <3>文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行； 符号语言：b a b a //,,//?=γ?β=β?αβα；图形语言如图所示： <4>应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面.应用线面平 行性质定理的口诀：“见到面面平行, 先过某些直线作两个平面的交线.” 2、思考：如果平面βα//,那么平面α内的直线a 和平面β内的哪些直线平行？怎么找出这些直线？ (教师引导学生借助长方体模型思考、交流得出结论) 结论：过直线a 做平面与平面β相交,则交线和a 平行. (在教师的启发下, 师生共同概括完成上述结论及证明过程, 从而得到两个平面平行的性质定理)。 3、平面和平面平行平行的性质定理 定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行。 符号表示： b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβαI I 证明： ==,,a b a b a b a b a b αγβγαβ αβ??因为∩，∩所以，又因为∥所以没有公共点又因为同在平面γ内所以∥ 教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 4、平面和平面平行的性质定理应用 例1:求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等. D C B A β α

两平面的平行的判定和性质

典型例题一 例1：已知正方体 1111-D C B A ABCD ． 求证：平面//11D AB 平面BD C 1． 证明：∵1111-D C B A ABCD 为正方体， ∴B C A D 11//， 又 ?B C 1平面BD C 1， 故 //1A D 平面BD C 1． 同理 //11B D 平面BD C 1． 又 1111D B D A D = ， ∴ 平面//11D AB 平面BD C 1． 说明：上述证明是根据判定定理1实现的．本题也可根据判定定理2证明，只需连接C A 1即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离． 典型例题二 例2：如图，已知βα//，a A ∈，α∈A β//a ． 求证：α?a ． 证明：过直线a 作一平面γ，设1a =αγ ， b =γβ ． ∵βα// ∴b a //1 又β//a ∴b a // 在同一个平面γ内过同一点A 有两条直线1,a a 与直线b 平行

∴a 与1a 重合，即α?a ． 说明：本题也可以用反证法进行证明． 典型例题三 例3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交． 已知：如图，βα//，A l =α ． 求证：l 与β相交． 证明：在β上取一点B ，过l 和B 作平面γ，由于γ与α有公共点A ，γ与β有公共点B ． ∴γ与α、β都相交． 设a =αγ ，b =γβ ． ∵βα// ∴b a // 又l 、a 、b 都在平面γ内，且l 和a 交于A ． ∵l 与b 相交． 所以l 与β相交． 典型例题四 例4：已知平面βα//，AB ，CD 为夹在a ，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点． 求证： α//EF ，β//EF ． 证明：连接AF 并延长交β于G ． ∵F CD AG =

《平面与平面平行的性质》教学设计(优质课)

平面与平面平行的性质 一、教学目标： 1、知识与技能 掌握两个平面平行的性质定理及其应用 2、过程与方法 学生通过观察与类比，借助实物模型理解及其应用 3、情感、态度与价值观 （1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力； （2）进一步体会类比的作用； （3）进一步渗透等价转化的思想。 二、教学重点、难点 重点：平面与平面平等的性质定理 难点：平面与平面平等的运用 三、教学方法 讲录结合 ．线线平等 系？

a γ=， b γ=， 证明：因为r a α=， r b β =， 所以a α?b β?. .用语言表述就是：（板书）...

..，求证：AB = .证明：如图，AB ∥CD ，AB AC γ=BD γ=////AC BD AB CD CD β??? ?=?

分别交,αβ于C、D 平行的直线（如图）则AM AE =，

1．平面和平面平行的性质

备选例题 例1 如图，设平面a ∥平面β，AB 、CD 是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且 A 、C ∈α， B 、D ∈β．求证：MN ∥α . 【证明】连接BC ，取BC 的中点E ，分别连接ME 、NE ， 则MN ∥AC ，∴ME ∥平面α， 又NE ∥BD ，∴NE ∥β， 又ME ∩NE = E ，∴平面MEN ∥平面α， ∵MN ?平面MEN ．∴MN ∥α． 【评析】要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行． 例2 ABCD 是矩形，四个顶点在平面α内的射影分别为A ′、B ′、C ′、D ′，直线A ′B ′与C ′D ′不重合，求证：A ′B ′C ′D ′是平行四边形． 【证明】如图． ∵A ′、B ′、C ′、D ′分别是A 、B 、C 、D 在平面α内的射影． ∴ BB ′⊥α，CC ′⊥α， ∴BB ′∥CC ′． ∵CC ′ 平面CC ′D ′D ，BB ′ 平面CC ′D ′D ， ∴BB ′∥平面CC ′D ′D . 又∵ABCD 是矩形， ≠ ? ≠ ?

直线与平面,平面与平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定 ：知识要点 直线与平面平行的判断方法有两种 1 根据定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行 . （ 一般用反证法． ） 2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平 面平行. （符号表示为： a ,b ,a//b a// . 图形如图所示） . 二：例题 判定定理证明：已知： a α， b α，且 a ∥b 求证： a∥α 例 1 ：求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另 外两边所在的平面。 已知：如图空间四边形 ABCD 中，E 、F 分 别是 AB 、 求证： EF ∥平面 BCD 证明： 例 2: 正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为 DD 1的中点，试判断 BD 1与平面 AEC 的位置 关系，说明理由 a A F 点 B C1 C B

三练习： 1. 判断下列说法是否正确，并说明理由． ○1 平面 外的一条直线 a 与平面 内的无数条直线平行则直线 a 和平面 平行； ○2平面 外的两条平行直线 a,b ，若 a// ，则b// ； ○3 直线a 和平面 平行，则直线 a 平行于平面 内任意一条直线； ○ 4 直线 a 和平面 平行，则平面 中必定存在直线与直线 a 平行． A. l 1 ∥α B. l 2 α C. l 2 ∥α或l 2 α D. l 2 与α相交 3．以下说法（其中 a ，b 表示直线， 表示平面） ①若 a ∥b ， b ，则 a ∥ ②若 a ∥ ，b ∥ ，则 a ∥b ③若 a ∥b ， b ∥ ，则 a ∥ ④若 a ∥ ，b ，则 a ∥b 其中正确说法的个数是（ ） . A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 4.已知a ，b 是两条相交直线， a ∥ ，则 b 与 的位置关系是（ ）. A. b ∥ B. b 与 相交 C. b α D. b ∥ 或 b 与 相交 5. 如果平面 外有两点 A 、B ，它们到平面 的距离都是 a ，则直线 AB 和平面 的 位置关系一定是（ ） . A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. AB 6．平面 与△ ABC 的两边 AB 、 AC 分别交于 D 、E ，且 AD ∶DB=AE ∶EC ，求证： BC ∥平面 . 7．P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， E 为PB 的中点， O 为 AC ， BD 的交点. （1）求证：EO ‖平面PCD ； （2）图中EO 还与哪个平 面平行？ 8. 在正方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1中， E 、F 分别为棱 BC 、C 1D 1的中点. 求证： EF ∥平面 BB 1D 1D 2. 已知直线 l 1、l 2 , 平面α, l 1 ∥l 2 , l 1∥α 那么 l 2 与平面 α 的关系是（ ）.

直线与平面平行的性质(教学设计)

课题：直线与平面平行的性质 教材：普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修2 § 223 授课教师：无为第一中学范德泉 【三维目标】 1 ?知识与技能 通过教师的适当引导和学生的自主学习，使学生由直观感知获得猜想，经过逻辑论证，推导出直线与平面平行的性质定理，并掌握这一定理. 2.过程与方法 通过直观感知和操作确认的方法，发展几何直觉、运用图形语言进行交流的能力；体会和感受通过自己的观察、操作等活动进行合情推理发现并获得数学结论的过程；通过直线与平面平行的性质定理的实际应用，让学生体会定理的现实意义与重要性. 3 ?情感、态度、价值观 通过主动参与、积极探究的学习过程，提高学习数学的自信心和积极性，培养合作意识和交往能力，领悟化归与转化的数学思想，提高学生分析解决问题的能力. 【教学重点与难点】 1?教学重点直线与平面平行的性质定理. 2.教学难点综合应用线面平行的判定定理和性质定理.

★解答过程 证明：连接 因为ABCD 是平行四边形， 因为MP =MC ,所以OM 因为PA 二平面BDM ， OM 平面BDM ， 所以PA//平面BDM . 因为平面PAG 平面BDM AC,设 AC BD =O ,连接 OM 所以OA=OC . // PA . =GH , PA 平面 PAG , 所以PA//GH 定理 线面平行的性质定理 线血平行的判定定理 團形 -S7- a 厂 7 b Λ~7 ￡ 符号表示 aH a ) ? => a∕lb tl< bun -匸二> af! a aiib 一 用途 证明线线平4f 证明线面平行 恿想方祛 转化的??方法'?t ?4q kτ I -→???H 性虞定理 【小结】 【布置作业】 教材 P64 5、6. 上黑板板演证明过程，教 师最后进行点评. 小结回顾：注意线面 平行 的性质定理与判定 定理联系和区别，“线面 平行”与“线线平行”问 题是互相联系的，在解题 时要善于将问题进行转 化.

平面与平面平行的性质教案

平面与平面平行的性质 教案 教学要求：掌握平面和平面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线、线面、面面”平行的转化. 教学重点：掌握面面平行的性质定理. 教学难点：掌握平行之间的转化. 教学过程： 一、复习准备： 1．提问：线面平行、面面平行判定定理的符号语言？线面平行性质定理的符号语言？ 2. 讨论：两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线有什么关系？ 二、讲授新课： 1. 教学面面平行性质定理： ① 讨论：两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？两个平面内的直线有什么位置关系？当第三个平面和两个平行平面都相交，两条交线有什么关系？为什么？ ② 提出性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 ③ 用符号语言表示性质定理：}a b αβαγβγ?I I ∥＝，＝ ④ 讨论性质定理的证明思路. ⑤ 出示例：求证夹在两个平行平面间的两条平行线的长相等. →首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言： 已知：//αβ，,AB CD 是夹在两个平行平面,αβ间的平行线段，求证：AB CD =. → 分析：利用什么定理？（面面平行性质定理） 关键是如何得到第三个相交平面 2. 教学例题： ① 出示例：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个平面也相交. 讨论：如何将文字语言转化为图形语言和符号语言？ → 如何作辅助平面？ → 师生共同完成 ② 练习：若//αβ，//βγ，求证：//αγ． （试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板演） 在平面α内取两条相交直线,a b ， 分别过,a b 作平面,?δ，使它们分别与平面β交于两相交直线,a b ''， ∵//αβ，∴//,//a a b b ''， 又∵//βγ，同理在平面γ内存在两相交直线,a b ''''，使得//,//a a b b ''''''， ∴//,//a a b b ''''， ∴//αγ 3. 小结：面面平行的性质定理及其它性质（//,//a a αβαβ??）；转化思想. 三、巩固练习： 1. 两条直线被三个平行平面所截，得到四条线段. 求证：这四条线段 对应成比例. 2. 已知,l m 是两条异面直线，//l 平面α，//l 平面β，//m 面α， //m 平面β，求证：//αβ． D C B A βα αβγb a 'a ''a b 'b ''

直线平面平行垂直的判定及其性质知识点

一、直线、平面平行的判定及其性质知识点一、直线与平面平行的判定 ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种） 位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行 公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点 符号表示a?αa∩α=A a||α 图形表示 注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行.（a||b） 直线与平面平行的判断 判定 文字描述直线和平面在空间平面永无交点，则 直线和平面平行（定义） 平面外的一条直线一次平面内的一条直线 平行，则该直线与此平面平行 图形

条件a与α无交点 结论a∥αb∥α 线线平行，则线面平行（线与面的平行问题一定要排除现在直线内的情况）※判定定理的证明 知识点二、直线与平面平行的性质 性质 文字描述一条直线与一个平面平行， 则这条直线与该平面无交点 一条直线和一个平面平行，则 过这条直线的任一平面与此平 面相交，这条直线和交线平行． 图形 条件a∥αa∥αa?βα∩β＝b 结论a∩α＝?a∥b 特别提示 证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.

知识点三、平面与平面平行的判定 判定 文字描述如果两个平面无公共 点，责成这两个平面平 行一个平面内有两条相 交直线与另一个平面 平行，那么这两个平面 平行． 如果两个平面同时垂直于 一条直线，那么这两个平 面垂直。 图形 条件α∩β＝?a，b?β a∩b＝P a∥α b∥αl⊥αl⊥β 结论α∥βα∥βα∥β 知识点四、平面与平面平行的性质 性质 文字描述如果两个平行平面同时和第 三平面相交，那么他们的交如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于

平面与平面平行的判定与性质测试

平面与平面平行的判定与性质 一、选择题 1. 平面a//平面B,点A、C€a，点B、D 则直线AC //直线BD的充要条件是（） A. AB / CD B. AD // CB C. AB与CD相交D . A、B、C、D四点共面 2. “ a内存在着不共线的三点到平面3的距离均相等”是“ a / 3 ”的（） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件 D .既不充分也不必要的条件 3. 平面a //平面3，直线a二a , P€ 3 ,则过点P的直线中（） A ?不存在与a平行的直线B.不一定存在与a平行的直线 C.有且只有一条直线与a平行 D.有无数条与a平行的直线 4. 下列命题中为真命题的是（） A .平行于同一条直线的两个平面平行 B. 垂直于同一条直线的两个平面平行 C. 若一个平面内至少有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行. D. 若三直线a、b、c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有一个平面与b, c均平行. 5. 已知平面a //平面3，且a、3间的距离为d ,1 a,l' 3，则丨与I'之间的距离的取值范围为（ ） A. （d,s） B. （d,+s） C. {d} D. （0,^） 6. 已知直线a、b、c-a ,且a// 3、b// 3、c// 3，则“ a、b、c到平面3的距离均相等”是“ a // 3 ”的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件 D .既不充分也不必要的条件 7. 给出以下命题： ①夹在两个平行平面间的线段，较长的与平面所成的角较小； ②夹在两个平行平面间的线段，如果它们的长度相等，则它们必平行； ③夹在两个平行平面间的线段，如果它的长度相等，则它们与平面所成的角也相等； ④在过定点P的直线中，被两平行平面所截得的线段长为d的直线有且只有一条，则两平行平面间的 距离也为d 其中假命题共有（） A. 1个B . 2个C. 3个D . 4个 8 .设a /3, P €a, Q €3当P、Q分别在平面a、3内运动时，线段PQ的中点X也随着运动，则所有的动点X（） A. 不共面 B. 当且仅当P、Q分别在两条平行直线上移动时才共面 C .当且仅当P、Q分别在两条互相垂直的异面直线上移动时才共面 D .无论P、Q如何运动都共面 二、填空题 I | 2岛AB =——d 9.已知a / 3且a与3间的距离为d,直线a与a相交于点A与3相交于B，若 3 ，则直 线a 与a所成的角= ______________ . 10 .过两平行平面a、3外的点P两条直线AB与CD，它们分别交a于A、C两点，交3于B、D两点，若PA= 6, AC = 9, PB= 8，则E D 的长为_______________________ . 11.已知点A、B到平面a的距离分别为d与3d,则A、B的中点到平面a的距离为___________________ . 12 .已知平面a内存在着n个点，它们任何三点不共线，若“这n个点到平面3的距离均相等”是“a // 3 ”的充要条件，则n的最小值为 __________ . 三、解答题 13 .已知平面a //平面3直线a//a, a二3,求证：a // 3 .

2.2.4平面与平面平行的性质说课稿

平面与平面平行的性质 今天我说课的题目是《平面与平面平行的性质》，根据新课标的理念和高一学生的认知特点，以学生活动为主线，我将从教材分析、学情分析、教学方法、学法指导、教学过程、板书设计、评价分析等七个方面来说一下本节课的教学。 教材分析： 一、教材的地位与作用： 本节课是人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书A版》第2册2.2.4节“平面与平面平行的性质”，在此之前，学生已学习了空间点线面的位置关系，也学习了直线与平面平行的性质，为本节的学习起着铺垫作用，为后面学习垂直关系打下基础。 二、教学目标： 1、知识与技能 （1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用； （2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。[来源：全,品…中&高*考+网] 2、过程与方法 学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。 3、情感、态度与价值观 （1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力； （2）进一步体会类比的作用；（3）进一步渗透等价转化的思想。 三、教学重点、难点 重点：两个性质定理。 难点：（1）性质定理的证明；（2）性质定理的正确运用。 学情分析： 为有效实施教学，达成教学目标，充分体现学生的主体性地位，从三个方面进行学情分析。 知识层面： 学生已经掌握了空间点、线、面的位置关系，学习了直线与平面平行的性质，也学习了平面与平面平行的判断定理。 能力层面： 学生已经初步掌握了空间位置关系，具有一定的空间想象力 情感层面： 学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。但探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡. 教学方法与学法指导： 为激发学生求知欲，促进师生之间的交流，依据教学目标和学生的认知水平，在教法上，主要通过创设情境、启发探究、分层教学、多媒体辅助等手段，在学法上，主要是通过教师的引导使学生学会参与探究，学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。 教学用具：投影仪、投影片、长方体模型 教学过程： （一）创设情景、引入新课[来源：全,品…中&高*考+网 1、思考题：教材第60页，思考（1）（2） 学生思考、交流，得出 （1）一条直线与平面平行，并不能保证这个平面内的所有直线都与这个直线平行； （2）直线a与平面α平行，过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线。 在教师的启发下，师生共同完成 该结论的证明过程。 于是，得到直线与平面平行的性质定理。

两平面平行的性质

两平面平行的性质 教学目标： 1.掌握两个平面平行的性质定理及应用 2.掌握两个平行平面间的距离 3.能运用两平面的判定定理和性质定理进行推理计算 4.培养辩证思维能力 教学重点：两平面平行的性质及应用 教学难点：两个平面平行的判定与性质的联系和区别 教学方法：发现教学法 教 具：模具 教学过程 一、复习引入： 1.两平面的位置关系------ 2.两平面平行的判定方法有------ 3.若两个平面平行，那又能得到什么结论呢？ 二、新授： 1.两平面平行的性质： 思考1：若 αβ，a α?，那么a 与β什么关系？ 性质1：若 αβ，a α?，则 a β 即：若两平面平行，那么在其中一个平面内的任一条直线都和另一平面平行. 思考2：若 αβ，a α?，那么a 与β内的直线是什么关系？是否平行？在什么条件下平行？又该如何构造这样的条件？ 性质定理：如果两个平行平面同时和条三个平面相交，那么它们的交线平行. 已知：//,,a b αβγαγβ== 求证：//a b 证明：∵//,,a b αβαβ??，∴,a b 没有公共点， 又∵,a b γγ??，∴//a b ． 例：求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面. 已知： αβ，l α⊥，l A α= 求证：l β⊥ 证：在平面β内任取一条直线b,平面γ内是经过点A 与直线b 的平面，设a γα=，则 a a b b l b a l a l αβαγβγαα? ??? =??? ??=?⊥?? ?????⊥??⊥?? ，又∵b 是β内任一直线，故l β⊥ 评：两平面平行的性质有：①若 αβ，a α?，则 a β； γ b a β α