法向量在立体几何中的应用
法向量在立体几何中的应用讲义
立体几何引入空间向量后，对于空间直线、平面的位置关系用向量来解决，可以降低解题难度。本课时我们学习平面的法向量在立体几何中的应用，它主要可以解决以下几类问题：
1．空间中的距离：⑴两点之间的距离；⑵点到直线的距离；⑶点到平面的距离；⑷两条平行线间的距离；⑸两条异面直线间的距离；⑹平面的平行直线与平面之间的距离；⑺两个平行平面之间的距离.
七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离，它们之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离。
2．空间中的角：①异面直线间的夹角；②线面角；③二面角；
3．空间中直线与平面关系：①线线平行；②线面平行；③面面平行。
一、平面的法向量的定义： 如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量a 垂直于平面α，记作a α⊥ ，如果a α⊥ ，那么向量a 叫做平面α的法向量。
二、平面的法向量的求法：
⑴在几何体中找平面的垂线对应的有向线段作为平面的法向量；
⑵在空间直角坐标系中利用向量的坐标运算来求法向量。
【例1】在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,90,2,ABC BAC AB ∠=?=
1,AC PA ==求平面PBC 的一个法向量。
【注意】强调法向量的方向判定方法。
※ 写出平面ABC 的一个法向量 。
※思考：点A 到平面PBC 的距离为 。【等体积法】
二、利用平面的法向量求空间角。
1．求直线和平面所成的角。
【推导】设PA 是平面α的斜线，且,A AH α∈是斜线PA 在平面α内的射影，设n 是平面α的法向量，PA 与平面α所成的角为arccos 2AB n AB n
π?-? 或arcsin AB n AB n
?? 。 【例2】如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面
,,//,ABCD AE PD EF CD PA AB ⊥=，求直线AC 与平面AEFB 所成角的正弦值。
2．求二面角的大小。
用向量知识求二面角的大小时，是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹
角问题，⑴当法向量12n n 与的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量12n n 与的夹角的大小。
⑵当法向量12n n 与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量12n n 与的夹角的补角12,n n π-<> 。
【例3】如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，AC 与
BD 交于点1,E C B 与1CB 交于点F 。⑴求证：1
AC ⊥⊥平面1DBC ；⑵求二面角B EF C --的大小。
三、利用法向量求距离
1．求点到平面的距离：
求点到平面的距离：⑴直接法：即直接由点作垂线，求垂线段的长；⑵转
移法：转化成求另一点到该平面的距离；⑶等体积法；⑷向量法。
【推导】如图，点P 为平面α外一点，点A 为平面α内任一点，平面的法向量为n ，过点P 作平面α的垂线PH ，记PA 和n 所成的角为θ，则P 到平面α的距离公式为：cos PA n PH PH AP n
θ?=== 。 【例4】如图所示，在三棱锥S ABC -中，ABC ?是边长为4的正三角形，
平面SAC ⊥
平面,,ABC SA SC M N ==分别为,AB SB 的中点，
⑴证明：AC SB ⊥；⑵求二面角N CM B --的大小；⑶求点B 到平面CMN
的距离。
【练习】设(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7),(5,4,8)A B C D --，求点D 到平面ABC 的距离 【解析】设平面ABC 的法向量(,,),0,0n x y z n AB n AC =?=?= ，所以
3(,,).(2,2,1)0220,2(,,).(4,0,6)0460x y z x y z x z x y z x z y z
?-=-+==-???∴???=+=???=-?，令2,z =-
则(3,2,2),cos ,n n AD =-∴<>= D 到平面ABC
的距离为,.cos ,d d AD n AD =<>== 2．求异面直线的距离
两异面直线间的距离可先求得两直线的公共“法向量”（即与
两直线都垂直的向量），然后在两直线上各取一点，求出过这两点的
向量在法向量上的射影长就是两异面直线间的距离。如图，设,A B 分别为异面直线,a b 上的两点，n 为与,a b 都垂直的向量，PQ
为两异
面直线,a b 的距离，则AB n PQ n
?= ；⑴设12,l l 是两条异面直线，,A B 是1l 上的任意两点，,C D 是直线2l 上的任意两点，则12,l l 所成的角为arccos AB CD AB CD
?? 。 【例5】已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是2,,M N 分别为111,A B BB 的中点，求：⑴异面直线AM 与CN 所成的角；⑵求异面直线AM 与CN 的距离。
1111160,,DAB AD AA F ∠=?=
为棱1BB 的中点，M 为线段1AC 的中点.
⑴求证：直线//MF 平面ABCD ；⑵求证：平面1AFC ⊥平面11ACC A ；
⑶求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小.
角、异面直线的公垂线的过程，减少了辅助线的添加，避开了一些较复杂的空间想象，从而降低了解题难度，并且思路明确，过程程序化，效果显著。
◆
课后作业：
1.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AD AA AB ===点E 在
棱AB 上移动。⑴证明：11D E A D ⊥；⑵当E 为AB 的中点时，求点E
到面1ACD 的距离；⑶AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为
4
π。
2.在长方体1111,ABCD A B C D -中，14,3,2,,AB AD AA M N
===
分别为1,DC BB 的中点，求：⑴异面直线MN 与1A B 的距离；⑵
点1D 到平面1A BD 的距离。
3.如图，已知ABCD 是边长为4的正方形，,E F 分别是,AD AB
的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且2,GC =求点B 到平
面FEG 的距离。
4.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,M N E F 分别是棱
11111111,,,A B A D B C C D 的中点。求平面AMN 与平面EFDB 的距离。
6．已知点P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面,ABCD Q 是线段PA 的中点，
3,4,6,AB BC PA ===求点P 到平面BQD 的距离