不动点定理在微分方程中的应用
摘要:本文在简介不动点定理的重要结论的基础上,重点研究了利用Banach压缩映射原理来证明Picard定理和Schauder不动点定理来证明Peano解的存在性定理,并且利用Banach压缩映射原理和Schauder定理进一步来研究不动点定理在微分方程中应用.
关键词:不动点定理;Banach压缩映射原理;Schauder不动点定理;微分方程
一引言
不动点定理是泛函分析理论的重要组成部分,我们可以看到多种不同形式的不动点定理,不动点定理在自然科学中有着广泛的应用.在文献[1]中利用Picard的逐次迭代法来证明微分方程初值问题解的存在和唯一性定理;在文献[2]中利用Schauder不动点定理和不等式证明了积分方程解的存在和唯一性;在文献[3]中作者用Banach不动点定理来简化了Picard 定理的证明,并且利用Leray—Schauder不动点定理以此说明了不动点定理在微分方程中的应用.在文献[7]中作者用分析方法讨论两类不动点定理即Banach压缩映像原理和Schauder 不动点定理分别在Picard解的存在唯一性定理和Peano解的存在性定理证明过程中的应用.
二不动点定理的重点结论
不动点,是一个函数术语,在数学中是指“被这个函数映射到其自身一个点”.
?α1使得ρ(Tx,Ty)定义1称T:(X,ρ)→(X,ρ)是一个压缩映射,如果存在0?
αρ
≤(x,y),()
x y X
?∈
,.
定理1.1压缩映射原理(C.(C.-)é.皮卡(1890);S.Banach(1922)):设X是一个完备的度量空间,映射?:Χ→Χ把每两点的距离至少压缩λ倍,即d(?(x),?(y))≤λd(x,y),这里λ是一个小于1的常数,那么?必有而且只有一个不动点,而且从Χ的
任何点x0出发作出序列这序列一定收敛到那个不动点.
这条定理是许多种方程的解的存在性、惟一性及迭代解法的理论基础.
定理 1.2布劳威尔不动点定理(1910):设Χ是欧氏空间中的紧凸集,那么Χ到自身的每个连续映射都至少有一个不动点.
用这定理可以证明代数基本定理:复系数的代数方程一定有复数解.把布劳威尔定理中的欧氏空间换成巴拿赫空间,就是绍德尔不动点定理(1930),常用于偏微分方程理论.这些定理可以从单值映射推广到集值映射,除微分方程理论外还常用于对策论和数理经济
学.
定理 1.3 莱夫谢茨不动点定理:设Χ是紧多面体,?:Χ→Χ是映射,那么?的不动点代数个数等于?的莱夫谢茨数L (?),它是一个容易计算的同伦不变量.当L (?)≠0时,与?同伦的每个映射都至少有一个不动点. 这个定理发展了布劳威尔定理.
定理 1.4( Schauder 不动点定理):设M 是Banach 空间X 的非空紧凸集,:T M M →是连续映射,则T 在M 中有不动点.
三 不动点定理的应用
本节主要介绍两个原理-- Banach 压缩映射原理和Schauder 不动点定理 3.1 Banach 压缩映射原理的应用
对于一阶微分方程的初值问题
()00,,
.dy
f x y dx y x x y ?=???==?
(1)
解的存在与唯一问题,有下面的Picard 定理:
设二元函数(),f x y 在矩形(){}
0,,D x y x x
a y y
b =
-≤-≤上连续,且关于y 满足
Lipschitz 条件,即存在常数()()0,,,,',L x y x y D >?∈有
()(),,'',f x y f x y L y y -≤-
则
问
题
(1)
在
区
间
[]
00,x x σσ-+上有唯一解,这里
()()
,10m i n ,,
,m a x ,.
x y D b a M f x y M L σ∈??
<<
=????
证明 首先,问题(1)等价于积分方程 ()()()0
0,.x
x y x y f x y x dx =+? (2)
令
[](){}
0~
0000,,max ,x x C y C x x d y y y y M σ
σσσ-≤=∈-+=-≤
()()()()0
0,,x
x Ty x y f x y x dx =+
?
则~C 是Banach 空间[]00,C x x σσ-+的闭子空间,故~C 也是完备的,而映射~~
:.T C C →
事实上,~
y C Ty ?∈,是[]00,x x σσ-+上的连续函数,即[]00,,Ty C x x σσ∈-+且有
()000
max x x Ty y Ty x y σ
-≤-=-
()()00
=max
,x
x x x f x y x dx σ
-≤?
00max x x M x x σ
-≤≤-
=M σ,
故~
,Ty C ∈其次,~
12,,y y C ?∈
()()20121max x x Ty Ty Ty x Ty x σ
-≤-=-
()()()()001
2
=max
x
x x x f x y x f x y x dx σ
-≤??-???,,
()()00
1
2
max
x
x x x L y x y x dx σ
-≤≤-?
()0120max x x Ld y y x x σ
-≤≤-, 12=.L y y σ?-
因1,L σ<故 T 是~
C 上的压缩映射.于是,由压缩映射原理,存在唯一~
C ?∈,使=T ??,即积分方程(2)有唯一解(),y x ?=也就是问题(1)在区间[]00,x x σσ-+上有唯一解
()y x ?=.
例1 (Volterra 积分方程的解)
设(),K t s 是定义在,a t b a s t ≤≤≤≤上的连续函数,则Volterra 积分方程 ()()()(),t
a
x t f t K t s x s ds λ=+?
(3)
对任意的[](),f C
a b ∈以及任意常数λ存在唯一的解[]()0
,.x C a b ∈
证明 作[](),C
a b 到其自身的映射T :
()()()()(),t
a
Tx t f t K t s x s ds λ=+?
,
用M 表示(),K t s 在,a t b a s t ≤≤≤≤上的最大值,d 表示[](),C a b 中的距离.对于任意
的[](),,,x y C
a b ∈则有
()()()()()()(),t
a Tx t Ty t K t s x s y s ds λ
-=-?
???? ()()(),t
a
K t s x s y s ds λ
≤-?
???? ()()()max a s b
M t a x s y s λ≤≤≤--
()()=,,M t a d x y λ- 下面用数学归纳法来证明 ()()()(
)
()/!,.n n
n
n
n T x t T y t M t a n d x y λ-≤
- (4)
当=1n 时,不等式(4)已经证明.现设=k n 时,不等式(4)成立,则当=k+1n 时,有 ()()1
1k k T
x t T y t ++-
()()(),t
n n
a
K t s T x s T y s ds λ
??=-??? (
)()
()1
1/!
,t
k k
k a M k s a ds d x y λ++≤-?
()
()(
)
()1
1
1/1!,,k k k M t a k d x y λ
+++=
-+
故不等式(4)对=k+1n 也成立,于是对一切自然数n 成立.由(4) ()
()(),max n
n
n
n
a t b
d T x T y T x t T y t ≤≤=-
()()
()/!,.n
n
n M b a n d x y λ
≤-
因为对任意常数λ有, ()lim
/!0,n n
n n M b a n λ→+∞
??-=?
?
这样我们始终可以选取足够大的自
然数n 使得,()/! 1.n
n
n M b a n λ-<因此,n
T 是压缩映射,故方程(3)在[](),C
a b 上有唯
一的解.
3.2 Schauder 不动点定理的应用
主要利用J Schauder 在1930年给出的一
个应用广泛的不动点定理—— Schauder 不动点定理来证明Peano 解的存在性定理, 它至今仍是研究非线性微分方程解存在性的有力工具.考察常微分方程
()()()
,dx t f t x t dt
= (5) 其中f : G →n R , G ? R ?n
R 若给定(τ ,ξ)
∈G , (τ∈R , ξ∈n
R
)
则对于方程求一个函数 Φ( t) 满足
()
()()(),,,dx t f t x t dt x τξ?=?
??=?
(6)
的问题称为方程( 5) 的Cauchy 问题, 而 Φ ( t ) 称为Cauchy 问题( 6)的一个解..
定理 3.1 ( Peano 解的存在性定理) 设函数(),f x t 在R ? n
R 中的闭区域G :
τ-t ≤a , b x ≤-ξ上连续, 则Cauchy 初值问题( 5 )至少在区间I : τ-t ≤h 上有解
存在,这里
()(),min ,,max ,t x G b h a M f t x m ∈??
==????
证明 显然,( 6)等价于积分方程
?+=t
ds s x s f t x τ
τ))(,()( 的求解.
令 F :[][]h h C h h C +-→+-ττττ,, 表示如下:
?+=t
ds s x s f t x F τ
τ))(,())((
易证F 是连续映象, 令=Ω{}
Mh x x <-ξ,当∈x []h h C +-ττ,
()(,())max
t
t h
F x f s x s ds ττ
ξ-≤-=? max t h
M t ττ-≤≤-
Mh ≤
又1
2
12()()()()(,())t t F x t F x t f s x s ds -=
?
21M t t ≤-
ε< 21()t t M
ε
σ-<=
()F c 是相对紧的, 故F 是全连续映象, 且F ( Ω) Ω? ,据一般的Schauder 定理,
F 在 Ω有不动点, 即Cauchy 问题问题( 6)有解.
考察非线性积分方程
1
()cos x()(01,0)st x t e s ds t λλ-=≤≤>?() 这是一个特殊的Hammerstein 积分方程, 现
来证明它有连续解.
证明 定义映像[][]1,01,0:C C f →如下:
=))((t x F 1
cos
x()st e s ds λ-?() 因任取σε存在0>0>当1212cos(()cos(())x x x s x s σλλε-<-<时,有 故
[]
[]1
12120,10
()()max cos(())cos(())st t F x F x e x s x s ds λλ-∈-=-?
[]
1
120,10
max cos(())cos(())st
t e
x s x s ds λλ-∈≤-?
[]
1
0,10
max st
t e ds ε-∈
ε<
所以F 是连续的.再者, 当[]有,1,0C x ∈
[]
m ax
1,0∈=t x F )([]1
10cos(())1st
e x s ds λ-≤?. 且
121
120
()()()cos(())st st F x F x e e x s ds λ---=-?
121
st st e e ds --≤-?
121
2
t t ≤
- ε< []12(0,1,2)x C t t σε?∈-<=
由Arzela- Asco li 定理, F 是全连续映象.如令{}
1<=Ωx x 则显然有F ( Ω)
Ω?.
由Schauder 不动点定理, F 在Ω 有不动点, 即积分方程存在连续解.
例2 设[]R R R b g →??,0:是连续, 有界的, 则两点边值问题
22(,(),'())
(0)()0d u
g t u t u t dt
u u b ?=???==?
)0(b t ≤≤ 有解. 证明 令[][]{}
''0,()0C b x x t b =在,连续在[]'
0,C b 上定义[]
{}
'0,max (),()t b x x t x t ∈=则
[]'0,C b 是Banach 空间.
设'
(,(),()),g t u t u t M ≤
定义F :[]'0,C b →()
[]10,(0,)C b s t b ≤≤如下
'00()()(,(),())()b
s F u t g v u v u v dv ds f u t ??
=+????
?? (*)
这里[]':0,f C b R →
b
u f 1
)(-
='
00(,(),())b
s g v u v u v dv ds ??????
?? 显然f 是连续泛函,且221
().f u Mb Mb b
≤
= 现来证明F 是全连续映象, 由于f 是连续的, 易证F 是连续的,再者, 任取
()[]1,u C a b ∈
则
[][]
0,0,00max ()()max ()t
s t b t b F u t M dv ds f u b ∈∈??
≤+????
?? 2
2
Mb Mb ≤+ 22Mb =
[]
[]
'0,0,0
max '()()max (,(),())()t
t b t b F u t g v u v u v dv f u ∈∈=+?
Mb Mb +≤
Mb 2=.
令 {}2max 2,2,(),Mb Mb F u ρρ=≤即 还有
121200()()()()t
s F u t F u t Mdv ds Mb t t ??
-≤+- ???
??
122Mb t t ε
≤-<
''1212
()()()()F u t F u t M t t -≤-
ε< 当()
112min ,,()2t t F C F Mb M
εεσ??-<=
?
??
即是相对紧集,故是全连续映像。 如令{}
ρ<=Ωu u ,显然有
F ( Ω) Ω?,故存在u ,使)(u F u =.
由(*),显然有0)()0(==b u u ,求两次导就得到s 2'2
(,(),())d u g t u t u t dt =即两点边值问题有解.
四 结论
不动点定理除了在微分方程和积分方程中的应用外,在代数方程解的存在和唯一性定理证明中也起着重要的作用.容易看出,利用不动点原理证明微分方程解的存在性问题是个非常简便,巧妙的方法.
参考文献:
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Application of the Fixed Point Theorem in Differental Equations
Abstract : This paper mainly studied Picard principle by Banach contraction mapping principle and the existence of solutions of Peano theorem by the Schauder Fixed Point theorem and some applications of Banach contraction mapping principle and Schauder Fixed Point in different equations are demonstrated on the basis of some simple introductions.
Key words: the Fixed Point Theorem ; Banach contraction mapping principle ; Schauder Fixed Point; 上上differental equations
偏微分方程基本理论的归纳与总结 偏微分方程是储存自然信息的载体,自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来.最为一种语言,微分方程在表达自然定律方面比文字具有更强的优越性.微分方程是一个庞大的体系,它的基本问题就是解的存在性和唯一性.该学科的主要特征是不存在一种可以统一处理大多数偏微分方程的适定性问题的普适的方法和理论.这是与常微分方程有显著差异的地方.这种特性使得我们将方程分为许多种不同类型,这种分类的依据主要来自数学与自然现象这两个方面.从数学的角度,方程的类型一般总是对应于一些普遍的理论和工具.换句话讲,如果能建立一个普遍性的方法统一处理一大类方程问题,那么这个类型就被划分出来.而从自然现象的角度,我们又可以根据不同的运动类型以及性质将方程进行分类.当然这两种方式常常不能截然区分,通常它们是相互关联的,这就造成方程的概念有许多重叠现象. 根据数学的特征,偏微分方程主要被分为五大类,它们是: (1)线性与拟微分方程,研究这类方程的主要工具是Fourier分析方法; (2)椭圆型方程,它的方法是先验估计+泛函分析手段; (3)抛物型方程,主要是Galerkin方法,算子半群,及正则性估计; (4)双曲型方程,对应于Galerkin方法; (5)一阶偏微分方程,主要工具是数学分析方法. 从自然界的运动类型出发,偏微分方程可分为如下几大类: (1)稳态方程(非时间演化方程); (2)耗散型演化方程,这类方程描述了时间演化过程中伴有能量损耗与补充的自然运动.相变与混沌是它们的主要内容; (3)保守系统,如具有势能的波方程.该系统控制的运动是与外界隔离的,及无能量输入,也无能量损耗.行波现象与周期运动是它们的主要特征; (4)守恒律系统,这类方程是一阶偏微分方程组,它们与保守系统具有类似的性质,可视为物质流的守恒.激波行为是由守恒律系统来控制. 下面具体来介绍三类经典方程: 三类典型方程:椭圆型方程,抛物型方程,双曲型方程,即偏微分方程模型的建立,解问题的解法以及三类典型方程的基本理论. 关于三类典型方程定解问题的解题方法,它们主要是分离变量法、积分变换法、特征线法、球面平均法、降维法和Green 函数方法. 关于三类典型方程的基本理论——极值原理和能量估计,并由此给出了解的唯一性和稳定性的相关结论. 具体来说,关于二阶线性椭圆形方程,我们研究它的古典解和弱解.前者主要介绍了基本解、调和函数的基本性质、Green 函数、极值原理、最大模估计、能量方法和变分原理;而后者的研究则需要知道Sobolev空间的相关知识再加以研究;关于二阶线性抛物型方程,主要研究它的Fourier 变换、特殊的求解方法、基本解、方程式和方程组的最大值原理以及最大模估计、带有非经典边界条件和非局部项的方程式的最大值原理及能量方法;关于二阶线性双曲型方程,主要研究初值问题的求解方法、初值问题的能量不等式与解的适定性、以及混合问题的能量模估计与解的适定性. 椭圆、抛物和双曲这三类线性偏微分方程解的适定性问题,它们分别以拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程作为代表.具体地说,对于某些规则的求解区域试图求出满足特定线性偏微分方程和定解条件的具体解,这就决定了存在性问题;再利用方程本身所具有的特殊性质,将证明所求解是唯一的,也就解决了唯一性问题;关于连续依赖性问题,需要在不同函数空
不动点定理及其应用 一、不动点定理 不动点定理fixed-point theorem :如果f 是1n +维实心球1{,11}n B x R n x +=∈+≤ 到自身的连续映射(1,2,3)n =???,则f 存在一个不动点1n x B +∈(即满足(0)0f x x =)。 (一)、压缩算子: 1、定义: 设(1)X 距离空间; (2)算子:T X X →的映射。 若(01),..,s t x y X θθ?≤∈,恒有(,)(,)Tx Ty x y ρθρ≤, 则称T 是X 上的压缩算子。θ为压缩系数。 2、性质:压缩算子T 是连续的 证 :若n x x →,即(,)0n x x ρ→,则(,)(,)0n n Tx Tx x x ρθρ≤→ 例:1 1 :T R R →,则 ①12 Tx x = 是压缩算子 因为1111(,)(,),222 2 Tx Ty Tx Ty x y x y ρρθ=-=- = = ②0Tx x =是压缩算子(0θ= ) ③Tx x =不是压缩算子(1θ= ) (二)、不动点定理 1、定义:设(1)X ---- 是完备的距离空间; (2):T X X →的压缩算子。 则T 在X 上存在唯一的不动点* x ,即* * * ,..x X s t x Tx ?∈= 2、注意 (1)定理的证明过程就是求不动点的方法,称为构造性的证明。
(2)定理的条件是结论成立的充分非必要条件。 (3)迭代的收敛性和极限点与初始点无关。但T 的选取及初始点0x 的选取对迭代速度有影响。初始点离极限点越近,其收敛速度越快,而不影响精确度。 (4)误差估计 ①事前(或先验)误差:根据预先给出的精确度,确定计算步数。此方法有时理论上分析困难。 设迭代到第n 步,将* n x x ≈,则误差估计式为 * 0010(,)(,)(,)11n n n x x Tx x x x θθρρρθθ ≤=-- ②事后(或后验)误差:计算到第n 步后,估计相邻两次迭代结果的偏差1(,)n n x x ρ-,若该值小于预定的精度要求,则取* n x x ≈。此方法简单,但有时无法估计计算步数。 设迭代到第n 步,将*n x x ≈,则误差估计式为 *1(,)(,)1n n n x x x x θ ρρθ -≤ - 或 *11 (,)(,)1n n n x x x x ρρθ +≤ - 3、求解不动点的具体步骤: Step1 提供迭代初始点0x ; Step2 计算迭代点10x Tx =; Step3 控制步数,检查10(,)x x ρ,若10(,)x x ρε>。则以1x 替换0x 转到第二步,继续迭代,当10(,)x x ρε≤时终止,取1x 为所求结果。误差不超过 1θ εθ -。 对于不动点理论,为了便于应用,下面给出两种不同情况下所适合的方法。 推论1 设(1)X ----完备的距离空间; (2):T X X →的算子。
题目:不动点原理及其应用 摘要 本文主要讨论了压缩映射原理,Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面。在解决微分方程,积分方程,以及其他方程的解的存在唯一性时,将问题转换为求某一映射的不动点,利用不动点原理进行解决。 关键词:压缩映射原理;Schauder不动点定理;不动点原理应用
Abstract In this paper ,we talked about contraction mapping principle,Schauder’s fixed point theorem and the application of the fixed point theorem.As we deal with the solutions about differential equation, integral equation and other kinds of equations, it is a useful way to transform the problem into fixed point theorem.We can use it to solve plenty of practice problems too. Keywords: contraction mapping principle; Schauder’s fixed point theorem;the application of fixed point theorem.
目录 引言 (1) 1.压缩映射原理 (1)
1.1压缩映射原理(距离空间) (1) 1.2压缩映射原理(巴拿赫空间) (7) 2.Schauder不动点定理 (9) 3不动点定理的应用 (11) 总结 (12) 参考文献 (14)
目录 1 引言 (1) 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1) 2.1 特征方程法 (1) 2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2) 2.1.2 特征根有重根的情形 (2) 2.2 常数变异法 (4) 2.3 拉普拉斯变化法 (5) 3 常微分方程的简单应用 (6) 3.1 特征方程法 (7) 3.2 常数变异法 (9) 3.3 拉普拉斯变化法 (10) 4 总结及意义 (11) 参考文献 (12)
二阶常微分方程的解法及其应用 摘要:本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍,特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况,分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程,现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就,尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就,但是,它的现有理论也还远远不能满足需要,还有待于进一步的发展,使这门学科的理论更加完善。 关键词:二阶常微分方程;特征分析法;常数变异法;拉普拉斯变换
METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect. Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 1 引言 数学发展的历史告诉我们,300年来数学分析是数学的首要分支,而微分方程
泛函分析与微分方程有着密切的联系,泛函分析的算子半群理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论,不动点原理等在常微分方程中都有重要的应用。 首先,算子半群最简单的原型在线性常微分方程的初值问题,且由 H i l l e Yo s i d a -定理表明:当稠定闭算子A 满足定理条件时,是下列方程的解, 且解是唯一的。 设A 是一个n n ?实矩阵,方程组 () ()()00n dx t Ax t dt x x R ?=? ? ?=∈? 在空间中解存在唯一。设0t ≥,考察映射 ()()0:.T t x x t → 则(){}0T t t ≥是强连续算子半群。在常微分方程中把算子半群(){} 0T t t ≥通过矩阵写出来: ()0 !n n tA N t A T t e n ∞ ===∑. 且不动点在常微分方程中有很多应用。例如,应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理 微分方程解的存在性与唯一性定理 若常微分方程 ()0 0,,x dy F x y y y dx ==满足以下条件: (1)(),F x y 在整个平面上连续; (2)()()11,,F x y F x y K y y -≤-,其中K >0; 那么存在唯一的连续函数()y x j =满足 () (),d x F x y dx ?=且()00x y ?=。 证明:用()() 0,X C U x d =表示所有定义在()0,U x d 上取值于R 的连续函数全 体,其中d 满足1K d <。,f g X "?,用()( ) ()()0,,m a x xUx f g f x g x a r ? =-表示,f g 间 的距离,同样由泛函分析的知识知X 为完备度量空间。上述常微分方程等价于
不动点理论及其应用 主要内容: ●不动点理论—压缩映像原理 ●不动点理论在微分方程中的应用●不动点理论在中学数学中的应用 目录: 一、引言 二、压缩映像原理 三、在微分方程中的应用 四、在中学数学中的应用 五、其它
一、 引言 取一张照片,按比例缩小,然后把小照片随手放在大照片上, 那么大小两张照片在同一个部位,一定有一个点是重合的。 这个重合点就是一个不动点。 函数的不动点, 在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点, 即函数)(x f 在取值过程中, 如果有一个点0x 使00)(x x f =,则 0x 就是一个不动点。 二、 压缩映像原理 定理:(Banach 不动点定理—压缩映像原理) 设 ),(ρX 是一个完备的距离空间, T 是),(ρX 到其自身的一个压缩映射,则T 在X 上存在唯一的不动点。