雪花曲线中的科克数学问题
雪花曲线中的科克数学问题
（i ）将正三角形（1）的每边三等分，并以中间的那一条线段为以底边向形外作等边三角
形，然后去掉底边，得到图（2）；
（ii ）将图（2）的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图（3）； （iii ）再按上述方法无限多次继续作下去，所得的曲线称为科克雪花曲线（koch snowflake ）
·····
（1） （2） （3） （4） （5） 设图（1）中的等边三角形的边长为1，并分别将图（1）、（2）、（3）···中的图形依次记作1M 、2M 、3M 、···。 （1） 求n M 中的边长n N ； （2） 求n M 中每条边的长度n T ； （3） 求n M 的周长n L ； （4） 求n M 所围成的面积n S ；
（5） 求周长和面积的极限。
解：从科克雪花曲线的生成过程不难发现：
（1） 因为每个圆形中的一条线段在后一个圆形中变成四条线段，所以n N 的递推公式
为
1143
{
n n N N N -==，
()2n ≥，
其通项公式为
134n n N -=?
（2） 因为圆形中的每条线段长度在后一个圆形中变为原长的
13
，所以n T 的递推公式为
1
1131,
{
(2)
n n T T T n -==≥。
其通项公式为 1
13n n T -??
= ?
??
。
（3） 因为n
n n L N T =?，所以n L 的通项公式为
1
433n n L -??=? ?
??
。
（4） 为了便于表述，将图形（1）中的正三角形的面积记作1A
则14
A =
。 当由1n M -生成n M 时，在1n M -的每一条边上多了一个面积为2
1n
T A 的小等边
三角形，这些小等边三角形的面积之和为2
11n n
N T A -，其中1A
的面积为4
。
于是得到科克雪花曲线面积的递推公式：
2
111
n n n n A A N T A --=+ 22221111n n n n n A N T A N T A ----=++
···
()2221122311n n A N T N T N T -=++++ .
把1
11113,1,,34,23n n n n N T T N n --??====?≥ ?
??
代入上式，经简化得
2
1
134********n n A A -??
??????=++++?? ? ? ?
??????????
21
134441149993n A -??
????
=+++++?? ? ???
??????
1394114593n A ????????=-+???? ???????????
1
4
209
n-
??
= ?
??
容易验证：12
43
A A
==等。
（5）由周长
n
L和面积
n
A的表达式可知
1
4
3
3
n
n
L
-
??
=? ?
??。
当n无限增大时，也随之无限增大。
因为
1
4
lim0
9
n
n
-
→∞
??
=
?
??，所以
11
244 lim lim lim
520952095
n n
n
n n n
A
--→∞→∞→∞
??
????
==-=
??
? ?
????
??
??
注释:科克雪花曲线图形与高中二年级的数列知识联系起来，不仅运用了数学数列的递推公
式，还涉及到一定的递推思想，找到一定的规律并解出问题。此外，科克雪花曲线图形与新
兴的分形几何有一定的联系，分形几何中最典型的例子就是“英吉利亚海岸线有多长？”的
提出，随之，分形几何这个名词诞生。根据分形几何的原理，用有足够精度的尺子去度量海
岸线的长度，那么只要尺子的精度足够小，海岸线的周长就可以无限的长。也就是说，海岸
线的面积有上限，而它的周长却可以无限的长。这里，科克雪花曲线图形就是这样，将其边
长无限的分割下去，那么它的面积有限，而周长却是无限的。但可以根据数列极限求出其和
函数。当我们对它无限分割的时候，这时整个图形的边缘看起来就好像是雪花的形状，这也
就是它为什么叫做雪花曲线图形的原因。这个数学问题有趣之处在于它不仅代表了一门学科
的发展，而且，还从数学图形中得到了优美的雪花图形，这在数学问题中是很少见的。
奇妙的雪花曲线
奇妙的雪花曲线 二，。1?莎植&灣,上注kid 教学目标： （知识目标） 1通过对雪花曲线周长、面积等问题的探究让学生了解数学知识的形成过程; 2使学生了解分形凡何的有关内容。 （能力目标） 1通过系列的探究性活动，使学生了解提出和解决数学问题的方法； 2通过对雪花曲线等图形的探究提高学生应用数学的能力。 （情感目标） 1让学生感受数学来源于实践，乂服务于实践的辨证唯物主义观点 2通过生活中的具体实例，培养学生对数学美的认识以及对大自然的热爱。教学重点:探究雪花曲线的周长及其所围面积； 教学难点:雪花曲线所围面积的计算方法的寻求； 教学方法:引导探究式 教学媒体：计算机 教学过程设计： 1 一、问题背景： 播放雪景的图片，提问雪花的形状如何，激发学生兴趣。
二、研究问题：
如果把雪花想象成如图所示的正六角形，提问学生能否从一个等边三角形岀发作出这样的图形。 接着进一步指出，雪花的形状其实非常复杂，右图是瑞典数学家科赫将雪花理想化得到的科赫雪花曲线，提问学生能否仍然从等边三角形岀发作岀这样的一条雪花曲线， III学生讨论得出：在等边三角形每条边的中央分别向外作等边三角形，边长是原三角形边长的三分之一，就得到了一个六角形。依照此法，无限制的进行下去，就可以得到漂亮的雪花曲线了。 雪花曲絞除了具有漂亮的外形，还蕴涵了娜些数学规律，这就是我们这节课要研究的内容（板书课题） 2 问题1：对雪花曲线作进一步思考，在雪花曲线的每一次生长中，相对于原三角形都发生了哪些变化， 导学生发现它的边长、边数、周长和面积等都发生了变化。
探寻規徉? 设順三朗形旳遍长为（7°?引旱2发氐避賛、辺数的受K ：规律I 也长 f 生长 12 二姓技 48 三枚生芸 27 3K 妒 ? ????? nil 生长 ⑴?7… 3,4、 分栢得ti 拥论！随嗇口灼堪大，畫莅由上館辺紐来越小.而辺段趙来延多. 问题2：逐步生K,探究周K 的变化规律 引导学生发现等边三角形的每一边在生长过程中所发生的变化都是相同的，因 此可以只研究其中一条边的变化规律，从而找到解决问题的最优化策略。 让学生自主发现、互相讨论，共同寻找到规律： 3 设康三角形的周长为q ， 得到周长的计算公式后可以提问学生：％ n 越来越大时，雪花曲线的周长会有 什么变化， 当原图中三角形的边长为1cm 时，显然三角形的周长是3cm,咛33呢,n 二82呢, 我们不妨用计算机计算出这样一组数据: 在数学上，把这种部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。分形凡何学是 一门169 = 1 护 + q = G 1 一3
雪花曲线教学课例资料
“雪花曲线”教学课例 嘉定教师进修学院张桂明 2003年12月25日 一、教材背景分析 “雪花曲线”是高中数学（试验本）第七章中的拓展内容．教材中介绍了“雪花曲线” 的作法（生成过程），提出并解决了四个问题．由于学生对雪花有一定的感性认识，因而对用数列知识研究解决“雪花曲线”的问题很感兴趣．新教材把“雪花曲线”编入拓展内容，旨在培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．通过对雪花曲线的探索与研究，还可以了解一些分形几何的初步知识． 在一期课改的教材中没有“雪花曲线”这一内容，但我感到，学生在学完数列与极限的知识后，已经具备了探究“雪花曲线”的能力．结合嘉定教师进修学院“研、训、教”一体化的“大师训”教研模式，我选择了“雪花曲线” 这一教学内容，在嘉定一中高三（5）班上了一堂“下海课” ，一方面是探索在数学课堂上进一步渗透研究性学习，另一方面是请各基层学校教师一起进行新教材的教学研讨． 二、教学目标 1．进一步巩固数列与极限的有关知识． 2．培养应用数学知识解决实际问题的能力． 3．通过对“雪花曲线” 的探索与研究，培养学生辩证唯物主义的科学态度及合作交流的学习能力． 三、设计思路 数学课堂应该是发现问题、解决问题的场景，学生要成为学习的主人，成为知识的“发现者”和“创造者” ，教学过程应该是学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程．为此，我作了如下的教学设计： 1．创设情境：学生熟悉的雪花．从而引发学生的学习兴趣，对雪花我们可以研究什么问题啊？ 2?启发学生提出问题?通过观察“雪花曲线”的形状，发现它是一个和我们平时研究的
多边形不同的平面多边形，引导他们从边数、边长、周长、面积等方面提出问题. 3.要求学生通过自主探索与合作交流，用学过的数列知识来解决自己所提出的问题，并反思总结解决问题过程中所用到的知识和方法. 4?引导学生对“雪花曲线”进行进一步的探究，从而培养学生对问题进行深入研究的良好思维习惯. 四、教学实施过程 （一）问题引入 问：前一段时间我们在复习什么内容？ 那么今天我们研究什么问题呢？请同学们观察大屏幕，看一看屏幕上的图形象什么？（大屏幕显示“雪花曲线”的图形） 从而引出课题：“雪花曲线” ? 雪花曲线其实是一个平面图形，由瑞典数学家科赫首先指出其作法，所以我们又称它为科赫雪花曲线.雪花曲线有着非常奇异的特性，通过我们的研究, 等一会儿我们就可以发现它的奇异特性. 图4 我们先来看一看，雪花曲线的作图方法： （1）将一个正三角形（图1）的每边三等分，并以中间的那条线段为一底边向形外作正三角形，然后去掉底边，得到图2;
雪花曲线中的科克数学问题
雪花曲线中的科克数学 问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
雪花曲线中的科克数学问题 （i ）将正三角形（1）的每边三等分，并以中间的那一条线段为以底边向形外 作等边三角形，然后去掉底边，得到图（2）； （ii ）将图（2）的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图（3）； （iii ）再按上述方法无限多次继续作下去，所得的曲线称为科克雪花曲线 （koch snowflake ） ····· （1） （2） （3） （4） （5） 设图（1）中的等边三角形的边长为1，并分别将图（1）、（2）、（3）···中的图形依次记作1M 、2M 、3M 、···。 （1） 求n M 中的边长n N ； （2） 求n M 中每条边的长度n T ； （3） 求n M 的周长n L ； （4） 求n M 所围成的面积n S ； （5） 求周长和面积的极限。 解：从科克雪花曲线的生成过程不难发现：
（1） 因为每个圆形中的一条线段在后一个圆形中变成四条线段，所以n N 的 递推公式为 1143 { n n N N N -==， ()2n ≥， 其通项公式为 134n n N -=? （2） 因为圆形中的每条线段长度在后一个圆形中变为原长的1 3 ，所以n T 的 递推公式为 1 1131, { (2) n n T T T n -==≥。 其通项公式为 1 13n n T -??= ??? 。 （3） 因为n n n L N T =?，所以n L 的通项公式为 1 433n n L -?? =? ? ?? 。 （4） 为了便于表述，将图形（1）中的正三角形的面积记作 1A 则1A = 当由1n M -生成n M 时，在1n M -的每一条边上多了一个面积为2 1 n T A 的小等边三角形，这些小等边三角形的面积之和为2 11n n N T A -，其中1A 的面 积为 4 。 于是得到科克雪花曲线面积的递推公式： ··· ()2221122311n n A N T N T N T -=++++. 把1 11113,1,,34,23n n n n N T T N n --?? ====?≥ ? ?? 代入上式，经简化 得
利用MATLAB绘制科赫曲线(内含源代码)
x1=[1 2 2.5 3 4]; y1=[0 0 0 0 0]; h1=plot(x1,y1,'linewidth',2,'erasemode','xor'); axis equal axis off for g=linspace(0,1,40)*sin(pi/3); y1(3)=g; set(h1,'ydata',y1); drawnow; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% x2=x1(1); y2=y1(1); for k=2:length(x1); t=linspace(x1(k-1),x1(k),4) ; tt=[t(2),mean(t),t(3:4)]; x2=[x2,tt]; t=linspace(y1(k-1),y1(k),4); tt=[t(2),mean(t),t(3:4)]; y2=[y2,tt]; end A=angle((y2(4:4:end)-y2(2:4:end))*i+(x2(4:4:end)-x2(2:4:end))); for g=linspace(0,1,40)*sin(pi/3)/3; y2(3:4:end)=(y2(4:4:end)+y2(2:4:end))/2+imag(g*exp(i*(A+pi/2))); x2(3:4:end)=(x2(4:4:end)+x2(2:4:end))/2+real(g*exp(i*(A+pi/2))) ; set(h1,'ydata',y2,'xdata',x2); drawnow; end % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % x3=x2(1); y3=y2(1); for k=2:length(x2); t=linspace(x2(k-1),x2(k),4); tt=[t(2),mean(t),t(3:4)]; x3=[x3,tt]; t=linspace(y2(k-1),y2(k),4); tt=[t(2),mean(t),t(3:4)]; y3=[y3,tt]; end A=angle((y3(4:4:end)-y3(2:4:end))*i+(x3(4:4:end)-x3(2:4:end))); for j=1:16; g=sin(pi/3)/9; y3(3+4*j-4)=(y3(4+4*j-4)+y3(2+4*j-4))/2+imag(g*exp(i*(A(j)+pi/2)));
分形几何的创立与复杂性研究_纪念波努瓦_芒德勃罗诞辰90周年_李润珍
2014年11月20日是著名数学家、“分形几何 之父”波努瓦·芒德勃罗（Benoit B.Mandelbrot ， 1924.11.20－2010.10.16）诞辰90周年纪念日。他所 提出的“分形几何”理论和出版的《大自然的分形几何》一书，不仅将世人带入一个神奇绝妙的美丽世界，而且分形几何在数学、物理学、生物学、地理学、经济学和医学等许多科学领域均获得广泛应用，甚至对文化艺术领域也产生了重要影响。难怪著名物理学家约翰·惠勒指出，“在过去，一个人如果不懂得‘熵’是怎么回事，就不能说是科学上有教养的人；同样，在将来，一个人如果不能熟悉分形，他就不能被认为是科学上的文化人。”〔1〕为了学习和弘扬芒德勃罗的创新理念和跨学科研究的思想方法，笔者试图通过美丽的分形图案和他对复杂性研究做出的突出贡献来纪念这位天才的数学家。 一、芒德勃罗分形几何的创立 20世纪60年代以来，随着电子计算机的广泛 应用和由此而诞生的“计算物理”和“实验数学”两个新兴领域的出现，以孤子、混沌和分形为主体的非线性科学似乎总是把人们从对“正常”事物和现象的认识转向了对“反常”事物和现象的探索。孤子 排除了牛顿关于波和粒子绝对对立的幻觉，找到了一种同时集波粒二重性①于一体的客观实在；混沌打破了拉普拉斯决定论的可预见性的狂想，发现了一种确定性方程所描述的对初始条件极为敏感的无规则运动。到了20世纪70年代中期，美籍法国数学家芒德勃罗把弯弯曲曲的海岸线、坑坑洼洼的火山口以及变幻莫测的云烟等一系列所谓“病态”的形状纳入了几何学的范畴，于是刻画混沌运动的直观的几何语言——— 无限嵌套的自相似几何结构———分形理论诞生了。然而，这些貌似不正常、无规则的现象却使我们的认识更接近于自己的研究对象———自然界本身。 1．分形和分形维数概念的提出 在科学史上，数学家们很早就注意到了分形体的存在，诸如现在人们熟悉的康托尔三分集、维尔斯特拉斯不可微曲线、皮亚诺填充曲线、科赫雪花曲线、谢尔宾斯基地毯和海绵等等，当时都被正统科学视为少数的反例或“病态”结构，只是在教学过程中作为一种逻辑可能性偶尔被提到。然而，真正导致分形理论的产生，应归功于法国数学家朱利亚（G.M.Julia ）和法图（P.J.Fatou ）对复平面上动力系统的研究。他们于1918年发表的著名论文使复平面上有理映射迭代理论得以发展。他们不仅研究以上 分形几何的创立与复杂性研究 ———纪念波努瓦·芒德勃罗诞辰90周年 李润珍，武 杰 （太原科技大学中国系统哲学研究中心，太原030024） 摘要：分形几何是由当代著名数学家波努瓦·芒德勃罗创立的,它是刻画混沌运动的直观的几何语言，目前在自然科学、社会科学以及文化艺术领域获得了广泛应用。在芒德勃罗诞辰90周年之际，通过美丽的分形图案和他对复杂性研究做出的突出贡献来纪念这位天才的数学家具有重要的现实意义。他那敢与他人不同的创新理念和跨学科研究的思想方法，特别是“简单性孕育复杂性”和“无理性丰富有理性”的研究技巧给后人留下了深刻的印象。 关键词：芒德勃罗；分形几何；分形维数；迭代法；无理性；复杂性研究中图分类号：N031 文献标识码：A 收稿日期：2014－03－02 作者简介：李润珍（1957-），女，山西忻州人，太原科技大学哲学研究所教授，主要研究方向：系统科学哲学；武杰（1950-），山西太原人，太原科技大学哲学研究所教授，主要研究方向：科学技术哲学。 ①为了与微观客体的波粒二象性相区别，这里将孤子同时具有波动性和粒子性的属性称为孤子的波粒二重性。 第30卷第7期2014年7月 自然辩证法研究 Studies in Dialectics of Nature Vol.30，No.7 July.，2014 文章编号：1000-8934（2014）07-0089-07
最新雪花曲线中的科克数学问题
雪花曲线中的科克数学问题 （i ）将正三角形（1）的每边三等分，并以中间的那一条线段为以底边向形外作等边三角 形，然后去掉底边，得到图（2）； （ii ）将图（2）的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图（3）； （iii ）再按上述方法无限多次继续作下去，所得的曲线称为科克雪花曲线（koch snowflake ） ····· （1） （2） （3） （4） （5） 设图（1）中的等边三角形的边长为1，并分别将图（1）、（2）、（3）···中的图形依次记作1M 、2M 、3M 、···。 （1） 求n M 中的边长n N ； （2） 求n M 中每条边的长度n T ； （3） 求n M 的周长n L ； （4） 求n M 所围成的面积n S ； （5） 求周长和面积的极限。 解：从科克雪花曲线的生成过程不难发现： （1） 因为每个圆形中的一条线段在后一个圆形中变成四条线段，所以n N 的递推公式 为 1143 { n n N N N -==， ()2n ≥， 其通项公式为 134n n N -=? （2） （3） 因为圆形中的每条线段长度在后一个圆形中变为原长的 13 ，所以n T 的递推公式为
1 1131, { (2) n n T T T n -==≥。 其通项公式为 1 13n n T -?? = ??? 。 （4） 因为n n n L N T =?，所以n L 的通项公式为 1 433n n L -?? =? ? ?? 。 （5） （6） 为了便于表述，将图形（1）中的正三角形的面积记作 1A 则14 A = 。 当由1n M -生成n M 时，在1n M -的每一条边上多了一个面积为2 1n T A 的小等边 三角形，这些小等边三角形的面积之和为2 11n n N T A -，其中1A 的面积为4 。 于是得到科克雪花曲线面积的递推公式： 2 111 n n n n A A N T A --=+ 22221111 n n n n n A N T A N T A ----=++ ··· ()2221122311n n A N T N T N T -=+++ +. 把1 11113,1,,34,23n n n n N T T N n --?? ====?≥ ? ?? 代入上式，经简化得 2 1 134********n n A A -?????? ?? =+++ +?? ? ? ????? ?? ????
雪花曲线中的科克数学问题
雪花曲线中的科克数 学问题 Revised on November 25, 2020
雪花曲线中的科克数学问题 （i ）将正三角形（1）的每边三等分，并以中间的那一条线段为以底边向形外 作等边三角形，然后去掉底边，得到图（2）； （ii ）将图（2）的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图（3）； （iii ）再按上述方法无限多次继续作下去，所得的曲线称为科克雪花曲线 （koch snowflake ） ····· （1） （2） （3） （4） （5） 设图（1）中的等边三角形的边长为1，并分别将图（1）、（2）、（3）···中的图形依次记作1M 、2M 、3M 、···。 （1） 求n M 中的边长n N ； （2） 求n M 中每条边的长度n T ； （3） 求n M 的周长n L ； （4） 求n M 所围成的面积n S ； （5） 求周长和面积的极限。 解：从科克雪花曲线的生成过程不难发现：
（1） 因为每个圆形中的一条线段在后一个圆形中变成四条线段，所以n N 的 递推公式为 1143 { n n N N N -==， ()2n ≥， 其通项公式为 134n n N -=? （2） 因为圆形中的每条线段长度在后一个圆形中变为原长的1 3 ，所以n T 的 递推公式为 1 1131, { (2) n n T T T n -==≥。 其通项公式为 1 13n n T -??= ??? 。 （3） 因为n n n L N T =?，所以n L 的通项公式为 1 433n n L -?? =? ? ?? 。 （4） 为了便于表述，将图形（1）中的正三角形的面积记作 1A 则1A = 当由1n M -生成n M 时，在1n M -的每一条边上多了一个面积为2 1 n T A 的小等边三角形，这些小等边三角形的面积之和为2 11n n N T A -，其中1A 的面 积为 4 。 于是得到科克雪花曲线面积的递推公式： ··· ()2221122311n n A N T N T N T -=++++. 把1 11113,1,,34,23n n n n N T T N n --?? ====?≥ ? ?? 代入上式，经简化 得
趣味数学114：不可思议的“雪花曲线”
如果说有一种平面图形，它的面积是有限的而周长却是无限的，你相信吗？“雪花曲线”就是这样。那么，什么是“雪花曲线”呢？ “雪花曲线”是从一个等边三角形(如图)开始，一步一步作出来的。 第一步：把等边三角形的各边三等分，从每条边三等分后的中段，向外作小等边三角形，再去掉与原来等边三角形重叠的边(如图)。 为了便于叙述，以后把这个过程简称为“变化”。 第二步：对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。 第三步：再对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。
第四步：再对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。 第五步、第六步……照这样一直进行下去，就得到“雪花曲线”。 现在来计算“雪花曲线”(所围成的图形)的面积和周长。 从以上过程可以看出，“雪花曲线”是一个边长、边数不断变化，同一图形边长相等的对称图形。所以，必须首先研究一下图形的边数、边长和面积的变化规律。 观察发现： 规律一：每次变化后，原来等边三角形的一条边，所形成的折线包括4条线段，所以，新图形的边数是原图形的4倍，而边长是原图形的1/3； 规律二：每次变化后，原来等边三角形的一条边上，所作的小等边三角形 的面积，是原来等边三角形面积的1/9(参看下图)。 一、“雪花曲线”的面积： 为了便于计算，设原来等边三角形的面积为“1”。 第一步以后，因为原来的边数是3，向外作了3个小等边三角形；每个小 等边三角形的面积是1/9，增加的面积是3×1/9。 第二步以后，边数变成3×4，向外作了3×4个小等边三角形；每个小等 边三角形的面积是(1/9)2，增加的面积是3×4×(1/9)2。
第24题 雪花曲线
第24题雪花曲线 设有一个每边长为a的三角形，按如下规则可以作成一个新的图形：第一次将每边三等分，以中间的一段为边，向形外接上去一个正三角形， 第二次在四多边形K1中，再将12边中的每一边三等分，以中间的一段为边，向形外接上去一个更小的正三角形，得到四多边形K2；不断重复，产生一凹多边形序列，如图24—1，其中每一凹多边形记作K n(n=1，2，3，…)。它们的边界变得越来越细微曲折，它使人想起一种理想的雪花。我们称凹多边形Kn的边界曲线为雪花曲线。 现在问：四多边形K n的周长是多少？凹多边形的面积是多少？ 分析：在四多边形序列中，前后两条边界曲线之间的基本关系可由图24—2表示。 欲求凹多边形的面积，关键在于寻找其中的规律性，计算每次增加了多少个小三角形，以及每个小三角形的面积是多少。 解：设第n条曲线的长为L n，所围的面积为A n。初始三角形的周
或通项公式： 对于面积的计算，我们先列表24—1。 由表24—1分析可知：每次增加的三角形个数是相邻前一次图形的边数，而增加的小正三角形，由于与相邻前一次所得的正三角形相似，
面积可以从如下两个角度求得： (1)每次增加的面积是增加的三角形个数与增加的每个小三角形面积之乘积，可得递推关系式： (2)从图形K2开始，每次增加的小三角形个数是相邻前一次所得三角形个数的4倍，且增加的每个三角形面积是相邻前一次所得的一个
回顾：(1)如何从递推关系式推出通项公式呢？ …… 上述n个等式相加得通项公式： 也可用数学归纳法加以证明。
(2)只要观察思考一下，就会发现雪花曲线具有某些有趣的性质。首先，它是一条连续的封闭曲线，永远不自我相交，因为每边上新加的三角形都足够小，以致彼此碰不上。曲线序列中的 向于无限长。然而，虽然每条曲线都比它相邻前一条曲线所围的面积都增加一点，但总面积仍是有限的，事实上比初始的三角形面积大不了许多。如果画一个初始三角形的外接圆，雪花曲线永远也不会超出这个圆之外。 如何反映曲线序列中，曲线的长度和曲线所围面积的变化趋势呢？亦即不断重复上述规则，直至无穷，这样的曲线长度L和所围的面积A 结果怎样？ 如果你具备一点数列极限的基本知识，就可以知道： 注：n趋向无穷大的雪花曲线，早就引起了人们的注意，它是瑞典数学家科克(Koch Heige Von)首次在1904年发明的，因此也称它为科克曲线。 科克曲线是有限区域中长度无限的曲线，这一自相矛盾的结果曾使本世纪初思考过这一问题的许多数学家感到困惑。科克曲线是一个怪物，它触犯一切关于形状的合理直觉。几乎不用说，它不同于在自然界里见到的任何事物，成了一种反常现象。 20世纪初的某些数学家，设想过一批用添加或除去无穷多部分的方法制造的形体，它们也具有科克曲线的一些古怪性质。例如席尔宾斯基
科赫曲线论文
（20 —20 学年第学期） 课号：课程名称：改卷教师： 学号：姓名：得分： 科赫曲线 科赫曲线由瑞典数学家科赫在1904年发表的一篇题为“从初等几何构造的一条没有切线的连续曲线”的论文中提出。这种曲线的作法和康托尔三分集的构造可以说是异曲同工之妙，它和康托尔三分集一样，是一个典型的分形。 瑞典数学家Von Koch作为科赫曲线的创始人，1870年出生于一个军人家庭，1887年考入斯德哥尔摩大学，1892年获得数学博士学位，为泛函分析的发展做出了卓越的贡献，在纯数学理论方面取得了很多成绩。 科赫曲线是一种十分有趣的曲线，它任何一点处都连续，但是却处处“不可导”（即没有确定的切线方向）。科赫曲线的构造可以用如下迭代的方法，平面上有一单位线段（图a）：1.将单位线段分成三等份，将中间部分用两条边长为1/3的折线来代替（图b）；2.将图b中的每条线段三等份，中间的一段用边长为1/9的两条折线替代，得到图c；不断重复，无数次迭代之后就生成了科赫曲线。 设科赫曲线初始元的边长为a0，边数为b0， 长度为L0，依次所得第n级科赫曲线构造的边长 为a n，边数为bn，周长为Ln。 则：1.由于a1=1/3a0，a2=1/3a1，··,a n=1/3a n-1， 所以得到a n=(1/3)n a0 2.由于b1=4b0，b2=4b1，···，b n=4b n-1，得 到b n=4n b0 3.由于L o=a0b0，L1=a1b1，···，L n=a n b n， 得到L n=（4/3)n L0 由上面的计算，我们可知，科赫曲线的长度 是无穷大，并且曲线上任意两点之间的线内距离 也是无穷大。 科赫曲线是早起被描述的一种分形曲线，因为它是自相似的。自相似指的是把要考虑的图形一部分放大，其形状与整体相同。设想把图d中科赫曲线区间[0,1/3]中的图形放大3倍，放大后的图形仍旧与原来的曲线形状完全相同，在[2/3,1]区间上也是一样的。虽然区间[1/3,1/2]和[1/2,2/3]的图形是倾斜的，但是把图形放大后我们依然能得到与原图形一样的结果。同理，对曲线上更小的部分进行放大也能得到一样的结果，所以不论多小的部分，把它放大之后，都能得到与原来相同的图形。 总所周知，普通几何学研究的对象，一般维度都是整数。比如，点是0维，直线1维，平面或者球面2维，我们所生活得空间是3维，在相对论中，时间和空间被统一成了一个整体，所以时空是4维·····但是不管怎么说，维度都是整数。然而在1918年，德国的数学家豪斯多夫却提出了“分数维”的概念，并且这种概念在后来又由贝斯克维奇加以发展，因此分数维也称豪斯多夫—贝斯克维奇维数。 而对于科赫曲线来说，其整体是一条无线长的线折叠而成的，显然，如果用小直线段度量，其结果是无穷大的，而用平面量，其结果是0，那么可见科赫曲线的维度是介于1和2之间的。
初中雪花曲线教案设计说明
初中数学 《雪花曲线》教案设计说明 民立中学丁海扬 一．教材分析 1．“雪花曲线”是高中一年级第二学期（试验本）即上海市二期课改新教材中“拓展型课程部分”（拓展内容加“﹡”）内容，供学校自主组织教学和学生选择修习。2．本节课制定的教学目标是： ①知道雪花曲线的生成过程； ②学会利用递推关系式得到有关雪花曲线的“问题解决”； ③通过对雪花曲线问题的探索与研究以及相关背景资料的介绍，理解数学的价值，感悟数学的美。 3．制定教学目标的几点想法（理论支点）： ①教学中应尽可能地显现出数学知识的发生、形成过程；改变传统的注入式（结果型）教学模式，促使学生变接受式（记忆型）学习为自主式（探究型）学习。 ②教师应成为学生自主学习和知识建构的促进者；教师的这种“促进者”角色将引导、促进学生的自主学习，使学生能够自己去实验、观察、探究、研讨，使他们的身心全部投入到学习活动之中。这样的课堂才能充分体现教师的主导作用和学生的主体地位。 ③教师并不是以知识的传授为目的，而是以激发学生的问题意识、加深问题的深度、探索解决问题的方法，特别是形成自己对解决问题的独立见解为目的；教师要让学生带着问题走进教室，带着更多的问题走出教室，这就是现今倡导的以问题为纽带的教育教学。 ④教学的目的在于不仅希望学生掌握知识，更希望学生掌握分析知识、选择知识、更新知识的能力；简单的说，智慧比知识更重要，过程比结果更重要，知识是启发智慧的手段，过程是结果的动态延伸，教学中能够把结果变为过程，才能把知识变成智慧。 二．教法说明 1．以“雪花曲线”的发生过程、“雪花曲线”的问题解决、问题解决方法的简单应用为教学主线，旨在体现： ①学习的因是实际，学习的果也是实际； ②学习的结果是重要的，但更重要的是学习的过程； ③学习的过程是“继承和发扬”，继承就是学习基础，发扬就是学会创新。2．以介绍“分形几何”（一门新兴的数学分支学科）为教学支线，显现数学知识的文化背景及人文价值。 3．以运用自制的教学课件（几何画板、PowerPoint）为标志，实现计算机多媒体技术与课堂教学的有机整合。 4．以向学生推荐课外拓展阅读为铺垫，激发学生勤思善问、求索创新的学习能力，为学生的可持续发展学习创造条件。
初三数学专题复习——新概念题型
初三数学专题复习 新概念型问题 一、选择题 1.古希腊著名的毕达哥拉斯派1、3、6、10、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（ ） A.13=3+10 B.25=9+16 C.36=15+21 D.49=18+31 【答案】C 2．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示的方向经过B 跑到 点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翊跑步的时间为t （单位：秒），他与教练距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2，刚这个固定位置可能是图1的（ ） A ．点M B ．点N C ．点P D ．Q 答案：D 。 3.如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化 材枓表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个．下列判断：①5个出口的出水量相同；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的6倍．其中正确的判断有（ ）个． A ．1个B ．２个C ．３个D ．４个 答案：B 4．已知222 22112 11,c x b x a y c x b x a y ++=++=且满足 )1,0(2 1 2121≠===k k c c b b a a .则称抛物线21,y y 互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（ ） O 30 t / 秒 y / 米 Q N M P C B A
雪花曲线说课稿
一、教学背景分析： 本节课所学内容可以看作属于高一数学《数列》中的内容，《数列》是人教版教材中第三章的内容，在讲完了等比数列后开设本节研究课。本节课通过研究大家熟知的雪花，分析它的形状、周长及其面积，来激发大家学习的兴趣，唤起大家对数学美的追求。同时通过研究雪花曲线，将分形几何的内容逐步渗透到我们的教学中来，为以后的进一步学习打下铺垫。 二、教学目标： 1．认知目标：①学会用等比数列解决实际问题； ②了解雪花曲线，了解分形几何。 2．能力目标：①培养学生自我探究，自我发现的能力； ②利用几何画板自我掌握新知识的能力； ③同学之间相互协作的能力。 3．情感目标：①创设问题情境，激发学生学习数学的热情和兴趣； ②培养学生对数学美的认识，对美的追求。 三、教法、学法： 通过提出问题“雪花的形状如何？”引出话题，激起学生的兴趣，相互讨论得出结论，由老师给出科赫的雪花曲线构成方法，让学生在几何画板环境下作雪花曲线，以探求曲线形状。雪花曲线的周长及其所围面积可通过讨论由学生来发现计算方法，老师在其中起引导作用。本节课以学生为主来发现问题、解决问题，通过学生之间的讨论来达到对能力的培养。 四、教学重、难点： 重点：对雪花曲线认识及其周长、所围面积的求法。 难点：雪花曲线的周长无限长，而面积是有限的，即无限的曲线围成一个有限的面积的认识。 五、教学程序： （一）创设情景，激起兴趣 通过封面的雪花飘落，引出“雪花形状”这个话题，让学生自由探讨，发表自己对雪花的理解，以激起他们对研究雪花的兴趣。 （二）激烈讨论，引出话题 曲线生长（5次）
当同学们通过讨论，对雪花形状有了一个初步认识之后，由老师给出科赫的构造雪花曲线的方法，让学生使用几何画板作为工具来研究雪花曲线的形状。雪花曲线是无限生长的，永无止境，老师使用已做好的课件来演示曲线的生长过程，对曲线放大，观察局部，引起学生对曲线自相似 ．．．的初步认识。无限生长的曲线它的周长如何？所围面积如何？提出问题让学生进一步思考。 （三）逐步生长，探究周长 引导学生使用数列来研究，通过老师演示一次一次生长的过程，同学之间的相互讨论，发现相邻两次生长之间周长的变化，从而得到数列的通项公式，进而得出周长的计算公式。提问：当生长无限次，周长如何？设问：无限长的周长，所围的面积是否无限？从而激起学生进一步的争论，引出下一个问题。 （四）继续深入，探求面积 通过雪花曲线的逐步生长，引导学生寻求面积 的计算方法。可让学生使用几何画板来生长曲线， 寻找规律。总结：当生长无限次时，所围面积是有 限的。 提问：无限的周长围起一个有限的面积，现实 生活中还有类似的例子吗？引出“英国的海岸线问 题”，适当介绍“分形几何”这一数学新的分支， 引导学生到相关网站查阅相关资料来共同讨论。 六、总结 对问题的发现和研究是无止尽的，我们在开设研究性课题时要教给学生的不仅是研究的结果，更重要的是要培养他们的发现意识、研究意识和研究问题的方法以及研究的态度。 雪花曲线 （人教版高中数学试验修订本第三章数列） 江苏省前黄高级中学曹锁明 一、教学目标设计： 4．认知目标：①学会用等比数列解决实际问题； ②了解雪花曲线，了解分形几何。 5．能力目标：①培养学生自我探究，自我发现的能力； ②利用几何画板自我掌握新知识的能力； ③同学之间相互协作的能力。 6．情感目标：①创设问题情境，激发学生学习数学的热情和兴趣； ②培养学生对数学美的认识，对美的追求 二、教学内容及重点、难点分析： 这是一节研究课，主要让学生通过几何画板来了解雪花曲线，研究它的周长
奇妙的雪花曲线
奇妙的雪花曲线 教学目标: (知识目标) 1 通过对雪花曲线周长、面积等问题的探究让学生了解数学知识的形成过程; 2 使学生了解分形几何的有关内容。 (能力目标) 1 通过系列的探究性活动，使学生了解提出和解决数学问题的方法; 2 通过对雪花曲线等图形的探究提高学生应用数学的能力。 (情感目标) 1 让学生感受数学来源于实践，又服务于实践的辨证唯物主义观点 2 通过生活中的具体实例，培养学生对数学美的认识以及对大自然的热爱。 教学重点:探究雪花曲线的周长及其所围面积; 教学难点:雪花曲线所围面积的计算方法的寻求; 教学方法:引导探究式 教学媒体:计算机 教学过程设计: 1 一、问题背景: 播放雪景的图片，提问雪花的形状如何,激发学生兴趣。 二、研究问题:
如果把雪花想象成如图所示的正六角形，提问学生能否从一个等边三角形出发作出这样的图形。 接着进一步指出，雪花的形状其实非常复杂，右图是瑞典数学家科赫将雪花理想化得到的科赫雪花曲线，提问学生能否仍然从等边三角形出发作出这样的一条雪花曲线, 由学生讨论得出:在等边三角形每条边的中央分别向外作等边三角形，边长是原三角形边长的三分之一，就得到了一个六角形。依照此法，无限制的进行下去，就可以得到漂亮的雪花曲线了。 雪花曲线除了具有漂亮的外形，还蕴涵了哪些数学规律，这就是我们这节课要研究的内容(板书课题) 2 问题1:对雪花曲线作进一步思考，在雪花曲线的每一次生长中，相对于原三角形都发生了哪些变化, 导学生发现它的边长、边数、周长和面积等都发生了变化。
问题2:逐步生长，探究周长的变化规律 引导学生发现等边三角形的每一边在生长过程中所发生的变化都是相同的，因 此可以只研究其中一条边的变化规律，从而找到解决问题的最优化策略。 让学生自主发现、互相讨论，共同寻找到规律: 3 得到周长的计算公式后可以提问学生:当n越来越大时，雪花曲线的周长会有 什么变化, 当原图中三角形的边长为1cm时，显然三角形的周长是3cm，n=33呢,n=82呢, 我们不妨用计算机计算出这样一组数据:
几何画板复习
几何画板常见几何图形画法1.用定义法画椭圆： （1）画线段AB,作为定长 （2）任取点E、F作为交点 （注意EF 4.用参数方程画双曲线 （1）画线段AB为2a （2）做线段AB的中点C （3）在AB上取点D(注意 CD 这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平， 尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。 1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专 业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！ 2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分 书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。最速降线问题通过引入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。 3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。 如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家H.A.Schwarz 举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。 4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。 5）填满正方形的连续曲线。数学总是充满神奇与不可思议，以前人们总是以为曲线是一维的，但是皮亚诺却发现了一条可以填满正方形的连续曲线。结果人们不得不重新审视以往对曲线的看法。 BTW：先写到这里，明天接着写另外5个。1345中的例子可以在《数学分析新讲》中找到。 2009年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题 参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分） （1）已知1 7x x +=（01x <<） 的值为（ B ）． （A ） （B ） （C （D 【解】2 125x x =+ -=（， ∴= 又 01x << =故选（B ） ． （2）若关于x 的方程2230x x m -+=的一个根大于2-且小于1-，另一个根大于2且小于3，则m 的取值 范围是（ C ）． （A ）98m < （B ）9 148 m -<< （C ）95m -<<- （D ）142m -<<- 【解】根据题意，由根的判别式980m ?=->，得9 8 m < ．设223y x x m =-+， 由已知，画出该二次函数的大致图象，观察图象， 当2x =-时，有860m ++>，即14m >-； 当1x =-时，有230m ++<，即5m <-； 当2x =时，有860m -+<，即2m <-； 当3x =时，有1890m -+>，即9m >-． 综上，95m -<<-. 故选（C ）． （3）某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分 别为1v ，2v ，3v ，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为（ D ）． （A ）1233v v v ++ （B ）123111 3v v v ++ （C ）1231111v v v ++ （D ）1233111v v v ++ 【解】设这段公路长为3s ，则三个不同路段的长度均为s ，此辆汽车在各路段上行驶 的时间分别为i i s t v =（1,2,3i =），则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为 123 123123 333 111s s v s s s t t t v v v v v v = == ++++++． 故选（D ）． （4）已知边长为1的正方形ABCD ，E 为CD 边的中点，动点P 在正方形ABCD 边上沿A B C E →→→运 动，设点P 经过的路程为x ，△APE 的面积为y ，则y 关于x 的函数的图象大致为（ A ）． 变形雪花曲线计算机实现及其性质分析学生姓名：胡腾龙 指导教师：盛中平教授 所在学院：数学与统计学院 所学专业：数学与应用数学 中国·长春 2016年5月 摘要 本文得出了变形雪花曲线的构造方法和面积公式，由最常见的三分雪花曲线入手，先构造一个三分雪花曲线，并且求出三分雪花曲线的面积，再将三分雪花曲线推广到变形雪花曲线，应用几何画板实现变形雪花曲线的构图，分析其性质，最后得出变形雪花曲线的构造方法和面积公式。 关键词三分雪花曲线；变形雪花曲线；面积 Abstract Draw the construction method and formula for the area of the deformation curve snowflake by snowflake-third of the most common curve start to construct a third of the snowflake curve,and determine the area of snow-thirds of the curve,and then extended to the three-point curve snowflakes snow deformation curve,the conclusion that the constructor and the deformation area formula snowflake curve. Keywords thirds snowflake curve;deformation snowflake curve;area微积分十大经典问题
全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题含答案
变形雪花曲线计算机实现及其性质分析