第三章 3.1 3.1.1 第一课时函数的概念

第三章函数

[数学文化]——了解数学文化的发展与应用

1.早期函数概念——几何观念下的函数

十七世纪伽利略(G.Galileo，意，1564～1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系. 1673年，德国数学家莱布尼茨首次使用“function”(函数)表示“幂”.

2.十八世纪函数概念——代数观念下的函数

1718年约翰·贝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667～1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义；1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数.”

3.十九世纪函数概念——对应关系下的函数

1837年德国数学家狄利克雷提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”

1930年新的现代函数定义为，若对集合M中的任意元素x，总有集合N中的确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y＝f(x).元素x称为自变元，元素y称为因变元.

19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述，言简意赅地讲述了数学中一个最重要的概念——函数.

[读图探新]——发现现象背后的知识

函数的最值(图三)函数的奇偶性(图四)

问题1：图一中青少年的好奇心与其年龄，图二中每次人口普查的年份与其对应的总人口数是否存在一一对应的关系呢？如何刻画这些变量间的对应关系呢？问题2：“菊花”烟花设计者为了达到施放烟花的最佳效果，制造时应精心设计烟花达到最高点时爆裂，如何确定烟花爆裂的最佳时刻？

问题3：天安门是轴对称图形，那么如何用自然语言描述函数的图像特征呢？链接：图一、图二中存在一一对应关系，这种变量间的对应关系常用函数模型来描述，函数可以用图像法、列表法和解析法来表示；图三、图四可以用函数的最值和奇偶性刻画函数的性质.

3.1函数的概念与性质

3.1.1函数及其表示方法

第一课时函数的概念

课标要求素养要求

1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻

画函数，建立完整的函数概念；

2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；

3.了解构成函数的要素及同一个函数的概念，能求简单函数的定义域和值域.1.通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养；

2.通过求简单函数的定义域，提升数学运算素养.

教材知识探究

某物体从高度为44.1 m的空中自由下落，物体下落的距离s(m)与所用时间t(s)

的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为s＝1

2gt

2，其中g取9.8 m/s2.

问题1时间t和物体下落的距离s满足什么条件？

提示0≤t≤3，0≤s≤44.1.

问题2时间t(0≤t≤3)确定后，下落的距离s确定吗？

提示确定.

问题3下落后的某一时刻能同时对应两个距离吗？

提示不能.

函数的概念学好数学概念，理解非常重要

(1)定义：一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域.

函数的这种定义强调的是“对应关系”，对应关系也可用其他小写英文字母如g，h等表示.

(2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域.

(3)同一个函数：如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示就是同一个函数.

(4)函数定义域约定及求定义域的依据

①在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域通常省略不写，此时就约定：函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合.

②求函数定义域常用的依据：

a.分式中分母不能为零；

b.二次根式中的被开方数要大于或等于零.

教材拓展补遗

[微判断]

1.函数的定义域和值域一定是无限集合.(×)

提示函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1.

2.根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(×)

提示根据函数的定义，对于定义域中的任意一个数x，在值域中都有唯一确定的数y与之对应.

3.在函数的定义中，集合B是函数的值域.(×)

提示在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集.

4.在函数y＝f(x)中，对于不同的x，y也不同.(×)

提示根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝x2.

[微训练]

1.函数y＝x－1的定义域是________.

解析只需满足x－1≥0，∴x≥1.

答案[1，＋∞)

2.若f(x)＝x2－x＋1，则f(3)＝________.

解析f(3)＝9－3＋1＝9－2＝7.

答案7

[微思考]

1.在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？

提示确定.

2.如果函数y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？

提示不确定，例如函数的定义域为A＝{－1，0，1}，值域为B＝{0，1}，则对应关系f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可.

题型一函数关系的判断

验证对应关系下，集合M中x的任意性，集合N中y的存在性、唯一性

【例1】(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

(2)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{x|0≤x≤4}，则下列对应关系中，不能看作是从A到B的函数关系的是()

A.f：x→y＝1

8x B.f：x→y＝

1

4x

C.f：x→y＝1

2x D.f：x→y＝x

解析(1)①错，x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯一性.③错，x＝2时，对应元素y＝3?N，不满足任意性.④错，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.

(2)根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素在集合B中没有元素与它对应，故不正确.

答案(1)B(2)D

规律方法 1.根据图形判断对应是否为函数的方法

(1)任取一条垂直于x轴的直线l；

(2)在定义域内平行移动直线l；

(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.

2.判断一个对应是否是函数的方法

【训练1】(1)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝

{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图像可能是()

(2)已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：

①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数是()

A.①

B.②

C.③

D.④

解析(1)A中的定义域不是[－2，2]，C中图形不满足唯一性，D中的值域不是[0，2]，故选B.

(2)只有y＝|x|是符合题意的对应关系，故选D.

答案(1)B(2)D

题型二同一个函数的判定化简解析式时，必须注意等价变形

【例2】(1)下列各组函数：

①f(x)＝x2－x

x，g(x)＝x－1；

②f(x)＝

x

x，g(x)＝

x

x

；

③f(x)＝（x＋3）2，g(x)＝x＋3；

④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；

⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5).

其中表示同一个函数的是________(填序号).

(2)试判断函数y＝x－1·x＋1与函数y＝（x＋1）（x－1）是否为同一个函数，并说明理由.

(1)解析①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一个函数；②f(x)与g(x)的解析式不同，不是同一个函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的解析式不同，不是同一个函数；

④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一个函数；⑤f(x)与g(x)的定义域、对应关系分别对应相同，故是同一个函数.

答案 ⑤

(2)解 不是同一个函数.对于函数y ＝x －1·x ＋1，由???x －1≥0，

x ＋1≥0，解得x ≥1，故

定义域为{x |x ≥1}，对于函数y ＝（x ＋1）（x －1），由(x ＋1)(x －1)≥0解得x ≥1或x ≤－1，故定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是同一个函数.

规律方法 判断两个函数为同一个函数应注意的三点

(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数.

(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.

(3)在化简解析式时，必须是等价变形.

【训练2】 下列各组函数是同一个函数的是( ) A.y ＝1，y ＝x

x

B.y ＝x －2·x ＋2，y ＝x 2－4

C.y ＝|x |，y ＝(x )2

D.y ＝x ，y ＝3

x 3

解析 A ，B ，C 中的定义域均不相同，故选D. 答案 D

题型三 求函数的定义域 寻找限制条件，再列不等式（组）求定义域 【例3】 求下列函数的定义域： (1)y ＝(x －1)0＋

2

x ＋1；(2)y ＝（x ＋1）2x ＋1

＋1－x . 解

(1)要使函数有意义，当且仅当?????x －1≠0，

2

x ＋1≥0，x ＋1≠0，

解得x >－1且x ≠1，

所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}.

(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足???x ＋1≠0，

1－x ≥0，

解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}.

规律方法 当函数解析式较复杂时，要先确定全部限制条件，依次列出不等式或不等式组，再分别求出每个不等式的解集，最后求出这些集合的交集即为函数的定义域.

【训练3】 (1)函数f (x )＝

2x －1

x 2－1

的定义域为( ) A.?

?????

x |x ≥12

B.{x |x >1}

C.?

???

??x |12≤x <1或x >1 D.?

???

??x |－1≤x ≤1

2或x >1 (2)设全集为R ，函数f (x )＝2－x 的定义域为M ，则?R M 为( ) A.{x |x >2} B.{x |x <2} C.{x |x ≤2}

D.{x |x ≥2}

解析 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足 ???2x －1≥0，x 2－1≠0，解得?????x ≥12，x ≠±1，即x ≥1

2且x ≠1，故选C.

(2)自变量x 的取值必须满足2－x ≥0，即x ≤2， ∴M ＝{x |x ≤2}，∴?R M ＝{x |x >2}，故选A. 答案 (1)C (2)A

题型四 求函数值或函数的值域

方向1 求函数的值 求值时，明确函数解析式，代入求值 【例4－1】 已知f (x )＝

1

1＋x

(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ). (1)求f (2)，g (2)的值；(2)求f [g (3)]的值. 解 (1)∵f (x )＝

11＋x ，∴f (2)＝11＋2

＝13. 又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝

11＋11

＝1

12.

规律方法 求函数值的方法及关注点

(1)方法：①已知f (x )的解析式时，只需用a 替换解析式中的x 即得f (a )的值；②求f [g (a )]的值应遵循由里往外的原则.

(2)关注点：用来替换解析式中x 的数a 必须是函数定义域内的值，否则求值无意义.

方向2 判定对象与值域的关系

【例4－2】 已知函数f (x )＝x 2＋1的值域为S ，试判断－2，3是否是S 中的元素.

解 由x 2＋1≥1知x 2＋1＝－2无解，因此－2?S . 当x 2＋1＝3时，可解得x ＝±2，∴3∈S .

规律方法 1.列方程看方程在定义域内是否有解；2.先求值域再判断. 方向3 求函数的值域

首先确定函数的定义域，对于一次函数、二次函数、反比例函数可借助图像求函数的值域，值域要写成集合或区间的形式 【例4－3】 求函数f (x )＝x 2

x 2＋1

的值域.

解 法一 f (x )＝x 21＋x 2＝1－11＋x 2，x ∈R ，∵x 2

≥0， ∴x 2＋1≥1， ∴0＜

1x 2＋1≤1，－1≤－11＋x 2＜0，0≤1－1

1＋x 2

＜1， ∴f (x )的值域为[0，1).

法二 令y ＝x 21＋x 2，x ∈R ，则x 2

＝y 1－y ≥0，

即???y （1－y ）≥0，

1－y ≠0，∴0≤y ＜1. ∴f (x )的值域为[0，1).

规律方法 法一是观察法；法二是反解法. 【训练4】 已知函数f (x )＝1－x 2

x 2＋1的值域为S .

(1)求f (0)，f (1)和f (2)；

(2)求S ；

(3)判断－2，1

2是否是S 中的元素. 解 f (x )的定义域为R .

(1)f (0)＝1－00＋1＝1，f (1)＝1－12

12＋1＝0，

f (2)＝1－2222＋1

＝－3

5.

(2)法一 f (x )＝1－x 2x 2＋1＝－（x 2＋1）＋2x 2＋1＝－1＋2

x 2＋1，

∵x 2≥0，∴x 2＋1≥1，∴0＜1x 2＋1≤1，∴0＜2

x 2＋1

≤2， －1＜－1＋

2

x 2＋1

≤1，即S ＝(－1，1]. 法二 令y ＝1－x 2x 2＋1，x ∈R ，则x 2＝1－y

1＋y

≥0，

即???（1＋y ）（1－y ）≥0，

1＋y ≠0，

∴－1＜y ≤1，即S ＝(－1，1]. (3)法一 由(2)知S ＝(－1，1]， ∴－2?S ，1

2∈S .

法二 令1－x 2

x 2＋1＝－2，则x 2＝－3，无解，∴－2?S .

令1－x 2x 2＋1

＝12，则x 2＝13，x ＝±33∈R ， 即f ? ??

??±33＝12.∴1

2∈S .

一、素养落地

1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、数学运算素养.

2.函数符号“y ＝f (x )”是数学中抽象符号之一，“y ＝f (x )”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，f (x )也不一定是解析式，还可以是图表或图像.

二、素养训练

1.若A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是(

)

解析 A 中值域为{y |0≤y ≤2}，故错误；C ，D 中值域为{1，2}，故错误，故选B. 答案 B

2.下表表示函数y ＝f (x )的x 与y 的所有对应值，则此函数的定义域为( )

x －1 0 1 f (x )

2

3

5

A.{－1，0，1} C.{x |－1≤x ≤1}

D.{x |2≤x ≤5}

解析 定义域为x 的所有取值构成的集合，故选A. 答案 A

3.已知函数f (x )＝3x ，则f ? ????

1a ＝________.

解析 f ? ??

??1a ＝3

1a ＝3a .

答案 3a 4.已知四组函数：

①f (x )＝x ，g (x )＝(x )2；②f (x )＝|x |，g (x )＝x 2；③f (n )＝2n －1，g (n )＝2n ＋1(n ∈N )；④f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1. 其中是同一个函数的是________(填序号).

解析 对于第一组，定义域不同；对于第三组，定义域不同，对应关系也不同；

对于第二、四组，定义域与对应关系分别对应相同.

答案②④

5.求出函数g(x)＝x2－2的值域A，判断－5和7是否是A中的元素.

解g(x)的定义域为R，

∵x2≥0，∴x2－2≥－2，

∴A＝[－2，＋∞).

故－5?A，7∈A.

基础达标

一、选择题

1.设f(x)＝x2是定义在A上值域为B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是()

A.{1}

B.{－1}

C.{－1，1}

D.{－1，0}

解析若集合A＝{－1，0}，则0∈A，但02?B，故选D.

答案 D

2.图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是()

A.①②

B.①④

C.①②④

D.③④

解析根据函数的定义，可以多对一，或一对一，故选B.

答案 B

3.下列各组函数为同一个函数的是()

A.f(x)＝x，g(x)＝x2

B.f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0

C.f(x)＝（x）2

x，g(x)＝

x

（x）2

D.f(x)＝x2－9

x＋3

，g(x)＝x－3

解析 A.因为这两个函数的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；

B.这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；

C.这两个函数的定义域和对应关系分别对应相同，所以这两个函数为同一个函数；

D.这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数.故选C.

答案 C

4.四个函数：①y＝x＋1；②y＝x2；③y＝x2－1；④y＝1

x中定义域相同的函数有

()

A.①②③

B.①②

C.②③

D.②③④

解析①②③中函数的定义域均为R，而④中函数的定义域为{x|x≠0}，故选A. 答案 A

5.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”.函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有() A.10个 B.9个

C.8个

D.4个

解析由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”.

答案 B

二、填空题

6.若f(x)＝

2x

x2＋2

，则f(1)＝________.

解析f(1)＝

2

1＋2

＝

2

3.

答案2 3

7.已知函数f(x)＝x－3，若f(a)＝3，则实数a＝____________.

解析函数f(x)的定义域为[3，＋∞)，又f(a)＝a－3＝3，∴a＝12. 答案12

8.下列各对函数中是同一个函数的是________(填序号). ①f (x )＝2x －1与g (x )＝2x －x 0； ②f (x )＝（2x ＋1）2与g (x )＝|2x ＋1|； ③f (n )＝2n ＋1(n ∈Z )与g (n )＝2n －1(n ∈Z )； ④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2.

解析 ①函数f (x )的定义域为R ，函数g (x )的定义域为{x |x ≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；②f (x )＝（2x ＋1）2＝|2x ＋1|与g (x )＝|2x ＋1|的定义域和对应关系分别对应相同，是同一个函数；③f (n )＝2n ＋1(n ∈Z )与g (n )＝2n －1(n ∈Z )的对应关系不相同，不是同一个函数；④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2的定义域和对应关系分别对应相同，是同一个函数. 答案 ②④ 三、解答题 9.已知函数f (x )＝

x ＋1

x ＋2

. (1)求f (2)；(2)求f [f (1)].

解 (1)∵f (x )＝x ＋1x ＋2，∴f (2)＝2＋12＋2＝3

4.

(2)∵f (1)＝1＋11＋2＝2

3，

∴f [f (1)]＝f ? ??

??23＝23

＋1

23＋2

＝58.

10.求函数f (x )＝x 2－2

x 2＋2，x ∈[1，2]的值域.

解 f (x )＝x 2－2x 2＋2＝1－4

x 2＋2.

∵x ∈[1，2]，∴x 2∈[1，4].

∴x 2＋2∈[3，6]，∴1x 2＋2∈??????

16，13，

∴－

4x 2＋2∈??????－4

3

，－23，

∴1－

4x 2＋2∈

????

??

－13，13， ∴f (x )的值域为????

??

－13，13.

能力提升

11.已知函数f (x )＝x ＋5＋1x －2

. (1)求函数的定义域； (2)求f (－4)，f ? ??

??

23的值.

解 (1)使根式x ＋5有意义的实数x 的集合是{x |x ≥－5}，使分式1

x －2

有意义的实数x 的集合是{x |x ≠2}，

所以这个函数的定义域是{x |x ≥－5}∩{x |x ≠2}＝{x |x ≥－5且x ≠2}. (2)f (－4)＝－4＋5＋1－4－2

＝1－16＝5

6. f ? ??

??23＝23＋5＋12

3－2

＝173－34＝513－34.

12.已知函数f (x )对任意实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )成立. (1)求f (0)和f (1)的值.

(2)若f (2)＝a ，f (3)＝b (a ，b 均为常数)，求f (36)的值. 解 (1)令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0), 所以f (0)＝0.

令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)， 所以f (1)＝0. (2)令x ＝y ＝2，

则f (4)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)＝2f (2)＝2a . 令x ＝y ＝3，

则f (9)＝f (3×3)＝f (3)＋f (3)＝2f (3)＝2b . 令x ＝4，y ＝9，

得f (36)＝f (4×9)＝f (4)＋f (9)＝2a ＋2b .

高中数学《函数的概念和图象》说课稿 苏教版必修1

苏教版高中数学必修1《函数的概念和图象》说课稿本节课的内容来自苏教版普通高中课程标准实验教科书（必修）数学第一册、第二章、第一节。题目是《函数概念和图象》。以下，我将从六大方面展开论述： 一、教材分析： 在我们生活着的世界中，变化无处不在，变化中蕴藏着无穷的奥秘和规律等待我们去探索，比如时间、温度、自己的身高、体重等都在悄悄地变化，从数学的角度去研究这些变化，将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来。函数正是用来刻画这些变化规律的模型。这就是函数研究的价值所在。正如，恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动就进入了数学；有了变数，辩证法就进入了数学”；托马斯所说的：“函数概念是近代数学思想之花”。 根据学生已有的知识现状来组织我们更为有效的教学设计，这是一条最基本的教学原则。本届学生使用的是北京师范大学出版的教材，该教材分别在七年级下册“第六章变量之间的关系”与八年级上册“第六章一次函数”中两次涉及函数内容，采用了螺旋递进的组织方式。教材中采用“一个量随另一个量的变化而变化”的关系来描述函数，因此据我了解初中学生很难理解“y=1”这类常函数，而在高中，我们用集合的观点来刻画函数，就可以顺利地解决这个问题。 二、教学目标： 传统的教学模式中，往往只重视知识目标的制定。我依据新课程的理念，根据新教材的特点以及学生认知水平和思维习惯，从知识、能力、情感三个层面来展开阐述教学目标：

1、知识目标： （1）理解函数的概念，更要理解函数的本质属性； （2）理解函数的三要素的含义及其相互关系； （3）会求简单函数的定义域和值域 2、能力目标： 通过本课的学习，培养学生从实际问题中抽象出数学问题，概括出数学概念的能力，也即数学建模的能力。 3、情感目标： （1）通过对生活实例的分析，让学生体会数学与生活的联系，激发学习的兴趣； （2）通过从实例中抽象出数学的问题，概括出数学概念，让学生体会到探究成功的乐趣； （3）让学生体会静与动的辨证关系 三、重点难点 从以往的教学实践中，我深深体会到学生对函数这部分内容的惧怕。因此，我认为本节课的重点是对函数概念的理解。教学难点表现在两方面，第一：从实际问题中提炼出抽象的概念；第二：函数本质属性的理解，函数是用来研究一个变化过程的数学模型。 四、教法学法 在现代教育理论的指引下，本节课我将采取以引导探究为主的教学方法，即以学生为主体，在教师适当的引导下，让学生自行探索和研究的方法。但是，俗话说：“教无定法。”函数这个概念从产生、发展到成熟经历了几个世纪的争论和人为的加工，所以要让学生用45分钟去自主发现，几乎是不可能的，我认为在这

第1讲 一次函数的概念与图像(学生版)

第1讲 一次函数的概念与图像 知识精要 一、一次函数的概念 1、概念：一般地，解析式形如y kx b =+（k 、b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数。 定义域：一切实数。 2、一次函数与正比例函数的关系： 正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 3、常值函数 一般的，我们把函数() y c c =为常数叫做常值函数。 二、一次函数的图像 1、画法：列表、描点、连线 2、直线的截矩：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距。 3、一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移得到： 当0b >时，向上平移b 个单位；当0b <时，向下平移b 单位。 4、已知两直线111y k x b =+和222y k x b =+ 1）12k k ≠?两直线相交 2）1212k k b b =≠?且两直线平行 3）1212k k b b ==?且重合

5、一次函数与一元一次不等式的关系： 由一次函数y kx b =+的函数值y 大于0（或小于0），就得到关于x 的一元一次不等式0kx b +>（或0kx b +<） 。在一次函数y kx b =+的图像上且位于x 轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围就是不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集。 精解名题 例1、直线2y x =-与y 轴交于点A ，直线y kx b =+与y 轴交于点B ，且与2y x =-交于点C ，已知点C 点纵坐标为1，且S △ABC ＝9，求k 与b 的值。 例2、一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是－3 ≤x ≤6，相应函数值的取值范围是 －5≤y≤－2，求这个一次函数的解析式。

高一数学 函数的概念和图象(一)教案

湖南师范大学附属中学高一数学教案：函数的概念和图象（一） 班级 姓名 一 知识要点 1.设A 、B 是两个 ，如果按某种对应法则f,对于集合A 中的 在集合B 中 和它对应，这样的对应叫从A 到B 的一个 ，通常记为 2.其中所有输入值x 组成的集合A 叫做函数y=f(x)的 ，与输入值对应的输出值y 组成的集合叫函数的 。 3.函数的三要素是 、 、 二 例题 例1 判断下列对应是否为函数 （1）R x x x x ∈≠→,0,2 （2）R y N x x y y x ∈∈=→,,,,2这里 例2 已知函数f(x)=x 2 +1,求 (1) f(0),f(1),f(a) (2) f(2a),f(2x),f(x+1) (3)求f[f(x)],并比较与[f(x)]2是否相等。 (4)设g(x)=x+1,求f[g(x)]及g[f(x)],并比较它们是否相等。 三 巩固练习 1.下列四种说法中不正确的一个是 （ ） A.在函数的定义域中的每一个数，在定义域中都有至少一个数与之对应。 B.函数的定义域和值域一定是无限集合。 C.定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了。 D.若函数的定义域只含一个元素，则值域也只含一个元素。

2.下列对应是集合M 上的函数的有 （ ） （1）M=R,N=N *,对应法则f ：“对集合M 中的整数元素取绝对值与N 中的元素对应”； （3）M={三角形}，N={x|x>0},对应法则f ：“对M 中的三角形求面积与N 中的元素对应” A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 3.对于函数y=f(x)，以下说法正确的有 （ ） ①y 是x 的函数；②对于不同的x,y 的值也不同；③f(a)表示当x=a 时，函数f(x)的值是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来。 A.①② B.①③ C.②④ D.①④ 4.设f(x)=5,则f(x 2)= ( ) A.25 B.5 C.5 D.不能确定 5.若f(x)=x 2－ax+b,且f(1)=－1,f(b)=a,则f(－5)= 6.已知f(2x)=2x+3,则 )21(f ,f(x)=

函数概念说课稿

函数概念说课稿

《函数的概念第一课时》说课稿 各位评委：大家好！ 我说课的内容是湘教版必修一函数的概念。我将从背景分析、教学目标设计、教法与学法选择、教学过程设计、板书设计以及教学评价设计六个方面来汇报我对这节课的教学设计。 一、背景分析 1．教材分析 函数是数学中最重要的概念之一，且贯穿在中学数学的始终，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，结合教学大纲与学生的认知水平，函数的第一课应以函数概念的理解为中心进行教学。 2．学情分析 从生源状态分析：学生的基础较差，整体的数学素养是较低的。 从学生知识层面看：学生在初中初步探讨了函数的相关知识，通过高一 “集合”的学习，对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数提供了知识保证。 从学生能力层面看：通过以前的学习，学生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具备了学习函数概念的基本能力。 基于教材情况和我校学生的状态，本节课选择“低起点、低坡度、多重复，快反馈” 的教学原则。 二、教学目标分析 【教学目标】 知识与技能：让学生理解构成函数的三要素、函数概念的本质、抽象的函 数符号)(x f 的意义。 过程与方法：在教师设置的问题引导下，学生通过自主学习、小组合作交 流，反馈精讲、当堂训练，经历函数概念的形成过程，渗透 归纳推理的数学思想，发展学生的抽象思维能力。 情感态度价值观：在学习过程中，学会数学表达和交流，体验获得成

功的乐趣，建立自信心。 [设计意图]：教学目标的设计，要简洁明了，具有较强的可操作性，容易检测目标的达成度，同时也要体现出新课标下对素质教育的要求。 【教学难重点】 重点：理解函数的概念； 难点：理解函数符号y = f (x)的含义。 [重难点确立的依据]：函数的概念抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在和函数的概念及函数符号的理解与运用上。 从多个角度创设多个问题情境，组织学生围绕重点自主思考，让学生自主、合作探索,体会函数概念的本质从而突破难点。 三、教法与学法选择 采用我校“20+20”教学模式，即是学生自主的时间不少于20分钟，教师讲评时间不超过20分钟，充分尊重学生的主体地位，让学生在教师设置的问题的引导下、通过自主学习、小组合作交流等环节自主构建知识体系，自主发展数学思维，教师采用问题教学法、探究教学法、交流讨论法等多种学习方法，充分调动学生的积极性。 四、教学过程设计 (一)过程设计 为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为五个阶段： 学习目标展示学生自主学习小组合作交流 教师反馈精讲当堂巩固训练

数学必修1 1.2.1《函数的概念》同步讲练

高中数学必修1 编辑：吉红勇 高中数学必修一《函数的概念》导学导练 【知识要点】 1． 函数的概念 2． 函数的两个要素 1） 定义域的求法 2） 对应法则的理解 3） 同一函数的判断 3． 函数值域的求法 1）观察法 2）配方法 3）换元法 4）分离常量法 5）判别式法（了解） 4． 区间的概念 【范例析考点】 考点一．函数的概念 例1：判断下列对应是否为函数： （1）;,,Z y R x x y y x ∈∈→的最大整数，为不大于其中 （2）2,,,x y y x x N y R →=∈∈； （3）x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，{|03}y y y ∈≤≤； （4）16 x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，{|03}y y y ∈≤≤． 【针对练习】 1、有下列对应 ①1,2 x x x R →-∈； ②x y →，其中，||y x =，,x R y R ∈∈； ③t s →，其中2s t =，,t R s R ∈∈； ④x y →，其中，y 为不大于x 的最大整数，,x R y Z ∈∈。 其中是函数的对应的序号为 2、判断下列对应f 是否为从集合A 到集合B 的函数： ①{1,2,3},{7,8,9}A B ==，(1)(2)7f f ==，(3)8f =； ②{1,2,3}A B ==，()21f x x =-； ③{|1}A B x x ==≥-，()21f x x =+； ④,{1,1}A Z B ==-，当n 为奇数时，()1f n =-；当n 为偶数时，()1f n =。 其中是从集合A 到集合B 的函数对应的序号为 3、 判断下列对应是否为函数： （1）R x x x x ∈≠→,0,2； （2）R y N x x y y x ∈∈=→,),(2； （3）N x x x x ∈≠→ ,0,2 ； （4）N y N x x y y x ∈∈=→,),(2. 4、下列说法正确的是（ ） A ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应 B ．函数的定义域和值域可以是空集 C ．函数的定义域和值域一定是数集 D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 考点二：相同函数的判定 例2：下列各组中，函数f(x)和g(x)的图象相同的是 （ ） A ．f(x)=x ，g(x)=(x ) 2 B ．f(x)=1，g(x)=x 0 C ．f(x)=|x|，g(x)=2x D ．f(x)=|x|，g(x)=?? ?-∞∈-+∞∈) 0,(,),0(,x x x x 【针对练习】 1、下列哪组中的两个函数是同一函数（ ） （A ）2y =与y x = （B ）3y =与y x = （C ）y 2y = （D ）y =x x y 2= 2、下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是（ ） （A ）2)()(,)(x x g x x f == （B ）22)1()(,)(+==x x g x x f （C ）0)(,1)(x x g x f == （D ）?? ?-==x x x g x x f )(|,|)( )0()0(<≥x x 3、试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）= x x ||，g （x ）=?? ?<-≥; 01,01x x （3）f （x ）=1212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1 （n ∈N * ）； （4）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2； （5）f （x ）=x 2 －2x －1，g （t ）=t 2 －2t －1. 考点三：函数的求值问题 例3：()()[]()().05,) 10(5) 10(2,的值和求已知f f n n f f n n n f N n ?? ?<+≥-=∈* 【针对练习】 1、已知函数253)(2-+=x x x f ,求)3(f 、)2(-f 、 )(a f 、 )1(+a f

一次函数的概念-图像和性质复习

一次函数的概念，图像和性质 一次函数的概念 一般地，解析式形如 y=kx+b(_____是常数，且_____)的函数叫做一 次函数。 一次函数的定义域是一切实数。当b=0时，y=kx （0≠k ）是_____函数。一般地，我们把函数y=c （c 为常数）叫做函_____数。Y=-1,π=y ,2)(= x f 都是常值函数。 二、一次函数的图像 1.正比例函数y=kx (k≠0,k 是常数)的图像是经过O （0，0）和M （1，k ）两点的一条直线（如图13-17）.（1当k ＞0时图像经过___和第_____像限；（2）k ＜0时，图像经过原点和第_____像限. 2.一次函数y=kx+b (k 是常数，k≠0)的图像是经过A （_____）和B （_____）两点的一条直线，当kb ≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况： （1）k ＞0,b ＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A （2）k ＞0,b ＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B （3）k ＜0,b ＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C （4）k ＜0,b ＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13-18D 3.一次函数的图像的两个特征 （1）对于直线y=kx+b(k ≠0),当x=0时,y=b 即直线与y 轴的交点为A （0,b ）,因此b 叫直线在y 轴上的_____.（截距有正负） （2）直线y=kx+b(k ≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A （_____）和 B （_____）. 4.一次函数的图像与直线方程 （1）一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k ≠0)也叫直线方程.但直线方程_____都是一次函数. （2）与坐标轴平行的直线的方程. ①与x 轴平行的直线方程形如：y=a （a 是常数）.a ＞0时，直线在x 轴上方；a=0时，直线与x 轴重合；a ＜0时，直线在x 轴下方.（如图13-19）

高一数学函数的概念及表示方法

全方位教学辅导教案姓名性别年级高一 教学 内容 函数与映射的概念及其函数的表示法 重点难点教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念 教学目标1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象. 5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念 教学过程课前检 查与交 流 作业完成情况： 交流与沟通 针 对 性 授 课 一、函数的概念 一、复习引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的 值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做 函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数 的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题1：（）是函数吗？ 问题2：与是同一函数吗？ 观察对应： 30 45 60 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 -1 2 -2 3 -3 3 -3 2 -2 1 -1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (1)(2) (3)(4) 开平方求正弦 求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、讲解新课：

人教版必修1函数的概念教案(第一课时)

1.2.1 函数的概念 第一课时 一，教材的地位与作用 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言来刻画函数，函数的思想方法将贯穿于高中数学课程的始终。 函数的概念是抽象概括出的概念，通过大量的实例，培养学生从“特殊到一般”的综合归纳的能力，培养学生分析问题的能力，引导学生如何发现事物的本质，如何找到问题的突破口来解决问题。 二，教学目标 1，知识与技能： （1）理解函数的概念及其符号表示，能够辨别函数的例证和反例 （2）会求简单函数的定义域与值域 （3）掌握构成函数的三要素，学会判别两个函数是否相等，理解函数的整体性 2，过程与方法： （1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）通过函数概念学习的过程，培养学生从“特殊到一般”的分析问题能力以及抽象概括能力 3，情感态度与价值观 让学生体会现实世界充满变化，感受数学的抽象概括之美。 三，教学重点与难点 1，教学重点：函数的概念，构成函数的三要素 2，教学难点：函数符号y=f(x)的理解 四，教学方法分析 1，教法分析： 遵循建构主义观点的教学方式，即通过大量实例，按照从“特殊到一般”的认识规律，提出问题，大胆猜想，确定方向分组研究尝试验证，归纳总结，通过搭建新概念与学生原有认识结构间的桥梁，使学生在心理上得到认同，建立新的认识结构。 2，学法分析： 倡议学生主动观察，积极思考，提出问题，大胆猜测，从而自主归纳小结。在学习中培养自我的从“特殊到一般”的分析问题能力，感受数学的抽象概括之美。 五、教学过程 1，复习回顾 回顾初中所学函数（如一次函数y=ax+b a≠0等）及函数的概念：（传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量）；指出用函数可以描述变量之间的依赖关系；强调函数是

一次函数概念图像及性质

一次函数概念、图像及性质 【教学目标】 1. 了解认识一次函数定义、图像，并能根据函数解析式画出图像 2. 理解一次函数的截距概念，会根据直线的表达式指出它在y 轴上的截距 3. 理解、掌握一次函数性质，熟悉图像所经过的象限及y 随x 变化而变化的情况 4. 能运用一次函数的图像及性质解综合型问题 【教学重难点】 1. 根据一次函数的图像确定解析式 2. 掌握一次函数性质，并能灵活运用于解题 3. 能结合一次函数知识点灵活求解综合型问题 【教学内容】 ★ 知识梳理 一、概念 定义：解析式形如)0( ≠+=k b kx y 的函数叫做一次函数 二、图像 一次函数的图象满足：（1）形状是一条直线；（2）始终经过（0 , b ）和（k b - , 0）两点 三、截距 定义：直线)0( ≠+=k b kx y 与y 轴的交点坐标是) , 0 (b ，截距是b 四、性质 1. 一次函数)0( ≠+=k b kx y ，当0>k 时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大；当0k ，且0>b 时，直线)0( ≠+=k b kx y 经过第一、二、三象限 （2）当0>k ，且0b 时，直线)0( ≠+=k b kx y 经过第一、二、四象限 （4）当0

一、概念 例1. 下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ） （A ）1)1(32+-=x y （B ）x x y 1+ = （C ）x y 3-= （D ）x y 5-= 例2. 下列各式中，y 与x 成正比例关系的是 ；成一次函数关系的是 （1）x y 43= （2）x y 2 2-= （3）x y 29-= （4）x y 4= （5）52=+xy （6）765=+y x 例3. 下列说法中，不正确的是（ ） （A ）一次函数不一定是正比例函数 （B ）不是一次函数就一定不是正比例函数 （C ）正比例函数是特殊的一次函数 （D ）不是正比例函数不一定不是一次函数 例4. 下列说法不正确的是（ ） （A ）在32--=x y 中，y 是x 的正比例函数 （B ）在x y 21-=中，y 与x 成正比例 （C ）在1=xy 中，y 与x 1成正比例 （D ）在圆的面积公式2r S π=中，S 与2r 成正比例 例5. 已知b kx y +=，当3-=x 时，0=y ；当1=x 时，4=y ，求k 、b 的值

函数的概念与表示法

函数的概念和函数的表示法 考点一：由函数的概念判断是否构成函数 函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有 唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。 例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（ ） ① A={x x ∈Z}，B={y y ∈Z}，对应法则f ：x →y= 3 x ; ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈R}，对应法则f ：x →2y =3x; ③ A=R,B=R, 对应法则f ：x →y=2 x ; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ） ① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（ ） ①22x y +=2 1= ③ A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 变式3. 已知函数y=f （x ），则对于直线x=a （a 为常数），以下说法正确的是（ ） A. y=f （x ）图像与直线x=a 必有一个交点 B.y=f （x ）图像与直线x=a 没有交点 C.y=f （x ）图像与直线x=a 最少有一个交点 D.y=f （x ）图像与直线x=a 最多有一个交点 变式4.对于函数y ＝f(x)，以下说法正确的有…( ) ①y 是x 的函数 ②对于不同的x ，y 的值也不同 ③f(a)表示当x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 变式5．设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( ) A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③ D ．② 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例2. 下列哪个函数与y=x 相同（ ） ①. y=x ②.y = ③. 2 y = ④.y=t ⑤.3 3x y = ；⑥.2x y =

函数的概念教学设计

函数的概念教学设计 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

《函数的概念》教学设计 人教版《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（A版）》第一章 概述： 《函数的概念》的教学需要两课时，本节课是第一课时，是一节函数的概念课.如何上好一节概念课，概念不是由老师讲出，而是让学生去发现，并归纳概括出概念呢从而让学生更好的理解概念，熟练的去应用概念解决问题.在本节课的教学中，我以学生作为活动的主体，创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，大胆探索，从而去发现问题、提出问题和解决问题.注重培养他们的观察、分析和解决问题的能力，培养他们的逻辑思维能力及抽象概括能力. 运用新课标的理念，我从以下几个方面加以说明：教材内容分析、教学目标分析、教法学法分析、教学过程分析、教学评价分析 【教材内容分析】 1.教材的地位及作用 函数的概念是人教版数学必修①第一章第二节的内容，它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展，而且是学好后继知识的基础和工具．本节的主要内容就是函数的概念和函数的三个要素，学习了本小节后，为以后学习其他类型的函数打下扎实的基础。由于函数反映出的数学思想渗透到数学的各个领域并且它在物理﹑化学及生物等其他领域也有广泛的应用．因此，函数概念是中学数学最重要的基本概念之一。 2.学情分析 在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系，且比较习惯的用解析式表示函数，但这是对函数很不全面

的认识。由于函数的概念比较抽象，学生思维不成熟、不严密，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。 【教学目标分析】 根据上述教材内容分析，并结合学生的学习心理和认知结构，我将教学目标分成三部分进行说明： 知识与技能： 1、从集合与对应的观点出发，加深对函数概念的理解 2、理解函数的三要素：定义域、值域和对应法则 3、理解函数符号的含义。 过程与方法： 在丰富的实例中，通过关键词的强调和引导，使学生发现、概括出它们的共同特征，在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。 情感、态度与价值观： 采用从实例中抽象概括出函数概念的方法，不仅为学生理解函数打下感性基础，而且注重学生的抽象概括能力，启发学生运用函数模型表述、思考、解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识。 【教学重点】函数的概念及y=f(x)的理解与深化。 【教学难点】函数的概念及函数符号f(x)的理解。 【教学关键】在集合与对应的基础上理解函数的概念。

一次函数的概念和图像

1、 一次函数的概念 （1） 一般地，解析式形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数； （2） 一次函数y kx b =+的定义域是一切实数； （3） 当0b =时，解析式y kx b =+就成为y kx =（k 是常数，且0k ≠）这时，y 是x 的正比 例函数，所以正比例函数是一次函数的特例； （4） 一般地，我们把函数y c =（为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问题确定． 一次函数的图像及性质 知识结构 知识精讲 模块一：一次函数的概念

【例1】下列函数中，哪些是一次函数? （1）232y x =-； （2）12y x -=； （3）(5)(0)y m x m =-≠； （4）1(0)y ax a a =+≠ ； （5）(0)k y kx k x =+≠； （6）(3)(3)y k x k =-+≠-． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例2】（1）已知函数2(2)1y k x =-+是一次函数，则k 的取值范围是_________； （2）当m =________时，函数2 15 (4)m y x m -=+-是一次函数，且不是正比例函数． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例3】已知一个一次函数，当自变量2x =-时，函数值为1y =-；当2x =时，11y =．求这个 函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 例题解析

【例4】已知一次函数()2 33 17k k y k x -+=-+是一次函数，求实数k 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例5】若()f x 是一次函数，且[()]87f f x x =+，求()f x 的解析式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例6】若()f x 是一次函数，且{[()]}4f f f x x =-+， （1） 求(0)f 的值； （2） 若()f m =1，求m 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】

函数的基本概念及表示法

题一：定义集合{1,2,…,n }到{1,2,…,n }上的函数f ：k →i k ，k =1,2,…,n .记作：121,2,,,,,n n i i i ?? ??? . 设121,2,,,,,n n f i i i ??= ??? ，12 1,2,,,,,n n g j j j ??= ??? (这里的j 1，j 2，…，j n n j j j ,,,21 也是1,2,…,n 这n 个整数的一个排列).定义g f 12 1,2,,,,,n n i i i ??= ??? 121,2,,,,,n n j j j ?? ??? ，其中)]([)(k g f k g f = ，k =1,2,…,n ..则? ?? ? ?????? ??4,5,1,2,35,4,3,2,13,1,2,4,55,4,3,2,1= 题二：在加工爆米花的过程中，爆开且不糊的粒数占加工总数的比率称为可食用率p .它的大小主要取决于加工时间t (单位：分钟). 做了三次实验，数据记录如图所示.已知图中三个点都在函数p =－0.2t 2+bt +c 上，则由此得到的理论最佳加工时间为 分钟. 题三：3,10 ()((5)),10x x f x f f x x -≥?=?+

一次函数的概念和性质

课题一次函数的概念及其性质 一、本次课授课目的及考点分析：授课目的： 1、掌握一次函数的定义、图象和主要性质； 2、了解一次函数与正比例函数的关系； 3、会根据已知条件求出一次函数的解析式．结合例题培养学生观察、归纳的思维和渗透数形结合思想． 教学重点： 会根据已知条件求出一次函数的解析式； 教学难点： 在y=kx+b中，k和b的数与形的联系； 二、本次课的内容：一次函数的概念、一次函数的图像、一次函数的性质 教学过程 一、错题回顾： 二、教授新课： (一)复习 1．写出正比例函数的解析式． 2．正比例函数的图象是什么形状？当k＞0，k＜0时，图形的位置怎样？ (二)新课 这些函数的共同的特点都是含自变量的一次式． (1)一次函数的一般形式：一般地．如果y=kx+b①(k，b是常数，k≠0)．那么y叫做x的一次函数． (2)一次函数与正比例函数的关系．当b=0时，①式为y=kx是正比例函数．所以，正比例函数是一次函数的特殊情况． (3)两个条件确定一次函数式．因为一次函数含有两个系数k，b．而要求两个系数k，b需要列出两

个独立且不矛盾的方程，也就是说要想求出一个一次函数式，需要两个条件． 例1已知x是自变量，a，b是常量，下面各式中，是x的一次函数的是[ ]． (A)(1) (B)(1)，(5) (C)(1)，(2)，(4) (D)(1)，(2)，(4)，(6) 这六个式子是 (1)y=3x+5；(2)3x+5；(3)y=3x2+5； 分析：(3)是二次函数，(5)是分式函数，这两个都不是一次函数．容易被认为不是一次函数的是(4)3a+5x，因为其中没有y，即不是y=3a+5x形式．其实3a+5x本身就是x的函数，y=3a+5x只是用字母y来表示3a+5x而已，所以本题应选(D)． 例2已知y是x的一次函数，当x=3时，y=5；当x=2时，y=2；则x=-2时，y=______． 解：设此一次函数式为y=kx+b．由已知，可列出方程组 所求的一次函数为y=3x-4，所以x=-2时，y=3(-2)-4=-10． (4)一次函数图象与正比例函数的图象的关系． 我们从下面的列表，观察、归纳.

函数的定义及表示方法

函数的定义及表示方法 1若函数()f x 满足(21)1f x x -=+，则(1)f = ． 2函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)() f x f x += ，若(1)5f =-，则((5))f f = ． 3若函数2(21)2f x x x +=-，则(3)f = ． 4已知函数2 2 (),1x f x x R x =∈+. （1）求1()()f x f x +的值； （2）计算：111 (1)(2)(3)(4)()()()234 f f f f f f f ++++++. 5已知,a b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++求5a b -的值 6设函数3 (100)(),(89).[(5)](100)x x f x f f f x x -≥?=? +

一次函数的图象和性质(基础)知识讲解

一次函数的图象与性质（基础） 【学习目标】 1. 理解一次函数的概念，理解一次函数y kx b 的图象与正比例函数y kx 的图象之间的关系； 2. 能正确画出一次函数y kx b 的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有 关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题． 3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．【要点梳理】 要点一、一次函数的定义 一般地，形如y kx b （k , b是常数，k工0）的函数，叫做一次函数? 要点诠释：当b = 0时，y kx b即y kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函 数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k，b的要求, 一次函数也被称为线性函数. 要点二、一次函数的图象与性质 1. 函数y kx b （k、b为常数，且k工0）的图象是一条直线； 当b >0时，直线y kx b是由直线y kx向上平移b个单位长度得到的； 当b v0时，直线y kx b是由直线y kx向下平移| b l个单位长度得到的? 2. 一次函数y kx b （k、b为常数，且k工0）的图象与性质：

3. 、对一次函数y kx b的图象和性质的影响: k决定直线y kx b从左向右的趋势，b决定它与y轴交点的位置，k、b 一起决定 直线y kx b经过的象限. 4.两条直线11: y k1x b和l2: y k2x b2的位置关系可由其系数确定： （1）k i k2 l i 与 J 相交；（2）k i k2，且b i b2 h 与 J平行； 要点三、待定系数法求一次函数解析式 一次函数y kx b （k , b是常数，k丰0）中有两个待定系数k , b，需要两个独立 条件确定两个关于k, b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x, y的值. 要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法?由于一次函数y kx b中有k和b两个待定系数，所 以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式? 要点四、分段函数 对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的

必修1：函数的概念和图象(苏教版)

2.1.1函数的概念和图象（一） 学习目标： 使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法；理解静与动的辩证关系. 教学重点： 函数的概念，函数定义域的求法. 教学难点： 函数概念的理解. 教学过程： 一、情境设置 问题一：在初中，我们已经学习了函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的？ （几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述）. 设在一个变化的过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量. 我们学习了函数的概念，并且具体研究了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，请同学们思考下面两个问题： 问题二：y ＝1（x ∈R ）是函数吗？ 问题三：y ＝x 与y ＝x 2 x 是同一个函数吗？ （学生思考，很难回答） 显然，仅用上述函数概念很难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数概念（板书课题）. 二、学生活动 在现实生活中，我们可能遇到下列问题： ⑴估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至1999年人口数据资料如表所示，你能根据这个表说出我国人口变化情况吗？ ⑵一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式y ＝4.9x 2 .若一物体下落2s ，你能求出它下落的距离吗？ ⑶ ①上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？

②在什么时刻，气温为0℃？ ③在什么时刻内，气温在0℃以上？ 问题四：在上述例子中，是否确定了函数关系？为什么？ 三、建构数学 问题五：如何用集合的观点来阐述上面三个例子中的共同特点？ 对于集合A 中的任意一个数，按照某种对应关系，集合B 中都有惟一的数和它对应. 问题六：如何用集合的观点来理解函数的概念？ 结论：函数是建立在两个非空数集之间的单值对应. 反思：⑴结论是否正确地概括了例子的共同特征？ ⑵比较上述认识和初中函数概念是否有本质上的差异？ ⑶正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数是否也具有上述特征？ 问题七：如何用集合的语言来阐述上面三个例子中的共同特点？ 对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 和它对应，记作：f ：A →B. 函数的定义 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为 y ＝f(x)，x ∈A 其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数的定义域. 强调： ⑴集合A 与集合B 都是非空数集； ⑵对应法则的方向是从A 到B ； ⑶强调“非空”、“每一个”、“惟一”这三个关键词. 说明： ⑴“单值对应”是函数对应法则的根本特征； ⑵“箭头图”给出了“单值对应”从一个集合到另一个集合的方向性； ⑶“输入”与“输出”的关系. 学生练习P29习题2.1⑴T10 反思：回答问题二、问题三 函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题. y=1（x ∈R ）是函数，因为对于实数集R 中的任何一个数x ，按照对应关系“函数值是1”，在R 中y 都有惟一确定的值1与它对应，所以说y 是x 的函数. Y ＝x 与y ＝x 2 x 不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但y ＝x 的定义域是R ， 而y ＝x 2 x 的定义域是{x|x ≠0}. 所以y ＝x 与y ＝x 2 x 不是同一个函数. 问题九：理解函数的定义，我们应该注意些什么呢？ （教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结） 注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应. ②符号“f:A →B ”表示A 到B 的一个函数，它有三个要素；定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.（定义域→优先，对应法则→核心） ③集合A 中数的任意性，集合B 中数的惟一性. ④f 表示对应关系，在不同的函数中，f 的具体含义不一样. ⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f 与x 的乘积.

函数的概念及表示方法

函数的概念及表示方法 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 数)(x y ?=的图象与直线a x =的交点个数为（ ） A 、必有1个 B 、1个或2个 C 、至多1个 D 、可能2个以上 2、 下列四组中的函数 )(x f 与)(x g ，表示相同函数的一组是（ ） A 、2)()(,)(x x g x x f == B 、1)(,11)(2-=-+=x x g x x x f C 、 x x x g x x f ==)(,)(0 D 、2)(,)(x x g x x f == 3、 下列选项正确的是（ ） （1）x x y -+-= 12可以表示函数 （2）521=-+-y x 可以表示函数（3）122=+y x 可以表示函数 （4）12=+y x 可以表示函数 A 、 （2）（4） B 、（1）（3） C 、（1）（2） D 、（3）（4） 4、下列关于分段函数的叙述正确的是（ ） （1） 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集 （2）分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应法则，但它们是同一个函数 （3）若21,D D 分别是分段函数的两个不同对应法则的值域，则Φ=21D D I A 、 （1） B 、（2）、（3） C 、（1）、（2） D 、（1）、（3） 5、设2:x x f →是集合A 到B 的映射，如果{}2,1=B ，那么B A I =( ) A 、 Φ B 、 {}1 C 、Φ 或{}2 D 、Φ或{}1 6、若函数)(x f 满足),)(()()(R y x y f x f y x f ∈+=+，则下列各项不恒成立 的是（ ） A 、0)0(=f B 、)1(3)3(f f = C 、)1(2 1)21(f f = D 、0)()(<-x f x f 7、将x y 1=的图像变换至函数23++=x x y 的图像，需先向 平移 个单位，再向 平移 个单位（ ） A 、左,2，上，1 B 、左，2，下，1 C 、右，2，上，1 D 、右，2，上，1 8、已知函数)(x f 的定义域是),(b a ，其中b>a+2,则)13()13()(+--=x f x f x f 的定义域是（ ）