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工程数学复习题

工程数学复习题 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

工程

数学复习题

一、单项选择题

1. 设i z i z 26,2121+-=-=，,则21z z +的幅角为【 D 】 A. 2π-

B. 2

C. 0

D. π 2.常数1的傅氏变换为【 C 】

A. )(ωδ

B. )(ωπδ

C. )(2ωπδ

)(1

ωπδω

+j 3. 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在0z 点可导的充要条件是【C 】 A. ),(),,(y x v y x u 在0z 点可. 在0z 点

v y u y v x u ??-=????=??, C. 在0z 点),(),,(y x v y x u 可微且

y u y v x u ??-=????=??, D. )(z f 在0z 点连续4.1-=z 是函数3

)

1()1()(++=z z z z f 的【B 】 A. 二级零点 B. 三级零点 C. 二级极点 D. 三级极点 5. t j e 0ω的傅氏变换为【B 】

A. )(0ωωδ-

B. )(20ωωπδ-

C. )(2ωπδ

D. 2π 6.幂级数在收敛圆内【 D 】

（A ）可以积分两次（B ）可能发散（C ）可能收敛 (D)绝对收敛 7. 1的拉氏变换为【A 】

A. s

B. js 1

C. )(s πδ

D. )(1s js πδ+

8.t 3sin 的拉氏变换为【 D 】

31-s B. s 1 C. 92+s s D. 9

32+s 9.若函数)(z f 在0z 不连续，则【D 】

A. )()(lim 00

z f z f z z =→ B. []0)()(lim 00

=-→z f z f z z

C. )()(lim 000

z f z z f z =?+→? D. []0)()(lim 00

≠-→z f z f z z

10.幂级数∑∞

)3(n n z 的收敛半径是【 B 】

A. 1

B. 3

C. 0

D. 3

11.函数z e 在00=z 展开成的泰勒级数是【A 】

A. ∑∞

=0!n n n z B. ∑∞

=++-0

11)1(n n n n z

C. ∑∞

=++-012)!12()1(n n n

n z D. ∑∞

=-0

2)!2()1(n n n n z 12.设0z 是)(z f 的孤立奇点, 0z 是)(z f 的二级极点，则=]),([Re 0z z f s 【D 】 A. 1c B. )()(lim 00

z f z z z z -→ C. 0 D. []

)()(d d

lim

200z f z z z

z z -→ 13.设0z 是)(z f 的孤立奇点, 0z 是)(z f 的4级极点，则=]),([Re 0z z f s 【 A 】

A.[]

)()(d d lim 4033

0z f z z z z z -→ B.)()(lim 00

z f z z z z -→ C. 0 D. []

)()(d d

lim

200z f z z z

z z -→ 14. 设i z i z 26,7621+-=-=，,则21z z +的幅角为【 A 】 A. 2π-

B. 2

C. 0

D. π 15. 8的拉氏变换为【A 】

A. s

B. js 8

C. )(8s πδ

D. )(81s js πδ+

16.若函数)(z f 在0z 不连续，则【D 】

A. )()(lim 00

z f z f z z =→ B. []0)()(lim 00

=-→z f z f z z

C. )()(lim 000

z f z z f z =?+→? D. )()(lim 00

z f z f z z ≠→

17.若)(z f ,)(z g 在单连域G 内解析且0)(≠z g ，C 为G 内任意一条闭曲线，则

[]=?C

dz z g z f )(/)(【A 】

A. 0

B. )0(/)0(2g if π

C. i π2

D. π2

18. 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在0z 点解析的充要条件是【C 】 A. ),(),,(y x v y x u 在0z 点可. 在0z 点

v y u y v x u ??-=????=??, C. 在0z 点),(),,(y x v y x u 可微且x

v y u y v x u ??-=????=??, D. )(z f 在0z 点可导 19.3)(z z f =在z 平面上【C 】

A. 可导不解析

B. 连续不可导

C. 处处解析

D. 有奇点

20.设)(z f 在单连域G 内解析，C 为G 内任意一条正向简单闭曲线, 0z 是C 内的一点，则积分()

=-?C

dz z z 501

【B 】 A.

!42i π B. 0 C. i π2 D. 2

π 21.若)(z f ,)(z g 在单连域G 内解析，C 为G 内任意一条闭曲线，则

[]=??C

dz z g z f )()(【A 】

A. 0

B. )0()0(2g if π

C. i π2

D. π2 22. 20的拉氏变换为【 A 】 A.

B. js 20

C. )(40s πδ

D. )(51s js πδ+

23.t 5sin 的拉氏变换为【 D 】

51-s B. s 1 C. 252+s s D. 25

52+s 24.常数5的傅氏变换为【C 】

A. )(10ωδ

B. )(20ωπδ

C. )(10ωπδ

)(51

ωπδω

+j 25.设)(z f 在区域G 内解析，C 为G 内任意一条正向简单闭曲线, 0z 是C 内的一点，则积分()

=-?C

dz z z z 5

【 B 】

!42i π B. 0 C. i π2 D. 2

π 26.z z z z f cos sin )(+=在z 平面上【C 】

A. 可导不解析

B. 连续不可导

C. 处处解析

D. 有奇点 27.幂级数在收敛圆内( A )

A. 可以积分任意次

B. 必发散

C. 可能收敛,可能发散

D. 非绝对收敛 28. t 6cos 的傅氏变换为【B 】

A. [])6()6(--+ωδωδπ

B. [])6()6(-++ωδωδπ

C. [])6()6(--+ωδωδπj

D. [])6()6(-++ωδωδπj 29.函数)1ln(z +在00=z 展开成的泰勒级数是【B 】

A. ∑∞

=0!n n n z B. ∑∞=++-0

11)1(n n n n z C. ∑∞

=++-012)!12()1(n n n

n z D. ∑∞

=-0

2)!2()1(n n n n z 30.设)(z f 在单连域G 内解析，C 为G 内任意一条正向简单闭曲线, 0z 是C 内的一点，则积分()

=-?

dz z z z f 50)

(【A 】 A. !

4)(20)4(z if π B. 0 C. )(20z if π D. )0(2)4(if π

31.常数10的傅氏变换为【 B 】

A. )(20ωδ

B. )(20ωπδ

C. )(10ωπδ

)(101

ωπδω

+j 32. 设i z i z 22,5221+-=-=，,则=+2155z z 【B 】 A. 15- B. 15 C. 25 D. 25- 33. t 6sin 的傅氏变换为【C 】

A. [])6()6(--+ωδωδπ

B. [])6()6(-++ωδωδπ

C. [])6()6(--+ωδωδπj

D. [])6()6(-++ωδωδπj

34.1-=z 是函数3

)

1()1()(-+=z z z z f 的【A 】 A. 可去奇点 B. 本性奇点 C. 二级极点 D. 三级极点 35.若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在000iy x z +=连续，则【C 】 A. ),(y x u 在),(00y x 不连续 B. ),(y x v 在),(00y x 不连续 C. ),(y x u ，),(y x v 在),(00y x 均连续 D. )()(lim 00

z f z f z z ≠→

36. 10的拉氏变换为【A 】 A.

B. js 10

C. )(10s πδ

D. )(101s js πδ+

37.函数z cos 在00=z 展开成的泰勒级数是【D 】

A.∑∞

=0!n n n z B. ∑∞

=++-0

11)1(n n n n z C. ∑∞

=++-012)!12()1(n n n

n z D. ∑∞

=-0

2)!2()1(n n n n z 38.t e 5的拉氏变换为【A 】 A.

51-s B. s 1 C. 252+s s D. 25

52+s 39.幂级数在收敛圆内【A 】

A. 可以微分任意次

B. 必发散

C. 可能收敛,可能发散

D. 非绝对收敛 40.幂级数∑

∞

=+0

11n n

z n 的收敛半径是【A 】 A. 1 B. +∞ C. 0 D. 2

41. 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的条件是【 C 】 A. ),(),,(y x v y x u 在区域D 内可. 在区域D 内

y u y v x u ??-=????=??, C. 在区域D 内),(),,(y x v y x u 可微且

v y u y v x u ??-=????=??, D. 以上都不对 42.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在000iy x z +=连续的条件是【C 】 A. ),(y x u 在),(00y x 连续 B. ),(y x v 在),(00y x 连续 C. )()(lim 00

z f z f z z =→ D. )()(lim 00

z f z f z z ≠→

43.1=z 是函数3

)

1()1()(--=z z z z f 的【A 】 A. 可去奇点 B. 本性奇点 C. 二级极点 D. 三级极点 44. 设i z i z 22,5221+-=-=，,则=+2155z z 【A 】 A. i 15- B. i 15 C. i 55+ D. i 55-、

45.幂级数∑∞

=0!

n n

n z 的收敛半径是【B 】

A. 1

B. +∞

C. 0

D. 2 46. 下列说法正确的是【A 】

A. 若)(z f 在0z 某个邻域内处处可导，则)(z f 在0z 处解析

B. 若)(z f 在0z 不解析，则)(z f 在0z 处不可导

C. 若)(z f 在0z 处不可导，则)(z f 在0z 处不连续

D. 若)(z f 在0z 处连续，则)(z f 在0z 可导

47.设0z 是)(z f 的孤立奇点, 0z 是)(z f 的一级极点，则=]),([Re 0z z f s 【 D 】 A. 1c B. 1 C. -1 D. )()(lim 00

z f z z z z -→

48.1=z 是函数3

1(1

)(-=

z z z f 的【D 】 A. 可去奇点 B. 本性奇点 C. 二级极点 D. 三级极点 49.常数5的傅氏变换为【B 】

A. )(10ωδ

B. )(10ωπδ

C. )(2ωπδ

)(51

ωπδω

+j 50.设)(z f 在单连域G 内解析，C 为G 内任意一条正向简单闭曲线, 0z 是C 内的一点，则积分=-?

dz z z z f 0

)

(【 A 】 A. )(20z if π B. 0 C. i π2 D. )0(2if π 51.t e 3的拉氏变换为【A 】 A.

31-s B. s 1 C. 92+s s D. 9

32+s 52.幂级数∑∞

=??

??042n n

z 的收敛半径是【D 】

A. 4

C. 0

D. 2 53.z z f sin )(=在z 平面上【C 】

A. 可导不解析

B. 连续不可导

C. 处处解析

D. 有奇点 54. t 0sin ω的傅氏变换为【C 】

A. [])()(00ωωδωωδπ--+

B.[])()(00ωωδωωδπ-++

C. [])()(00ωωδωωδπ--+j

D. [])()(00ωωδωωδπ-++j 55.)(z f ,)(z g 在单连域G 内解析，C 为G 内任意一条闭曲线，则

[]=-?C

dz z g z f )()(【A 】

A. 0

B. )0(2if π

C. i π2

D. π2 56.i z =是函数3

1(1

)(+=

z z z f 的【D 】 A. 可去奇点 B. 本性奇点 C. 二级极点 D. 三级极点

57.设)(z f 在区域G 内解析，C 为G 内任意一条正向简单闭曲线, 0z 是C 内的一点，则积分()

=-?

dz z z z f 20)

(【A 】 A. )(20z f i 'π B. 0 C. i π2 D. )0(2f i 'π 58.幂级数在收敛圆上【 C 】

A. 必收敛

B. 必发散

C. 可能收敛,可能发散

D. 绝对收敛 59.幂级数在收敛圆内【D 】

（A ）收敛于非解析函数)(z f （B ）必发散（C ）可能收敛,可能发散 (D)绝对收敛

60.函数)(z f 在0z 的某个邻域内展开成泰勒级数的条件是【A 】 A. )(z f 在0z 的某个邻域内解析 B. )(z f 在0z 的某个邻域内连续 C. )(z f 在0z 可导 D.)(z f 在0z 连续且可导 61.函数z sin 在00=z 展开成的泰勒级数是【C 】

A. ∑∞

=0!n n n z B. ∑∞

=++-0

11)1(n n n n z C. ∑∞

=++-012)!12()1(n n n

n z D. ∑∞

=-0

2)!2()1(n n n n z 62.z e z f =)(在z 平面上【C 】

A. 可导不解析

B. 连续不可导

C. 处处解析

D. 有奇点 63.常数3的傅氏变换为【 C 】

A.)(6ωδ

B. )(2ωπδ

C. )(6ωπδ

D. )(1

ωπδω

+j 64. 下列说法正确的是【 B 】

A. 若)(z f 在0z 处可导，则)(z f 在0z 处解析

B. 若)(z f 在0z 处解析，则)(z f 在0z 处可导

C. 若)(z f 在0z 处可导，则)(z f 在0z 处不连续

D. 若)(z f 在0z 处连续，则)(z f 在0z 可导 65. 5的拉氏变换为【 A 】

A. s

B. js 5

C. )(5s πδ

D. )(1s js πδ+

66. 设i z i z 32,4321+-=-=，,则=+2164z z 【A 】 A. i 2 B. 2 C. i 22+ D. i 22-

67.设0z 是)(z f 的孤立奇点, 0z 是)(z f 的本性奇点，则=]),([Re 0z z f s 【D 】 A. 1c B. 1 C. -1 D. 1-c 68. t 0cos ω的傅氏变换为【B 】

A. [])()(00ωωδωωδπ--+

B. [])()(00ωωδωωδπ-++

C.[])()(00ωωδωωδπ--+j

D. [])()(00ωωδωωδπ-++j 69.)(z f ,)(z g 在单连域G 内解析，C 为G 内任意一条闭曲线，则

[]=+?C

dz z g z f )()(【A 】

A. 0

B. )0(2if π

C. i π2

D. π2

70.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在000iy x z +=连续的条件是【C 】 A. ),(y x u 在),(00y x 连续 B. ),(y x v 在),(00y x 连续

C. ),(y x u ，),(y x v 均在),(00y x 连续

D. ),(y x u ，),(y x v 均不在),(00y x 连续

71.t 3cos 的拉氏变换为【 C 】 A.

31-s B. s 1 C. 92+s s D. 9

32+s 72.)(z f 在单连域G 内解析，C 为G 内任意一条闭曲线，则积分=?C

dz z f )(【A 】 A. 0 B. )0(2if π C. i π2 D. π2 73.幂级数∑∞

=0)2(n n z 的收敛半径是【 B 】

A. 1

C. 0

D. 2 74.设0z 是)(z f 的孤立奇点, 0z 是)(z f 的可去奇点，则=]),([Re 0z z f s 【 C 】 A. 1 B. 2 C. 0 D. -1 75.z z f cos )(=在z 平面上【 C 】

A. 可导不解析

B. 连续不可导

C. 处处解析

D. 有奇点二：填空题 1.设3

cos 2)(z

z f -=

，则0=z 是)(z f 的 3级极点 2.若函数)(z f 在00=z 处的导数为1，则)()(05z f z z f '-在0z 点的导数为【1】 3.函数)(z f 在0z 点可导，)()(0z f z z f '-在0z 点的导数为【0】

4.=?

=310

z dz z 【0】 5.=?=31z dz z

【i π2】 6.级数∑∞

)5(n n z 的收敛半径为【 1/5 】

7.kt sin （k 为常数）的傅氏变换为()()()k k j --+ωδωδπ 8. 10的幅角为【 0 】

9.函数)(z f 在0z 点可导，)(z f 在0z 点必【连续】 10. 连续函数的和、差、积仍然是【连续函数】

11.若函数)(z f 在10=z 处可导，则)()(02z f z z f '-在0z 点的导数为【)1(f '-】 12.=?z z d 1

0 【 1/2 】

13.=?z z d cos 20

【1】

14.设51)(z

e z

f z

-=，则0=z 是)(z f 的【 4级】极点

15.2t 的拉氏变换为【

2s 】 16.1的拉氏变换为【 1/s 】 17.=-?

=-133

z dz z i 2π

18.设5

2)(z

e z

f z

-=，则0=z 是)(z f 的【5级】极点 19. 3+3i 的幅角为【

π】 20.jt e 的傅氏变换为【)1(2-ωπδ】 21.)(t δ的傅氏变换为【 1 】

22.=]0,1

[

Re 12

z s 【 0】 23. i 的幅角为【 2

】

24.=-?=36

z dz z 【 0】

25.=?z z d sin 20

【 1 】

26. 解析函数的和、差、积仍然是【解析函数】 27. 幂级数的和函数在其收敛域上【解析】

28.=-?

=15

z dz z 【0】

29.=]0,51[Re z s 【 5

】

30.设3

cos sin 2)(z

z z f -=

，则0=z 是)(z f 的【3级】极点 31.t e 的拉氏变换为

1-s 32.级数∑∞

=-0

)2(n n z 的收敛半径为【1/2 】

33.)(t δ的拉氏变换为【1】

34.设 ,2,1,=+=n ib a n n n α，若∑∞

n n α收敛，则∑∞

n n α【收敛】

35. 1+2i 的模为5 36.=]0,1

[

Re 3z

s 【 0】 37.m t 的拉氏变换为【

+m s m 】 38.级数∑∞

=-0

)3(n n z 的收敛半径为【1/3 】

39. 在复数域内，断言1cos ≤z 是错误的 40.C （C 为常数）的傅氏变换为【)(2ωδπC 】 41.=]0,21[

Re z s 【 2

1】 42.设5

2)(z z z f -=，则0=z 是)(z f 的【 5级】极点

43.级数∑∞

n n z 的收敛半径为 1

44.)(t δ的傅氏变换为【1 】

45. 在复数域内，断言1sin ≤z 是【错误的】 46.函数)(z f 在0z 点解析，)(z f 在0z 点必可导 47.级数∑∞

=-0)(n n z 的收敛半径为【 1 】

48.=]0,1

[Re z

s 1

49. 1+i 的幅角为【

π】 50.设 ,2,1,=+=n ib a n n n α，则∑∞

n n α收敛的必要条件是0lim =∞

→n n α

三：名词解释 1.调和函数

如果二元实函数),(y x H 在区域D 内具有二阶连续的偏导数，并且满足拉普拉斯方程0=?H ，则称),(y x H 为区域D 内的调和函数。

2.对数函数

把指数函数的反函数叫做对数函数. 即称满足方程)0(≠=z z e w 的w 为复数z 的对数函数。

3.柯西积分定理

若函数)(z f 在单连域D 内解析，则)(z f 沿D 内任意一条闭曲线C 有

dz z f 0)(。 4.留数定理

若函数)(z f 在正向简单闭曲线C 上处处解析，在C 的内部除有限个奇点

n z z z ,,,21 外处处解析，则有[]∑?==n

k k C

z z f s i dz z f 1

),(Re 2)(π。

5.留数

设)(00∞≠z z 是函数)(z f 孤立奇点，C 为去心邻域δ<-<00z z 内任一条围绕点

0z 的正向简单闭曲线，则称积分

?C dz z f i )(21

π为)(z f 在点0z 处的留数。

6.拉氏变换

设函数)(t f 当0≥t 时有定义，且积分?+∞

-0

)(dt e t f st (s 为复参量)在s 的某个域内

收敛，则由此积分所确定的函数?+∞-=0

)()(dt e t f s F st 称为函数)(t f 的拉氏变换.

7. 洛朗级数

把含有0z z -的正负整数次幂的级数叫洛朗级数。 8. m 级零点

若)(z f 在0z 点的泰勒级数()n

n n z z c z f 0)(-=∑∞

=所含0z z -的最低次幂为()m

z z 0-，

其中0≠m c ，则称0z 是)(z f 的m 级零点。

9.本性奇点

如果函数)(z f 在点0z 的洛朗级数中，含有无限多个0z z -的负幂项，则称孤立奇点0z 是函数)(z f 的本性奇点。

10.拉氏变换卷积定义

设函数)(),(21t f t f 满足条件，当0

-t

t f f 0

21d )()(τττ为函数)(1t f 与)(2t f 的卷积。 11.解析函数高阶导数公式

若函数)(z f 在正向简单闭曲线C 上及其内部解析，则对于C 内的任意一点0z 有

?+-=

C n n dz z z z f i n z f 100)()

()

(2!)(π ),2,1( =n 。 12. 解析函数

如果函数)(z f 在区域D 内处处解析，称)(z f 是区域D 上的解析函数。 13 区域

平面点集D 是连通的开集，称D 是区域。 14.m 级极点

如果函数)(z f 在点0z 的洛朗级数中，只含有有限多个0z z -的负幂项，且关于

10)(--z z 的最高幂为m z z --)(0，则称孤立奇点0z 是函数)(z f 的m 级极点。

15.函数)(z f 在0z 点解析

如果函数)(z f 在点0z 的某个邻域)(0z N δ内处处可导，则)(z f 在点0z 解析。 16.付氏变换卷积定义已知函数)(),(21t f t f ，称积分?+∞∞

--τττd t f f )()(21为函数)(),(21t f t f 的卷积

17.孤立奇点

如果函数)(z f 在点0z 不解析，但在0z 的某个去心邻域δ<-<00z z 内处处解析，则称0z 为)(z f 的孤立奇点。

18.可去奇点

如果函数)(z f 在点0z 的洛朗级数中，不含有0z z -的负幂项，则称孤立奇点0z 是函数)(z f 的可去奇点。

19.付氏变换

若函数)(t f 在()+∞∞-,上满足：（1）在任意有限区间上满足狄氏条件；（2）绝对可积，即dx x f ?

+∞∞

-)(收敛。称?+∞

∞

--=dt e t f F t j ωω)()(叫做)(t f 的傅氏变换.

20.指数函数

对任意的复数y x z i +=，规定函数)sin i (cos y y e w x +=为复数z 的指数函数四：计算题 1．计算下列积分（1）dz )1(2

442

=--z z z z

被积函数2

)1(2

4)(--=

z z z z f 在园周4=z 内有一级极点0=z 和二级极点1=z ，

由留数的计算规则：2)1(2

4lim

]0),([Re 2

0-=--=→z z z f s z

于是由留数定理得i{2dz )1(2

422

π=--?=z z z z +]0),([Re z f s ]}1),([Re z f s

（2）dz )(cos 310

?=-z i z z

函数

)

(cos i z z

-在园周3=z 内有一个奇点i z =0，而函数z z f cos )(=在3=z 上及其内部解析。

于是由解析函数的高阶导数计算公式有：

dz )(cos 310?=???? ??-z i z z =??? ??+=i i i f i 29cos !92)(!92)9(πππ =i i

sin !

92π-

2.（1）求i

23i 21???

??-及其相应的主值。主值为3

（2）判别函数)sh icos ch (sin 2)(y x y x z f +=在那些点可导，在那些点解析。

y x y x v y x y x u sh cos 2),(,ch sin 2),(==，xshy u xchy u y x sin 2,cos 2==

显然),(),,(y x v y x u 在复平面上处处可微且y x v u =，x y v u -= 所以函数)(z f 在复平面上是处处可导，处处解析。 3.函数)

1)(2(1

)(--=

z z z f 在圆环域632<-

内展开成洛朗级数。

由于632<-

于是1121)1)(2(1)(---=--=z z z z z f =∑∞

=+----01

)3()2()1(n n n

n z

4.（1）将复数i 3+-化为三角表示式和指数表示式。

i +-3的三角表示式为：??

? ??

+=+-65sin i 65cos 23ππi

i +-3 的指数表示式为i 6

523πe i =+-

（2）计算()(

)

i 3i

++-

()(

)

i i

++-

336

)

i i +?

? ??

+365sin 65cos 26

ππ

=()()

i i ++35sin 5cos 26ππ =()

i --326 5.（1）将复数2

23+

化为三角表示式和指数表示式。 2

23i

的三角表示式为：65sin i 65cos 223ππ+=+-i 223i +-

的指数表示式为i 6

23π

e i =+-

（2）计算???? ?

?+???? ??+-2i 232i 236

???

? ??+???? ??+-2232236

i i =???? ??+??? ??+22365sin 65cos 6

i i ππ =()???

??++2235sin 5cos i i ππ

23i

6.（1）求()

3i 1-及其相应的主值。

主值为2

ln 3

i e +π

（2）判别函数)sin i (cos 2)(y y e z f x +=在那些点可导，在那些点解析。

y e y x v y e y x u x x sin 2),(,cos 2),(==，y e u y e u x y x x sin 2,cos 2-==

显然),(),,(y x v y x u 在复平面上处处可微且y x v u =，x y v u -= 所以函数)(z f 在复平面上是处处可导，处处解析。 7.计算下列积分（1）dz )

1()2(8

442?

=---z z z z

被积函数)

1()2(8

4)(2---=

z z z z f 在园周4=z 内有一级极点2=z 和一级极点1=z ，

由留数的计算规则：4)

1(4

lim ]2),([Re 2=-=→z z f s z

于是由留数定理得

（2）dz )(310

8?=-+z z

i z e z

函数10

8)(i z e z z

-+在园周3=z 内有一个奇点i z =0，而函数z e z z f +=8)(在3=z 上及其内部解析。

于是由解析函数的高阶导数计算公式有：

dz )(3108?=???? ??-+z z i z e z =i

z z e i i f i ==!92)(!92)9(ππ

e i !

92π 8.计算下列积分（1）dz )1)(2(8

842

=---z z z z

被积函数2

)1)(2(8

8)(---=

z z z z f 在园周4=z 内有一级极点2=z 和一级极点1=z ，

由留数的计算规则：8)1(8

8lim ]2),([Re 2

2=--=→z z z f s z

于是由留数定理得

（2）dz )(cos 310

8?=-+z i z z

函数10

8)(cos i z z z -+在园周3=z 内有一个奇点i z =0，而函数z z z f cos )(8

+=在3=z 上及其内部解析。

于是由解析函数的高阶导数计算公式有：

dz )(cos 3108?=???? ??-+z i z z z =??? ??+=i i i f i 29cos !92)(!92)9(πππ =i i

sin !

92π-

9.（1）将复数i 3--化为三角表示式和指数表示式。

i --3的三角表示式为：??

? ??

-=--65sin i 65cos 23ππi

i --3 的指数表示式为i 6

23πe i =--

（2）计算()(

)

i 3i

36---

()(

)i i

---

336

)

i i -?

? ??

-365sin 65cos 26

ππ

=()()

i i --35sin 5cos 26ππ =()

i +-326 10.函数)

1)(2(1

)(--=

z z z f 在圆环域612<-

域内展开成洛朗级数。34.由于612<-

于是)1)(2(1

)(--=z z z f = ∑∞

=+-0

)1(1n n z

高等工程数学考试题及参考解答(仅供参考)

考试题及参考解答(参考) 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而12 15(,,)X X X 是来自X 的样本，则22 110 22 11152() X X U X X ++=++服从的分布是_______ . 解：(10,5)F ． 2，?n θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：??lim (), lim Var()0n n n n E θθθ→∞ →∞ ==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2 χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ . 解：推断各因素对试验结果影响是否显著． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计?β的协方差矩阵?βCov()=_______ . 解：1?σ-'2Cov(β) =()X X ．二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设总体~(1,9)X N ，129(,, ,)X X X 是X 的样本，则___B___ . （A ） 1~(0,1)3X N -；（B ）1 ~(0,1)1X N -；（C ） 1 ~(0,1) 9X N -；（D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的置信区间____B___ . （A ）长度变大；（B ）长度变小；（C ）长度不变；（D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的；（C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的；（D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ . （A ）T e A S S S =+；（B ） 22 (1)A S r χσ -；

工程数学试卷及答案

河北科技大学成人高等教育2016年第1学期《工程数学》考试试卷教学单位云南函授站班级姓名学号一、选择题（每小题3分，共15分） 1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。 A. 全部击中. B. 至少有一发击中. C. 必然击中 D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。 A. X 和Y 独立。 B. X 和Y 不独立。？ C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y) 3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（）。 A ．其它1||0|)|1(2)(≤? ??-=x x x f 。 B. 其它2 ||05.0)(≤???=x x f C. 0 021)(2 2 2)(<≥??? ? ???=--x x e x f x σμπ σ D. 其它0 0)(>???=-x e x f x ， 4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P , }5{2+≥=μY P P , 则有（） A. 对于任意的μ, P 1=P 2 B. 对于任意的μ, P 1 < P 2 只对个别的μ，才有P 1=P 2 D. 对于任意的μ, P 1 > P 2 设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（） A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X) ！ 6．设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*，则|A*+3A – 2E|= 。 7．设A= ??? ? ? ??-????? ??--10000002~011101110x ，则x = 。 8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概率为。 9．设随机变量X 的概率密度函数为其它A x x x f <>? ??=+-y x ke y x f y x ，则系数=k 。二、填空题（每空3分，共15分）

工程数学试题1答案-自考

装 --------------------------------- 订 --------------------------------- 线 ------------------------------------------------ 装订线左侧不要书写内容试卷类型：试卷形式：闭卷满分：100 分考试时间：分钟考试科目：专业：班级：一、填空题 (本大题共5小题，每小题2分，共10分) 1. 310- ，110 2. (21),(0,1,2,)k i k π+=±± 3. 34i e - 4. 1 5. 2i ± 二、计算下列各题的值（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 11 cos[arctan ]sin[arctan ] 2226.-------------212cos[arctan(2)]sin[arctan(2)] 11 cos[arctan arctan(2)]sin[arctan arctan(2)]---------222 -------------i i i i i i ++=--+-=--+--=（分）（分）（1分） 7. 224 (cos sin 44 i e e i π π π -+-=+----------------------（3分） 2 22()22e i ---=+=+-----------------（2分）三、证明题（本大题共5分） 8.证明：由于1Re ()2 z z z =+------------------（2分）所以 22211121221112 2Re()() z z z z z z z z z z z z z z =+=+=+----------------（3分）四、讨论题（本大题共5分） 9. 由于22()12f z x y xyi =-++-，因此22 (,)1,u x y x y =-++(,)2v x y xy =-，于是 2,2,2,2u u v v x y y x x y x y ????==-==????，------（3分）显然，上述四个一阶偏导数均连续，且C-R 方程处处满足，因此2 ()2f z z =+在复平面处处可导，处处解析。------（2分）五、计算题（本大题共7小题，每小题10分，共70分） 10. 解：22sin z z i e z dz z -=? =02(sin )(62(4z z i e z i ππ='-----=-----分）分） 11. 解：22222,2,2,2u u u u x ky k x y x y ????====????，--------------------------（2分） u 为调和函数，则有22220.u u x y ??+=?? 即220k +=，所以 1k =-。 ---------------------------（3分） (,) (0,0) 2222(3x y y v ydx xdy C xdy C xy C =++=+=+-------? ?分）所以 2 2 ()(2)f z x y i xy C =-++，又由()1,f i =- 得0.C = 从而 2 2 2 ()2f z x y xyi z =-+= ---------------------------（2分） 12. 解：0;1;1z =-分别为()f z 的二阶极点，一阶极点，一阶极点。 -----------（3分）因此 220011 Re [(),0]lim [(0)](21)!(1)(1) 2lim (1)(1) z z d s f z z dz z z z z z z →→= --+--==+--------------（3分）

初中数学定义、定理(大全)

第一篇数与代数第一节数与式一、实数 1.实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数.如:－ 3, ,0.231,0.737373…, , 等；无限不环循小数叫做无理数. 如: π, ,0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)等.有理数和无理数统称为实数. 2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。实数和数轴上的点一一对应。 3.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣。正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。如:丨－ _丨= ；丨3.14－π丨=π－3.14. 4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数。a的相反数是-a，0的相反数是0。 5.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0. 6.科学记数法：把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5. 7.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小。 8.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂。 9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数a就叫做x的平方根（也叫做二次方根式）。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根． 10．开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 11．算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0． 12．立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0． 13．开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方． 14．平方根易错点：（1）平方根与算术平方根不分，如 64的平方根为士8，易丢掉－8，而求为64的算术平方根；（2）的平方根是士，误认为平方根为士 2，应知道=2． 15.二次根式： (1)定义:___________________________________________________叫做二次根式. 16．二次根式的化简： 17．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或整数；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式． 18．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 19．二次根式的乘法、除法公式 20．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式． 21．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数． 22．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．

《高等工程数学》试题(2007年1月)

高等工程数学试题 ( 工程硕士研究生及进修生用 2007年1月 ) 注意：1. 答案一律写在本试题纸上，写在草稿纸上的一律无效； 2. 请先填好密封线左边的各项内容，不得在其它任何地方作标记； 3. 本试题可能用到的常数: ,,1448.2)14(1604 .2)13(975.0975.0==t t 0.900.900.95(11)39.9(12)8.53 1.645F F u === , , ,, . 一填空题(每空3分,共30分) 1. )(P 2t 中的多项式132)(2 +-=t t t p 在基)}2)(1(11 {---t t t , ,下的坐标向量为 . 2. 设0α是欧氏空间n V 中固定的非零向量,记0{ |0}n W V ξαξξ? =<>=∈,, ，则 )dim(=W . 3. 设111121i A i +?? =? ?-?? ，则|||| A ∞=. 4．设? ?? ? ????=c c c A 2000001，则当且仅当实数c 满足条件时，有O A k k =+∞→lim ． 5. 设??? ?????=111001A 的奇异值分解为H V ΣU A =，则 =Σ． 6. 设)(21X X ,是来自)0(~2 ,σN X 的样本，则当常数 =k 时有 10.0)()()(2 212212 21=? ?????>-+++k X X X X X X P ． 7. 对某型号飞机的飞行速度进行了15次试验，测得最大飞行速度的平均值 )s /m (0.425=x ，样本标准差2.8=s .根据长期经验，可以认为最大飞行速度X 服从正态分布) (2 σN , μ，则 μ的置信度为95%的置信区间是 ) ( , . 8. 设总体 X 的概率密度函数为 )0( . 0,0,0,)(>?????≤>=-λλλx x e x f x ,,21X X …n X ,是来自总体X 的样本, 则未知参数λ的矩估计 ?=λ. 9. 为了检验某颗骰子是否均匀，将其掷了60次，得到结果如下： 11 10137811 6 54321 数频出现点数则2χ拟合优度检验中的检验统计量=2 χ______________ . 学院（部）学号（编号）姓名修读类别（学位/进修）（密封线内请勿答题） …………………………………………密………………………………………封………………………………………线…………………………………………

经济应用数学习题及答案

经济应用数学习题第一章极限和连续填空题 1. sin lim x x x →∞=0 ； 2.函数 x y ln =是由 u y =，v u ln =，x v =复合而成的； 3当 0x → 时，1cos x - 是比 x 高阶的无穷小量。 4. 当 0x → 时，若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = 2 5. 2lim(1)x x x →∞-=2-e 选择题 1.02lim 5arcsin x x x →= （ C ）（A ） 0 （B ）不存在（C ）25 （D ）1 2.()f x 在点 0x x = 处有定义，是 ()f x 在 0x x =处连续的（ A ）（A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充分必要条件（D ）无关条件计算题 1. 求极限 2 0cos 1lim 2x x x →- 解：20cos 1lim 2x x x →-＝414sin lim 0-=-→x x x 2. x x x 10)41(lim -→＝41)41(40)4 1(lim ---→=-e x x x 3. 201lim x x e x x →--112lim 0-=-=→x e x x 导数和微分填空题 1若 )(x u 与 )(x v 在 x 处可导，则 ])()(['x v x u =2'')] ([)()()()(x v x v x u x v x u - 2.设)(x f 在0x 处可导，且A x f =')(0，则h h x f h x f h )3()2(lim 000--+→用A 的

代数式表示为 A 5 ； 32)(x e x f =，则x f x f x )1()21(lim 0--→= 4e - 。 20(12)(1)'()2,lim 2'(1)4x x f x f f x xe f e x →--==-=-解选择题 1. 设 )(x f 在点 0x 处可导，则下列命题中正确的是（ A ）（A ） 000()()lim x x f x f x x x →-- 存在（B ） 000()()lim x x f x f x x x →--不存在（C ） 00()()lim x x f x f x x →+-存在（D ） 00()()lim x f x f x x ?→-?不存在 2. 设)(x f 在0x 处可导，且0001lim (2)()4 x x f x x f x →=--，则0()f x '等于（ D ）（A ） 4 （B ） –4 （C ） 2 （D ） –2 3. 3设 ()y f x = 可导，则 (2)()f x h f x -- = （ B ）（A ） ()()f x h o h '+ （B ） 2()()f x h o h '-+ （C ） ()()f x h o h '-+ （D ） 2()()f x h o h '+ 4. 设 (0)0f = ，且 0()lim x f x x → 存在，则 0()lim x f x x → 等于（ B ）（A ）()f x ' （B ）(0)f ' （C ）(0)f （D ）1(0)2f ' 5. 函数 )(x f e y =，则 ="y （ D ）（A ） )(x f e （B ） )(")(x f e x f （C ） 2)()]('[x f e x f （D ） )}(")]('{[2)(x f x f e x f + 6函数 x x x f )1()(-=的导数为（ D ）（A ）x x x )1(- （B ） 1)1(--x x （C ）x x x ln （D ） )]1ln(1[ )1(-+--x x x x x

初中数学定义公式大全(最新整理)

初中数学定义、定理、公理、公式汇编寇本义老师直线、线段、射线 1.过两点有且只有一条直线. （简：两点决定一条直线） 2.两点之间线段最短 3.同角或等角的补角相等. 同角或等角的余角相等. 4.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 5.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. （简：垂线段最短）平行线的判断 1.平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行（简：平行于同一直线的两直线平行） 3.同位角相等，两直线平行. 4.内错角相等，两直线平行. 5.同旁内角互补，两直线平行. 平行线的性质 1.两直线平行，同位角相等. 2.两直线平行，内错角相等. 3.两直线平行，同旁内角互补. 三角形三边的关系 1.三角形两边的和大于第三边、三角形两边的差小于第三边. 三角形角的关系 1. 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°. 2.直角三角形的两个锐角互余. 3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 4.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 全等三角形的性质、判定 1.全等三角形的对应边、对应角相等. 2.边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 3.角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 4.推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 5.边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等. 6.斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 角的平分线的性质、判定性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 判定：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上. 等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角). 2.推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 . 3.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合. 4.推论 3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° . 等腰三角形判定 1 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 2.三个角都相等的三角形是等边三角形. 3.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 线段垂直平分线的性质、判定 1.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 . 2.逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 3.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合. 轴对称、中心对称、平移、旋转 1.关于某条直线对称的两个图形是全等形 2.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 3.两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 4.若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 5.关于中心对称的两个图形是全等的. 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. 6.若两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这

《高等工程数学》试卷

《高等工程数学》试题注意：1. 考试时间2.5小时，答案一律写在本试题纸上，写在草稿纸上的一律无效； 2. 请先填好密封线左边的各项内容，不得在其它任何地方作标记； 3. 可能需要的常数：0.900.950.9951.282, 1.645, 2.576u u u === 一、填空题(本题共10空，每空3分，满分30分.把答案填在题中的横线上) 1. 给定线性空间22R ?的基： 1001000000001001??????????=??????????? ?????????，，，B 及线性变换Tx Px =，其中22 011 0P x R ???=∈???? ，.则T 在基B 下的矩阵为 A =. 2. 设123{}e e e =，，B 是欧氏空间3 V 的标准正交基，令112213.y e e y e e =+=-，则由B 出发，通过Schmidt 标准正交化方法可求得12span{}y y ，的标准正交基为 (用123e e e ，，表示）． 3．设211113 01021i 0A x ???? ????==????+???? ，，其中i =. 则2|||||||| A Ax ∞?=. 4．当实常数c 满足条件时，幂级数1116 k k k c k c ∞ =?? ??-?? ∑收敛. 5．对称阵321220103A ?? ??=????的Cholesky 分解为 A =. 6．设12101210()()X X X Y Y Y ，，，，，，，是来自正态总体2~()X N μσ，的两个独立样本，则当常数 c =时，统计量4 21 10 2 5()() i i i i i i X Y c X Y ==-? -∑∑服从F 分布． 7．袋中装有编号为1~N 的N 个球(N 未知)，现从袋中有放回地任取n 个球，依次记录下球的编号为12.n X X X ，，，则袋中球的个数N 的矩估计量为? N =. 8．设12n X X X ，，，为来自总体~(1)X N μ，的样本.为得到未知参数μ的长度不超过0.2、置信度为0.99的双侧置信区间，其样本容量至少应满足 n ≥. 学院（部）修读类别（学位/进修）姓名学号（编号）（密封线内请勿答题） ……………………………………密………………………………………封………………………………………线……………………………………

工程数学练习题(附答案版)

（一）一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 设四阶行列式b c c a d c d b b c a d d c b a D = ，则=+++41312111A A A A （）. A.abcd B.0 C.2 )(abcd D.4 )(abcd 2. 设(),0ij m n A a Ax ?==仅有零解，则（） (A) A 的行向量组线性无关; (B) A 的行向量组线性相关; (C) A 的列向量组线性无关; (D) A 的列向量组线性相关; 3. 设8.0) (=A P ，8.0)|(=B A P ，7.0)(=B P ，则下列结论正确的是（）. A.事件A 与B 互不相容； B.B A ?； C.事件A 与B 互相独立； D.)()()(B P A P B A P += Y 4. 从一副52张的扑克牌中任意抽5张，其中没有K 字牌的概率为（）. A.552548C C B.52 48 C.5 54855C D.555548 5. 复数)5sin 5(cos 5π πi z --=的三角表示式为（） A ．)54sin 54(cos 5ππi +- B ．)54sin 54(cos 5π πi - C ．)54sin 54(cos 5ππi + D ．)5 4sin 54(cos 5π πi -- 6. 设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分 ?+-c n i z dz 1)(等于（） A ．1； B ．2πi ； C ．0； D ．i π21 二、填空题（每空3分，共18分） 1. 设A 、B 均为n 阶方阵，且3||,2|| ==B A ，则=-|2|1BA . 2. 设向量组()()() 1231,1,1,1,2,1,2,3,T T T t α=α=α=则当t = 时, 123,,ααα线性相关. 3. 甲、乙向同一目标射击，甲、乙分别击中目标概率为0.8， 0.4，则目标被击中的概率为 4. 已知()1,()3E X D X =-=，则2 3(2)E X ??-=??______.

初中数学概念及定义总结

初中数学概念、定义总结及常用公式 1.三角形三条边的关系定理：三角形两边的和大于第三边推论：三角形两边的差小于第三边 2.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 推论1 直角三角形的两个锐角互余推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和推论3 三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的内角 3.角的平分线性质定理在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定定理到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上 4.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边推论2 等边三角形的各角都相等，并且每一个角等于60° 5.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形推论3 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 6.线段的垂直平分线定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上轴对称和轴对称图形定理1 关于某条之间对称的两个图形是全等形定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3 两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那这两个图形关于这条直线对称 7.勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方，即 a2＋ b2＝ c2 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形 8.四边形定理任意四边形的内角和等于360° 9.多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n － 2）·180° 推论任意多边形的外角和等于360° 10.平行四边形及其性质性质定理1 平行四边形的对角相等性质定理2 平行四边形的对边相等推论夹在两条平行线间的平行线段相等性质定理3 平行四边形的对角线互相平分平行四边形的判定判定定理1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定定理2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定定理3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定定理4 对角线互相平分的四边形是平行四边形判定定理5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 11.矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角性质定理 2 矩形的对角线相等推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 12.菱形性质定理1 菱形的四条边都相等性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角判定定理1 四边都相等的四边形是菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 13.正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 14.中心对称和中心对称图形定理 1 关于中心对称的两个图形是全等形定理 2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点

高等工程数学题(南理工高等工程数学考题)

南京理工大学工程硕士高等工程数学学位课程考试试题（2010.3）（一）矩阵分析一．（6分）设,021320012???? ? ??-=A 求21,,A A A ∞值。二．（8分）已知函数矩阵：22222222222223332t t t t t t At t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ?? --- ? =--- ? ?---? ? ，求矩阵.A 。三．（10分）已知矩阵82225 42 4 5 --=A ，()??? ? ? ??=099t t e e t b （1）求At e ；（2）求解微分方程()()()()()?? ? ??=+=T x t b t Ax dt t dx 2,0,10。四．（10分）给定3 R 的两个基 ()T x 1,0,11= ()T x 0,1,22= ()T x 1,1,13= ()T y 1,2,11-= ()T y 1,2,22-= ()T y 1,1,23--= 定义线性变换：i i y Tx = ()3,2,1=i （1）写出由基321,,x x x 到基321,,y y y 的过渡矩阵；（2）写出T 在基321,,x x x 下的矩阵；（3）写出T 在基321,,y y y 下的矩阵。五．（8分）给定(){} R a a A R ij ij ∈==??222 2（数域R 上的二阶实矩阵按矩阵的加法和数乘构成的线性空间）的子集 {}022112 2=+∈=?a a R A V （1）证明V 是2 2?R 的线性子空间；

工程数学试卷与答案汇总(完整版)

1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。 A. 全部击中. B. 至少有一发击中. C. 必然击中 D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。 A. X 和Y 独立。 B. X 和Y 不独立。 C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y) 3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（）。 A ．其它1||0|)|1(2)(≤???-=x x x f 。 B. 其它2 ||05.0)(≤? ??=x x f C. 0 021)(2 2 2)(<≥??? ? ???=--x x e x f x σμπ σ D. 其它0 0)(>???=-x e x f x ， 4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P , }5{2+≥=μY P P , 则有（） A. 对于任意的μ, P 1=P 2 B. 对于任意的μ, P 1 < P 2 C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2 D. 对于任意的μ, P 1 > P 2 5．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（） A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)

6．设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*，则|A*+3A –2E|= 。 7．设A= ??? ? ? ??-????? ??--10000002~011101110x ，则x = 。 8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概率为。 9．设随机变量X 的概率密度函数为其它A x x x f <>?? ?=+-y x ke y x f y x ，则系数=k 。 11．求函数t e t f β-=)(的傅氏变换 (这里0>β)，并由此证明：二、填空题（每空3分，共15分）三、计算题（每小题10分，共50分）

工程数学试题与答案

仲恺农业工程学院试题答案与评分标准《工程数学Ⅰ》2008至2009 学年度第 2 学期期末(A)卷一、单项选择题(3* 8分) 二.填空题(３*7分) 1. 5 . 2.1 11 . 3. 0、7 . 4. 0、7 . 5. 1 . 6. 0、1915 . 7. 3 μ. 三.计算题(本大题共2小题,每小题5分,满分10分) 1.设方阵A= 211 210 111 - ?? ? ? ? - ?? , 113 432 B - ?? = ? ?? ,解矩阵方程XA B =、解: 1 101 1 232 3 330 A- ?? ? =-- ? ? - ?? 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、3分1 221 82 5 33 X BA- - ?? ? == ? -- ? ?? 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5分 2.某人对同一目标进行5次独立射击,若每次击中目标的概率就是2 3 ,求 (1)至少一次击中目标的概率; (2)恰有3次击中目标的概率。

解:(1) 5124213243??-= ??? 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 3分 (2) 323 5 218033243C ????= ? ?????、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 5分四.计算题(本大题共2小题,每小题6分,满分12分) 1.计算2 51237 1459 2746 12D ---=--. 解:25 12152237 14021659 270113461 20120D -----==----、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、3分 152 21522011 3011390216003001 200033--===----、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、6分 2.某工厂有三个车间生产同一产品,第一车间的次品率为0、05,第二车间的次品率为0、03,第三车间的次品率为0、01,各车间的产品数量分别为2500,2000,1500件,出厂时三个车间的产品完全混合,现从中任取一件产品,求该产品就是次品的概率。解:设B ＝{取到次品},i A ＝{取到第i 个车间的产品},i ＝1,2,3,则123,,A A A 构成一完备事件组。……………… ……… …… …………… ………2分利用全概率公式得, ∑=++==3 1332211)()()()()()()()()(i i i A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B P

高等工程数学训练题

《高等工程数学》训练题 I 、矩阵论部分 1、在线性空间V=R 2 ×2 中，??? ? ??=???? ??=???? ??=???? ? ?=1111,0111,0011,00 014321ββββ是V 的一个基，则a b c d V α?? ?=∈ ??? ，α在{}4321,,,ββββ下的坐标为???? ?? ? ??---d d c c b b a 。 2、设α1=(1,1,-2,1),α2=(2,7,1,4), α3=(-3,2,11,-1), β1=(1,0,0,1), β2=(1,6,3,3)，令V 1=L(α1, α2, α3)，V 2=L(β1, β2)， (1)求dim(V 1+V 2)及V 1+V 2的一个基； (2)求)V dim (V 21I 。解：(1)对下列矩阵施行如下初等行变换 ?? ? ?? ? ? ??-→??????? ??--→??????? ??--→???? ?? ? ??--→??????? ? ?---==00000 010******* 11321 010000200010110113215155052550101 1011321'202 2 0525 505155 011 32 1311413011126027111321)(21321T T T T T A ββααα ∴r(A)=3 ∴r(α1, α2, α3, β1, β2)=3 ∴dim(V 1+V 2)=3 可选{α1, α2, β1}为V 1+V 2的基 (2)∵dim V 1=r{α1, α2, α3}=2,dimV 2=r{β1, β2}=2 ∴dim(V 1∩V 2)=dimV 1+dimV 2-dim(V 1+V 2)=2+2-3=1 。 3、设V 是数域F 上的n 维线性空间，T 是V 的一个线性变换，证明（1）dimT(V)+dimker(T)=n 。（2）若T 在{}12,,,n αααL 下对应矩阵为A ，则 rankT=dimT(V)=r(A)。证：令t=dimker(T) 取12,,,t αααL 是ker(T)的一个基，扩充得121,,,,,t t n ααααα+L L 是V 的一个基。下证1t n T T αα+L 是T(V)的一个基（略）

高等工程数学第六章习题及答案

第6章常微分方程数值解法讨论一阶常微分方程初值问题 (,),, ()dy f x y a x b dx y a η ?=≤≤????=?? (6.1.1) 的数值解法. 数值解法可区分为两大类： (1) 单步法：此类方法在计算1n x + 上的近似值1y n + 时只用到了前一点n x 上的信息.如 Euler 法， Runge-Kutta 法，Taylor 级数法就是这类方法的典型代表. (2) 多步法：此类方法在计算 1y n +时，除了需要n x 点的信息外，还需要12,,n n x x -- ，等前面若干个点上的信息.线性多步法是这类方法的典型代表. 离散化方法 1. Taylor(台劳)展开方法 2. 化导数为差商的方法 3. 数值积分方法一、线性多步法基本思想：是利用前面若干个节点上()y x 及其一阶导数的近似值的线性组合来逼近下一个节点上()y x 的值. 1．一般公式的形式 10 1 ',,1,, p p n i n i i n i i i y a y h b y n p p +--==-= +=+∑∑ 其中 i a ,i b 为待定常数，p 为非负整数. 说明： (1)在某些特殊情形中允许任何i a 或i b 为零，但恒假设p a 和p b 不能同时全为零，此时称为1p +步法，它需要 1p +个初始值01,,,.p y y y 当0p =时，定义了一类1步法，即称单步法. (2) 若1 0b -=，此时公式的右端都是已知的，能够直接计算出1n y +，故此时称为显式方法；若10b -≠，则公式的右端含有未知项111'(,),n n n y f x y +++=此时称其为隐式方法. 2．逼近准则准确成立： 10 1 ()()'(),,1,. p p n i n i i n i i i y x a y x h b y x n p p +--==-= +=+∑∑

国家开放大学电大工程数学复习题精选及答案

《工程数学》期末综合练习题工程数学（本）课程考核说明（修改稿） I. 相关说明与实施要求本课程的考核对象是国家开放大学（中央广播电视大学）理工类开放教育专升本土木工程专业及水利水电工程专业的学生。本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。考核成绩由形成性考核成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格。其中形成性考核成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%。形成性考核的内容及成绩的评定按《国家开放大学（中央广播电视大学）人才培养模式改革与开放教育试点工程数学形成性考核册》的规定执行。工程数学(本)课程考核说明是根据《国家开放大学（中央广播电视大学）专升本“工程数学（本）”课程教学大纲》制定的，参考教材是《大学数学——线性代数》和《大学数学——概率论与数理统计》（李林曙主编，中央广播电视大学出版社出版）。考核说明中的考核知识点与考核要求不得超出或超过课程教学大纲与参考教材的范围与要求。本考核说明是工程数学（本）课程期末考试命题的依据。工程数学（本）是国家开放大学（中央广播电视大学）专升本土木工程专业学生的一门重要的必修基础课，其全国统一的结业考试（期末考试）是一种目标参照性考试，考试合格者应达到普通高等学校理工类专业的本科水平。因此，考试应具有较高的信度、效度和一定的区分度。试题应符合课程教学大纲的要求，体现广播电视大学培养应用型人才的特点。考试旨在测试有关线性代数、概率论与数理统计的基础知识，必要的基础理论、基本的运算能力，以及运用所学基础知识和方法，分析和解决问题的能力。期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，在此基础上突出重点。考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次。三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5。试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例为：4:4:2。试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题包括计算题和证明题，求解解答题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。三种题型分数的百分比为：单项选择题15%，填空题15%，解答题70%（其中证明题6%）。期末考试采用半开卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟。 II. 考核内容和考核要求考核内容分为线性代数、概率论与数理统计两个部分，包括行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值及二次型、随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础等方面的知识。