太原理工大学线性代数期末考试题

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太原理工大学 线性代数 试卷（A ）

适用专业：2016级理工、文、经管等专业 考试日期：2017.6.25 时间：120 分钟 共 8 页

一、本题共15小题，每小题2分，共30分。

1-8题为填空题：

1．已知线性方程组??

?

??=+=+-=++00043z ky ky

x z y kx 有非零解，则=k _________. 2．二次型3231212

322213212422),,(x x x x x x tx x x x x x f +++++=的秩为2，则t =_______.

3．若可逆矩阵???? ??=d c b a A ，???

?

??++=d d c b b a AB ，则矩阵=B . 4．设四阶方阵1(α=A 2α 3α)4α且=β+1α-2α3α4α+，则方程组β=Ax 的一个解向

量=x . 5．方程组??

?=-+=++3

7431

321321x x x x x x 与132321=++x x x 的公共解为 .

6. 已知T 是线性空间2

R 上的线性变换，并且)3,2()0,1(-=T ，)2,3()1,0(-=T ,则=)3,2(T .

7. 设A 为4阶方阵，且3)

(=A R ，则齐次线性方程组0=*

x A （*

A 为A 的伴随矩阵）的基础解

系中所含解向量的个数为 .

8. 设3阶方阵A 与B 相似且A 的特征值为2,1,1-,则=+*

E B 3 .

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9-15题为选择题：

9. 设4阶矩阵],,,[432γγγα=A ，],,,[432γγγβ=B ，其中432,,,,γγγβα均为4维列向量，且已知1,4==B A ，则=+B A （ ）．

（A ） 5； （B ） 4； （C ） 50； （D ） 40．

10. 已知???

?

? ??=654321A ，则 （ ）．

（A ）对任意非零向量()T

b b b b 321,,=，方程组b Ax =都无解；

（B ）对任意非零向量()T b b b b 321,,=，方程组b Ax =都有唯一解；

（C ）对任意非零向量()T

b b b b 321,,=，方程组b Ax =都有无穷多解；

（D ）存在非零向量()

T

b b b b )

1(3

)1(2)1(1)1(,,=及()T

b b b b )

2(3

)2(2)2(1)2(,,=使方程组)

1(b

Ax =有解，而方

程组)

2(b Ax =无解．

11. 设?????

?

?=321

000

00a a a A ，321,,a a a 互不相等，???

?

?

??=3332

31

232221

131211b b b b b b b b b B ，且BA AB =，则（ ）成立．

（A ）E B = ； （B ）aE B =； （C ）0=B ； （D ）???

?

? ??=3322

11000000

b b b B ． 12. 设A 为n m ?矩阵，B 为m n ?矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若E AB =，则 （ ）. (A) 秩m A r =)(，秩m B r =)(； (B) 秩m A r =)(，秩n B r =)(；

(C) 秩n A r =)(，秩m B r =)(； (D) 秩n A r =)(，秩n B r =)(．

13. 已知4维向量组4321,,,αααα满足：秩),(21αα=秩2),,(321=ααα，秩3),,(421=ααα，那

么，向量组4321,,αααα+的秩为 （ ）． （A ）4； （B ）3； （C ）2； （D ）1.

14. 下列命题正确的是 （ ）． (A) 设A 为n 阶方阵，则A 可以经过初等变换化为T

A ；

(B) 如果矩阵A 与B 等价，则A 的列向量组与B 的列向量组等价；

(C) 如果向量组321,,ααα只有一个极大线性无关组，则321,,ααα线性无关； (D) 若矩阵A 和B 的乘积AB 可逆，则A 和B 都可逆.

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…………15. 设B A ,是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是 （ ）．

T 相似； （B ）1-A 与1-B 相似； 与T +B B 相似； （D ）1-+A A 与1-+B B 相似.

二、本题共2小题，满分24分。

=

D 7

2

5

312111120401

3-．

???

??=+-+=-+-=+-+7

9253124321

43214321x x x x x x x x x x x x ．

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三、本题共2小题，满分24分。

18．（12分）设B A ,均为三阶方阵，已知B E AB +=2， ????

? ??=-3431223211B ，求1

)(--E A .

19．（12分）

求向量组 ?

?

??

?

?

?

??=32

111α、??????? ??-=65242α、??????? ??-=11113α、??????? ??=53314α的秩和一个最大线性无关组，并将其余向量用该最大线性无关组线性表示．

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…

四、本题共3小题，满分22分。

为方阵???

?

?

??---=y x A 4444235的一个特征向量，求y x ,的值及1ξ对应的特征值，并

Λ=-AP P 1为对角矩阵．

ij ij A a =，其中ij A 是ij a 的代数余子式，.3,2,1,=j i 证明：

.

321,,ααα线性无关，证明向量组,,211ααα+321ααα++线性无关.