(2021年整理)量子力学18

（完整）量子力学18

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§3-11 力学量平均值随时间的变化 守恒定律

一、力学量的平均值随t 的变化规律（量子力学运动方程或Heisenberg 运动方程) 设),(t x ψ为归一化的波函数，则 F dx t x F

t x ),(ˆ),(*ψψ=⎰ （x 代表所有自变量） 考虑到F

ˆ可能显含t (比如),(ˆˆˆt x U T H +=)，则上式两边对t 的微商可表述为 dt

F d dx t F dx t F dx F t ∂ψ∂ψ+ψ∂∂ψ+ψ∂ψ∂=⎰⎰⎰ˆˆˆ*** 由薛定谔方程得

ψ=∂ψ∂H i t ˆ1 **)ˆ(1ψ-=∂ψ∂H i t 考虑到H

ˆ为厄米算符,于是 *****ˆ11ˆˆˆˆ()ˆ1ˆˆˆˆ()d F F H F dx dx FH dx dt i t i F dx FH HF dx t i

∂=-ψψ+ψψ+ψψ∂∂=ψψ+ψ-ψ∂⎰⎰⎰⎰⎰ 即

ˆ1ˆˆ[,]d F F F H dt t i

∂=+∂ 此即为海森伯运动方程.其中右边第一项是由于F

ˆ显含时间而引起的,即使ψ不随t 变化这一项也存在；第二项是由于ψ随t 变化而引起的，即使F 不随t 变化这一项也存在。

如果F ˆ不显含时间t ，即0ˆ=∂∂t

F ，则1ˆˆ[,]d F F H dt i =。 二、守恒定律 在运动方程（1)中,如果F ˆ不显含时间t ,即0/ˆ=∂∂t F ，并且0]ˆ,ˆ[=H F （即对易），则有0/=dt F d ,即力学量F ˆ平均值不随时间变化。这时称F 为运动积分，即守恒量.此即为量子力学中的守恒定律。

1．自由粒子的动量（动量守恒定律)

当粒子不受外力,即μ

2ˆˆ2p H =。因为ˆ0p t ∂=∂，且 [,][,][,][,]0x y z p H i p H j p H k p H =++=

所以0dp dt

=,即为量子力学中的动量守恒定律. 2．粒子在中心力场中运动的角动量(角动量守恒定律） 中心力场中粒子的哈密顿量

)(2ˆ2ˆ2

2222r U r L r r r r H ++⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=μμ 因为z

y x L L L L ˆ,ˆ,ˆ,ˆ2只和ϕθ,有关，与r 和t 无关，则 222222222ˆˆˆˆˆˆ[,],,[,()]022L L H L r L L U r r r r r μμ⎡⎤⎡⎤∂∂⎛⎫=-++=⎢⎥ ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 因为2ˆˆ[,]0L L α=,所以 ˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]0x y z

L H L H L H === 所以

02

=dt L d 0=dt L d x 0=dt L d y 0=dt

L d z 此即为量子力学的角动量守恒定律。

3．哈密顿不显含时间的体系能量（能量守恒定律）

若哈密顿不显含时间，即0/ˆ=∂∂t H

，而0]ˆ,ˆ[=H H ，则有 0=dt

H d 此即为能量守恒定律。如无限深势阱、线性谐振子、氢原子等的能量均为守恒量。

4．哈密顿对空间反演不变时的宇称（宇称守恒定律）

（1）引入宇称算符P

ˆ: 定义：若),(),(ˆt x t x P -ψ=ψ，则称P ˆ为宇称算符。 注：宇称算符P

ˆ描写了空间的对称性。 （2）P

ˆ的本征值： 本征方程

),(),(ˆt x c t x P

ψ=ψ 则

),(),(ˆ),(ˆ22t x c t x P c t x P

ψ=ψ=ψ

又

2ˆˆ(,)(,)(,)P

x t P x t x t ψ=ψ-=ψ 于是

12=c ,即1±=c

所以P

ˆ的本征值1±=c . 若),(),(ˆ11t x t x P ψ=ψ，则1ψ为有偶宇称态;若),(),(ˆ22t x t x P ψ-=ψ，则2ψ为有奇宇称态。 （3）H

ˆ在空间反演不变时的宇称守恒 设H ˆ空间反演不变，则)(ˆ)(ˆx H x H -=，0ˆ=∂∂t

P ，而 ˆˆˆˆˆˆˆ()(,)()(,)()(,)()(,)PH x x t H x x t H x P x t H x P x t ψ=-ψ-=-ψ=ψ 即

0),(]ˆ,ˆ[=ψt x H P

因为),(t x ψ为任意波函数,所以0]ˆ,ˆ[=H P

，因此 0=dt

P d 此即为宇称守恒定律，它说明如果H

ˆ空间反演不变,则态的奇偶性不随t 变化。

小 结

一、海森堡运动方程

dt F d ]ˆ,ˆ[1ˆH F i t F

+∂∂= 若如果F ˆ不显含时间t ，即0ˆ=∂∂t

F ，则dt F d ]ˆ,ˆ[1H F i =。 二、守恒定律

在运动方程(1）中，如果F ˆ不显含时间t ，即0/ˆ=∂∂t F ，并且0]ˆ,ˆ[=H F （即对易），则有0/=dt F d ,即力学量F

ˆ平均值不随时间变化。这时称F 为运动积分，即守恒量.此即为量子力学中的守恒定律。

1．自由粒子的动量（动量守恒定律) 当粒子不受外力，即μ

2ˆˆ2p H =，如果0p t ∂=∂,则 [,][,][,][,]0x y z p H i p H j p H k p H =++= 则有0p t

∂=∂，即为量子力学中的动量守恒定律。 2．粒子在中心力场中运动的角动量（角动量守恒定律） 中心力场中粒子的哈密顿量

)(2ˆ2ˆ22222r U r

L r r r r H ++⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=μμ 02=dt L d 0=dt L d x 0=dt L d y 0=dt

L d z

此即为量子力学的角动量守恒定律。

3．哈密顿不显含时间的体系能量（能量守恒定律）

若哈密顿不显含时间，即0/ˆ=∂∂t H ，而0]ˆ,ˆ[=H H ,则有0=dt

H d 此即为能量守恒定律。如无限深势阱、线性谐振子、氢原子等的能量均为守恒量。

4．哈密顿对空间反演不变时的宇称（宇称守恒定律)

设H ˆ空间反演不变，则)(ˆ)(ˆx H x H -=，0ˆ=∂∂t P ，则0=dt

P d 此即为宇称守恒定律，它说明如果H

ˆ空间反演不变,则态的奇偶性不随t 变化。

基本习题和答案解析量子力学

WORD格式整理量子力学习题

(一)单项选择题 1. 能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 0 0 0 0 A. 1.2 A. B. 1.5 A. C. 2.1 A. D. 2.5 A. 2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是 0 0 0 0 A.1.3 A. B. 0.9 A. C. 0.5 A. D. 1.8 A. 3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是 0 A.1.4 A. B.1.9 0 C.1.17 10J 2 A. D. 2.0 4.温度T=1k 时, 具有动能 0 10J 2 A. 0 A. =—k B T ( k B 2 为Boltzeman 常数）的氦原子的De Broglie 波长是 0 A.8 A. B. 5.6 5.用 Bohr-Sommerfeld 0 A. 0 A. D. 12.6 0 A. A. E n 二 n ，. B. C. 10 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（n 二0,1,2,…） E n = （n ：）；. 2 C. E n =（n 1） ? ■ . D. E n =2n •. 6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其 0 0 A.5.2 A. B. 7.1 A. C. 8.4 De Broglie 波长是 0 A. 7. 钾的脱出功是2ev ，当波长为 最大能量为 A. 0.25 10J 8J. B. 1.25 C. 0.25 1046 J. D. 1.25 0 A. D. 9.4 0 3500 A 的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的 10」8J. 10J 6J. 8. 当氢原子放出一个具有频率--的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生 的频率 改变为 h A. . B. 2 . C. 2七 2心 9. C ompton 效应证实了 A.电子具有波动性. B. C.光具有粒子性. D. -2 '2 走.D. PC . 光具有波动性• 电子具有粒子性. 10. D avisson 和Germer 的实验证实了 A.电子具有波动性.B.光具有波动性. C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性. U （x ）斗0,0：X7中运动，设粒子的状态由 [°°,x E0,X 11.粒子在一维无限深势阱 J(x)二Csin 描写，其归一化常数C 为 a A ^r 1. B. . C. .a • a ■ a 12.设t(x)—(x)，在x-x ，dx 范围内找到粒子的几率为 22.D.

量子力学答案陈鄂生

量子力学答案陈鄂生 【篇一：考研理论物理：备考复习的重难点与轻易面】ss=txt>易面 虽然各高校的考试科目不同，但复习方法是相同的。物理作为一门 基础学科，无论是基础物理还是四大力学，都需要掌握最基本的原 理和公式，复习主要侧重课本、习题集、往年真题三方面。 2014考研理论物理：考复习的重难点与轻易面 经典物理：很多院校都是把经典物理作为必考科目，但不会涉及力、热、光、电、原子物理的所有部分。每一院校都会给出参考书目和 考试范围，如果没有参考书目，可以用该校的本科教材。复习是最 关键的部分是吃透课本，对基本概念、基本原理熟练掌握，这个过 程要通过看课本、推导公式与结论以及做课后习题来实现。然后是 认真做历年真题，建议考生准备一个习题集，把自己推导过的公式 和做过的题目整理出来，这样有利于厘清薄弱环节。最后就是根据 自己的薄弱点找几本参考书目浏览，推荐中国科学技术大学出版的《物理学大题典》和陈秉乾的《物理学难题集萃》，这些书题量大，最好是根据自己的薄弱环节先挑出几个章节扫一下题目，如果觉得 有思路，大概算一下，如果思路不清晰，则直接看解答。考试之前 最好再把课本浏览一遍，可以只看目录，通过目录检查自己对课本 里的基本概念、基本公式是否都掌握了，如果不清楚，再翻开去详读。 高等数学：建议考生每天保证至少三个小时的复习时间。数学题目 做不完，但如果不经过大量的习题训练，成绩很难得到提高。高等 数学的考试不会出现太多的偏题、怪题，考生要从基础学起，先把 教材中的概念、公式复习好，然后在此基础上选择一些题目进行强化，尤其是综合性试题和应用题。解应用题一般是在理解题意的基 础上建立数学模型，这种题目现在每年都考，考生需要平时进行强 化训练。最后是重视历年试卷，高等数学部分试题重复率比较高。 推荐复习书目有中国科学技术大学数学系的《高等数学导论习题集》、同济大学的《高等数学习题集》。 量子力学：和复习经典物理一样，吃透课本和课后习题是量子力学 复习的第一步。如果学校没有列出参考书目，建议看曾谨言的《量 子力学导论》;如果需要对量子力学进行深入理解，建议参考狄拉克 的《量子力学原理》和费曼的《费曼物理学讲义(三)》。习题集方面，

(整理)北京大学量子力学期末试题

量子力学习题（三年级用） 北京大学物理学院 二O O三年

第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie de -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie de -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。

第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1 121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结 论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00 x x Axe x x 的状态，其中,0>λ 求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=υ?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2

第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= ().n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系，

上海交通大学《829电磁学和量子力学》考研真题及详解

上海交通大学《829电磁学和量子力学》考研真题及详解2021年上海交通大学《829电磁学和量子力学》考研全套目录 ?上海交通大学《829电磁学和量子力学》历年考研真题汇编 ?全国名校电磁学考研真题汇编 ?全国名校量子力学考研真题汇编 ?2021年量子力学考研真题精解精析50题 说明：本部分收录了本科目近年考研真题，方便了解出题风格、难度及命题点。此外提供了相关院校考研真题，以供参考。 2．教材教辅 ?赵凯华《电磁学》（第2版）网授精讲班【34课时】 ?曾谨言《量子力学导论》（第2版）网授精讲班【39课时】 ?曾谨言《量子力学教程》（第3版）配套题库【名校考研真题＋课后习题＋章节题库＋模拟试题】 说明：以上为本科目参考教材配套的辅导资料。

? 试看部分内容 名校考研真题 第1章波函数与Schr?dinger方程 一、选择题 1．光子和电子的波长都为5.0埃，光子的动量与电子的动量之比是多少?（）[中南大学2009研] A．1 B．3×1010 C．3.3×10-11 D．8.7×10-21 【答案】A查看答案 【解析】由德布罗意波长公式，波长相同则二者动量大小必定相同，因此答案选A． 2．考虑如图的电子干涉实验，电子从距屏为L的电子枪发射，屏上有两个特别窄的狭缝（缝宽为电子的德布罗意波长数量级），观察干涉图样的探测器置于屏的另一侧L处．如果电子枪向上移动（沿y方向）距离d，则干涉图样（）．[中南大学2009研]

图1-1 A．向上移动距离d B．向下移动距离d C．向上移动距离d／2 D．向下移动距离d／2 【答案】B查看答案 【解析】分析未移动前位于屏幕正中间的点，令偏上的光线为a，偏下的光线为b，未移动前，a和b的光程相等，电子枪上移后，a在狭缝左边光程减小，b在狭缝右边光程增加，为保证a和b光程再次相等，应该使a在狭缝右边光程相对于b在狭缝右边光程增加，于是干涉图样只能下移．再考虑到狭缝与电子枪和屏幕距离相等，于是整个装置具有对称性，为保证a和b的光程相等，干涉图样只能向下移动距离d． 3．上题中，如果电子枪开始以较太的能量向屏发射电子，则（）．[中南大学2009研] A．干涉图样中相邻最大值之间的距离减小 B．干涉图样向上移动 C．干涉图样变蓝 D．干涉图样消失 【答案】A查看答案

量子力学考研2021量子力学导论考研真题解析

量子力学考研2021量子力学导论考研真题解析一、考研真题解析 0粒子在势场（，）中运动，试用不确定关系估计基态能量。[中国科学院2006研] 【解题思路】 利用不确定关系求解哈密顿量的最小值问题。 【解析】 根据不确定原理有 即 因为 所以只需要求解出的最小值就可以估计基态的能量。 令 由 得出

所以基态能量为 【知识储备】 若[F，G]＝0，则算符F和G有共同的本征函数系；其逆定理也成立。 对易算符的性质：在F和G的共同本征函数系中测量F和G，都有确定值。 若[F，G]≠0，则有不确定关系 或 经常使用的关系式 21设粒子所处的外场均匀但与时间有关，即，与坐标r无关，试将体系的含时薛定谔方程分离变量，求方程解的一般形式，并取，以一维情况为例说明V（t）的影响是什么。[中国科学院2006研] 【解题思路】 理解记忆含时薛定谔方程和定态薛定谔方程，以及分离变量法在求解薛定谔方程时的应用。 【解析】 根据含时薛定谔方程

令 带入可得 即 上式左边是关于时间t的函数，右边是关于坐标r的函数，因此令它们等于常数s，得 和 所以 对于 令

所以 因此 当 时， 相对于一维自由平面波函数， 使得波函数是自由平面波随时间做 改变的形式。 【知识储备】 薛定谔方程： 波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出 当U （r → ，t ）与t 无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y （r → ）满足定态薛定谔方程 此方程即是能量算符的本征方程。其中，整个定态波函数的形式为

一般情况下，若所求解能量的本征值是不连续的，则最后的波函数写成各个能量定态波函数的求和形式；如果能量是连续值，则相应的写成积分形式。 【拓展发散】 当粒子所处的外场与时间和位置坐标都有关，即，可以利用题解相同的方式去探索波函数的具体形式，并且和定态以及只与时间有关的两种情形相比较，得出在这些不同情况下相应的势场函数的具体形式变化对波函数的影响。22设U为幺正算符，若存在两个厄米算符A和B，使U＝A＋iB，试证：（1）A2＋B2＝1，且； （2）进一步再证明U可以表示成，H为厄米算符。 [中国科学院2006研] 【解题思路】 理解厄米算符和幺正算符的定义和物理含义，并注意辨析它们之间的区别，不要混淆。 【解析】 （1）因为U为幺正算符，所以和，由可得 由可得 因此 （2）因为，所以算符A和算符B有共同的本征函数，即，。

2021量子力学考研配套考研真题解析

2021量子力学考研配套考研真题解析 一、真题精解精析 1当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为。假设粒子间有相互作用，其中分别代表粒子1和粒子2的自旋，参数J＞0。 （1）如果把两个自旋1/2的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数； （2）如果把两个自旋1的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数。（注意：参数在不同范围内，情况会不同） [浙江大学2014研] 【解题思路】 ①研究体系处在线性谐振子势场中，有关单个体系在谐振子势中的问题，一般可以通过求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和本征能量，确定体系的波函数，研究对象的量子状态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题，都可以一一解决。 ②研究体系内包含两个粒子，它们之间存在自旋-自旋相互作用，利用角动量的合成来解决这部分相互作用引出的相关问题。 ③在两个问题中，涉及到不同自旋的粒子，即玻色子和费米子，可以通过它们满足的统计性质来决定在势场中的分布情况，从而解决要求的基态能量和波函数。 【解析】 （1）对于处在线性谐振子势中粒子的哈密顿量

由薛定谔方程 得本征能量为 本征波函数为 两粒子间有相互作用 设 因此 即 所以 因为 所以两粒子是费米子，满足费米狄拉克统计，体系的总波函数要求交换反对称，并且S＝0或者S＝1。

因为，所以体系基态选择，因此体系坐标部分的波函数为 满足交换对称性。 为了保证总波函数的交换反对称，所以自旋部分的波函数满足交换反对称，即 所以体系的基态波函数为 基态能量为 （2）当S1＝S2＝1时，体系中两个粒子为玻色子，满足玻色爱因斯坦统计，体系波函数要求交换对称。因为，所以体系基态选择n1＝n2＝1。因此体系坐标部分的波函数为 满足交换对称性。 为了保证总波函数的交换对称性，所以自旋部分的波函数满足交换对称，即

(2021年整理)量子力学18

（完整）量子力学18 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）量子力学18）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）量子力学18的全部内容。

§3-11 力学量平均值随时间的变化 守恒定律 一、力学量的平均值随t 的变化规律（量子力学运动方程或Heisenberg 运动方程) 设),(t x ψ为归一化的波函数，则 F dx t x F t x ),(ˆ),(*ψψ=⎰ （x 代表所有自变量） 考虑到F ˆ可能显含t (比如),(ˆˆˆt x U T H +=)，则上式两边对t 的微商可表述为 dt F d dx t F dx t F dx F t ∂ψ∂ψ+ψ∂∂ψ+ψ∂ψ∂=⎰⎰⎰ˆˆˆ*** 由薛定谔方程得 ψ=∂ψ∂H i t ˆ1 **)ˆ(1ψ-=∂ψ∂H i t 考虑到H ˆ为厄米算符,于是 *****ˆ11ˆˆˆˆ()ˆ1ˆˆˆˆ()d F F H F dx dx FH dx dt i t i F dx FH HF dx t i ∂=-ψψ+ψψ+ψψ∂∂=ψψ+ψ-ψ∂⎰⎰⎰⎰⎰ 即 ˆ1ˆˆ[,]d F F F H dt t i ∂=+∂ 此即为海森伯运动方程.其中右边第一项是由于F ˆ显含时间而引起的,即使ψ不随t 变化这一项也存在；第二项是由于ψ随t 变化而引起的，即使F 不随t 变化这一项也存在。 如果F ˆ不显含时间t ，即0ˆ=∂∂t F ，则1ˆˆ[,]d F F H dt i =。 二、守恒定律 在运动方程（1)中,如果F ˆ不显含时间t ,即0/ˆ=∂∂t F ，并且0]ˆ,ˆ[=H F （即对易），则有0/=dt F d ,即力学量F ˆ平均值不随时间变化。这时称F 为运动积分，即守恒量.此即为量子力学中的守恒定律。 1．自由粒子的动量（动量守恒定律) 当粒子不受外力,即μ 2ˆˆ2p H =。因为ˆ0p t ∂=∂，且 [,][,][,][,]0x y z p H i p H j p H k p H =++=

2022年高中物理同步讲义(选修性必修3)第18讲 粒子的波动性和量子力学的建立(解析版)

第18讲 粒子的波动性和量子力学的建立 课程标准 课标解读 1.知道实物粒子具有波动性，了解微 观世界的量子化特征。 2.体会量子论的建立对人们认识物质世界的影响。 1.了解粒子的波动性，知道物质波的概念。 2.了解什么是德布罗意波，会解释有关现象。 3.了解量子力学的建立过程及其在具体物理系统中的应用。 知识点01 粒子的波动性与物质波的实验验证 （一）粒子的波动性 1．德布罗意波：每一个运动的粒子都与一个对应的波相联系，这种与实物粒子相联系的波称为德布罗意波，也叫物质波。 2．粒子的能量ε和动量p 跟它所对应的波的频率ν和波长λ之间的关系：ν＝ εh ，λ＝h p 。 （二）物质波的实验验证 1．实验探究思路：干涉、衍射是波特有的现象，如果实物粒子具有波动性，则在一定条件下，也应该发生干涉或衍射现象。 2．实验验证：1927年戴维孙和汤姆孙分别用单晶和多晶晶体做了电子束衍射的实验，得到了电子的衍射图样，证实了电子的波动性。 3．说明：除了电子以外，人们陆续证实了中子、质子以及原子、分子的波动性，对于这些粒子，德布罗意 给出的ν＝εh 和λ＝h p 关系同样正确。 4．电子、质子、原子等粒子和光一样，也具有波粒二象性。 【知识拓展】 1．对物质波的理解 (1)任何物体，小到电子、质子，大到行星、太阳都存在波动性，这种波叫物质波，其波长λ＝h p .我们之所以观察不到宏观物体的波动性，是因为宏观物体对应的波长太小。 知识精讲 目标导航

(2)德布罗意假说是光的波粒二象性的一种推广，使之包括了所有的物质粒子，即光子与实物粒子都具有粒子性，又都具有波动性，与光子对应的波是电磁波，与实物粒子对应的波是物质波。 2．计算物质波波长的方法 (1)根据已知条件，写出宏观物体或微观粒子动量的表达式p ＝mv 。 (2)根据波长公式λ＝h p 求解。 (3)注意区分光子和微观粒子的能量和动量的不同表达式．如光子的能量：ε＝h ν，动量p ＝h λ ；微观粒子的动能：E k ＝12 mv 2，动量p ＝mv 。 【即学即练1】从光的波粒二象性出发，下列说法正确的是（ ） A ．光是高速运动的微观粒子，每个光子都具有波粒二象性 B ．光的频率越高，光子的能量越大 C ．在光的干涉中，暗条纹的地方是光子不会到达的地方 D ．在光的干涉中，光子一定到达亮条纹的地方 【答案】B 【分析】A ．光是高速运动的微观粒子，光的波动性是对大量光子集体行为的一种描述，所以不能说每个光子都具有波粒二象性，故A 错误； B ．光的频率越高，光子的能量越大，故B 正确； CD ．在光的干涉中，亮条纹是光子出现概率高的位置，暗条纹是光子出现概率低的位置，光子并不是一定到达亮条纹的地方，也并不一定就不出现在暗条纹的地方，故CD 错误。 故选B 。 【即学即练2】影响显微镜分辨率本领的一个因素是衍射，衍射现象越明显，分辨本领越低。使用电子束工作的电子显微镜与传统的光学显微镜相比有更高的分辨本领，它利用高压对电子束加速，最后打在感光胶片上来观察显微图像，以下说法正确的是（ ） A ．加速电压越高，电子的波长越短，衍射现象越明显 B ．加速电压越高，电子的波长越长，分辨本领越强 C ．如果加速电压相同，则用质子流工作的显微镜比用电子流工作的显微镜分辨本领弱 D ．如果加速电压相同，则用质子流工作的显微镜比用电子流工作的显微镜分辨本领强 【答案】D 【分析】AB ．光的波长越大，则波动性越强，越容易发生明显衍射；根据

2021年现代分析测试技术期中小测试及答案

填空题 1、量子力学的三个基本假设_______________、_______________、_______________。 2、半宽度容易受到多种因素的影响，请列举2个影响因素_______________、 _______________。 3、经过半学期的课程，列举2种原子分子光谱法，并分别阐述其原理 _________________、________________ ______________________________________________________________________、 ______________________________________________________________________。 4、在原子吸收分析中常使用的光源是_______________,其光源需要满足的其中一个条件 是_______________________________________。 5、原子吸收分光光度计的组成仪器一般是，光源、___________、___________、检测 器，在原子吸收光谱法中检测器通常使用_____________。 6、在磁场作用下简并的谱线发生分裂的现象称为____________，光通过介质时由于入 射光与分子运动相互作用而引起的频率发生变化的散射被称为______________。 7、原子荧光的类型: _________________、_______________、________________。 8、原子荧光的激发光源一般是____________________、_____________________ 9、原子在高温时被激发，发射某一波长的谱线，而处于低温状态的同类原子又能吸收 这一波长的辐射。由于发射谱线的宽度比吸收谱线的宽度大，所以，谱线中心的吸收程度要比边缘部分大，因而使谱线出现“边强中弱”的现象。这种现象称为_______________ 10、朗伯比尔定律__________________________ 11、光吸收定律(透光度与吸光度的关系)___________________ 12、紫外可见分光光度计的比色皿在紫外和可见区是不同的，在可见区使用 ______________,紫外区使用_______________。 13、分子光谱和原子光谱关于吸光度与波长作图得到的吸收光谱形状是不同的，分别形状为___________________。分子轨道理论包括_____________________、_________________、_________________。 14、红外吸收光谱的产生条件______________________、________________________。 15、在液体介质（主要是液体）中分散了1~100nm粒子(基本单元)，且在分散体系中保持固体物质不沉淀的物质被称为__________。它的的分散系由________和____________组成。 16、多孔材料根据孔径尺寸可分为_______________、______________、___________, 多孔材料性能表征中的常用参量，列举2个_____________________、_________________。 17、表面分析法的激发源大多采用______________，常用的表面分析技术有 ____________________。 18、X射线荧光对_____________灵敏度较低。 19、XPS应用于___________________________、_____________________________。 20、红外光谱区间常分为以下区域____________________，红外吸收光谱的产生条件 ______________________________、_________________________。 21、按照能量递增顺序列出电磁波谱的各个谱段_________________。 22、发生拉曼散射的条件______________________

高中物理学史高考必背(2021年整理)

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新课程高考高中物理学史（ 必修部分： 一、力学： 1、1638年，意大利物理学家伽利略在《两种新科学的对话》中用科学推理论证重物体和轻物体下落一样快;并在比萨斜塔做了两个不同质量的小球下落的实验，证明了他的观点是正确的，推翻了古希腊学者亚里士多德的观点（即：质量大的小球下落快是错误的）； 2、1687年，英国科学家牛顿在《自然哲学的数学原理》著作中提出了三条运动定律（即牛顿三大运动定律）. 3、17世纪，伽利略通过构思的理想实验指出：在水平面上运动的物体若没有摩擦,将保持这个速度一直运动下去；得出结论：力是改变物体运动的原因，推翻了亚里士多德的观点：力是维持物体运动的原因.同时代的法国物理学家笛卡儿进一步指出：如果没有其它原因，运动物体将继续以同速度沿着一条直线运动，既不会停下来，也不会偏离原来的方向。 4、20世纪初建立的量子力学和爱因斯坦提出的狭义相对论表明经典力学不适用于微观粒子和高速运动物体。 5、1638年，伽利略在《两种新科学的对话》一书中，运用观察－假设－数学推理的方法，详细研究了抛体运动。 6、人们根据日常的观察和经验,提出“地心说”，古希腊科学家托勒密是代表；而波兰天文学家哥白尼提出了“日心说”，大胆反驳地心说. 7、17世纪，德国天文学家开普勒提出开普勒三大定律； 8、牛顿于1687年正式发表万有引力定律；1798年英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量; 9、1846年，英国剑桥大学学生亚当斯和法国天文学家勒维烈应用万有引力定律，计

山东省潍坊(安丘市、诸城市、高密市)普通高中2021-2022学年高二上学期期中联考物理试题及答案

绝密★启用前 山东省潍坊(安丘市、诸城市、高密市)普通高中2021-2022学年高二年级上学期期中联考质量检测 物理试题 2021年11月一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1.普朗克的能量子假设是对经典物理学思想与观念的一次重大突破，爱因斯坦因此也将能量子假设进行了推广。到了20世纪，量子力学发挥了重大作用，引领我们进入了丰富多彩的现代生活。以下表述正确的是 A.生活中并不是所有物体都在热辐射 B.普朗克的假设认为微观粒子的能量是不连续的 C.原子从高能态向低能态跃迁时放出光子的能量可以是连续的 D.原子的能量是量子化的，当原子处于能量最高状态时是最稳定的 2.据《自然》杂志2021年5月17日报道，中国科学家在稻城“拉索”基地(如图所示)探测到迄今为止最高能量的γ射线，其能量值ɛ=1.40×1015 eV。已知普朗克常量h=6.626×10-34 J·s，真空中光速c=3×108 m/s，则该γ射线的波长为 A.1.42×10-40m B.3.38×10-38m C.8.87×10-22m D.2.11×10-20m 3.如图所示为某新型导电材料制成的均匀长方体元件，该元件的长为2L，宽为L，高为0.2L。当电流分别沿ab和cd方向流入时，其电阻阻值之比R ab：R cd为

A.1：100 B.100：1 C.1：10 D.10：1 4.某导体材料制成的横截面为圆形的导线如图所示，已知该段导线的电阻为R，横截面圆形的半径为r，单位体积内的自由电子个数为n，电子所带电荷量为e。当导线两端所加电压为U时，导体内自由电子定向移动的平均速率为 A. U 2n erR π B. 2 U n er π C. U n erR π D. 2 U n er R π 5.在如图所示的xOy坐标系第一象限内存在垂直纸面向外的磁场，磁场沿y轴方向均匀分布、沿x轴正方向逐渐稀疏。在第一象限内有一个平行于xOy平面的矩形导线框abcd，已知穿过线框的磁通量为φ，则以下判断正确的是 A.此时线框内有感应电流产生 B.若线框沿y轴正方向平移，则框内有感应电流产生 C.若线框沿x轴负方向平移，则框内有感应电流产生 D.以ab为轴翻转180°，则这一过程中框内磁通量变化量为2φ 6.在光滑水平地面上，有两个质量分别为m1、m2的小物体，运动2s后发生正碰，碰撞时间极短，碰后两物体粘在一起，两物体碰撞前后的x-t图像如图所示。以下判断正确的是

ch18+量子力学+习题及答案

第18章 量子力学基础 习题解答 1．一波长为300nm 的光子，假定其波长的测量精度为6 10-，即61 10 λ λ ∆= ，求该光子位置的不确定量。 解： 光子λ h p = ，λλλλ∆= ∆- =∆2 2 h h p 由测不准关系，光子位置的不准确量为 292 6 30010 2.3910244410 x m m p λλπλπλλπ---⨯∆=====⨯∆∆∆⨯ 2．原子的线度为10 10 m -，求原子中电子速度的不确定量。 解：依题意，电子位置的不确定量为10 10x m -∆=，由不确定关系，有 2 x x p x m v ∆∆=∆∆≥ 346 3110 1.0510/0.610/229.11010 v m s m s m x ---⨯∆≥==⨯∆⨯⨯⨯ 3．波函数模的二次方的物理意义是什么？波函数必须满足哪些条件？ 解：波函数是描述粒子运动状态的函数，是微观粒子具有波动性的数学描述，波函数描述的波是概率波，波函数模的平方表示粒子在空间出现的概率，即概率密度。波函数要满足标准条件（即波函数必须是单值、连续和有限的）和归一化条件。 4．波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间分布的概率会发生什么变化? 解：不变．因为波函数是计算粒子t 时刻空间各点出现概率的数学量．概率是相对值．则21、点的概率比值为： 2 2 212 2 21φφφφD D = ∴ 概率分布不变． 5．假设粒子只在一维空间运动，它的状态可用如下波函数来描写： 0,(,)sin 0i Et x x a x t Ae x x a a ψπ -≤≥⎧⎪=⎨≤≤⎪ ⎩ 式中，E 和a 分别为确定常数，A 为归一化系数，计算归—化的波函数和概率密度。 解：根据波函数的归一化条件，有 2 22 2 (,)sin 12 a a x a x t dx A dx A a πψ===⎰ ⎰ 得 A =

(2021年整理)量子力学21

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§4-2 力学量算符和量子力学公式的矩阵表示 量子力学的三个基本要素是波函数、算符和薛定格方程.上一节讲了波函数的矩阵表示，为了保证理论体系的一致性,必须实现力学量算符与量子力学公式的矩阵表示。 在量子力学中，将坐标表象下的表示称为波动力学方法，把任意力学量表象下的表示称为矩阵力学方法.在量子力学的历史上，上述两种表示方法几乎是同时发展起来的，后来，狄拉克证明了它们是等价的。 一、力学量算符ˆF 的矩阵表示 以一维问题为例.设任意一个力学量ˆG 满足的本征方程 ˆ()()n n n G x g x ϕϕ= 其本征值谱{}n g 与本征函数系{()}n x ϕ已求出，则可以把{()}n x ϕ作为基底。通常将波函数与算符在此基底之下的表示称为G 表象下的表示。 在坐标表象下，任意力学量算符ˆF 作用到任意的状态(,)x t ψ上，得到算符方程 ˆ(,)(,)x t F x t Φ=ψ 再将上式两端的波函数分别向算符ˆG 的本征态展开,即 (,)()()n n n x t a t x ϕψ=∑ (,)()()n n n x t b t x ϕΦ=∑ 将上面两式代入到算符方程中,得到 ˆ()()()()n n n n n n b t x a t F x ϕϕ=∑∑ 用)(* x m ϕ左乘上式两端并对坐标变量积分,利用)(x n ϕ的正交性，得到矩阵形式的算符方程 ∑=n n mn m t a F t b )()( 其中 *ˆ()()mn m n F x F x dx ϕϕ=⎰ 称为算符F ˆ在G 表象中的矩阵元。于是，在G 表象中，算符F ˆ的矩阵形式为一个方阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛= kk k k k k F F F F F F F F F F 212222111211ˆ 因为F ˆ是厄米算符，所以在G 表象中，算符F ˆ矩阵元的复共轭为 ***ˆˆ()[()]()()mn m n n m nm F x F x dx x F x dx F ϕϕϕϕ===⎰⎰ 即F ˆ矩阵中关于对角线对称的元素一定互为复共轭。或者

(2021年整理)历年诺贝尔物理学奖得主(1901-2018)

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历年诺贝尔物理学奖得主（1901—2016）年份获奖者国籍获奖原因 1901年 威廉·康拉德·伦 琴德国 “发现不寻常的射线,之后以他的名字命 名”（即X射线,又称伦琴射线，并伦琴做 为辐射量的单位） 1902年 亨得里克·洛仑兹荷兰“关于磁场对辐射现象影响的研究”（即 塞曼效应) 彼得·塞曼荷兰 1903年亨利·贝克勒法国“发现天然放射性” 皮埃尔·居里法国“他们对亨利·贝克勒教授所发现的放射 性现象的共同研究” 玛丽·居里法国 1904年 约翰·威廉·斯特 拉斯英国 “对那些重要的气体的密度的测定，以及 由这些研究而发现氩"(对氢气、氧气、氮 气等气体密度的测量，并因测量氮气而发 现氩) 1905年菲利普·爱德 华·安东·冯·莱 纳德 德国“关于阴极射线的研究” 1906年约瑟夫·汤姆孙英国"对气体导电的理论和实验研究” 1907年 阿尔伯特·迈克耳 孙美国 “他的精密光学仪器,以及借助它们所做 的光谱学和计量学研究” 1908年 加布里埃尔·李普 曼法国 “他的利用干涉现象来重现色彩于照片上 的方法” 1909年古列尔莫·马可尼意大利“他们对无线电报的发展的贡献”

2021年量子力学知识点总结

1光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸浮现象。这种电子称之为光电子。 2光电效应有两个突出特点：①存在临界频率ν0：只有当光频率不不大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率不大于该值时，则无论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。②光电子能量只与光频率关于，与光强度无关。光强度只决定光电子数目多少。 3爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不但在发射和吸取时以能量E= hν微粒形式浮现，并且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子 4康普顿效应：高频率X射线被轻元素如白蜡、石墨中电子散射后浮现效应。 ⒕康普顿效应实验规律：射光中，除了本来X光波长λ外，增长了一种新波长为λ'X光，且λ' >λ；波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大 5戴维逊-革末实验证明了德布罗意波存在 6波函数物理意义：某时刻t在空间某一点(x,y,z)波函数模平方与该时刻t该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子几率密度(普通称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。按照这种解释，描写粒子波是几率波

7波函数归一化条件 1),,,( 2 ⎰∞ =ψτd t z y x 8定态：微观体系处在具备拟定能量值状态称为定态。定态波函数：描述定态波函数称为定态波函定态性质：⑴由定态波函数给出几率密度不随时间变化。⑵粒子几率流密度不随时间变化。⑶任何不显含时间变量力学量平均值不随时间变化 9算符：作用在一种函数上得出另一种函数运算符号，量子力学中算符是作用在波函数上运算符号。 10厄密算符定义：如果算符 F ˆ满足下列等式 () ˆ ˆdx F dx F φψφψ**⎰⎰ =，则称F ˆ为厄密算符。式中ψ和φ为任意波 函数，x 代表所有变量，积分范畴是所有变量变化整个区域。 推论：量子力学中表达力学量算符都是厄密算符。 11厄密算符性质：厄密算符本征值必是实数。厄密算符属于不同本征值两个本征函数互相正交。 12简并：相应于一种本征值有一种以上本征函数状况。简并度：相应于同一种本征值本征函数数目。 13量子力学中力学量运动守恒定律形式是： 01=⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡+∂∂=H F i t F dt F d ˆ,ˆ 量子力学中能量守恒定律形式是01 =⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡=H H i dt H d ˆ,ˆˆ 14 的近似求解方法。 求出，由求出微扰论：由n n n n E E ψψ) 0()0(

(2021年整理)量子力学26

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第五章 微扰理论 前几章，利用Schrodinger 方程求解了一些简单的能量本征问题。例如：线性谐振子，方势阱问题（无限深、有限深）,氢原子问题等。实际上，在量子力学中能用Schrodinger 方程严格求解的问题极为有限，绝大多数问题无法严格求解,只能求近似解。求近似解的方法很多，例如微扰理论、变分法等，且每一种方法都有它的适用范围。在这些近似方法中,应用最为广泛的就是微扰理论。 微扰理论的实质是把体系的哈密顿ˆH 写成两项和的形式，即 (0)ˆˆˆH H H '=+ 其中(0)ˆH （不显含t )的解已知或可精确求解,它包括了体系的主要性质；ˆH '对体系的影响很小，可作扰动处理。这样，在(0)ˆH 的解的基础上用ˆH '修正(0)ˆH 的解，就得到了复杂体系的ˆH 的近似解. 此类问题分为两种情况： （1）ˆH '不显含t ，即定态问题，定态问题又分为非简并和简并两种情况; （2）ˆH '显含t ,可用它的近似解讨论体系状态之间的跃迁问题及光的发射和吸收等问题. 我们主要介绍定态微扰理论。 §5—1 非简并定态微扰理论 已知H ˆ不显含时间,且 (0)ˆˆˆH H H '=+ (1)ˆˆH H λ'=（λ是很小的实参量） (0)ˆH 的本征方程为 (0)(0)(0)(0)ˆn n n H E ψψ= (0)n E 、)0(n ψ已经解出,且(0)n E 不简并。 设体系的定态薛定谔方程为 ˆn n n H E ψψ= 由于n E 和n ψ都与微扰有关，可以把它们看作是表征微扰程度的参数λ的函数,将它们展为λ的幂级数,即 (0)(1)2(2) ()n n n n E E E E λλλ=++ + (0)(1)2(2)()n n n n ψλψλψλψ=++ + 其中(0)n E 、(0)n ψ是体系的零级近似解；(1)n E λ、(1)n λψ为体系的一级修正项，而(0)(1) n n E E λ+、 (0)(1)n n ψλψ+是体系的一级近似解，等等.将展开式代入薛定谔方程中，得 (0)(1)(0)(1)2(2)(0)(1)2 (2)(0)(1)2 (2)ˆˆ()()()() n n n n n n n n n H H E E E λψλψλψλλψ λψ λψ ++++=++++++ 所以 ++++++=+++++)()()ˆˆ()ˆˆ(ˆ)0()2()1()1()2()0(2 )0()1()1()0()0()0()1()1()2()0(2)0()1()1()0()0()0(n n n n n n n n n n n n n n n n n E E E E E E H H H H H ψ ψ ψ λψ ψ λψ ψψλψψλψ

华中科技大学2021年《量子力学》期末复习题及答案

1.束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由下列诸式所描述： ()()()02 3cos 22 2 ikx L x x x L L x Ae x L L x x ψπψψ=<-=- <<=> （a ）、求归一化常数A, （b ）、在x=0及x=L/4之间找到粒子的概率为何？ 解：（a ）由波函数的归一化条件 ()2 2222 222 2 331cos cos 33cos cos 3cos 6cos 126sin 262 ikx ikx ikx ikx L L x x x dx Ae Ae dx L L x x A e e dx L L x A dx L A x dx L A L x x L A L ππψππππππ∞ ∞ -∞-∞∞--∞∞-∞∞-∞-====⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭= ⎰ ⎰⎰⎰⎰ 于是：A =(b) ()2 2440 6sin 0.196926L L A L x x dx x L πψπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰ 2、证明在定态中，概率流密度与时间无关。 证：对于定态，可令 )] ()()()([2 ] )()()()([2 )(2 )( ) ()()(**** **r r r r m i e r e r e r e r m i m i J e r t f r t r Et i Et i Et i Et i Et i ψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=ψ∇ψ-ψ∇ψ===ψ-----）（） （， 可见t J 与 无关。 4、波长为1.0*10-12m 的X 射线投射到一个静止电子上，问在与入射光成60o 角

的方向上，探测到散射光的波光为多少？ 解：由公式 22sin 2 c θλλλ'-= 其中：120 2.43102c h m m c λ-= =⨯ 可得：1212212 601.0102 2.4310sin 1.215102 λλλ---''-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯ 0 12 12 2 12601.0102 2.4310 sin 1.215102 λλ---'-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯ 122.21510m λ-=⨯。 5、（a ）、若已知电子、氢原子和铀原子的动能都等于100 eV , 试计算这些粒子的德布罗意波长。 （b ）、若电子和中子的德布罗意波长都等于1A , 试求它们的速度和动能。 解：由公式： λ= 可以计算各粒子的德布罗意波长。 （a ）、电子： 34 10 1.2310m λ--⨯ 氢原子： 34 12 2.8710m λ--=⨯ 铀原子： 34 12 0.18610m λ--⨯ （b ）、电子： 34 10 1.010--⨯= 268 172031 6.6310 2.4101511.01029.110 E J eV ----⨯= =⨯=⨯⨯⨯⨯ 7264/V km s == 中子：34 10 1.010--⨯于是：