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高考概率真题汇编文科数学

2012高考试题分类汇编:10:概率

一、选择题

1.【2012高考安徽文10】袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 (A )

15 (B )25 (C )35 (D )45

【答案】B

【解析】1个红球,2个白球和3个黑球记为112123,,,,,a b b c c c , 从袋中任取两球共有

111211121312111213212223121323

,;,;,;,;,;,;,;,;,,;,;,;,;,;,a b a b a c a c a c b b b c b c b c b c b c b c c c c c c c 15种;

满足两球颜色为一白一黑有种,概率等于

62

155

=。 2.【2012高考辽宁文11】在长为12cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB 的长,则该矩形面积大于20cm 2

的概率为 (A)

16 (B) 13 (C) 23 (D) 45

【答案】C

【解析】设线段AC 的长为cm ,则线段CB 的长为(12x -)cm,那么矩形的面积为(12)x x -cm 2

由(12)20x x ->,解得210x <<。又012x <<,所以该矩形面积小于32cm 2

的概率为

23

,故选C

【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的能力,属于中档题。

3.【2012高考湖北文10】如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆。在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是

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A.

B.

. C.

D.

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10. 【答案】C

【解析】如图,不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S 1,S 2,两块阴影部分的面积分别为S 3,S 4,

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则S 1+S 2+S 3+S 4=S 扇形OAB =22

1(2)4

a a ππ=①,

而S 1+S 3与S 2+S 3的和恰好为一个半径为a 的圆,即S 1+S 3 +S 2+S 32a π=②. ①-②得S 3=S 4,由图可知S 3=2

21()2

OEDC EOD S S S a a π+-=

-正方形扇形扇形COD ,所以. 222S a a π=-阴影.

由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率 P=

222

22

1OAB

S a a S a πππ

-==-阴影扇形. 【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积,即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用.

4.【2102高考北京文3】设不等式组??

?≤≤≤≤2

0,

20y x ,表示平面区域为D ,在区域D 内随机取一个

点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 (A )

4π(B )22π-(C )6π(D )44

π- 【答案】D 【解析】题目中??

?≤≤≤≤2

02

0y x 表示的区域如图正方形所示,而动点D

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可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分,因此

4

422241

222

ππ-=

??-?=P ,故选D 。 二、填空题

5.【2012高考浙江文12】从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两

点,则该两点间的距离为

2

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的概率是___________。 【答案】

25

【解析】

若使两点间的距离为2,则为对角线一半,选择点必含中心,概率为1

42542

105

C C ==.

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6.【2012高考重庆文15】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和

其它三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率 为(用数字作答)。 【答案】

1

5

【解析】先排其他三门艺术课有种排法,再把语文、数学、外语三门文化课插入由三门艺术

课隔开的四个空中,有种排法,所以所有的排法有3

433A A 。6节课共有种排法。所以相邻两节文化课至少间隔1节艺术课的概率为51

6

6

3

433=A A A 。 7.【2012高考上海文11】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人只选择一个项目,则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是(结果用最简分数表示) 【答案】

3

2

. 【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有272

32323=C C C 中,若有且仅有两人选择的项目完成相同,则有18122323=C C C ,所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为

3

2

2718=。 8.【2012高考江苏6】(5分)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是 ▲ . 【答案】

3

5

。 【考点】等比数列,概率。

【解析】∵以1为首项,为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,···其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8,

∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是

63=105

。 三、解答题

9.【2012高考江苏25】(10分)设为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当

两条棱相交时,0ξ=;当两条棱平行时,的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,1ξ=. (1)求概率(0)P ξ=;

(2)求的分布列,并求其数学期望()E ξ.

【答案】解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的一个,过任意1个顶点恰有3条棱,

∴共有238C 对相交棱。

∴232128834(0)=6611

C P C ξ?===。

(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对,

∴212661(6611P C ξ===

,416

(1)=1(0)(=111111

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P P P ξξξ=-=---。 ∴随机变量的分布列是:

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【考点】概率分布、数学期望等基础知识。

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【解析】(1)求出两条棱相交时相交棱的对数,即可由概率公式求得概率(0)P ξ=。 (2)求出两条棱平行且距离为的共有6对,即可求出(P ξ,从而求出(1)P ξ=(两条棱平行且距离为1和两条棱异面),因此得到随机变量的分布列,求出其数学期望。 10.【2012高考新课标文18】(本小题满分12分)

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.

(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n ∈N )的函数解析式.

(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:

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(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数; (2)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率. 【答案】

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11.【2012高考四川文17】(本小题满分12分)

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)和,系统和系统在任意时刻发

生故障的概率分别为

1

10

和。

(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49

50

,求的值;

(Ⅱ)求系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。

命题立意:本题主要考查独立事件的概率公式、随机试验等基础知识,考查实际问题的数学建模能力,数据的分析处理能力和基本运算能力.

【答案】

【解析】

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【标题】2012年高考真题——文科数学(四川卷)

12.【2102高考北京文17】(本小题共13分)

近年来,某市为了促进生活垃圾的风分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应分垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):

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(Ⅱ)试估计生活垃圾投放错误额概率;

(Ⅲ)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为c b a ,,其中a >0,c b a ++=600。当数据c b a ,,的方差最大时,写出c b a ,,的值(结论不要求证明),并求此时的值。 (注:])()()[(1

222212

x x x x x x n

s n -++-+-= ,其中为数据n x x x ,,,21 的平均数) 【答案】

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13.【2012高考湖南文17】(本小题满分12分) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100

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(Ⅰ)确定x ,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过...2分钟的概率.(将频率视为概率) 【答案】

【解析】(Ⅰ)由已知得251055,35,15,20y x y x y ++=+=∴==,该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为:

115 1.530225 2.520310

1.9100

?+?+?+?+?=(分钟).

(Ⅱ)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,123,,A A A 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率,得

123153303251

(),(),()10020100101004

P A P A P A =

=====. 123123,,,A A A A A A A =且是互斥事件,

123123()()()()()P A P A A A P A P A P A ∴==++33172010410=

++=. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为7

10

.

【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%,知251010055%,35,y x y ++=?+=从而解得,x y ,再用样本估计总体,得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得 一位顾客一次购物的结算时间不超过...2分钟的概率. 14.【2012高考山东文18】(本小题满分12分)

袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.

(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率; (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.

【答案】(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种:红1红2,红1红3,红1

蓝1,红1蓝2,红2红3,红2蓝1,红2蓝2,红3蓝1,红3蓝2,蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况,故所求的概率为3

10

P =

. (II)加入一张标号为0的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的10种情况外,多出5种情况:红1绿0,红2绿0,红3绿0,蓝1绿0,蓝2绿0,即共有15种情况,其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况,所以概率为815

P =

. 15.【2012高考全国文20】(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........

) 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在平前,一方连续发球次后,对方再连续发球次,依次轮换。每次发球,胜方得分,负方得分。设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得分的概率为,各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中,甲先发球。 (Ⅰ)求开始第次发球时,甲、乙的比分为比的概率; (Ⅱ)求开始第次发球时,甲得分领先的概率。 【答案】

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16.【2012高考重庆文18】(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分)

甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,约定甲先投且先投中者获胜,一直每人都已投球3次时投篮结束,设甲每次投篮投中的概率为

13,乙每次投篮投中的概率为1

2

,且各次投篮互不影响。(Ⅰ)求乙获胜的概率;(Ⅱ)求投篮结束时乙只投了2个球的概率。

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独立事件同时发生的概率计算公式知112211223()()()p D p A B A B p A B A B A =+

112211223()()()()()()()()()p A p B P A P B p A p B P A P B p A =+2222212114

()()()()3232327

=+=

17.【2012高考天津文科15】(本小题满分13分)

某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。

(I )求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。

(II )若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析, (1)列出所有可能的抽取结果;

(2)求抽取的2所学校均为小学的概率。 【答案】

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18.【2012高考陕西文19】(本小题满分12分)

假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解他们的使用寿命,现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如下:

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(Ⅰ)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;

(Ⅱ)这两种品牌产品中,,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率。【答案】

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19.【2012高考江西文18】(本小题满分12分)

如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0,)B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点。

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(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率;

(2)求这3点与原点O共面的概率。

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