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短时傅里叶变换及其逆变换(Short-Time Fourier Transform and Its Inverse)

Short-Time Fourier Transform and Its Inverse

Ivan W.Selesnick

April14,2009

1Introduction

The short-time Fourier transform(STFT)of a signal consists of the Fourier transform of overlapping windowed blocks of the signal.In this note,we assume the overlapping is by50%and we derive the perfect reconstruction condition for the window function,denoted w(n).

The window w(n)is assumed to be supported(non-zero)for n=0,...,N?1.For example, Figure1shows a window of length N=10.In this example,the window is a symmetric half-cycle sine window.The N-point half-cycle sine window is given by

w(n)=sin π

(n+0.5)

,n=0,...,N?1.(1)

The?gure shows several shifted windows.The shifted windows are shifted by half the length of the window.(In practice,the window is much longer than10samples.A short window is used here for illustration.)

The m-th windowed block of the signal x(n)is given by x(n)·w(n?m·N/2).For example, Figure2shows several windowed blocks.The m-th windowed block is denoted as s(m,n):

s(m,n):=x(n)·w(n?m·N/2)(2)

For example,Figure2shows the m-th windowed block for m=0, (4)

The short-time Fourier transform is obtained by taking the DTFT of each windowed block: S(m,ω):=DTFT{x(n)·w(n?m·N/2)}(3)

The short-time Fourier transform of a discrete-time signal x(n)is denoted by

S(m,ω)=STFT{x(n)}.

In practice,the DTFT is computed using the DFT or a zero-padded DFT.

2Inverse STFT

The inverse STFT begins with the inverse DTFT of S(m,ω)to recover s(m,n).

s(m,n)=DTFT?1{S(m,ω)}

Signal x(n)

Window w(n)

w(n?N/2)

w(n?N)

w(n?3N/2)

w(n?2N)

Figure1:A window w(n)of length N=10and several shifted windows w(n?m·N/2).

Signal x(n)

s(0,n)=x(n)·w(n)

s(1,n)=x(n)·w(n?N/2)

s(2,n)=x(n)·w(n?N)

s(3,n)=x(n)·w(n?3N/2)

s(4,n)=x(n)·w(n?2N)

Figure2:Windowed blocks x(n)·w(n?m·N/2).The shifted windows are shown in Figure1.

Now,from s(m,n)we wish to recover x(n)by multiplying each s(m,n)by the shifted window w(n?m·N/2)and adding the results.We will use the same window used in the forward STFT. Multiplying the m-th windowed block by the shifted window gives:

s(m,n)·w(n?m·N/2)

which are illustrated in Figure3.Figure3shows the windowed s(m,n)for m=0, (4)

The next step of the inverse STFT adds these overlapping blocks to obtain the?nal signal y(n): y(n)=

s(m,n)·w(n?m·N/2)(4)

We have called this the‘inverse’STFT,however,it is only an inverse if y(n)=x(n),which in turn depends on the window w(n).If the window is not chosen correctly,then the reconstructed signal y(n)will not be equal to the original signal x(n).

3Perfect Reconstruction Condition

How should the window w(n)be chosen so as to ensure that the‘inverse’STFT really is an inverse? Combining(2)and(4)gives

y(n)=

x(n)·w2(n?m·N/2).(5) If we de?ne the squared window function

p(n):=w2(n)

then(5)can be written as

y(n)=x(n)

p(n?m·N/2).

For perfect reconstruction(y(n)=x(n))it is necessary that

p(n?m N/2)=1.(6)

The half-cycle sine window satis?es this condition as illustrated in Figure4.Note that the?rst N/2samples and the last N/2samples are exceptions.The beginning and end of the signal can be inverted using a di?erent procedure or,if the signal is long then these relatively few points at the beginning and end may not matter.

Note that the left-hand-side of(6)is periodic with period N/2.Therefore it is necessary to check the condition only for n=0,...,N/2?1(or for any other N/2range of n).Moreover,over this interval,only two terms contribute;so the perfect reconstruction simpli?es to:

p(n)+p(n+N/2)=1,n=0,...,N

?1.

Therefore,the perfect reconstruction condition is

Signal x(n)

s(0,n)·w(n)

s(1,n)·w(n?N/2)

s(2,n)·w(n?N)

s(3,n)·w(n?3N/2)

s(4,n)·w(n?2N)

Figure3:For the inverse STFT the overlapping signals s(m,n)·w(n?m·N/2)are added.

p(n)

p(n?N/2)

p(n?N)

p(n?3N/2)

p(n?2N)

p(0)+···+p(n?2N)

Figure4:Illustration of the perfect reconstruction condition(6)for the10-point half-cycle sine window.

w(n)w2(n)

w(n+N/2)w2(n+N/2)

w2(n)+w2(n+N/2)

Figure5:Illustration of the perfect reconstruction condition(7)for the10-point half-cycle sine window.

The half-cycle sine window(1)satis?es(7)as illustrated in Figure5.Basically it satis?es(7)because of the trigonometric identity cos2(θ)+sin2(θ)=1.Many other windows can also be designed that satisfy(7).Perhaps the simplest N-point window satisfying(7)is the rectangular window,

w(n)=

√

,n=0,...,N?1,

however,this window is not a good window because it is not tapered(smooth)at its ends.It can therefore cause discontinuities at block boundaries when the STFT is used for noise reduction,signal enhancement,or other applications.This discontinuity is sometimes audible as a low noise.

4Speech Noise Reduction

The STFT can be used to reduce noise in a speech signal (or other highly oscillatory signal).A simple method consists of three steps:https://www.wendangku.net/doc/db321828.html,pute the STFT of the noisy signal.

S (m,ω)=STFT {x (n )}

2.Threshold the STFT.

S 2(m,ω)=g (S (m,ω))

where g (a )is the thresholding function:

g (a )=

0,|a |≤T

a,|a |>T

(8)

All values less than the threshold T in absolute value get set to zero.

012

?2?1

g (a )

https://www.wendangku.net/doc/db321828.html,pute the inverse STFT.

y (n )=STFT ?1{S 2(m,ω)}.

This is illustrated by the block diagram:

x (

n )

y (n )

Example:Speech denoising by STFT-thresholding is illustrated in Figures 6and 7.Figure 6shows a noisy speech signal and its spectrogram computed using 50%overlapping.The noise is visible in both the signal and in the spectrogram.Setting the small spectrogram values to zero (thresholding)results in the spectrogram shown in Figure 7.Clearly,much of the noise in the spectrogram is eliminated.After this thresholding,the inverse STFT is computed to obtain the denoised signal also shown in Figure 7.Figure 8shows a closer view of the noisy and denoised speech signal for closer comparison.

STFT-thresholding is a non-linear noise reduction technique because the thresholding operation is non-linear.It can yield noise reduction results that are not possible with any linear time-invariant (LTI)?lter.

This method is sensitive to the choice of threshold T .If the threshold T is too large,then the signal will be highly distorted.If T is too small,then the result will still be noisy.

This basic algorithm described here can be improved in several di?erent ways.Instead of using a ?xed threshold T ,one can vary the threshold as a function of time and/or frequency.In addition,one can use di?erent nonlinearities instead of the threshold function (8).Also,one can develop methods to automatically estimate an appropriate threshold value which is needed in practice.

Noisy signal

00.10.2

0.3

0.40.50.6

?0.5

0.5

TIME (SECONDS)

Spectrogram of noisy signal

TIME (SECONDS)

F R E Q U E N C Y (H E R Z )

00.20.4

0.6

0.81 1.2

1000

200030004000500060007000Figure 6:Noisy signal and its STFT (spectrogram).The noise visible in the spectrogram is spread out across time and frequency.

Denoised signal

00.10.2

0.3

0.40.50.6

?0.5

0.5

TIME (SECONDS)

Spectrogram of denoised signal

TIME (SECONDS)

F R E Q U E N C Y (H E R Z )

00.20.4

0.6

0.81 1.2

1000

200030004000500060007000Figure 7:Denoised signal and its STFT (spectrogram).Thresholding the spectrogram eliminates most of the noise.

Noisy signal

0.3

0.31

0.32

0.330.340.35

0.36

0.37

?0.2

?0.100.10.2TIME (SECONDS)

Denoised signal

0.3

0.31

0.32

0.330.340.35

0.36

0.37

?0.2

?0.100.10.2TIME (SECONDS)

Figure 8:Noisy and denoised speech signal (magni?ed view).

5Exercises

1.Write a MATLAB program to implement the STFT with 50%overlapping and a second pro-gram to implement its inverse.Verify numerically that the inverse program reconstructs a test signal.

2.Find another window satisfying the perfect reconstruction condition for 50%overlapping,use it with your STFT program,and verify that it reconstructs a test signal.

3.Find the perfect reconstruction (PR)condition for an STFT with 2/3overlapping.Find a window that satis?es your PR condition.Write a MATLAB program to implement the STFT and its inverse with 2/3overlapping and verify the reconstruction of a test signal.

https://www.wendangku.net/doc/db321828.html,e the STFT and thresholding to reduce the noise level in a noisy speech signal.Try to use your own speech signal recorded using a computer (most audio recordings with consumer equipment contain some hiss;try to reduce the sound of the hiss).In case your STFT program does not work,you may use the provided function my_stft provided as a .p ?le.A .p ?le is a type of MATLAB ?le that can be executed in MATLAB but whose contents are not viewable (see the pcode function).

快速傅里叶变换原理及其应用

快速傅里叶变换的原理及其应用摘要快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换. 虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。关键词快速傅氏变换；快速算法；简化；广泛应用

Abstract Fast Fourier Transform (FFT), is a discrete fast Fourier transform algorithm, which is based on the Discrete Fourier Transform of odd and even, false, false, and other characteristics of the Discrete Fourier Transform algorithms improvements obtained. Its Fourier transform theory has not found a new, but in the computer system or the application of digital systems Discrete Fourier Transform can be said to be a big step into. Fourier transform theory and methods in the "mathematical equation" and "linear systems analysis" and "signal processing, simulation," and many other areas have a wide range of applications, as the computer can only handle a limited length of the sequence of discrete, so true On the computer's operation is a discrete Fourier transform. Fourier Although all aspects of computing in the calculation has an important role, but its calculation was too complicated, a lot of computing system for calculating the burden is too large for some Less power consumption, the slow speed of operation of its system at arm's length, however, have the fast Fourier transform, Fourier transform greatly simplifying the making, not in power at the expense of the conditions to increase the speed of computing systems, and enhance the system The comprehensive ability to improve the speed of operation, the Fast Fourier Transform in the production and life have a very important role in learning to master all have great significance. Key words Fast Fourier Transform; fast algorithm; simplified; widely used

实验六傅里叶变换及其反变换

实验六傅里叶变换及其反变换 6.1实验目的１．学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶变换；２．学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶反变换； 3．学会运用MATLAB 求连续时间信号的频谱图。 6.２实验原理及实例分析 1．连续时间信号傅里叶变换----CTFT 傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。傅里叶变换和其逆变换定义如下： ?∞ ∞--= dt e t x j X t j ωω)()( 6.1 ?∞∞-=ωωπωd e j X t x t j )(21)( 6.2 连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。按照教材中的说法，任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，那么，它可以被看作是由无穷多个不同频率（这些频率都是非常的接近）的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量（frequency component ），其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。 X(j ω)通常为关于的复函数，可以按照复数的极坐标表示方法表示为： X(j ω)=| X(j ω)|e j ∠ X(j ω) 其中，| X(j ω)|称为x(t)的幅度谱，而∠X(j ω)则称为x(t)的相位谱。给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱也是连续且非周期的。对于连续时间周期信号，也可以用傅里变换来表示其频谱，其特点是，连续时间周期信号的傅里叶变换时有冲激序列构成的，是离散的——这是连续时间周期信号的傅里叶变换的基本特征。２．用MATLAB 实现CTFT 的计算 MATLAB 进行傅里叶变换有两种方法，一种利用符号运算的方法计算，另一种是数值计算。 1） MATLAB 符号运算求解法 MATLAB 符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函数fourier( )及ifourier( )。常用的是：F=fourier(f) 默认返回值是关于ω的函数。 f=fourier(F,t) 返回值是关于t 的函数例：利用MATLAB 求单边指数信号f(t) = e -2t u(t)的傅里叶变换，画出f(t)及其幅度谱和相位谱图。 syms t v w x phase im re ; %定义符号变量 f = exp(-2*t)*sym('Heaviside(t)'); %f(t)=exp(-2*t)*u(t) Fw = fourier(f); %求傅里叶变换 subplot(311); ezplot(f); %绘制f(t)的时域波形 axis([-1 2.5 0 1.1]); subplot(312); ezplot(abs(Fw)); %绘制幅度谱 im = imag(Fw); %计算F(w)的虚部

快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式

快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式原理及公式非周期性连续时间信号x(t)的傅里叶变换可以表示为式中计算出来的是信号x(t)的连续频谱。但是，在实际的控制系统中能够得到的是连续信号x(t)的离散采样值x(nT)。因此需要利用离散信号x(nT)来计算信号x(t)的频谱。有限长离散信号x(n)，n=0，1，…，N-1的DFT定义为：可以看出，DFT需要计算大约N2次乘法和N2次加法。当N较大时，这个计算量是很大的。利用WN的对称性和周期性，将N点DFT分解为两个N／2点的DFT，这样两个N／2点DFT总的计算量只是原来的一半，即(N／2)2+(N／2)2=N2／2，这样可以继续分解下去，将N／2再分解为N／4点DFT等。对于N=2m点的DFT都可以分解为2点的DFT，这样其计算量可以减少为(N／2)log2N 次乘法和Nlog2N次加法。图1为FFT与DFT-所需运算量与计算点数的关系曲线。由图可以明显看出FFT算法的优越性。将x(n)分解为偶数与奇数的两个序列之和，即

x1(n)和x2(n)的长度都是N／2，x1(n)是偶数序列，x2(n)是奇数序列，则其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N／2点DFT。由于X1(k)和X2(k)均以N／2为周期，且WN k+N/2=-WN k，所以X(k)又可表示为：上式的运算可以用图2表示，根据其形状称之为蝶形运算。依此类推，经过m-1次分解，最后将N点DFT分解为N／2个两点DFT。图3为8点FFT的分解流程。 FFT算法的原理是通过许多小的更加容易进行的变换去实现大规模的变换，降低了运算要求，提高了与运算速度。FFT不是DFT的近似运算，它们完全是等效的。关于FFT精度的说明：因为这个变换采用了浮点运算，因此需要足够的精度，以使在出现舍入误差时，结果中的每个组成部分的准确整数值仍是可辨认的。为了FFT的舍入误差，应该允许增加几倍log2(log2N)位的二进制。以256为基数、长度为N字节的数

傅里叶变换算法详细介绍

从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上前言第一部分、DFT 第一章、傅立叶变换的由来第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT）从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下第三章、复数第四章、复数形式离散傅立叶变换 /***************************************************************************************************/ 这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。 /**************************************************************************************************/ 前言： ―关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解‖---dznlong，那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列? 傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂：以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）

傅里叶变换

傅里叶变换法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。[ 它具有很多好的性质，例如：收敛性傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：在任何周期内，x(t)须绝对可积；傅里叶级数在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和x(t)，那么x(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。

正交性所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性，例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。傅里叶级数一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。任意的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;4. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

FFT快速傅里叶变换word精品文档16页

快速傅里叶变换[编辑] 维基百科，自由的百科全书跳转至：导航、搜索傅里叶变换 Z变换傅里叶级数傅里叶变换离散傅里叶级数离散时间傅里叶变换离散傅里叶变换快速傅里叶变换分数傅里叶变换短时距傅立叶变换小波变换离散小波变换连续小波变换快速傅里叶变换（英语：Fast Fourier Transform, FFT），是离散傅里叶变换的快速算法，也可用于计算离散傅里叶变换的逆变换。快速傅里叶变换有广泛的应用，如数字信号处理、计算大整数乘法、求解偏微分方程等等。本条目只描述各种快速算法。对于复数序列，离散傅里叶变换公式为：直接变换的计算复杂度是（参见大O符号）。快速傅里叶变换可以计算出与直接计算相同的结果，但只需要的计算复杂度。通常，快速算法要求n能被因数分解，但不是所有的快速傅里叶变换都要求n是合数，对于所有的整数n，都存在复杂度为的快速算法。

除了指数的符号相反、并多了一个1/n的因子，离散傅里叶变换的正变换与逆变换具有相同的形式。因此所有的离散傅里叶变换的快速算法同时适用于正逆变换。目录 [隐藏] ? 1 一般的简化理论 ? 2 快速傅里叶变换乘法量的计算 ? 3 Cooley-Tukey算法 o 3.1 设计思想 ? 4 其他算法 ? 5 实数或对称资料专用的算法 ? 6 复杂度以及运算量的极限 ?7 参考资料 ?8 参阅一般的简化理论[编辑] 假设一个M*N Sub-rectangular matrix S可分解成列向量以及行向量相乘：若有个相异的non-trivial values( where ) 有个相异的non-trivial values

傅里叶变换算法详细介绍

前言： “关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong，那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列? 傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂：以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）

傅里叶变换常用公式

（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。简介 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。傅里叶变换定义 f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换，

②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数，f(t)叫做 F(ω)的象原函数。F(ω)是f(t)的象。f(t)是F(ω)原象。 ①傅立叶变换 ②傅立叶逆变换傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。傅里叶变换相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；

傅立叶变换

傅里叶变换 ●傅里叶变换 ?傅里叶变换及其反变换 ?傅里叶变换的性质 ?快速傅里叶变换（FFT）

傅里叶变换 ?可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通 ?滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质 ?可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导 ?一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在空间域进行

● 一维连续傅里叶变换及反变换 ?单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义为其中，?给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x) ?∞ ∞-=f u F )(1 -=j ?∞ ∞-=x f )(

● 二维连续傅里叶变换及反变换 ?二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v)定义为 ?给定F(u,v),通过傅里叶反变换可以得到f(x,y) () dy dx e y x f v u F vy ux j ??∞∞-∞∞-+-=π2),(),(() dv du e v u F y x f vy ux j ??∞∞-∞∞-+=π2),(),(傅里叶变换

● 一维离散傅里叶变换(DFT)及反变换?单变量离散函数f(x)(x=0,1,2,..,M-1)的傅里叶变换F(u)定义为 u=0,1,2,…,M-1?给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x) x=0,1,2,…,M-1∑-==1 1 )(M x f M u F ∑-==1 0)(M u x f

● 一维离散傅里叶变换及反变换 ?从欧拉公式()(∑-=-=1 2cos(1 M x x f M θcos e j =()∑-=-=1 )2(1)(M x ux j e x f M u F π()(∑-==1 02cos 1 M x x f M π

傅里叶变换4种形式

4种傅里叶变换形式离散傅里叶变换作为谱分析的重要手段在众多领域中广泛应用.离散傅里叶变换不仅作为有限长序列的离散频域表示法在理论上相当重要，而且由于存在计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数学信号处理的算法中起着核心作用. 连续傅里叶变换FT 当x(t)为连续时间非周期信号，而且满足傅里叶变换条件，它的傅里叶变换为X(j ?).x(t)与X(j ?)之间变换关系为傅里叶变换对： ?∞ ∞-Ω= Ωdt e t x j X t j )()( ? ∞∞-ΩΩΩ=d e j X t x t j )(21)(π 傅里叶变换的结果通常是复数形式，其模为幅度谱，其相位为相位谱.连续时间傅里叶变换的时间频域都连续. 连续傅里叶变换级数FS 当~x 是周期为T 的连续时间周期信号，在满足傅里叶级数收敛条件下，可展开成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为X(jk 0Ω).其中，T π20 =Ω,单位为rad/s ，称作周期信号的基波角频率，同时也是离散谱线的间隔.)(~t x 与)(0Ωjk X 之间的变换关系为傅里叶级数变换对： dt e t x T jk X T T t jk ?-Ω-=Ω22 ~00)(1)( t jk k e jk X t x 0)(21)(0Ω∞ -∞ =∑Ω=π 时域波形周期重复，频域幅度谱为离散谱线，离散谱线频率间隔为模拟角频率0Ω=T π 2.幅度谱|)(0Ωjk X |表明连续时间周期信号是由成谐波关系的有限个或者无限个单频周期信号t jk e 0Ω组合而成，其基波角频率为0Ω，单位为rad/s. 离散时间傅里叶变换DTDT

当x(n)为离散时间非周期信号，且满足离散时间傅里叶变换条件，其离散时间傅里叶变换为)(ωj e X .x(n)与)(ωj e X 之间变换关系为离散时间傅里叶变换对: ∑∞ ∞--=n n j j e n x e X ωω)()( ωπωππωd e e X n x n j j ?-=)(21)( 时域波形以抽样间隔s T 为时间间隔离散化，而频域频谱图则是连续的，且以数字角频率2π为周期化. 离散傅里叶级数DFS 当~ x (n)为离散时间周期为N 的周期信号，可展开成傅里叶级数，其傅里叶级数系数为)(~k x .~x (n 与))(~k x 之间变换关系为离散傅里叶级数变换对： ∑-=-=102~~)()(N n nk N j e n x k X π -∞

matlab实现傅里叶变换

（1）原理正交级数的展开是其理论基础！将一个在时域收敛的函数展开成一系列不同频率谐波的叠加，从而达到解决周期函数问题的目的。在此基础上进行推广，从而可以对一个非周期函数进行时频变换。从分析的角度看，他是用简单的函数去逼近（或代替）复杂函数，从几何的角度看，它是以一族正交函数为基向量，将函数空间进行正交分解，相应的系数即为坐标。从变幻的角度的看，他建立了周期函数与序列之间的对应关系；而从物理意义上看，他将信号分解为一些列的简谐波的复合，从而建立了频谱理论。当然Fourier积分建立在傅氏积分基础上，一个函数除了要满足狄氏条件外，一般来说还要在积分域上绝对可积，才有古典意义下的傅氏变换。引入衰减因子e^(-st)，从而有了Laplace变换。（好像走远了）。（2）计算方法连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。二、傅立叶变换的应用； DFT在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。需要指出的

是，所有DFT的实际应用都依赖于计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法，即快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（即FFT）是计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法。）。（1）、频谱分析 DFT是连续傅里叶变换的近似。因此可以对连续信号x(t)均匀采样并截断以得到有限长的离散序列，对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号x(t)频谱的性质。前面还提到DFT应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信号引起的频谱泄漏。可以通过选择适当的采样频率（见奈奎斯特频率）消减混叠。选择适当的序列长度并加窗可以抑制频谱泄漏。（2）、数据压缩由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用这一点将语音、音频、图像、视频等信号的高频部分除去。高频信号对应于信号的细节，滤除高频信号可以在人类感官可以接受的范围内获得很高的压缩比。这一去除高频分量的处理就是通过离散傅里叶变换完成的。将时域或空域的信号转换到频域，仅储存或传输较低频率上的系数，在解压缩端采用逆变换即可重建信号。（3）、OFDM OFDM（正交频分复用）在宽带无线通信中有重要的应用。这种技术将带宽为N 个等间隔的子载波，可以证明这些子载波相互正交。尤其重要的是，OFDM调制可以由IDFT实现，而解调可以由DFT实现。OFDM还利用DFT的移位性质，在每个帧头部加上循环前缀（Cyclic Prefix），使得只要信道延时小于循环前缀的长度，就能消除信道延时对传输的影响。