考研数学三真题及答案.doc
2014年考研数学三真题
一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的
四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)设lim n→∞an=a,且a≠0，则当n充分大时有
(A)an>a2 (B) an (C) an>a-1n(D) an 【答案】A。 【解析】 【方法1】直接法： 由lim n→∞an=a,且a≠0，则当n充分大时有 an>a2 【方法2】排除法： 若取an=2+2n,显然a=2,且(B)和(D)都不正确； 取an=2-2n,显然a=2，且(C)不正确 综上所述，本题正确答案是(A) 【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质 (2)下列曲线中有渐近线的是 (A)y=x+sinx (B)y=x2+sinx (C) y=x+sin1x (D) y=x2+sin1x 【答案】C。 【解析】 【方法1】 由于lim x→∞f(x)x=lim x→∞x+sin1xx=1=a lim x→∞fx-ax=lim x→∞x+sin1x-x=limx→∞sin1x=0=b 所以曲线y=x+sin1x有斜渐近线y=x，故应选(C) 解法2 考虑曲线y=x+sin1x与直线y=x纵坐标之差在x→∞时的极限lim x→∞x+sin1x-x=lim x→∞sin1x=0 则直线y=x是曲线y=x+sin1x的一条斜渐近线，故应选(C) 综上所述，本题正确答案是(C) 【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近线 (3)设px=a+bx+cx2+dx3.当x→0时，若px-tanx是比x3高阶的无 穷小，则下列选项中错误的是 (A)a=0 (B)b=1 (C)c=0 (D)d=16 【答案】D。 【解析】 【方法1】 当x→0时，tanx-x ~ 13x3知，tanx的泰勒公式为 tanx=x+ 13x3+o(x3) 又limx→0px-tanxx3=limx→0a+b-1x+cx2+d-13x3+o(x3)x3=0则a=0,b=1,c=0,d=13 【方法2】 显然，a=0， limx→0px-tanxx3=limx→0a+bx+cx2+dx3- tanxx3=limx→0b+2cx+3dx2-sec2x3x2 由上式可知，b=1,否则等式右端极限为∞，则左端极限也为∞，与题设矛盾。 limx→0px-tanxx3=limx→02cx+3dx2-sec2x3x2=limx→02c3x+d-13 故c=0,d=13 综上所述，本题正确答案是(D)。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量及其阶的比较 (4)设函数f(x)具有二阶导数，gx=f01-x-f(1)x,则在区间[0,1]上 (A)当f'(x)≥0时，f(x)≥g(x) (B)当f'(x)≥0时，f(x)≤g(x) (C)当f''(x)≥0时，f(x)≥g(x) (D)当f''(x)≥0时，f(x)≤g(x) 【答案】D。 【解析】 【方法1】 由于f0=g0,f1=g1,则直线y=f01-x-f(1)x过点(0,f(0))和(1,f(1)),当f''(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间[0,1]上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点(0,f(0))和(1,f1)的弦y=f01-x-f(1)x的下方，即f(x)≤g(x) 【方法2】 令Fx=fx-gx=fx-f01-x-f(1)x,则 F'x=f'x+f0-f(1),F''x=f''(x), 当f''(x)≥0时，F''x≥0。则曲线Fx在区间[0,1]上是凹的，又F0=F1=0， 从而，当x∈[0,1]时，F(x)≤0,即f(x)≤g(x) 【方法3】 令Fx=fx-gx=fx-f01-x-f(1)x, 则Fx=fx[1-x+x]-f01-x-f(1)x, =1-xfx-f0-x[f1-fx] =x1-xf'ξ-x1-xf'(η)ξ∈0,x,η∈x,1 =x1-x[f'ξ-f'(η)] 当f''(x)≥0时,f'(x)单调增，f'ξ≤f'(η)，从而，当x∈[0,1]时，F(x)≤0,即f(x)≤g(x) 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数不等式证明 (5)行列式0aa0 b00b0cc0 d00d= (A)(ad-bc)2 (B)- (ad-bc)2 (C)a2d2-b2c2 (D) b2c2-a2d2 【答案】B。 【解析】灵活使用拉普拉斯公式 0aa0 b00b0cc0 d00d=-c0a0 0d0b0c0a d0b0=cdab 00000000 dcba =cdab ?dcba=- (ad-bc)2 综上所述，本题正确答案是(B) 【考点】线性代数—行列式—数字型行列式的计算 (6)设α1,α2,α3均为三维向量，则对任意常数k,l,向量组 α1+kα3,α2+lα3线性无关是向量组α1,α2,α3线性无关的 (A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 【答案】A。 【解析】 记β1=α1+kα3,β2=α2+lα3，则 β1，β2=(α1,α2,α3)1001kl 若α1,α2,α3线性无关，则(α1,α2,α3)是3阶可逆矩阵， 故rβ1，β2=r1001kl=2,即α1+kα3,α2+lα3线性无关。 反之，设α1,α2线性无关，α3=0，则对于则对任意常数k,l,向量组α1+kα3,α2+lα3线性无关，但α1,α2,α3线性相关， 所以α1+kα3,α2+lα3线性无关是向量组α1,α2,α3线性无关的必要非充分条件。 综上所述，本题正确答案是(A)。 【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关 (7)设随机事件A与B相互独立，且PB=0.5,PA-B=0.3,则PB-A= (A)0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 【答案】B。 【解析】A，B独立，则A,B独立，B,A也独立,而A-B=AB,B-A=BA可用独立性来计算。 PA-B=PAB=PAPB=0.3 PB=1-PB=0.5 可得PA=0.6 PB-A=PBA=PBPA=0.5×0.4=0.2 综上所述，本题正确答案是(B)。 【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—事件关系，概率性质和五大公式 (8)设X1,X2,X3为来自正态总体N(0,σ2)的简单随机样本，则统计量 S=X1-X22X3服从的分布为 (A)F(1,1) (B) F(2,1) (C)t(1) (D)t(2) 【答案】C。 【解析】 X1-X2~N(0,2σ2)，所以X1-X22σ~N(0,1) X3~N0,σ2,X3σ~N(0,1)，X3σ2~χ2(1) X1-X2与X3相互独立，故X1-X22σ与X3σ2也独立。 所以X1-X22σX3σ2/1~t(1) ,而X1-X22σX3σ2/1=X1-X22X3=S 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念 二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分。） (9)设某商品的需求函数为Q=40-2p(p为商品的价格)，则该商品的 边际收益为。 【答案】20-Q 【解析】由题设知收益函数为R=pQ=(40-Q2)Q,则边际收益为dRdQ=20-Q 【考点】高等数学—一元函数微分学—一元微分在经济中的应用(10)设D是由曲线xy+1=0与直线y+x=0及y=2围成的有界区 域，则D的面积为。 【答案】32-ln2 【解析】 【方法1】 曲线xy+1=0与直线y+x=0及y=2围成的有界区域D如下图，则D的面积为 S=-2-12+xdx+-1-12[2+1x]dx=32-ln2 【方法2】 用二重积分计算面积，即 S=Ddxdy=12dy-y-1ydx=12-1y+ydy=32-ln2 【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分应用 (11)设0axe2xdx=14,则a=。 【答案】12。 【解析】 0axe2xdx=120axde2x=12xe2x0a-120ae2xdx=a2-14e2a+14 可知a2-14e2a=0，则a=12 【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分计算 (12)二次积分01dyy1(ex2x-ey2)dx= 。 【答案】e-12。 【解析】 二次积分的积分区域为 D=x,y0≤y≤1,y≤x≤1=x,y0≤x≤1,0≤y≤x 交换积分次序得 01dyy1ex2x-ey2dx=01dx0xex2x-ey2dy =01(ex2-0xey2dy)dx=01ex2dx-01(0xey2dy)dx =01ex2dx-(x0xey2dy)01+01xex2dx =01ex2dx-01ey2dy+12ex201=e-12 【考点】高等数学—二重积分—变换积分次序和坐标系 (13)设二次型fx1,x2,x3=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为 1，则a的取值范围是。 【答案】[-2,2] 【解析】 由配方法 fx1,x2,x3=x12+2ax1x3+a2x32-x22-4x2x3+4x32+4x32- a2x32 =(x1+ax3)2-(x2-2x3)2+(4-a2)x32 负惯性指数为1，故4-a2≥0，解得a∈[-2,2] 【考点】高等数学—二次型—二次型的概念与标准形 (14)设总体X的概率密度为 fx;θ=2x3θ2, θ 其中θ是未知参数，X1,X2,?X n为来自总体X的简单随机样本，若 Eci=1nXi2=θ2,则c=。 【答案】25n 【解析】 Eci=1nXi2=ci=1nEXi2=cnEX2=cnθ2θ2x3θ2dx=cn52θ2= θ2, 解得c=25n 【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念 三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。 (15)求极限 lim x→+∞1x[t2e1t-1-t]dtx2ln?(1+1x) 【解析】 【方法1】 lim x→+∞1xt2e1t-1-tdtx2ln1+1x= =lim x→+∞1x[t2e1t-1-t]dtx2?1x (等价无穷小代换) =lim x→+∞x2e1x-1-x (洛必达法则) =lim t→0+et-1-tt2 (变量代换1x=t) =lim t→0+et-12t (洛必达法则) =12 【方法2】 lim x→+∞1xt2e1t-1-tdtx2ln1+1x= =lim x→+∞1x[t2e1t-1-t]dtx2?1x (等价无穷小代换) =lim x→+∞x2e1x-1-x (洛必达法则) =lim x→+∞x21x+12!x2+o(1x2)-x (泰勒公式) =12 【考点】高等数学—函数、极限、连续—求函数的极限，常见等价无穷小，常见函数泰勒公式展开 (16)设平面内区域D={(x,y)|1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0},计算 D xsin(πx2+y2)x+ydxdy 【解析】 【方法1】令x=rcosθ,y=rsinθ, D xsin(πx2+y2)x+ydxdy=0π2cosθcosθ+sinθdθ12rsin πrdr =0π2cosθcosθ+sinθdθ?1π(-rcos πr12+12cos πrdr) =-3π0π2cosθcosθ+sinθdθ 又I=0π2cosθcosθ+sinθdθ=0π2sinθcosθ+sinθdθ令θ=π2-t) =120π2cosθ+sinθcosθ+sinθdθ=π4 所以D xsin(πx2+y2)x+ydxdy=-3π?π4=-34 【方法2】 显然积分区域D关于x,y有轮换对称性，于是 D xsin(πx2+y2)x+ydxdy=Dysin(πy2+x2)y+xdxdy =12[Dxsinπx2+y2x+ydxdy+D ysin(πy2+x2)y+xdxdy] =12Dxsinπx2+y2dxdy =120π2dθ12rsin πrdr =120π2dθ?1π(-rcos πr12+12cos πrdr) =-3π?π4=-34 【考点】高等数学—二重积分—利用区域的对称性和函数的奇偶性计算积分 (17)设函数f(μ)具有连续导数，且z=f(excosy)满足 cosy?z?x-siny?z?y=(4z+excosy)ex 若f0=0,求f(μ)的表达式。 【解析】 利用复合函数偏导数的计算方法求出两个偏导数，代入所给偏微分方程，转化为可求解的常微分方程。 因为 ?z?x=f'excosyexcosy, ?z?y=-f'excosyexsiny 所以 cosy?z?x-siny?z?y =cosyf'excosyexcosy+sinyf'excosyexsiny =f'excosyex 因此cosy?z?x-siny?z?y=(4z+excosy)ex化为 f'excosyex=(4z+excosy)ex 从而函数f(μ)满足方程 f'μ=4fμ+μ一阶线性非齐次微分方程 可得方程通解为fμ=Ce4μ-μ4-116 由f0=0,解得C=116 故fμ=116e4μ-μ4-116 【考点】高等数学—多元函数微分学—复合函数偏导数，一阶线性非齐次微分方程求解 (18)求幂级数n=0∞n+1(n+3)xn的收敛域及和函数 【解析】 【方法1】 因为几何级数n=0∞xn=11-x,且收敛域为x∈(-1,1) 又n=0∞n+1n+3xn =n=0∞n+1(n+2)xn+n=0∞n+1xn =n=0∞xn+2''+(n=0∞xn+1)' =x21-x''+x1-x'=2x-x21-x2'+11-x2 =3-x1-x3，x∈(-1,1) 由幂级数的逐项求导性质知n=0∞n+1(n+3)xn的收敛域为(- 1,1)，和函数Sx=3-x1-x3 ,x∈(-1,1) 【方法2】 幂级数n=0∞n+1(n+3)xn的系数an=n+1(n+3), 又 lim n→∞an+1an=lim n→∞n+2(n+4)n+1(n+3)=1 所以收敛半径R=1 当x=1时，n=0∞n+1(n+3)xn=n=0∞n+1(n+3)发散； 当x=-1时，n=0∞n+1(n+3)xn=n=0∞n+1(n+3)(-1)n 发散； 故收敛域为x∈(-1,1) 设Sx=n=0∞n+1(n+3)xn，x∈(-1,1) 则 0xS(t)dt=n=0∞n+3xn+1=n=0∞n+2xn+1+n=0∞xn+1 =n=0∞0xn+2tn+1dt'+x1-x=n=0∞xn+2'+x1-x =2x-x21-x2+x1-x=3x-2x21-x2 故和函数Sx=3x-2x21-x2'=3-x1-x3 ,x∈(-1,1) 【考点】高等数学—无穷级数—求幂级数的和函数及数项级数的和 (19)设函数fx,g(x)在区间[a,b]上连续，且fx单调增加，0≤g(x)≤1。 证明： (I)0≤axg(t)dt≤x-a,x∈a,b; (II)aa+abg(t)dtfxdx≤abfxg(x)dx. 【解析】 (Ⅰ)由0≤g(x)≤1得 得0≤axg(t)dt≤ax1dt≤x-a,x∈a,b； (Ⅱ)令Fu=aufxg(x)dx-aa+aug(t)dtfxdx 显然Fa=0,只要证明Fu单调增且Fb≥0, F'u=fugu-fa+augtdtg(u) =gu[fu-fa+augtdt] 由(Ⅰ)的结论0≤axg(t)dt≤x-a知，a≤a+axg(t)dt≤x即 a≤a+aug(t)dt≤u 又f(x)单调增加，则f(u)≥f a+augtdt,因此，F'(u)≥0, F(b)≥0. 故aa+abg(t)dtfxdx≤abfxg(x)dx. 【考点】高等数学—一元函数积分学—与定积分有关的证明题 (20)设A=1-20112 3-4-110-3，E为三阶单位矩阵 (I)求方程组Ax=0的一个基础解系； (II)求满足AB=E的所有矩阵B。 【解析】 (Ⅰ)对矩阵A做初等行变换，得 A=1-20112 3-4-110-3→1-20100 3-4-111-3→100100 010-21-3 因n-rA=4-3=1,令x4=1求出x3=3，x2=2，x1=-1 故基础解系为η=(-1,2,3,1)T （Ⅱ）考察3个非齐次线性方程组 Ax=100, Ax=010, Ax=001 由于这三个方程组的系数矩阵是相同的，所以令A=(A?E)做初等行变换 A=A?E=1-20112 3-4 -110-3100010001 →1-20104 3-4 -11-31100010-101 →1-20100 3-4 -111-3100010-1-41 →1-20100 05 0-21-3412-3-1-31-1-41 →100100 01 0-21-3261-1-31-1-41 由此得三个方程组的通解： (2,-1,-1,0)T+k1η (6,-3,-4,0)T+k2η (-1,1,1,0)T+k3η 故所求矩阵为B=2-k16-k2-1-k3-1+2k1-3+2k21+2k3-1+3k1-4+3k21+3k3k1 k2k3,k1,k2,k3为任意常数。 【考点】高等数学—线性方程组—非齐次方程组的求解 (21)证明n阶矩阵1?111?11????1?11与0?010?02????0?0n相 似 【解析】 证明：记 A=1?111?11????1?11，B=0?010?02????0?0n 因为A是实对称矩阵必与对角矩阵相似 由λE-A=λn-nλn-1=0,知A的特征值为n,0,0?,0(n-1个)。 故A~Λ=n?000?00????0?00 又由λE-B=(λ-n)λn-1=0, 知B的特征值为n,0,0?,0(n-1个)。 当λ=0时，r0E-B=rB=1,那么n-r0E-B=n-1,即齐次方程组0E-Bx=0有n-1个线性无关的解，亦即λ=0时，矩阵B有n-1个线性无关的特征向量，从而矩阵B必有对角矩阵相似，即 B~Λ=n?000?00????0?00 从而A和B相似。 【考点】高等数学—特征值与特征向量—相似与相似对角化(22)设随机变量X的概率密度为 fx=2-xln2, x>00 , x≤0 对X进行独立重复的观测，直到第二个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数 (I)求Y的概率分布 (II)求EY 【解析】 (Ⅰ)令A={对X进行一个观测得到的值大于3}。 显然PA=PX>3=3+∞f(x)dx=3+∞2-xln2dx=18, 记事件A发生的概率PA=18=p Y的可能取值应为k=2,3,?, PY=k=Ck-11p(1-p)k-2p=(k-1)p2(1-p)k-2,k=2,3,? 所以Y的分布为 PY=k=k-1p21-pk-2，p=18，k=2,3,? （Ⅱ） EY=2∞kk-1p21-pk-2 记1-p=q EY=p22∞kk-1qk-2=p2ddq2∞kqk-1 =p2ddq1∞kqk-1-1=p2ddq(1∞kqk-1)=p2ddq2(1∞qk) =p2ddq2(0∞qk-1)=p2ddq2(0∞qk)=p2ddq2(11-q) =p2ddq11-q2=p2?2(1-q)3=p2?2p3=2p=16 【考点】高等数学—随机变量的数字特征—数学期望 (23)设随机变量X,Y的概率分布相同，X的概率分布为PX=0=13, PX=0=23 ，且X,Y的相关系数ρxy=12 (I)求(X,Y)的概率分布； (II)求P{X+Y≤1} CovX,Y=EXY-EXEY=d-23?23=d-49 ρxy=Cov(X,Y)DXDY=d-4929=12 解得 d=59 由此可得b=c=23-d=19 , a=13-b=29 P X+Y≤1=1-PX+Y>1=1-d=49 【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—概率分布，相关系数