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山东省寿光现代中学2017-2018学年高三上学期12月月考数学(理)试题 Word版含答案

2017-2018学年山东省寿光现代中学高三12月月考

高三数学理阶段检测试题

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个

选项中,只有一项 是符合题目要求的.

1.i 为虚数单位,复平面内表示复数2i

z i

-=

+的点在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 2.已知集合{}211M x x =-<,{}31x N x =>,则M

N =( )

A .?

B .{}01x x <<

C .{}1x x <

D .{}0x x <

3.若log 20a <(0a >,且1a ≠),则函数()()log 1a f x x =+的图象大致是( )

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A .

B .

C .

D .

4.已知等比数列{}n a 的公比为正数,且25744a a a ?=,21a =,则1a =( ) A

.2 C.12

D

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5.已知变量 x y ,满足约束条件11y x x y y ≤??

+≤??≥-?

,则32z x y =+的最大值为( )

A .4

B .5- C.52

D .3- 6.过点()0 1,且与曲线1

1

x y x +=

-在点()3 2,处的切线垂直的直线的方程为( ) A .210x y +-= B .210x y -+= C.220x y -+=

D .220x y +-=

7.下图给出的是计算1111

2

4

6

20

++++…的值的一个框图,其中菱形判断框内应填入的条件是( )

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A .10i <

B .10i > C.11i < D .11i >

8.关于直线 m n ,与平面 αβ,,有以下四个命题:①若 m n αβαβ∥,∥且∥,则m n ∥;

②若 m n αβαβ⊥⊥∥,

且,则m n ∥;③若 m n αβαβ⊥,∥且∥,则m n ⊥; ④若 m n αβαβ⊥⊥⊥,

且,则m n ⊥. 其中真命题有( )

A .1个

B .2个 C.3个 D .4个

9.抛物线()211:02C y x p p =>的焦点与双曲线2

22:13

x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =( ) A

B

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10.已知函数()1

00 0

x x f x x

x ?+≠?=??=?,

,,则关于x 的方程()()20f x bf x c ++=有5个不同实数解的充要条件是( )

A .2b >-且0c >

B .2b <-且0c < C.2b ≥-且0c = D .2b <-且0c =

第Ⅱ卷(共90分)

二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 11.若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤,则实数k = .

12.三位老师和三位学生站成一排,要求任何两位学生都不相邻,则不同的排法总数为 .

13.过点()3 1,作圆()()2

2

224x y -+-=的弦,其中最短的弦长为 . 14.如图,在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别在边CD 和BC 上,且

3 3DC DE BC BF ==,,若AC mAE nAF =+,其中 m n R ∈,,则m n += .

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15.如图,矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0 f x x x π=∈,及直线

()()0 x a a π=∈,与x 轴围成,向矩形OABC 内随机投掷一点,若落在阴影部分的

概率为

3

16

,则a 的值是 .

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三、解答题 (本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

16.(本小题满分12分)

在ABC △中,内角 A B C ,

,的对边分别为 a b c ,,,已知cos 2cos 2cos A C c a

B b

--=

. (Ⅰ)求

sin sin C

A

的值; (Ⅱ)若1cos 4

B =,2b =,求AB

C △的面积S . 17.(本小题满分12分)

已知向量3sin 4

a x ??

= ??

?

,,()cos 1b x =-,.

(1)当a b ∥时,求2cos sin 2x x -的值;

(2)设函数()()2f x a b b =+?,已知在ABC △中,内角 A B C ,,的对边分别为 a b c ,,

,若a 2b =

,sin B =

,求()4cos 20 63f x A x ππ?????

?++∈ ? ?????????

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,的取值范围.

18.(本小题满分12分)

已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直, M N ,分别为棱 BE AD ,的中点, 1 2AB AD ==,

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.

(1)证明:直线AM ∥平面NEC ; (2)求二面角N CE D --的余弦值. 19.(本小题满分12分)

在数列{}n a 中,11a =,并且对于任意*n N ∈,都有121

n

n n a a a +=+. (1)证明数列1n a ??

?

???

为等差数列,并求{}n a 的通项公式; (2)设数列{}1 n n a a +,的前n 项和为n T ,求使得1000

2011

n T >的最小正整数n . 20.(本小题满分13分)

已知椭圆C 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,12 F F ,分别在其左、右焦点,P 在

椭圆上任意一点,且12F P F P ?的最大值为1,最小值为2-. (1)求椭圆C 的方程;

(2)设A 为椭圆C 的右顶点,直线l 是与椭圆交于 M N ,

两点的任意一条直线,若AM AN ⊥,证明直线l 过定点. 21.(本小题满分14分)

已知函数()()2ln 11f x p x p x =+-+. (1)讨论函数()f x 的单调性;

(2)当1p =时,()f x kx ≤恒成立,求实数k 的取值范围; (3)证明:()()*111

ln 112

3

n n N n

+<++++∈….

试卷答案

一、选择题

1-5:CBBDA 6-10:BBBCC 二、填空题

11.2 12.144 13.3

2

15.23

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π 三、解答题

16.解:(1)由正弦定理得22sin sin sin c a C A

b B

--=

,…………2分 所以

2sin sin cos 2cos sin cos C A A C

B B

--=

, 即()()cos 2cos sin 2sin sin cos A C B C A B -=-,

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2c =.……………………………………………………8分

又1cos 4B =,0B π<<得sin B =

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1sin 2ABC S ac B ==△.…………12分 17.解:(1)∵a b ∥,∴3

cos sin 04

x x +=,∴3

tan 4

x =-,………………2分

22

222

cos 2sin cos 12tan 8

cos sin 2sin cos 1tan 5

x x x x x x x x x ---===++.…………………………6分