2007-2011年高考数学试卷(海南、宁夏理)

年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学 第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知命题:p x ?∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ??∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ??∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ??∈R ，sin 1x >

Ｄ．:p x ??∈R ，sin 1x >

2．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量13

22

-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，

Ｃ．(10)-，

Ｄ．(12)-，

3．函数πsin 23y x ?

?=- ??

?在区间ππ2??-????

，的简图是（ ）

4．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =， 则其公差d =（ ） Ａ．2

3

-

Ｂ．13

-

Ｃ．

13

Ｄ．

23

5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ）

y

x

1

1-

2

π- 3

π

- O 6π

π

y

x

1

1-

2

π

- 3π- O 6

π π y x

1

1-

2

π

- 3

π O

6π- π

y

x

π

2

π- 6

π- 1

O

1-

3

π Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

开始

1k = 0S =

50?

k ≤是

2S S k =+

否

输出S

2450 Ｂ．2500

Ｃ．2550

Ｄ．2652

6．已知抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为F ，

点11

1222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上， 且2132x x x =+， 则有（ ） Ａ．123FP FP FP +=

Ｂ．22

2

123FP FP FP +=

Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2

2

1

3FP FP FP =· 7．已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则2

()a b cd

+的

最小值是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．4

8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）

Ａ．

3

4000cm 3

Ｂ．3

8000cm 3

Ｃ．3

2000cm

Ｄ．34000cm 9．若

c o s22

π2s i n 4αα=-?

?- ?

?

?，则c o s s i n αα+的值

为（ ） Ａ．72

-

Ｂ．12

-

Ｃ．

12

Ｄ．

72

20

20正视图

20侧视图

10 10

20

俯视图

．曲线12

e x y =在点2

(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．

29e 2

Ｂ．2

4e

Ｃ．2

2e

Ｄ．2

e

11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表

123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）

Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >>

Ｄ．231s s s >>

12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =（ ） Ａ．3:1:1

Ｂ．3:2:2

Ｃ．3:2:2

Ｄ．3:2:3

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．

14．设函数(1)()

()x x a f x x ++=

为奇函数，则a = ．

15．i 是虚数单位，51034i

i

-+=+ ．

（用a bi +的形式表示，a b ∈R ，） 16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．

甲的成绩

环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩

环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩

环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4

18．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点． （Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ；

（Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值． 19．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆2212

x y +=有两个不

同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；

（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量

OP OQ + 与AB

共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分） 如图，面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计M 的面积：在正方形ABCD 中随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计

值为

m

S n

，假设正方形ABCD 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目． （I ）求X 的均值EX ；

（II ）求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际

值之差在区间(0.03)-0.03，内的概率．

附表：1000010000

()0.250.75k

t

t t t P k C

-==

??∑

k

2424

2425 2574 2575 ()P k

0.0403

0.0423

0.9570

0.9590

21．（本小题满分12分）

D C B

A

M

O

S

B

A

C

2()ln()f x x a x =++

（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln

2

． 22．请考生在A B C ，，三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，已知AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O 的割线，与O 交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点．

（Ⅰ）证明A P O M ，，，四点共圆；

（Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小．

22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．

（Ⅰ）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程．

22．Ｃ（本小题满分10分）选修45-；不等式选讲 设函数()214f x x x =+--． （I ）解不等式()2f x >； （II ）求函数()y f x =的最小值．

2007年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案

一、选择题 1．Ｃ 2．Ｄ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｃ

7．Ｄ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｄ 11．Ｂ 12．Ｂ

二、填空题 13．3 14．1- 15．12i +

16．240

三、解答题

17．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--．

A

P O

M C

B

弦定理得sin sin BC CD

BDC CBD

=

∠∠． 所以sin sin sin sin()

CD BDC s BC CBD β

αβ∠=

=

∠+·． 在ABC Rt △中，tan sin tan sin()

s AB BC ACB θβ

αβ=∠=

+·．

18．证明： （Ⅰ）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC

△为等腰直角三角形，所以2

2

OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥，又SBC △为等腰三角形，故SO BC ⊥，且2

2

SO SA =

，从而222OA SO SA +-． 所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥． 又AO BO O = ．

所以SO ⊥平面ABC ． （Ⅱ）解法一：

取SC 中点M ，连结A M O M ，，由（Ⅰ）知S O O C S A A ==，，得

O M S C A M S

⊥⊥，． OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角． 由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥= ，，得AO ⊥平面SBC ．

所以AO OM ⊥，又3

2

AM SA =

， 故26sin 33

AO

AMO AM ∠=

==． 所以二面角A SC B --的余弦值为3

3

． 解法二：

以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系

O xyz -．

设(100)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，．

SC

的中点

11022M ??

- ???

，，，

O

S

B

A

C

M

O

S

B A C

M

x z

y

111101(101)2222MO MA SC ????=-=-=-- ? ????? ，，，，，，，，．

00MO SC MA SC ==

，∴··．

故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>

，，<等于二面角A SC B --的平面角．

3

cos 3MO MA MO MA MO MA

<>==

，··， 所以二面角A SC B --的余弦值为

3

3

． 19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为2y kx =+，

代入椭圆方程得22(2)12

x kx ++=．

整理得22122102k x kx ??

+++=

???

① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2

221844202k k k ??

?=-+=->

???

， 解得22k <-或2

2k >．即k 的取值范围为2222????--+ ? ? ? ?????

，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++

，，

由方程①，122

4212k

x x k +=-

+． ②

又1212()22y y k x x +=++． ③

而(20)(01)(21)A B AB =-

，，

，，，． 所以OP OQ + 与AB

共线等价于12122()x x y y +=-+，

将②③代入上式，解得22

k =

． 由（Ⅰ）知22k <-

或22

k >，故没有符合题意的常数k ．

20．解：

每个点落入M 中的概率均为14

p =． 依题意知1~100004X B ?? ???

，． （Ⅰ）1

1000025004

EX =?

=． （Ⅱ）依题意所求概率为0.03410.0310000X P ??

-<

?-< ??

?

，

0.03410.03(24252575)10000X P P X ??

-

2574

1000010000

24260.250.75t

t t t C

-==

??∑

2574

24251000010000110000

100002426

0.250.75

0.250.75t

t t

t

t t t C

C --===

??-??∑∑

0.95700.04230.9147=-=．

21．解： （Ⅰ）1

()2f x x x a

'=

++， 依题意有(1)0f '-=，故32

a =

． 从而2231(21)(1)

()3322

x x x x f x x x ++++'==

++． ()f x 的定义域为32??

-+ ???

，

∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当1

12

x -<<-时，()0f x '<； 当1

2

x >-

时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间3112

2

????---+ ? ?????

，，，

∞单调增加，在区间112?

?

-- ???

，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221

()x ax f x x a

++'=

+．

22210x ax ++=的判别式248a ?=-．

（ⅰ）若0?<，即22a -<<

，在()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值．

（ⅱ）若0?=，则2a -或2a =-．

若2a =，(2)x ∈-+，∞，2

(21)()2

x f x x -'=+．

当2

2x =-

时，()0f x '=，当22222x ????∈---+ ? ? ? ?????

，，∞时，()0f x '>，所以()f x 无极值．

若2a =-，(2)x ∈+，

∞，2

(21)()02

x f x x -'=>-，()f x 也无极值． （ⅲ）若0?>，即2a >或2a <-，则2

2210x a x ++=有两个不同的实根

2122a a x ---=，2222

a a x -+-=．

当2a <-时，12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值．

当2a >时，1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．

综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为(2)+，

∞． ()f x 的极值之和为

2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln

22

e

f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．

22．Ａ

（Ⅰ）证明：连结OP OM ，．

因为AP 与O 相切于点P ，所以OP AP ⊥． 因为M 是O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥．

于是180OPA OMA ∠+∠=°．

由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A P O M ，，，四点共圆．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A

P O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠． 由（Ⅰ）得OP AP ⊥．

由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=°．

A

P

O

M C

B

90OAM APM ∠+∠=°．

22．Ｂ

解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

（Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得2

4cos ρρθ=． 所以22

4x y x +=．

即22

40x y x +-=为1O 的直角坐标方程． 同理22

40x y y ++=为2O 的直角坐标方程．

（Ⅱ）由2222

4040x y x x y y ?+-=??++=??

，解得1100x y =??=?，

，2222x y =??=-?． 即1O ，2O 交于点(00)，和(22)-，．过交点的直线的直角坐标方程为y x =-． 22．Ｃ解：

（Ⅰ）令214y x x =+--，则

1521334254x x y x x x x ?

---??

?

=--<

?+??

， ，， ，， ．≤≥．．．．．．．．．．．．．．．3分

作出函数214y x x =+--的图象，它与直线2y =的交点为(72)-，和5

23?? ???

，

． 所以2142x x +-->的解集为5

(7)3x x ??--+ ???

，，． （Ⅱ）由函数214y x x =+--的图像可知，当1

2

x =-时，214y x x =+--取得最小值92

-．

2008年普通高等学校统一考试（海南卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

12

- O 2y =

4

x

y

、已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：

那么ω=（ ） A. 1

B. 2

C. 1/2

D. 1/3

2、已知复数1z i =-，则221

z z

z -=-（ ）

A. 2i

B. －2i

C. 2

D. －2

3、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A. 5/18

B. 3/4

C.

3/2 D. 7/8

4、设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则

4

2

S a =（ ） A. 2 B. 4 C.

152

D.

172

5、右面的程序框图，如果输入三个实数a 、b 、c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ） A. c > x

B. x > c

C. c > b

D. b > c

6、已知1230a a a >>>，则使得2

(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是（ ）

A.（0，1

1

a ）

B. （0，1

2

a ）

C. （0，

31a ） D. （0，

3

2a ） 7、0

20

3sin 702cos 10

--=（ ）

A.

1

2

B. 22

C. 2

D. 32

8、平面向量a r ，b r

共线的充要条件是（ ）

A. a r ，b r 方向相同

B. a r ，b r 两向量中至少有一个为零向量

是

否

开始

输入

x=a

b>x 输出x

结束

x=b

x=c

否

是

R λ?∈， b a λ=r r

D. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r

9、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（ ） A. 20种

B. 30种

C. 40种

D. 60种

10、由直线21=

x ，x=2，曲线x

y 1

=及x 轴所围图形的面积为（ ） A. 415 B. 4

17 C. 2ln 21 D. 2ln 2

11、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点

距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A. （

4

1

，－1） B. （

4

1

，1） C. （1，2） D. （1，－2）

12、某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（ ）

A. 22

B. 32

C. 4

D. 52

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

13、已知向量(0,1,1)a =-r ，(4,1,0)b =r ，||29a b λ+=r r

且0λ>，则λ= ____________

14、过双曲线22

1916

x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。过点F 平行双曲线的一条渐近线的

直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为______________

15、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面

上，且该六棱柱的体积为

9

8

，底面周长为3，那么这个球的体积为 _________ 16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下： 由以上数据设计了如下茎叶图：

甲 乙

3 1 27 7 5 5 0 28

4

5 4 2 29 2 5 8

7 3 3 1 30 4 6 7 9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 8

5 5 3 32

0 2 2 4 7 9 甲品种： 271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种：

284 292

295

304

306

307

312

313

315

315

316

318

318

320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356

7 4 1 33 1 3 6 7 34 3 2 35

6 根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：

①__________________________________________________________________________ ②__________________________________________________________________________ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。 17、（本小题满分12分）

已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。 （1） 求{}n a 的通项n a ；

（2） 求{}n a 前n 项和n S 的最大值。

18、（本小题满分12分）

如图，已知点P 在正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°。 （1） 求DP 与CC 1所成角的大小；

（2） 求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小。

19、（本小题满分12分）A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2。根据市场

分析，X 1和X 2的分布列分别为 X 1 5% 10% X 2 2% 8% 12% P

0.8

0.2

P

0.2

0.5

0.3

（1） 在A 、B 两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获

得的利润，求方差DY 1、DY 2；

（2） 将x （0≤x ≤100）万元投资A 项目，100－x 万元投资B 项目，f(x)表示投资A

项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x 为何值时，f(x)取到最小值。 （注：D(aX + b) = a 2DX ）

B 1

C 1

D 1A 1C

D A

B

P

20、（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦

点分别为F 1、F 2。F 2也是抛物线C 2：24y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且25

||3

MF =

。 （1） 求C 1的方程；

（2） 平面上的点N 满足12MN MF MF =+uuu r uuu r uuu u r

，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，

若OA uu r ·OB uu u r =0，求直线l 的方程。

21、（本小题满分12分）设函数1

()(,)f x ax a b Z x b

=+∈+，曲线()y f x =在点(2,(2))

f 处的切线方程为3y =。

（1） 求()y f x =的解析式；

（2） 证明：曲线()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （3） 证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的

面积为定值，并求出此定值。

22、（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线AP 垂直直线OM ，垂足为P 。

（1）证明：O M ·OP = OA 2；

（2）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于B 点。过B 点的切线交

直线ON 于K 。证明：∠OKM = 90°。

23、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线C 1：cos ()sin x y θθθ=??=?为参数，曲线C 2：2

22()22

x t t y t ?=-????=??为参数。 K

B

P

A O

M

N

1）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；

（2）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1'C ，2'C 。写出

1'C ，2'C 的参数方程。1'C 与2'C 公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？

说明你的理由。

24、（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数|4||8|)(---=x x x f 。 （1） 作出函数)(x f y =的图像； （2） 解不等式2|4||8|>---x x 。

年普通高等学校统一考试（宁夏卷）

数学（理科）参考答案

一、选择题 1．B 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 9．A

10．D

11．A

12．C

二、填空题 13．3

14．

3215

15．

43

π 16．

1．乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．

2．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．

3．甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm ，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm ． 4．乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．

三、解答题

17．解：

（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，由已知条件，11

1

45a d a d +=??+=-?，解出13a =，2d =-．

所以1(1)25n a a n d n =+-=-+． （Ⅱ）21(1)

42

n n n S na d n n -=+

=-+24(2)n =--． 所以2n =时，n S 取到最大值4．

18．解：

如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．

则(1

00)DA =，，uu u r ，(001)CC '=，，uuu r

． 连结BD ，B D ''．

在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ．

设(1)(0)DH m m m =>，，

uuu r

， 由已知60DH DA <>=，

o uuu r uu u r

， A B

C D P

A '

B '

C '

D '

x

y

z H

cos DA DH DA DH DA DH =<>，uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r g

可得2221m m =

+．

解得2

2m =，所以22122DH ??= ? ???

，，uuu r ． （Ⅰ）因为220011222cos 212DH CC ?+?+?'<>==

?，uuu r uuu r ， 所以45DH CC '<>=，

o uuu r uuu r

． 即DP 与CC '所成的角为45

．

（Ⅱ）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，

，uuu r

． 因为22

0110122cos 212DH DC ?+?+?<>==?，uuu r uuu r ，

所以60DH DC <>=，

o uuu r uuu r

． 可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30

．

19．解：

（Ⅰ）由题设可知1Y 和2Y 的分布列分别为

Y 1 5 10 P

0.8

0.2

150.8100.26EY =?+?=，

221(56)0.8(106)0.24DY =-?+-?=，

220.280.5120.38EY =?+?+?=，

2222(28)0.2(88)0.5(128)0.312DY =-?+-?+-?=．

（Ⅱ）12100()100100x x f x D Y D Y -????

=+

? ?????

Y 2 2 8 12 P

0.2

0.5

0.3

22

12100100100x x DY DY -????=+ ? ?????

22

243(100)100x x ??=

+-?? 2224(46003100)100

x x =-+?， 当6007524x ==?时，()3f x =为最小值．

20．解：

（Ⅰ）由2C ：2

4y x =知2(1

0)F ，． 设11()M x y ，，M 在2C 上，因为253MF =，所以15

13

x +=， 得12

3

x =

，1263y =．

M 在1C 上，且椭圆1C 的半焦距1c =，于是

22

224

8193 1.a b b a ?+=??

?=-?

， 消去2b 并整理得 4293740a a -+=，

解得2a =（1

3

a =

不合题意，舍去）． 故椭圆1C 的方程为22

143

x y +=．

（Ⅱ）由12MF MF MN +=uuu r uuu u r uuu r

知四边形12MF NF 是平行四边形，其中心为坐标原点O ，

因为l MN ∥，所以l 与OM 的斜率相同，

故l 的斜率26

3623

k ==．

设l 的方程为6()y x m =

-．

由2234126()x y y x m ?+=??=-??，，

消去y 并化简得

916840x mx m -+-=．

设11()A x y ，，22()B x y ，，

12169m

x x +=

，212849m x x -=． 因为OA OB ⊥uu r uu u r

，所以12120x x y y +=． 121212126()()x x y y x x x m x m +=+-- 2121276()6x x m x x m =-++

22841676699

m m m m -=-+g g

21

(1428)09

m =-=． 所以2m =±．

此时2

2

(16)49(84)0m m ?=-?->， 故所求直线l 的方程为623y x =-，或623y x =+．

21．解： （Ⅰ）2

1

()()

f x a x b '=-

+， 于是2

123210(2)a b a b ?+=?+???-=+??

，， 解得11a b =??=-?，， 或94

8.3a b ?=????=-??，

因a b ∈Z ，，故1

()1

f x x x =+

-． （Ⅱ）证明：已知函数1y x =，21

y x

=都是奇函数． 所以函数1

()g x x x

=+也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形． 而1

()111

f x x x =-+

+-． 可知，函数()g x 的图像按向量(11)=，a 平移，即得到函数()f x 的图像，故函数()f x 的图像是以点(11)，为中心的中心对称图形．

Ⅲ）证明：在曲线上任取一点00011x x x ??+

?-??

，． 由02

01

()1(1)f x x '=-

-知，过此点的切线方程为

2000200111()1(1)x x y x x x x ??-+-=--??--??

． 令1x =得001

1x y x +=

-，切线与直线1x =交点为00111x x ??+ ?-??

，．

令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为00(21

21)x x --，． 直线1x =与直线y x =的交点为(11)，．

从而所围三角形的面积为

000001112

12112222121

x x x x x +---=-=--．

所以，所围三角形的面积为定值2．

22．解：

（Ⅰ）证明：因为MA 是圆O 的切线，所以OA AM ⊥． 又因为AP OM ⊥．在Rt OAM △中，由射影定理知，

2OA OM OP =g ．

（Ⅱ）证明：因为BK 是圆O 的切线，BN OK ⊥． 同（Ⅰ），有2

OB ON OK =g ，又OB OA =， 所以OP OM ON OK =g g ，即ON OM

OP OK

=

． 又NOP MOK =∠∠，

所以ONP OMK △∽△，故90OKM OPN ==

∠∠． 23．解：

（Ⅰ）1C 是圆，2C 是直线．

1C 的普通方程为221x y +=，圆心1(00)C ，，半径1r =． 2C 的普通方程为20x y -+=．

因为圆心1C 到直线20x y -+=的距离为1， 所以2C 与1C 只有一个公共点．