矩阵论矩阵分析
矩阵论课程教学大纲
《矩阵论》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号： xxxxx 课程中文名称：矩阵论 课程英文名称：Matrix Theory 课程性质：学位课 考核方式：考试 开课专业：工科各专业 开课学期：1 总学时：36学时 总学分： 2学分 二、课程目的和任务 矩阵论是线性代数的后继课程。在线性代数的基础上，进一步介绍线性空间与线性变换、欧氏空间与酉空间以及在此空间上的线性变换，深刻地揭示有限维空间上的线性变换的本质与思想。为了拓展高等数学的分析领域，通过引入向量范数和矩阵范数在有限维空间上构建了矩阵分析理论。 从应用的角度，矩阵代数是数值分析的重要基础，矩阵分析是研究线性动力系统的重要工具。为了矩阵理论的实用性，对于矩阵代数与分析的计算问题，利用Matlab计算软件实现快捷的计算分析。 三、教学基本要求（含素质教育与创新能力培养的要求） 通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。并着重培养学生将所学的理论知识应用于本专业的实际问题和解决实际问题的能力。 本课程还要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。 四、教学内容与学时分配 (一) 线性空间与线性变换 8学时 1. 理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；
2. 掌握子空间与维数定理，了解线性空间同构的含义； 3. 理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示。 (二) 内积空间 6学时 1. 理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系； 2. 了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的方法； 3. 理解酉空间的概念，会判定一个空间是否为酉空间 4. 掌握酉空间与实内积空间的异同； 5. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质。 (三) 矩阵的对角化与若当标准形 6学时 1. 掌握矩阵相似对角化的判别方法； 2. 理解埃尔米特二次型的含义； 3. 会求史密斯标准形； 4. 会求若当标准型。 (四) 矩阵分解4学时 1. 会求矩阵的三角分解和UR分解； 2. 会求矩阵的满秩分解和单纯矩阵的谱分解； 3. 了解矩阵的奇异值和极分解。 (五) 向量与矩阵的重要数字特征4学时 1. 理解向量范数、矩阵范数； 2. 有限维线性空间上向量范数的等价性； 3. 向量范数与矩阵范数的相容性。 (六) 矩阵分析 4学时 1. 理解向量和矩阵的极限的概念； 2. 掌握矩阵幂级数收敛的判定方法； 3. 理解矩阵的克罗内克积； 4. 会求矩阵的微分与积分。 (七) 矩阵函数 4学时 1. 理解矩阵多项式的概念； 2. 掌握由解析函数确定的矩阵函数； 3. 掌握矩阵函数的计算方法。 五、教学方法及手段（含现代化教学手段） 本课程的所有授课内容，均使用多媒体教学方式，教案采用PowerPoint编写，教师使
#研究生矩阵论第1讲 线性空间
矩阵论 1、意义 随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容 《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异： 线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容． 矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富． 3、方法 在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同： 线性代数：引入概念直观，着重计算． 矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将
来正确处理实际问题有很大的作用． 第1讲 线性空间 内容： 1.线性空间的概念； 2.基变换和坐标变换； 3.子空间和维数定理； 4.线性空间的同构 线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象． §1 线性空间的概念 1. 群，环，域 代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数． 代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算． 代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统． 1.1群 定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群． 1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα； 2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；
矩阵论定义定理
第1章线性空间与线性变换 线性空间 定义1.1 设V是一个非空集合，F是一个数域。定义两种运算，加法：任意α，β∈V，α+β∈V；数量乘法：任意k∈F，α∈V，kα∈V，并且满足8运算，则称V为数域F上的线性空间，V中元素成为向量 定理1.1 线性空间V的性质：V中的零元素唯一；V中任一元素的负元素唯一 定义1.2 设V是线性空间，若存在一组线性无关的向量组α1…αn，使空间中任一向量可由它们线性表示，则称向量组为V的一组基。基所含的向量个数为V 的维数，记为dimV=n 定理1.2 n维线性空间中任意n个线性无关的向量构成的向量组都是空间的基 定义1.3 设α1…是线性空间的V n(F)的一组基，对于任意β∈V,有β=（α1…）（x1…），则称数x是β在基α1…下的坐标 定理1.3 向量组线性相关≡坐标相关 定义1.4 α，β为两组基，若满足β=αC，则称矩阵C是从基α到基β的过渡矩阵 定理1.4 已知β=αC，V中向量A在两组基下的坐标分别为X,Y，则有X=CY 定义1.5 V为线性空间，W是V的非空子集合。若W的元素关于V中加法与数乘向量法运算也构成线性空间，则称W是V的一个子空间 定理1.5 设W是线性空间V的非空子集合，则W是V的子空间的充分必要条件是α，β∈W，α+β∈W；k∈F，α∈W，kα∈W 零空间：N(A)={X|AX=0}列空间：R(A)=L{A1,A2…} 定理1.6 交空间：W1∩W2={α|α∈W1且α∈W2} 和空间：W1+W2={α|α=α1+α2，α∈W1，α∈W2} 定理1.7 设W1和W2是线性空间V的子空间，则有如下维数公式： DimW1+dimW2 = dim(W1+W2) + dim(W1∩W2) 定义1.6 设W1和W2是线性空间V的子空间，W = W1 + W2，如果W1∩W2 = {0},则称W是W1和W2的直和子空间。记为W = W1⊕W2 定理1.8 设W1和W2是V的子空间，W= W1 +W2，则成立以下等价条件：W = W1⊕W2；W中零向量表达式是唯一的；维数公式：dimW = dimW1 + dimW2
矩阵论复习资料
第一专题线性空间和线性变换 §1 线性空间 一、线性空间的概念与性质 线性空间是由具体的几何平面和空间的特征经过抽象提炼出来的一个数学概念。粗略地说，在一个非空集合上定义了线性运算，并且这种运算满足一定的规则，那么这个非空集合就成为一个线性空间。因此，一个线性空间必须有由线性运算规定的代数结构(由集合与满足一定运算规律的一些代数运算合在一起组成的系统)，以便于用数学方法对它研究。为了说明它的来源，在引入定义之前，先看几个熟知的例子。
例1 在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量。向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量乘法。我们看到，不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的。 例2 为了解线性方程组，我们讨论过以n 元有序数组)(21n ,a ,,a a 作为元素的n 维向量空间。对于它们，也有加法和数量乘法，那就是： ),()()(22112121n n n n b ,a ,b ,a b a ,b ,,b b ,a ,,a a +++=+ ).()(2121n n ,ka ,,ka ka ,a ,,a a k = 从这些例子中我们可以看到，所考虑的对象虽然不同，但它们有一个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。抽取它们的共同点，把它们统一起来加以研究，我们可以引入线性空间的概念。 在第一个例子中，我们用实数和向量相乘。在第二个例子中用什么数和向量相乘，就要看具体情况。例如，在有理数域中解线性方程组时，用有理数去作数量乘法就足够了，而在复数域中解线性方程组时，就需要用复数去作运算。可见，不同的对象与不同的数域相联系。当我们引入抽象的线性空间的概念时，也必须选定一个确定的数域作为基础。 定义1 设F 是一个数集，其中包含0和1。如果F 中任意两个数（它们可以相同）的和、差、积、商（除数不是0）仍是F 中的数，那么称F 为数域。 显然，全体实数集R 、全体复数集C 、全体有理数集Q 等都是数域。而全体正实数集+R ，全体整数集Z 等都不是数域。 定义2 设V 是一非空集合,F 是数域（本书特指实数域）,对V 中任意两个元βα,,定义一个加法运算,记为“+”:V ∈+βα（元βα+称为α与β的和）；定义一个数乘运算:F k V k ∈∈ ,α（元αk 称为k 与α的数积）。这两种运算（也称为V 的线性运算）,满足下列规则,则称V 为数域F 上的线性空间（或向量空间）。 加法满足下面四条规则： (1) αββα+=+；（加法交换律） (2) )()(γβαγβα++=++；（加法结合律）
颜色矩阵应用和公式总结
颜色矩阵应用 作者声明 本文大部分都是自己测试所得的结果,前面的颜色基础多半是摘自百度百科里面的,还有更多的色彩方面的一些专业术语就不多加介绍了,颜色是感性的,我们可以用数字描述它，但是却要通过眼睛感受它的美丽. 所以推荐大家多多测试一下,就是了. 夜色之下--2012/7/8 前言 颜色矩阵的使用是十分简单而直观的,功能是十分强大的,有很多功能都是imagetint和greyscale所不能实现的,本文会介绍颜色矩阵总结的公式,并且简单的介绍一些色彩的概念. 好吧,我们先了解一下一些,RM中要知道的色彩的一些基本概念吧! 色彩基础 色相 色相是色彩的首要特征，是区别各种不同色彩的最准确的标准。事实上任何黑白灰以外的颜色都有色相的属性，而色相也就是由原色、间色和复色来构成的。色相，色彩可呈现出来的
质的面貌。自然界中各各不同的色相是无限丰富的，如紫红、银灰、橙黄等。色相即各类色彩的相貌称谓。 色调 色调指的是一幅画中画面色彩的总体倾向，是大的色彩效果。在大自然中，我们经常见到这样一种现象：不同颜色的物体或被笼罩在一片金色的阳光之中，或被笼罩在一片轻纱薄雾似的、淡蓝色的月色之中；或被秋天迷人的金黄色所笼罩；或被统一在冬季银白色的世界之中。这种在不同颜色的物体上，笼罩着某一种色彩，使不同颜色的物体都带有同一色彩倾向，这样的色彩现象就是色调。 灰度 灰度使用黑色调表示物体。每个灰度对象都具有从0%（白色）到 灰度条 100%（黑色）的亮度值。使用黑白或灰度扫描仪生成的图像通常以灰度显示。 所谓灰度色，就是指纯白、纯黑以及两者中的一系列从黑到白的过渡色。我们平常所说的黑白照片、黑白电视，实际上都应该称为灰度照片、灰度电视才确切。灰度色中不包含任何色
矩阵论的应用
广义逆在多元分析中的应用 刘雯雯信通院学号：B098035 摘要：多元分析的一个重要内容就是研究随机向量之间的关系，在一元统计中，用相关系数来描述随机变量之间的关系，Hotelling[1]和张尧庭教授[2]先后定义了度量两个随机向量相关程度的数量指标，并称之为广义相关系数。这一章主要利用Moore-Penrose广义逆矩阵来引人了随机向量之间的相关系数—广义相关系数，并探讨了随机向量的典型相关系数和广义相关系数之间的关系。 关键词：特征值广义相关系数典型相关系数正交阵可逆矩阵 1.引言 矩阵概念和线性代数学科的引进和发展是源于研究线性方程组系数而产生的行列式的发展.莱布尼兹,微积分学的两个奠基者之一,在1693年使用了行列式,克莱姆于1750年提出了用行列式求解线性方程组的公式(即今天著名的克莱姆法则).相对比地,行列式的隐含使用最早出现在18世纪晚期拉格郎日关于双线性型的著作里.拉格郎日希望刻画多变量函数的极大值与极小值.他的方法今天以拉格郎日乘数法闻名.为此,他首先要求第一个偏导数为0,再需要关于第二个偏导数的矩阵成立一个条件.这个条件今天称之为正定或负定,尽管拉格郎日没有明显地使用矩阵. 在1800年左右,高斯发现了高斯消去法,他用此方法解决了天体计算和后来大地测量(关于测量或确定地球形状或定位地球表面一个点的应用数学分支,称之为大地测量学)计算中的最小平方问题.尽管高斯的名字相伴随从线性方程组逐次逍去变量的这项技术,但从发现的早在几个世纪前的中文手稿中解释了如何用"高斯的"消去法解带有三个未知量的三个方程构成的线性方程组.多年来,高斯消去法被认为是大地测量学,而非数学,发展的一部分.首次印刷出来的高斯—约当消去法是在W. 约当写的关于大地测量学的手册里.许多人错误地认为著名数学家 C.约当是"高斯—约当"消去法中的约当. 为了矩阵代数的丰富发展,人们既需要适当的概念,还需要适当的矩阵乘法.这两种需要在同一时间和同一地点交汇了.在1814年于英格兰,J.J.西勒维斯特首先引进了术语"Matrix",作为一列数的名称,这是胚胎的拉丁词.矩阵代数于1855年由亚瑟凯莱的工作得到了发展.凯莱研究了线性变换的合成,导致定义了矩阵乘法,使得合成变换ST的系数矩阵是S的矩阵与T的矩阵的乘积.他继续研究这些合成包括矩阵逆的代数.著名的凯莱—哈密尔顿定理断言,一个方阵是它的特征多项式的根.这个定理于1 858年在凯莱的"关于矩阵理论备忘录"的著作里给出.代表矩阵的单个字母A的使用对于矩阵代数的发展是关键的.早期的公式det(AB)=det(A)det(B)提供了矩阵代数与行列式的联系.凯莱写下了"有许多事情说明关于矩阵的理论,似乎对我而言,比行列式理论重要". 数学家们也试图发展向量代数,但没有任意维数的两个向量积的自然定义.涉及到非交换向量积(亦即VW×不一定等于WV×)的第一个向量代数由赫尔曼格拉斯曼在他的书"维数理论"(1844)提出来的.格拉斯曼的书也引进了一个列矩阵与一个行矩阵的乘积,导致了今天所谓的单纯的或秩1的矩阵.在19世纪晚期,美国数学物理学家W.吉布斯发表了关于向量分析的著名论文.在那篇论文里,吉布斯把一般的矩阵,他称之为并向量(dyadics),表示为单纯矩阵(吉布斯称为并向量(dya ds))的和.后来物理学家P.A.M.迪拉克引进了术语"行-列"(bra-ket)来表示我们现在称之为行向量乘以列向量的纯量积,术语"列-行(ket-bra)"表示一列向量乘以行向量的积,从而导致如同上
矩阵论基础笔记
二次型： 数域F上任意二次型都可以经过非退化线性变换化为标准型。如在复数域上考虑，可进一步化为规范型，且规范型是唯一的。 行列式 行列式值不变 行列式与其转置行列式的值相等 行列式某一行（列）的元素的若干倍加到另外一行（列）的对应元素上，行列式的值不变行列式值改变 交换行列式两行（列）对应元素位置，行列式的值反号 把行列式某一行（列）的元素同时乘以数k，等于用数k乘这个行列式 行列式等于零 某一行元素全0，行列式为0 两行元素对应成比例，行列式为0 矩阵可逆（以下命题等价） 行列式不为0 满秩矩阵 可以表示成若干个初等矩阵之积 列（行）向量组线性无关 初等矩阵 任意矩阵可经过一系列初等变换化为标准型。 行列初等变换 初等行变换可把矩阵化为行阶梯型或行最简型 简化阶梯型是阶梯型中每一行第一个非零元素为1，而且该元素所在的列中的其他元素为0的特殊阶梯型 再经过初等列变换可以化为标准型 相似矩阵 与A相似的矩阵并不唯一，也不一定是对角矩阵 矩阵相似对角化（以下命题类似） N阶方阵A相似于N阶对角矩阵的充要条件是A有N个线性无关的特征向量 A的每个k重特征值r对应有k个线性无关的特征向量 线性变换T可以对角化的充分必要条件是T的最小多项式是一次因子的乘积 实对称矩阵 存在正交矩阵P，使得P-1ＡＰ＝Ｖ，其中Ｖ是以Ａ的ｎ个特征值为对角元的对角矩阵 上三角阵和下三角阵 行列式均等于对角线乘积 对角行列式也等于对角线乘积 线性方程组
线性方程组Ａｘ＝ｂ有解的充分必要条件是Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）（B为增广矩阵）；当都等于ｎ时，有唯一解；当＜Ｎ时，有无穷多个解 线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩Ｒ＜Ｎ 矩阵极大线性无关组个数与线性无关特征向量个数无关 特征值 在复数范围内，n阶方阵就有n个特征值，重根按重数计算 特征值与特征向量 不同特征值对应的特征向量线性无关 实对称矩阵 属于不同特征值的特征向量相互正交 都与对角矩阵相似 实对称矩阵一定可以对角化 实对称矩阵必正交相似于对角阵 线性空间 线性空间作为向量集合。空间中任一向量可用一组线性无关的向量表示，则称这组向量作为空间的一组基。 基就是向量集合的极大线性无关组 Vn(F)中向量组线性相关的充分必要条件是其坐标向量组是Fn中的线性相关组 过渡矩阵 过渡矩阵一定是可逆矩阵，因为变换前后的基矩阵的秩都是n，则过渡矩阵必然满秩 生成空间 V中一组向量，则由它们一切线性组合构成的集合是V的一个子空间 维数公式 dimW1+ dimW2=dim(W1+W2)+dim(W1 n W2) 不含零向量的正交向量组是线性无关的 向量和变换矩阵在两组基下 线性空间向量在两组基坐标分别为X,Y 则X=CY 线性变换在两组基下的矩阵分别为A和B,则B=C-1AC 线性变换在不同基下的矩阵是相似的 V分解为不变子空间的直和，取每个子空间的基构成空间的基，T在这组基下的矩阵为准对角矩阵 Jordan标准型
矩阵论若干分析及应用
目录 1、介绍 (2) 2、现实应用 (2) 2.1、图像处理 (3) 2.1.1、背景 (3) 2.1.2、理论基础 (3) 2.1.3、应用 (3) 2.2电路分析 (4) 2.2.1、背景 (4) 2.2.2、理论基础 (4) 2.2.3、应用 (5) 2.3、谱分析 (5) 2.3.1、背景 (5) 2.3.2、理论基础 (5) 2.3.3、应用 (6) 3、结论 (6) 参考文献 (7)
矩阵论若干分析及应用 摘要：矩阵论不仅是数学学科，也是理工学科重要的数学工具。许多学科新的理论和方法的产生和发展就是矩阵论创造性应用和推广的结果，毫无夸张地说，矩阵理论在物理力学、信号与信息处理、通信、电子、图像处理、大数据分析、控制系统等众多领域最具创造性和灵活性，并起着不可代替作用的数学工具。本文列举矩阵论若干相关知识点分别在图像处理、电路分析、谱分析法中的应用，相信在相关介绍和分析之后，大家会意识到矩阵论在现实应用中的强大之处。 关键词：矩阵论数学工具应用 1、介绍 矩阵这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。1855 年，埃米特(C.Hermite，1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch，1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。 2、现实应用
矩阵论的应用
矩阵论的应用 摘要 矩阵论是工程数学中的重要组成部分，而矩阵函数理论是矩阵理论的一个重要组成部分。矩阵函数把对矩阵的研究带入分析领域。同时也解决了数学领域及工程技术等其它领域的计算难题。本文介绍借助矩阵函数，简述其在微积分运算在求解一阶线性常系数微分方程组。 关键词：矩阵论矩阵函数一阶微分方程 一、矩阵论的发展史简介 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。 1850年，英国数学家西尔维斯特(SylveSter，1814--1897)在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了矩阵的概念。 1855年，英国数学家凯莱(Caylag，1821--1895)在研究线性变换下的不变量时，为了简洁、方便，引入了矩阵的概念。1858年，凯莱在《矩阵论的研究报告》中，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根
（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。 1855 年，埃米特(C.Hermite，1822-1901) 证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872) 、布克海姆(A.Buchheim) 等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber) 引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。 在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849- 1917) 的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。1892 年，梅茨勒(H.Metzler) 引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。 矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。
矩阵论
分解非负矩阵及其应 摘要 矩阵分解是实现大规模数据处理与分析的一种有效工具。非负矩阵分解(Non-negative Matrix Factorization,NMF)算法是指在矩阵中所有元素均为非负的条件下对其实现的非负分解，它的分解结果中不出现负值，提取的特征是基于部分的、局部化的、纯加性的描述等特征，由此区别于其他的分解方法。这为矩阵分解提供了一种新的思路，同时，为分析局部特征和整体特征之间的关系提供了一种思路。因此，非负矩阵分解方法在当今众多研究研究领域都具有十分重要的应用意义。本文介绍非负矩阵分解的基本思想，结合研究工作讨论在概率模型的框架下实现非负矩阵分解的目标函数和相应的算法，以及非负矩阵分解在图像压缩中的实际应用。 关键词：非负矩阵，实际应用，图像压缩，识别
引言 在教材第四章中，专门讲解了矩阵的分解。书中首先由Gauss消去法推导出了矩阵的三角分解，然后介绍了QR分解、满秩分解等。这些分解在计算数学中都扮演着重要的角色，尤其是QR分解所建立的QR方法，它对数值代数理论的发展起着关键的作用。书中还简要介绍了广义逆矩阵理论中所遇到的矩阵的满秩分解、奇异值分解和谱分解。它们与QR分解都是求解各类最小二乘法问题和最优化问题的重要数学工具。而非负矩阵的分解则属于组合矩阵论的范畴，组合矩阵论作为近三十年来迅速发展的一个数学分支，它用矩阵论和线性代数来证明组合性定理及对组合结构进行描述、分类。它与众多数学领域联系密切，而且在信息科学、社会学、经济数学和计算机数学等很多方面都发展出了广阔的具体应用前景。 本文中介绍了非负矩阵分解的基本思想和一些最新研究成果，具体讨论了在概率模型框架下非负矩阵分解的算法，在传统的梯度下降法和加性迭代规则上加以改进，采用乘性迭代规则。并且，针对实际问题，具体分析阐述了当下非负矩阵分解的如图像压缩、人脸识别等较有发展前景的几个方向的热门应用。