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三垂线法作二面角的平面角的技巧

求二面角的大小是考试中经常出现的问题，而用三垂线法作二面角的平面角是求二面角大小的一个重要方法，许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理(或逆定理)作出二面角的平面角，使得解题受阻．

我们把用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角的方法称为三垂线法，其作图模型为：

如图1，在二面角α—l 一β中，过平面α内一点A 作AO ⊥平面β，垂足为O ，过点O 作OB ⊥l 于B (过A 点作AB ⊥于B )，连结AB (或OB )，由三垂线定理(或逆定理)知AB ⊥l (或OB ⊥l )，则∠ABO 为二面角。α—l —β的平面角．

作图过程中，作出了两条垂线AO 与OB (或AB )，后连结AB 两点(或OB 两点)，这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO 为“第一垂线”．“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中要注意以下几点：

1．善于利用图中已有的“第一垂线”

例1 已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BCA =90°，AC =BC ，A 1在底面ABC 的射影恰为AC 的中点M ，又知AA 1与底面ABC 所成的角为60°．

(1)求证：BC ⊥平面AA 1CC 1；

(2)求二面角B 一AA 1—C 的大小．

322

3==a a NC BC ，即∠BNC 3

32arctan =. 例2 如图3，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA =AB =BC ＝1，AD ＝

21 (1)求四棱锥S —ABCD 的体积；

(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．

剖析：由SA ⊥面ABCD 及∠ABC =90°，不难发现，BC 即为“第一垂线”，但是，本题要作二面角的平面角，还需首先作出二面角的棱．

略解2 延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱，因为AD ∥BC ，BC =2AD ，所以EA =AB =SA ，所以SE ⊥SB ，因为SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，所以BC ⊥面SEB ，故SB 是CS 在面SEB 上的射影，所以CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角，因为222=

+=AB SA SB ，BC =1，BC ⊥SB ，因为tan ∠BSC =22==SB BC ，即所求二面角的正切值为2

2．

2．借助第三个平面，作“第一垂线”

例3 如图4，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为a 2

2，若经过对角线AB 1且与对角线BC 1平行的平面交上底面一边A 1C 1于点D ．

(1)确定点D 的位置，并证明你的结论；

(2)求二面角A 1—AB 1—D 的大小．

剖析：由线面平行的性质定理及三角形中位线性质，易知D 是A 1C 1中点．二面角A 1—AB 1一D 的放置属于非常规位置的图形，但是，容易发现，平面A 1B 1C 1过点D 且与平面A 1AB 1垂直，这样的平面相对于二面角的两个平面而言，我们称为第三个平面．过D 作DF ⊥A 1B 1，由面面垂直的性质知，DF ⊥面A 1AB 1，即DF 为我们要作的“第一垂线”．

略解2 在平面A 1B 1C 1内，作CF ⊥A 1B 1于F ，连DC ，由三垂线定理可证AB 1⊥DG ，∠DGF 就是二面角A 1—AB 1一D 的平面角，在正△A 1B 1C 1中，因为D 是A 1C 1中点，A 1B 1＝a ，所以a F B 431=，a DF 4

3=，在Rt △DFG ，可求得∠DCF =45°．

3．利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线”

例4 已知：Rt △ABC 的斜边BC 在平面α内，AB 、AC 分别与平面。成30°和45°角，求平面α与△ABC 所在平面所成二面角的大小．

剖析：本题中没有相对于二面角的两个平面的第三个平面可以借助，但是，我们注意到

AB 、AC 与平面α所成的角均已给出，只要过A 作AO ⊥α于O ，就可以同时找到AB 、AC 在平面α内的射影，无疑这样得到的“第一垂线"AO 有着非常特殊的位置，有利于二面角大小的计算．

解：作AO ⊥α于O ，OD ⊥BC 于D ，连OB ，AD ，OC ，由三垂线定理得：AD ⊥BC ，所以∠ADO 是二面角A —BC —O 的平面角，令AO ＝x ，在Rt △AOB 中，∠ABO ＝30°，所以AB ＝2x ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，所以x AC 2=，因为∠BAC =90°，所以x BC 6=，所以x x x

x AD 3

32622=?=。在Rt △AOD 中，sin ∠ADO 2

3==

AD AO ，所以∠ADO ＝60°，所以三角形ABC 与面α成60°或120°的二面角．

(完整版)二面角求解方法

二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下： 1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。 3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。 4、投影法：利用s 投影面 =s 被投影面 θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。尤其对无棱问题 5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos 例1：若p 是ABC ?所在平面外一点，而PBC ?和ABC ?都是边长为2的正三角形， PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。分析：由于这两个三角形是全等的三角形，故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE Θ AC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥ BC ，PE ⊥BC ∴PEA ∠为二面角 P-BC-A 的平面角在PAE ?中AE=PE=3，PA=6 P C B A E

∴PEA ∠=900 ∴二面角P-BC-A 的平面角为900。例2：已知ABC ?是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点间距离公式求二面角的平面角。解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF Θ⊥PA 平面ABC ，PA ?平面PAC ∴平面 PAC ⊥平面ABC, 平面PAC I 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面 PAC 由三垂线定理知BF ⊥PC ∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE= 23,EF=4 2 ∴tan BFE ∠= 6=EF BE ∴BFE ∠=arctan 6 解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FM ΘAB=AC,PB=PC ∴ AE ⊥BC,PE ⊥BC ∴ BC ⊥平面PAE,BC ?平面PBC ∴ 平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE I 平面PBC=PE 由三垂线定理知AM ⊥PC P C B A E F M E P C B A F 图1 图2

用三垂线法求二面角的方法

用三垂线法求二面角的方法三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。已知：如图, PB 是平面α的斜线, PA 是平面α的垂线, 直线a ?平面α,直线a 垂直;射影AB. 求证： a ⊥PB 证明：∵PA 是平面α的垂线, 直线a ?平面α ∴直线a ⊥PA 又∵直线a ⊥AB AB ?PA A = ∴直线a ⊥平面PAB 而PB ?平面PAB ∴a ⊥PB 总结：定理论述了三个垂直关系，①垂线PA 和平面α垂直;②射影AB 和直线a 垂直;③斜线PB 和直线a 垂直. 三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体几何中有广泛的应用。求二面角是高考考查的热点，三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。运用三垂线法求二面角的一般步骠： ①作：过二面角的其中一个平面上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。. ②证：证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义) 。 ③求：二面角的平面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度) 。 1、如右图所示的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且1BC CD == ，AD =①求二面角 C AB D --的大小；②求二面角B CD A --的大小； 1．解： ①∵AB ⊥面BCD ∴BC AB ⊥ BD AB ⊥ ∴CBD ∠为二面角C AB D --的平面角 ∵BC CD ⊥且1BC CD ==∴CBD ∠=4 π ∴二面角C AB D --的大小为 4 π ②∵AB ⊥面BCD BC CD ⊥ ∴由三垂线定理得CD AC ⊥ ∴ACB ∠为二面角B CD A --的平面角 ∵BC CD ⊥ ∴BD = =∵AB ⊥平面BCD ∴AB BC ⊥ AB BD ⊥ ∴1AB = =在Rt ABC ?中，tan 1AB ACB BC ∠= =， ∴二面角B CD A --的大小为 4 π 方法点拨：本题①的方法是直接运用二面角的定义求解,本题②的关键是找出垂线 AB 、斜线AC 及其射影BC,。从而得到二面角的平面角为ACB ∠。 A B D C

(精品)三垂线法求二面角专题

（精品）三垂线法求二面角专题 1、（本小题满分13分）如图，已知DA ⊥平面ABE ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，在△ABE 中，AE=1，BE=3。（Ⅰ）证明：平面ADE ⊥平面BCE ；（Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小；解：（Ⅰ）DA ⊥平面ABE ， ∴DA ⊥BE △ABE 中，AE=1 BE= 3 AB=2 ∴BE ⊥EA BE ADE BE BCE ⊥? ∴ ???? 平面平面平面ADE ⊥平面BCE （注：此题也可证明BCE AE ⊥面，ADE AE ?面，从而平面ADE ⊥平面BCE ）（Ⅱ）过点E 作EF ⊥AB 与F ∵DA ⊥平面ABE ∴平面ABCD ⊥平面ABE ∴EF ⊥平面ABCD 过F 作FG ⊥AC 与G ，连EG ，则EG ⊥AC （三垂线定理） ∴∠EGF 为二面角B —AC —E 的平面角。在Rt △EFG 中 6a r c t a n ,6t a n =∠∴= =∠E G F GF EF EGF （注：此题答案还可写成42arcsin 7 或者是写成7arccos 7 ） 2、（本小题满分12分）如图，ABCD 为直角梯形， 90=∠=∠ABC DAB ，1==BC AB ， 2=AD ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA 。 ⑴、求点P 到CD 的距离； ⑵、求证：平面⊥PAC 平面PCD ； ⑶、求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。 ⑴解：取AD 的中点F ，连结CF 。易证四边形ABCF 是正方形， ∴1==AB CF 又∵2=AD ∴1 12C F AD ==，∴C F A F F D == ∴ 90=∠ACD 即CD AC ⊥ ∵⊥PA 平面ABCD ∴CD PC ⊥ ∴P 到CD 的距离为PC ， 3= PC ⑵证明：∵CD AC ⊥， A B C D P G H F

二面角的平面角及求法-高中数学知识点讲解

二面角的平面角及求法 1．二面角的平面角及求法【知识点的知识】 1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P ﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O 的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O． 3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理； ①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直． ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角； 1/ 2

二面角的求法3

1二面角的求法一、思想方法求二面角的大小，是立体几何计算与运用中的一个重点和难点. 直接法的核心是作（或找）出二面角的平面角，间接法可利用投影、异面直线、空间向量等。常用的方法有以下几种：方法一（定义法）即从二面角棱上一点在两个面内分别引棱的垂线如图1。方法二（三垂线法）在二面角的一个面上一点P 棱及另一个面分别引垂线PA 、PB ，连接AB ，根据三垂线定理（或逆定理），∠PAB 为所求的二面角的平面角.如图2。方法三（作垂面法）作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角（图3中∠MAN ）. 方法四（投影面积法）一个平面α上的图形面积为S ，它在另一个平面β上的投影面积为S'，这两个平面的夹角为θ，则S'=Scos θ或cos θ=/ S S . 方法五（异面直线法）如图4中，平面α、β相交成θ角，AC 、BD 分别在α、β上，且与棱垂直.若AC=m ，BD=n, CD=d ，则有AB 2 =m 2 +n 2 +d 2 -2mncos θ，故cos θ=2 2 2 2 2m n d AB mn ++- （1）在已知二面角两个面上两点间距离（即|AB|）的情况下，可以用此公式来求θ. 说明：原来的公式中θ理解为两异面直线间的夹角，只取锐角（或直角），故根据A 、B 的位置情况公式是AB 2=m 2+n 2+d 2 ±2mncos θ.但二面角可以取钝角，故只需取“-”号得出公式（1）. 方法六（空间向量法）如图5，设12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 。二、例题：例1．在棱长为1的正方体 1AC 中，（1）求二面角11A B D C --的大小；（2 ）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小例2．如果二面角l α β--的平面角是锐角，点P 到,,l αβ的距离分别为4, 的大小例3．在正方体AC 1中，E 是BC 中点，F 在AA 1上，且A 1F∶FA=1∶2，求平面B 1EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的二面角.

二面角的求法(教师版)

五法求二面角一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3= BF 在△GAB 中，2 6= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)3 6arccos(- F G

求二面角的五种方法

五法求二面角从全国19份高考试卷中我们知道，立体几何题中命有求二面角大小的试题共有12份，并都为分值是12分的大题，足以说明这一知识点在高考中的位置，据有关专家分析，它仍然是2010年高考的重点，因此，我们每位考生必须注意，学会其解题方法，掌握其解题技巧，是十分重要的。一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3= BF 在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG F G

二面角求法及经典题专题训练

立体几何二面角求法一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L垂直平面α，取直线L的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法：（1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹的角；（2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）

α βa O A B 做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则∠ACB即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？二：二面角的基本求法及练习 1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求（1）二面

高中数学《二面角的平面角及求法》练习

高中数学《二面角的平面角及求法》练习 1. 如图，直三棱柱中，＝，＝，，分别为、的中点．（1）证明：平面；（2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 2. 已知三棱锥的展开图如图二，其中四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中. 证明：平面平面；若是的中点，求二面角的余弦值． 3. 如图，正方形所在平面与四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，＝，＝，＝．（1）求证：平面；（2）设线段、的中点分别为、，求与所成角的正弦值；（3）求二面角的平面角的正切值． 4. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；（3）问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．5. 如图，在平行四边形中，＝，＝，＝，平面平面，且＝，＝．（1）在线段上是否存在一点，使平面，证明你的结论；（2）求二面角的余弦值． 6. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是，的中点，点在上，且．将，分别沿，折叠使，点重合于点，如图所示．（1）试判断与平面的位置关系，并给出证明；（2）求二面角的余弦值． 7. 如图，四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，＝，为中点．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值．

8. 已知四棱柱中，底面为菱形，＝，＝，＝，为中点，在平面上的投影为直线与的交点．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值． 9. （（1）如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，分别是棱、的中点，＝，，直线与平面所成的角的正弦值为．证明：平面；（2）求二面角的余弦值． 10. 如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，＝＝，，＝＝ Ⅰ，直线与平面所成的角等于． Ⅱ证明：平面平面；求二面角的余弦值． 11. 如图，在正方形中，，分别是，的中点，将正方形沿着线段折起，使得＝，设为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值． 12. 已知三棱柱中，＝＝，侧面底面，是的中点，＝，． Ⅰ求证：为直角三角形； Ⅱ求二面角的余弦值． 13. 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，＝，是棱的中点，＝，在线段上，且＝．（1）证明：面；（2）若，面面，求二面角的余弦值． 14. 如图，在四棱锥中，平面底面，其中底面为等腰梯形，，＝＝＝，，＝，为的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．

用三垂线法求二面角地方法(新)

用三垂线法求二面角的方法三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。已知：如图, PB 是平面α的斜线, PA 是平面α的垂线, 直线a ?平面α,直线a 垂直;射影AB. 求证： a ⊥PB 证明：∵PA 是平面α的垂线, 直线a ?平面α ∴直线a ⊥PA 又∵直线a ⊥AB AB ?PA A = ∴直线a ⊥平面PAB 而PB ?平面PAB ∴a ⊥PB 总结：定理论述了三个垂直关系，①垂线PA 和平面α垂直;②射影AB 和直线a 垂直;③斜线PB 和直线a 垂直. 三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体几何中有广泛的应用。求二面角是高考考查的热点，三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。运用三垂线法求二面角的一般步骠： ①作：过二面角的其中一个平面上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。. ②证：证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义) 。 ③求：二面角的平面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度) 。 1、如右图所示的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且1BC CD == ，AD =①求二面角 C AB D --的大小；②求二面角B CD A --的大小； 1．解： ①∵AB ⊥面BCD ∴BC AB ⊥ BD AB ⊥ ∴CBD ∠为二面角C AB D --的平面角 ∵BC CD ⊥且1BC CD ==∴CBD ∠=4 π ∴二面角C AB D --的大小为 4 π ②∵AB ⊥面BCD BC CD ⊥ ∴由三垂线定理得CD AC ⊥ ∴ACB ∠为二面角B CD A --的平面角 ∵BC CD ⊥ ∴BD = =∵AB ⊥平面BCD ∴AB BC ⊥ AB BD ⊥ ∴1AB = =在Rt ABC ?中，tan 1AB ACB BC ∠= =， ∴二面角B CD A --的大小为 4 π 方法点拨：本题①的方法是直接运用二面角的定义求解,本题②的关键是找出垂线 AB 、斜线AC 及其射影BC,。从而得到二面角的平面角为ACB ∠。 A B D C

五种方法求二面角及练习题

五种方法求二面角及练习题一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 1．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：（1）二面角C 1—BD —C 的正切值（2）二面角11B BC D -- 2.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点M 在侧棱上，=60，M 在侧棱的中点（1）求二面角的余弦值。二、三垂线法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 1. 如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ， AB=4, BC=CD=2, AA =2, E 、E 、F 分别是棱AD 、AA 、AB 的中点。（1）证明：直线EE //平面FCC ；（2）求二面角B-FC -C 的余弦值。 S ABCD -ABCD SD ⊥ ABCD AD 2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --1111111111E A B C F E 1 A B 1 C 1 D D A B C D A D C B

2.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．三．补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决 1.已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。（1）求证：AC 1⊥BC ；（2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。 2：如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值. 3如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 角的平面角（锐角）. A B C E D P A B B 1 C 1 A 1 L A 1 D 1 B 1 C 1 E D B C A 图5

用向量法求二面角的平面角教案

第三讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点

求平面的法向量；求解二面角的平面角的向量法. 教学难点求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈）向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，

二面角的求法---三垂线法

三垂线法作二面角的平面角的技巧求二面角的大小是考试中经常出现的问题，而用三垂线法作二面角的平面角是求二面角大小的一个重要方法，许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理(或逆定理)作出二面角的平面角，使得解题受阻．我们把用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角的方法称为三垂线法，其作图模型为：如图1，在二面角α—l一β中，过平面α内一点A作AO⊥平面β，垂足为O，过点O作OB⊥l于B(过A点作AB⊥于B)，连结AB(或OB)，由三垂线定理(或逆定理)知AB⊥l(或OB⊥l)，则∠ABO为二面角。α—l—β的平面角．作图过程中，作出了两条垂线AO与OB(或AB)，后连结AB两点(或OB 两点)，这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO为“第一垂线”．“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中要注意以下几点： 1．善于利用图中已有的“第一垂线” 例1 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M，又知AA1与底面ABC所成的角为60°． (1)求证：BC⊥平面AA1CC1； (2)求二面角B一AA1—C的大小．

剖析：注意该题的第(1)问，事实上本题已经暗示了BC 就是我们要寻求的“第一垂线”．略解2 A 1A 与底面AB 成的角为60°，所以∠A 1AC ＝60°，又M 是AC 中点，所以△AA 1C 是正三角形，作CN ⊥AA 1于N ，点N 为A 1A 的中点，连结BN ，由BC ⊥平面AA 1CC 1，BN ⊥AA 1，则∠BNC 为二面角B 一AA 1一C 的平面角．设AC ＝BC ＝a ，正△AA 1C 的边长为a ，所以a CN 2 3= ，在Rt △BNC 中，tan ∠BNC =3 3223==a a NC BC ，即∠BNC 332arctan =. 例2 如图3，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA =AB =BC ＝1，AD ＝2 1 (1)求四棱锥S —ABCD 的体积； (2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．剖析：由SA ⊥面ABCD 及∠ABC =90°，不难发现，BC 即为“第一垂线”，但是，本题要作二面角的平面角，还需首先作出二面角的棱．略解2 延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱，因为AD ∥BC ，BC =2AD ，所以EA =AB =SA ，所以SE ⊥SB ，因为SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，所以BC ⊥面SEB ，故SB 是CS 在面SEB 上的射影，所以CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角，因为222=+=AB SA SB ，BC =1，BC ⊥SB ，因为tan ∠BSC =22== SB BC ，即所求二面角的正切值为22．

求二面角平面角的方法

寻找二面角的平面角的方法面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点?对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法. 我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型. 1.1二面角的相关概念新教材⑴在二面角中给出的定义如下：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角定义只给出二面角的定性描述，关于二面角的定量刻画还必须放到二面角的平面角中去研究?教材如下给出了二面角的平面角的概念：二面角的平面角是指在二面角:的棱上任取一点 0,分别在两个半平面内作射线AO _ I, BO _丨，则.AOB为二面角〉-丨- 一：的平面角? 2.二面角的求解方法对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决?定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角三、“算”：计算出该平面角由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍? 2.1定位二面角的平面角，求解二面角二面角常见题型中根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角.对于前者的二面角的定位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二面角的平面角；而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其有“无棱”而“现棱”再进一步定位二面角的平面角一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例1 在60的二面角:-a -■的两个面内，分别有A和B两点?已知A和B到棱的距离分别为2和4,且线段AB =10 ,试求： (1 )直线 AB 与棱a所构成的角的正弦值; (2)直线AB与平面〉所构成的角的正弦值.

二面角问题求解方法大全

v1.0 可编辑可修改五法求二面角一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面 ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明： AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为 6 2 ，求二面角E —AF —C 的余弦值. 二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。例2．如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形， AB 1 1 1 1 1 1 ABCD P -ABCD ο60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ⊥ AD PAB PC AD A BD P -- （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600 的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。（1）求证：AC 1⊥BC ；（2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。四、射影面积法（cos s S q = 射影）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S = θ）求出二面角的大小。 A B C E D P E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D

五种方法法求二面角及限时练习

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五种方法求二面角及练习题一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. F G

用三垂线法求二面角的方法(新)

其射影 BC,。从而得到二面角的平面角为 ACB 。用三垂线法求二面角的方法垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。已知：如图 , PB 是平面的斜线 , PA 是平面的垂线, 求证： a PB 证明：∵ PA 是平面的垂线 , 直线 a 平面 ∴直线 a PA 又∵直线 a AB AB PA A ∴直线 a 平面 PAB 而 PB 平面 PAB ∴ a PB 总结：定理论述了三个垂直关系， ①垂线 PA 和平面 a 垂直 . 三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体几何中有广泛的应用。求二面角是高考考查的热点，三垂线法是求二面角最常用的方法 ,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。运用三垂线法求二面角的一般步骠： ① 作：过二面角的其中一个平面上一点作（找）另一个平面的垂线 , 过垂足作二面角的棱的垂线。 . ② 证：证明由①所得的角是二面角的平面角（符合二面角的定义）。 ③ 求：二面角的平面角的大小（常用面积相等关系求垂线段长度）。 ACB 为二面角 B CD A 的平面角 1、如右图所示的四面体 ABCD 中， AB 平面 BCD ， BC CD 且 BC C AB D 的大小； ② 求二面角 B CD A 的大小； 1．解： ① ∵ AB 面 BCD BC AB BD AB CBD 为二面角 C AB D 的平面角 ∵ BC CD 且 BC CD 1∴ CBD = 4 ∴二面角 C AB D 的大小为 4 C ②∵ AB 面 BCD BC CD ∴由三垂线定理得 CD AC 直线 a 平面 , 直线 a 垂直 ; 射影 AB.

高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结

二面角的求法一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。 ? 证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， · ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6= =AC SA ，∴2=AM ，∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴ 3=BF 。在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG F G F G

三垂线法作二面角的平面角的技巧

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