北京市西城区2016年高三二模试卷
北京市西城区2016年高三二模试卷
数 学（理科） 2016.5
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1. 设全集U =R ，集合2{|0}A x x =<<，{|1}B x x =<，则集合()U A B = e（ ） （A ）(,0)-∞ （B ）(,0]-∞ （C ）(2,)+∞ （D ）[2,)+∞
2. 若复数z 满足+i 23i z z ?=+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
3. 在?ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若1
sin()3A B +=，3a =，4c =，则sin A =
（ ） （A ）23 （B ）
14
（C ）34
（D ）16
4. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ） （A ）2 （B
（C ）3 （D
）
正（主）视图
侧（左）视图
俯视图 1
1 2
5. “,,,a b c d 成等差数列”是“a d b c +=+”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
6. 某市家庭煤气的使用量x （m 3）和煤气费()f x (元) 满足关系, 0<,
()(), .
C x A f x C B x A x A ≤ì??=í
?+->?? 已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：
若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为（ ） （A ）11.5元 （B ）11元 （C ）10.5元
（D ）10元
7. 如图，点A ，
B 在函数2log 2y x =+的图象上，点
C 在函数2log y x =的图象上，若ABC
D 为等边三角形，且直线//BC y 轴，设点A 的坐标为(,)m n ，则m =（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C
（D
8. 设直线l ：340x y a ++=，圆
22 (2)2C
x y ：-+=，若在圆C 上存在两点,P Q ，在直线
l 上存在一点M ，使得90PMQ ?o ，则a 的取值范围是（ ）
（A ）[18,6]- （B ）
[6-+ （C ）[16,4]-
（D ）[66---+
E F
D
C
B
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 在62()x x
+的展开式中，常数项等于____.
10. 设x ，y 满足约束条件2,1,10,y x x y y ++??
???
≤≤≥ 则3z x y =+
的最大值是____.
11. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为______.
12．设双曲线C 的焦点在x 轴上，渐近线方程为y =，则其离心率为____；若点(4,2)在C 上，则双曲线C 的方程为____.
13. 如图, △ABC 为圆内接三角形，BD 为圆的弦，且//BD AC . 过点A 做圆的切线与DB 的
延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F . 若4AB AC ==，5BD =，则
AF
FD
=_____； AE =_____.
14. 在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两
个角度来进行评优. 若A 电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B 电影，则称A 电影不亚于B 电影. 已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片. 那么在这10部微电影中，最多可能有____部优秀影片.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）
已知函数2()(1)cos f x x x =. （Ⅰ）若α
是第二象限角，且sin α=，求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的定义域和值域.
16．（本小题满分13分）
某中学有初中学生1800人，高中学生1200人. 为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学
生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）写出a 的值；
（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；
（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X 表示其中初中生的人数，求X 的分布列和数学期望.
) 高中生组
初中生组
17．（本小题满分14分）
如图，正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为,BC DA 的中点. 将正方形ABCD 沿着线段EF 折起，使得60DFA ∠=
. 设G 为AF 的中点.
（Ⅰ）求证：DG EF ⊥；
（Ⅱ）求直线GA 与平面BCF 所成角的正弦值；
（Ⅲ）设,P Q 分别为线段,DG CF 上一点，且//PQ 平面ABEF ，求线段PQ 长度的最小值.
18．（本小题满分13分）
设a ∈R ，函数2
()()x a
f x x a -=
+．
（Ⅰ）若函数()f x 在(0,(0))f 处的切线与直线32y x =-平行，求a 的值； （Ⅱ）若对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <，求a 的取值范围.
19．（本小题满分14分）
已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b y a x 的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个
正方形，且其周长为24.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设过点)0)(,0(>m m B 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，点B 关于原点的对称点为D ，若点D 总在以线段EF 为直径的圆内，求m 的取值范围.
E
C
F E G
A B
D C
?
20．（本小题满分13分）
已知任意的正整数n 都可唯一表示为1100112222k k k k n a a a a --=?+?++?+? ，其中01a =，
12,,,{0,1}k a a a ∈ ，k ∈N ．
对于n *∈N ，数列{}n b 满足：当01,,,k a a a 中有偶数个1时，0n b =；否则1n b =．如数5可以唯一表示为2105120212=?+?+?，则50b =．
（Ⅰ）写出数列{}n b 的前8项；
（Ⅱ）求证：数列{}n b 中连续为1的项不超过2项；
（Ⅲ）记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足1026n S =的所有n 的值．（结论不要求证明）