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知识点八(级数)

（2）常数项级数敛散性的判定条件

本章介绍了其中最简单、最重要而用起来又是最方便的几个判定级数敛散性的条件，这些条件可以分为必要条件、充分条件、充分必要条件.对这些条件必须分清它们的性质，有利于我们对级数敛散性的理解.

① 0lim 0

=→n n u 是级数∑∞=1

n n u 收敛的必要条件而不是充分条件.即当0lim 0

=→n n u 时，∑∞

n n

u 不一定收敛；而当)(,0∞→n u n 时，可以肯定∑∞

n n u 必发散.

② 正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法、极限审敛法中的条件都是充分条件而不是必要条件. ③正项级数的部分和数列

∑=n

k k

有上界是级数收敛的充分必要条件；但对一般的常数

项级数来说，部分和数列有界是它收敛的必要条件而不是充分条件. ④级数绝对收敛是收敛的充分条件.

⑤正数数列{}n u 单调减,且0,()n u n →→∞是交错级数∑∞

=--11)1(n n n u 收敛的充分条件.

（3）正项级数的审敛法 ① 部分和

∑=n

k k

有上界时，级数∑∞

n n u 收敛；

∑=n

k k

无上界时，级数∑∞

n n u 发散；

② 比较审敛法：设∑∞

n n u 和∑∞

n n v 都是正项级数, 若有l v u n

n =∞→lim

.则当 +∞<≤l 0时，若级数∑∞

n n v 收敛，则级数∑∞

n n u 收敛；当0>l 或+∞=l 时，若级数∑∞

n n v 发散, 则级

数∑∞

n n u 发散.

常用于比较的级数有几何级数、调和级数、p 级数等.对一个具体的级数来说，究竟跟什么级数作比较与怎样比较，这时需要一定的技巧与经验的，我们可以先推测所给级数

∑

是收敛的还是发散的.如果推测它是发散的，那要就找一个各项都比

∑

的对应项小的

发散级数跟

∑

比较，从而推出它发散；如果推测它是收敛的，则找一个各项都比

∑

的

对应项大的收敛级数跟

∑

比较，从而推出它收敛.

③ 比值审敛法：若级数∑∞

n n u 为正项级数，且ρ=+∞→n

n n u u 1

lim

, 当1<ρ时级数收敛；当

1ρ>(或+∞=ρ)时级数发散；当1=ρ时级数可能收敛也可能发散. 一般地，当通项中含

有阶乘!n 或n 次乘幂时，用比值法往往奏效而且简便.

④ 根值审敛法：设∑∞

=1n n u 为正项级数, 若ρ=∞

→n n n u lim ，则当1<ρ时级数收敛；当

1ρ> (或+∞=∞

→n n n u lim )时级数发散；当1=ρ时级数可能收敛也可能发散.一般地，当通

项中含有n 次乘幂时，往往用根值判别法比较方便.

⑤ 积分审敛法：设f 为[)∞+,1上非负函数，那么，正项级数

()∑∞

n n f 与反常积分

()dx x f ?

+∞

同时收敛或发散.

⑥ 极限审敛法：设∑∞

n n u 为正项级数，如果)lim (0lim +∞=>=∞

→∞

→n n n n nu l nu 或, 则级数

∑∞

n n u 发散；如果1p > 而)0( lim +∞<≤=∞

→l l u n n p

n , 则级数∑∞

n n u 收敛.

（4）交错级数审敛法

莱布尼茨定理：如果交错级数∑∞

=--11)1(n n n u 满足条件1n n u u +≥(1,2,

n = )，即数列

{}n u 单调递减；且0lim =∞

→n n u ，则交错级数收敛.

（5）任意项级数审敛法

① 阿贝尔审敛法：若{}n a 为单调有界数列，且级数

∑n

收敛，则级数

???++???+++=∑n n n

n b a b a b a b a b

a 332211

必收敛.

② 狄利克雷审敛法：若数列{}n a 单调递减，且0lim =∞

→n n a ，又级数

∑n

的部分和数

列有界，则级数

∑n

n b

a 收敛.

（6）绝对收敛和条件收敛

我们把收敛级数分为绝对收敛与条件收敛两类的原因是因为这两类级数在本质上是截

然不同的. 绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相同的和（即绝对收敛级数具有可交换性），但条件收敛级数不具有这种性质；又如，绝对收敛级数的所有正项所组成的级数及所有负项的绝对值所组成的级数都是收敛级数，但对条件收敛级数来说，则这些级数都是发散的；此外，两个绝对收敛级数可以像多项式一样相乘，所得的乘积级数也是绝对收敛的. 2、幂级数（1）幂级数的概念

幂级数的一般形式为

()n

n n x x a 00

-∑∞

=()()()???+-+???+-+-+=n

n x x a x x a x x a a 0202010

其中012,,,,,n a a a a ???????为常数.令00=x ，上式即为

n n x

a ∑∞

???++???+++=n n x a x a x a a 2210

如果一个幂级数收敛，那么由于它的部分和是多项式，就可以用部分和多项式去逼近这个级数的和函数，而且只要适当选择取多项式的项数，这种逼近可以达到任意的精确度.基于这个原因，我们常把函数展开成幂级数，或者说用幂级数表示.由于多项式的运算比较简单，它只用一箭双雕乘法与加法.所以函数的幂级数表示为计算函数值提供了方便. （2）幂级数的收敛域

在研究幂级数时，首先要解决的问题是如何确定它的收敛域.阿贝尔定理告诉我们，幂级数

n n a x

∞

=∑与

()

n x a ∞

=-∑的收敛域分别是关于原点上与a 点对称的区间，端点除外.因而

幂级数的收敛域是比较简单的，这为我们研究幂级数带来很大的方便.收敛半径R 可用公式（ρ=+∞

→||

lim 1

n n n a a 或ρ=∞→n n n u lim ，则1R ρ

=），求得R 后，再讨论端点处的敛散性，收敛区间也就确定了.值得注意的是，这个公式对有无穷多项缺项的幂级数并不适用，这时，求收敛半径用比值审敛法来求. （3）幂级数的展开

把一个函数展开成幂级数或者说求出函数的泰勒展开式，是本章的一个中心问题.解决这个问题的方法一般说来有两种——直接展开法与间接展开法.

①直接展开法的基本步骤为：第一步：求()f x 的各阶导数()(),(),

,(),

n f x f x f x '''；

第二步求函数及其各阶导数在0x = 处的值()(0),(0),(0),,(0),

n f f f f '''；第三步写

出幂级数 !

)0( !2)0()0()0()(2???++???+''+

'+n

n x n f x f x f f , 并求出收敛半径R ；第四步考察在区间(,)R R -内时是否()0()n R x n →→∞，即1)1()!

1()(lim

)(lim ++∞→∞→+=n n n n n x n f x R ξ

是否为零. 如果()0()n R x n →→∞, 则()f x 在(,)R R -内有展开式

)0( !2)0()0()0()()(2???++???+''+'+=n

n x n f x f x f f x f (R x R -<< ). ②间接展开法：利用一些已知函数的泰勒展开式，通过级数的四则运算与分析运算（逐项求导、逐项积分）把函数展开，这样就可避免证明()0()n R x n →→∞，往往比较方便，读者应熟记常用的幂级数等式.

)11( 1112<<-???++???+++=-x x x x x

n ；

)( !

!2112+∞<<-∞???+???+++=x x n x x e n x ；

)( )!

12()1( !5!3sin 121

53+∞<<-∞???+--+???-+-=--x n x x x x x n n ；

)( )!

2()1( !4!21cos 242+∞<<-∞???+-+???-+-=x n x x x x n n ； 3511

arctan (11)35x x x x x =--++-≤≤；

)11( 1

)1( 432)1ln(1432≤<-???++-+???+-+-=++x n x x x x x x n n ； () !

)1( )1( !2)1(112???++-???-+???+-++=+n x n n x x x ααααααα(11)x -<< .

3、傅里叶级数

（1）对满足狄里克雷条件的函数()f x ，当x 为()f x 的间断点时，其傅里叶级数收敛于1

[(0)(0)]2

f x f x -++，当x 为()f x 的连续点时收敛到()f x .

（2）我们知道，对于以2l （包括2π）为周期的函数，在任何长度为2l 的区间上的积分值都相等，因此，其傅里叶系数有表达式

1()cos

,0,1,2,a l n a n a f x xdx n l l π

+==?， 1()sin

,1,2,a l n a n b f x xdx n l l

+==?，

其中a 为任意实数，然而，对于以2l 为周期的奇函数或偶函数，并不能将其改为任意长为l 的区间，不过下面的公式成立：

当()f x 为以2l 为周期的奇函数时， (1)2()sin ,1,2,

m l n ml n b f x xdx n l l

=?.

当()f x 为以2l 为周期的偶函数时， (1)2()cos ,0,1,2,m l n ml n a f x xdx n l l

=?.

其中m 为任意实数.

（3）奇延拓(偶延拓)：设函数()f x 定义在区间[0, l ]上并且满足收敛定理的条件, 我们在开区间(-l ， 0)内补充函数()f x 的定义, 得到定义在(-l ，l ]上的函数()F x ，使它在(-l ,l )上成为奇函数(偶函数). 按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓)，然后将()F x 展开成傅里叶级数，这个级数必定为正弦级数（余弦级数）. 再限制在(0, l ]上, 有()()F x f x ≡ ，这样便得到()f x 的正弦级数（余弦级数）展开式.

（4）利用函数的傅里叶级数展开式与利用幂级数的和函数都可以求常数项级数的和，

但两者是不同的.后者经常是依据下面的顺序得到常数项的和，即常数项级数→构造适当的幂级数→求幂级数的和函数→由和函数在某特定点的函数值定出常数项级数的和，如例3.6；利用傅里叶级数求常数项级数之和往往是：函数→求傅里叶级数展开式→根据傅里叶系数的特性，确定要计算的常数项级数→根据收敛定理确定该常数项级数之和，这一特点正好说明，不是由所求和之常数项级数确定傅里叶级数，而是由傅里叶级数展开式确定要求其和的常数项级数，如例5.6.

级数知识点总结

级数知识点总结 Prepared on 22 November 2020

第十二章无穷级数一、常数项级数 1、常数项级数： 1) 定义和概念：无穷级数： +++++=∑ ∞ =n n n u u u u u 3211 部分和：n n k k n u u u u u S ++++== ∑ = 3211 正项级数： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u 级数收敛：若S S n n =∞ →lim 存在，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，否则称级数∑∞ =1 n n u 发散 2) 性质： ? 改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛 ? 两个收敛级数的和差仍收敛，级数 ∑∞=1 n n a ， ∑∞ =1 n n b 收敛，则 ∑∞ =±1 )(n n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. ? 去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； ? 若级数收敛则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散则原来级数也发散注：收敛级数去括号后未必收敛. ? 注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数表达式： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u ）S S n n =∞ →lim 前n 项和存在极限则收敛； ∑∞ =1 n n u 收敛? {}n S 有界； ? 比较审敛法：且),3,2,1( =≤n v u n n ，若∑∞ =1 n n v 收敛，则∑∞=1 n n u 收敛；若∑∞=1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散. ? 比较法的极限形式： )0( l lim +∞<≤=∞→l v u n n n ，而∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞ =1n n v 发散，则∑∞ =1 n n u 发散. ? ，当：1l 时，级数∞=1 n n u 发散；1=l 时，级数∞ =1 n n u 可能收敛也可能发散. 2、交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数： ∑ ∞ =-1 )1(n n n u ，0≥n u 满足：),3,2,1( 1 =≤+n u u n n ，且0lim =∞ →n n u ，则级数∑∞ =-1 )1(n n n u 收敛。条件收敛： ∑ ∞=1 n n u 收敛，而∑∞ =1 n n u 发散；绝对收敛：∑∞ =1 n n u 收敛。 ∑∞ =1 n n u 绝对收敛，则 ∑∞ =1 n n u 收敛。其他级数：二、函数项级数（幂级数： ∑∞ =0 n n n x a ）

人教版道法八年级上册知识点整理知识讲解

八年级（上）部编教材《道德与法治》第一单元走进社会生活 1. 个人和社会的关系是怎样的？个人是社会的有机组成部分。如果把个人看成点，把人与人的关系看成线，那么，由各种关系连接成的线就织成一张“大网”，每个人都是社会这张“大网”上的一个“结点”。 2. 如何理解社会对人的影响？（1）人的成长是不断社会化的过程。（2）我们的衣食住行、学习和娱乐等都与社会的方方面面发生着千丝万缕的联系。（3）人的生存和发展也离不开社会，每个人都从社会中获得物质支持和精神滋养。 3. 为什么要养成亲社会行为？亲社会行为有什么意义？（1）青少年处于走向社会的关键时期，我们应该树立积极的生活态度，关注社会，了解社会，服务社会，养成亲社会行为。（2）亲社会行为，有利于我们养成良好的行为习惯，塑造健康的人格，形成正确的价值观念，获得他人和社会的接纳与认可。 4. 如何养成亲社会行为？亲社会行为在人际交往和社会实践中养成。 ①我们要主动了解社会，关注社会发展变化，积极投身于社会实践。 ②在社会生活中，我们要遵守社会规则和习俗，热心帮助他人，想他人之所想，急他人之所急。 5. 网络如何丰富我们的日常生活？（1）网络让我们日常生活中的信息传递和交流变得方便迅捷。互联网不仅给人们提供信息，而且提供便捷的信息检索渠道。（2）网络打破了传统人际交往的时空限制，促进了人际交往。通过网络，我们可以随时随地与地球上任何角落的人交流、互动，世界变成了地球村。（3）网络让我们的生活变得更加便利和丰富多彩。 6. 网络如何推动社会进步？（1）网络为经济发展注入新的活力。①互联网大大促进了人才、资金、技术、物资的流动，已经成为社会生产的新工具、经济贸易的新途径。②互联网与传统行业的融合，推动了传统行业转型升级，创造了新业态，提升了经济发展水平。（2）网络促进民主政治的进步。互联网丰富了民主形式，拓宽了民主渠道，使人们更加便利、有序地参与社会生活和政治生活，对保障公民的知情权、参与权、表达权、监督权发挥着重要作用。

级数知识点总结

第十二章无穷级数一、常数项级数 1、常数项级数： 1) 定义和概念：无穷级数： +++++=∑ ∞ =n n n u u u u u 3211 部分和：n n k k n u u u u u S ++++== ∑= 3211 正项级数：∑∞ =1 n n u ，0≥n u 级数收敛：若S S n n =∞ →lim 存在，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，否则称级数 ∑∞ =1 n n u 发散 2) 性质：改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. 两个收敛级数的和差仍收敛.，级数 ∑∞=1 n n a ， ∑∞ =1 n n b 收敛，则 ∑∞ =±1 )(n n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. 去掉、加上或改变级数有限项,不改变其收敛性级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛；若级数收敛,则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.注：收敛级数去括号后未必收敛. 注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数表达式： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u ）S S n n =∞ →lim 前n 项和存在极限则收敛； ∑∞ =1 n n u 收敛? {}n S 有界；比较审敛法：且),3,2,1( =≤n v u n n ，若∑∞ =1 n n v 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛；若∑∞ =1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散. 比较法的极限形式： )0( l lim +∞<≤=∞→l v u n n n ，而∑∞n v 收敛，则∑∞n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞n v 发散，则∑∞ n u 发散. 2、交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数： ∑∞ =-1 )1(n n n u ，0≥n u 满足：),3,2,1( 1 =≤+n u u n n ，且0lim =∞ →n n u ，则级数∑∞ =-1 )1(n n n u 收敛。条件收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛，而 ∑ ∞ =1 n n u 发散；绝对收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛。 ∑∞ =1 n n u 绝对收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛。其他级数：；二、函数项级数（幂级数： ∑∞ =0 n n n x a ） 1、 2、和函数)(x s 的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域),(R R -内可导，且可逐项求导;和函数)(x s 在收敛域I 上可积分，且可逐项积分.(R 不变,收敛域可能变化).

人教版八年级上册地理知识点整理

2017八上地理复习提纲第一章从世界看中国本章重点图幅:图、图、图第一节疆域 1、我国的半球位置：我国位于东半球、北半球；纬度位置：我国绝大部分位于北温带，少数在热带，没有寒带；海陆位置：我国位于亚欧大陆东部、太平洋西岸。 2、我国陆地面积约960万平方千米，仅次于俄罗斯和加拿大，居世界第三位。 3、我国陆上邻国14个（逆时针）：朝鲜、俄罗斯、蒙古、哈萨克斯坦、吉尔吉斯斯坦、塔吉克斯坦、阿富汗、巴基斯坦、印度、尼泊尔、不丹、缅甸、老挝、越南；隔海相望的国家有6个：韩国、日本、菲律宾、马来西亚、文莱、印度尼西亚。 4、我国濒临的海洋从北向南依次是：渤海、黄海、东海、南海。 5、我国第一大岛：台湾岛；第二大岛：海南岛；我国的两大内海：渤海、琼州海峡。读中国疆域图，填出图中数字代号所表示的我国邻国、岛屿、濒临海洋的名称。

临海：①渤海，②黄海，③东海，④南海；海峡：⑤台湾海峡，⑥琼州海峡；岛屿：⑦台湾岛，⑧海南岛；陆上邻国：A朝鲜，B俄罗斯，C蒙古，D哈萨克斯坦，E印度，F缅甸，G老挝，H越南；隔海相望的国家：a韩国，b日本，c菲律宾，d印度尼西亚，e马来西亚。 6、我国领土的最北端：黑龙江省漠河县北端的黑龙江主航道中心线上（53°N）；最南端：海南省南沙群岛中的曾母暗沙（4°N）；最西端：新疆维吾尔自治区的帕米尔高原上（73°E）；最东端：黑龙江省黑龙江与乌苏里江主航道中心线的汇合处（135°E）。 7、我国陆上国界线长达2、2万多千米，大陆海岸线长18000多千米。 8、我国的行政区域划分为：省、县、乡三级； 9、我国共有34个省级行政单位，包括23个省、5个自治区、4个直辖市、2个特别行政区。北京是我们伟大祖国的首都。编号行政单位简称行政中心编号行政单位简称行政中心1宁夏回族自治区宁银川16新疆维吾尔自治区新乌鲁木齐2山东省鲁济南17青海省青西宁 3安徽省皖合肥18云南省云或滇昆明 4陕西省陕或秦西安19西藏自治区藏拉萨 5江苏省苏南京20湖北省鄂武汉 6山西省晋太原21江西省赣南昌

电功率知识点归纳

电功率知识点归纳Last revision on 21 December 2020

《电功率》知识点归纳一、电功（电能） 1．定义：电流通过某段电路所做的功叫电功。用 W 表示 2．实质：电流做功的过程，实际就是电能转化为其他形式的能（消耗电能）的过程；电流做多少功，就有多少电能转化为其他形式的能，就消耗了多少电能。电流做功的形式：电流通过各种用电器使其转动、发热、发光、发声等都是电流做功的表现。 3．规定：电流在某段电路上所做的功，等于这段电路两端的电压，电路中的电流和通电时间的乘积。 4．计算公式：W=UIt=Pt （适用于所有电路）对于纯电阻电路可推导出：t R U Rt I W 2 2 ①串联电路中常用公式：W=I 2 Rt ②并联电路中常用公式：t R U W 2 ③无论用电器串联或并联。计算在一定时间所做的总功常用公式W=W 1+W 2+…W n W=U 总I 总t=P 总t 5．单位：国际单位是焦耳（J ）常用单位：kw ·h （度）1千瓦时=1度=1kw ·h= ×106J 6．测量电功： ⑴电能表：是测量用户用电器在某一段时间内所做电功（某一段时间内消耗电能）的仪器。 ⑵电能表上“220V ”“5（10）A ”“3000R/kwh ”等字样，分别表示：电能表应接在220V

的电压下使用；电能表的额定电流是5A ；额定最大电流为10A ；每消耗一度电电能表转盘转3000转。 ⑶读数：A 、测量较大电功时用刻度盘读数。 ①最后一位有红色标记的数字表示小数点后一位。 ②电能表前后两次读数之差，就是这段时间内用电的度数。如：这个月用电________度合___________ J 。 B 、测量较小电功时，用表盘转数读数。如：某用电器单独工作电能表（3000R/kwh ）在 10分钟内转36转则10分钟内电器消耗的电能是___________J 。 7、电池充电把能转化为能，放电时把能转化为能，电动机把能转化为能，灯泡工作把能转化为能和能。二、电功率 1．定义：电流在单位时间（1s ）内所做的功或电流在1s 内所消耗的电能。 2．物理意义：表示电流做功快慢的物理量或表示用电器消耗电能快慢的物理量。灯泡的亮度取决于灯泡的实际功率大小。 3．电功率计算公式：P=UI=W/t （适用于所有电路）对于纯电阻电路可推导出：P=I 2R=U 2/R ①串联电路中常用公式：P=I 2R ②并联电路中常用公式：P=U 2/R ③无论用电器串联或并联。计算总功率常用公式P=P 1+P 2+…P n 月底读数是

无穷级数知识点介绍

专转本专题知识点----------无穷级数数项级数定义1 设给定一个数列,...,,...,,,321n u u u u 则和式 ......321+++++n u u u u （11.1）称为数项级数，简称为级数，简记为 ∑∞ =1 n n u ,即 ∑∞ =1 n n u =......321+++++n u u u u 其中，第n 项n u 称为级数的一般项或者通项。式（11.1）的前n 项和 ∑==++++=n k k n n u u u u u S 1 321... 称为式（11.1）的前n 项部分和。当n 依次取1，2，3，...时，部分和 ...,..,,,321n S S S S 构成一个新的数列{}n S ，数列{}n S 也称为部分和数列定义2 若级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 有极限S S S n n =∞ →lim ，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，称S 是级数 ∑∞ =1 n n u 的和，即 (3211) +++++== ∑∞ =n n n u u u u u S 如果部分和数列{}n S 没有极限，则称为级数∑∞ =1 n n u 发散数项级数的性质（1）若级数 ∑∞ =1 n n u 和级数 ∑∞ =1 n n v 都收敛，它们的和分别为S 和σ，则级数 ∑∞ =±1 )(n n n v u 也收敛，且其和为±S σ

（2）若级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，且其和为S ，则它的每一项都乘以一个不为零的常数k,所得到的级数 ∑∞ =1 n n ku 也收敛，且其和为kS （3）在一个级数前面加上（或去掉）有限项，级数的敛散性不变（4）若级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则将这个级数的项任意加括号后，所成的级数 ...)...(...)...()...(1211121+++++++++++-+k k n n n n n u u u u u u u 也收敛，且与原级数有相同的和（5）（级数收敛的必要条件）若级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则0lim =∞ →n n u 数项级数的敛散性研究对象：正项级数、交错级数、任意项级数一．正项级数正项级数：若级数∑∞ =1 n n u =......321+++++n u u u u 满足条件,...)3,2,1(0=≥n u n ，则称此级数为正项级数定理1 正项级数收敛的充要条件是其部分和数列{}n S 有界定理2 （比较判别法）若级数∑∞ =1 n n u 和级数 ∑∞ =1 n n v 为两个正项级数，且,...)3,2,1(=≤n v u n n ，那么：（1）若级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1 n n u 也收敛（2）若级数 ∑∞=1 n n u 发散时，级数 ∑∞=1 n n v 也发散

无穷级数知识点

无穷级数 1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：1lim n k n k S u ∞ →∞ ==∑存在，称级数收敛。 2.若任意项级数1 n n u ∞=∑收敛，1 n n u ∞=∑发散，则称1 n n u ∞=∑条件收敛，若1 n n u ∞=∑收敛，则称级数1 n n u ∞ =∑绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。. 2. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞ = 3.若有两个级数1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞=∑，1 1 ,n n n n u s v σ∞∞ ====∑∑ 则 ①1()n n n u v s σ∞ =±=±∑，11n n n n u v s σ∞∞==???? ?=? ? ????? ∑∑。 ②1 n n u ∞=∑收敛，1 n n v ∞=∑发散，则1 ()n n n u v ∞ =+∑发散。 ③若二者都发散，则1 ()n n n u v ∞=+∑不确定，如()1 1 1, 1k k ∞∞==-∑∑发散，而()1 110k ∞ =-=∑收敛。 4．三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数： a) b) P 级数： c) 对数级数： 5.三个重要结论

6．常用收敛快慢正整数由慢到快连续型由慢到快 7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧 1. 11,lim 1,lim 0) 1,n n n n n n l u l l u l μμ+→∞→+∞ ?≠?? =??收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时） 2. 1,1,1,n n l l l n l μ??=? 收发（当为某次方时）单独讨论 3. ① 代数式 1 1 1 1 n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞ ====≤???∑∑∑∑收敛收敛，发散发散 ② 极限式 lim n n n u A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞ =∑都是正项级数。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 0 ? 0 ? n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A u v u v v u u v A u v u kv u v A v u v u u v v u ∞ ∞ ∞ ∞ ====∞∞ ==∞ ∞ ∞ ∞ =====→→

人教版八年级上册地理知识点整理(绝对好)

第一章知识点总结 1.中国的的地理位置：从东西半球看，中国位于东半球，从南北半球看，中国位于北半球，从大洲和大洋的位置看，中国位于亚洲东部，太平洋的西岸 2.中国优越的地理位置 3.中国的国土面积约960万平方千米，仅次于俄罗斯，加拿大，居世界第三。陆上国界线20000多千米，有14个陆上邻国（北面俄、蒙古，朝鲜在东岸，西北哈、吉、塔，三个皆斯坦，西边是巴基，还有阿富汗，印、尼和不丹，三国在西南，南方三国家，老、缅和越南） 4.中国四至：最北端：黑龙江漠河以北的黑龙江主航道的中心线上，最东端：黑龙江与乌苏里江主航道中心线的相交处，最西端：新疆的帕米尔高原，最南端：南海的男少群岛中的曾母暗沙 5.我国濒临的海洋，自北向南依次是：渤海，黄海，东海，南海台湾海峡属东海 6.我国大陆海岸线长18000多千米，有6个隔海相望的国家（韩、日、菲、文、马、印尼） 7.东西部晨昏差异：两地经度不同，我国东西跨经度广，约60度，经度没差15度，时间相差1小时南北方季节差异：两地纬度不同，我国南北跨纬度广，约50度，气温变化幅度大 8.我国行政区域划分 9.我国共有34省级行政单位，23个省，5个自治区，4个直辖市，2个特别行政区省级行政区记忆口诀：两湖两广两河山湖南、湖北、广东、广西、河南、河北、山西、山东五江（疆）二宁青陕甘，江西、江苏、黑龙江、浙江、新疆、宁夏、辽宁、青海、陕西、甘肃重蒙台海福吉安云南、贵州、西藏、四川、北京、上海、天津云贵西四北上天重庆、内蒙古、台湾、海南、福建、吉林、安徽香港澳门喜回归，祖国一片好河山香港特别行政区、澳门特别行政区 10.“三字经”法记忆省级行政区的简称：黑吉辽，内蒙古，京津冀，晋豫鲁，赣皖浙，苏浙沪，滇黔蜀，鄂湘渝，陕甘宁，青新藏，桂粤琼，港澳台 11.根据2000年第五次人口普查，我国人口为12.95亿，占世界人口的1/5以上； 12.我国人口的特点:人口基数大，增长速度快 13.我国把实行计划生育作为我国的一项基本国策，内容：控制人口数量，提高人口素质 14.人口增长过多产生的负面影响:人均粮食、布匹减少，医院就医困难，给国家、学校、社会、家庭、资源利用、生态环境都增加了沉重的负担。我国资源总量居世界前列，但人均居世界后列，全国每年新增财富大部分北新增人口消耗掉，用来发展生产和改善人民生活的财富就减少了 15.我国人口分布特点：东多西少，以黑河——腾冲一线为界造成这种分布特点的原因：（1）自然原因，东部耕地多，气候好，西部多沙漠、草原、山地，耕地少；（2）社会经济方面，东部工商业、交通运输业发达，城镇多，人口集中，西部工商业、交通运输业落后，城镇少；（3）开发历史原因：东部开发较早，西部开发较晚 16.我国是一个多民族的大家庭，有56个民族，汉族人口最多，占全国人口的92%，其余55个民族占8%，称少数民族。少数民族中人口最多的是壮族，人口最少的是珞巴族。少数民族中人口超过500万的有9个，（记忆口诀：西北蒙、回、维，东北满族乡，西南苗、彝、壮，土家、藏族广）从纬度位置看，我国领土南北跨纬度很广，大部分位于中纬度地区，属北温带，南部少数地区位于北回归线以南的热带，没有寒带；从海陆位置看，我国位于亚欧大陆大的东部，与许多国家接壤，东临太平洋，有众多的岛屿的港湾，是一个海陆兼备的国家 1.省、自治区、直辖市 2.省、自治区分为自治州、县、自治县、市 3.县、自治县分为乡、民族乡、镇

新人教版九年级物理第章电功率知识点全面总结

18 电功率第1节电能电功一、电能 1、我们使用的电能是有其他形式的能转化而来的，电源是提供电能的装置。 2、用电器时消耗电能的装置，用电器消耗电能的过程，就是把电能转化为其他形式的能的过程，消耗了多少电能就得到了多少其他形式的能。 3、电能的单位（1）国际单位：焦耳，简称焦，用符号J表示。（2）常用单位：千瓦时，用符号kW·h表示，俗称度。（3）换算关系：1kW·h=1×103W×3600s=3.6×106J。二、电能的计量 1、电能的计量工具——电能表，也叫电度表，是计量用电器在一段时间内消耗电能多少的仪表。 2、电能表的读数电能表计数器上显示着数字，计数器前后两次示数之差就是这段时间内用电的度数（消耗电能的多少），单位是kW·h（度）。注意电能表计数器中最后一位数字是小数（十分位）。 3、电能表上所标参数的含义（1）“220V”——这个电能表应该在220V的电路中使用。（2）“10（20）A”——这个电能表的标定电流为10A，额定最大电流为20A。电能表工作时的电流不能超过额定最大电流。（3）“50Hz”——这个电能表在频率为50Hz的交流电路中使用。（4）“3000revs/（kW·h）”——接在这个电能表上的用电器，每消耗1kW·h的电能，电能表上的转盘转过3000转。 4、1kW·h的作用：洗衣机工作约2.7h；电脑工作约5h；电车行驶0.85km；灌溉农田330m2。三、电功 1、电功概念（1）定义：当电能转化为其他形式的能时，我们说电流做了功，简称电功。电功用“W”表示。（2）实质：电流做功的过程就是电能转化为其他形式能的过程。所以说用电器消耗了多少电能和电流做了多少功，两种说法是一样的。电流做了多少功，就有多少电能转化为其他形式的能，就消耗了多少电能。 2、电流做功多少的影响因素：跟电压的高低、电流的大小、通电时间的长短都有关。

(完整版)高等数学(下)知识点总结

高等数学（下）知识点主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5）椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6）抛物柱面： ay x =2 （二）平面及其方程 1、点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 2 1 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三）空间直线及其方程

电功率复习知识点总结-

电功率知识梳理： 1.电能(1)用电器消耗电能的过程就是电能转化为其他形式的能的过程；有多少电能转化为其他形式的能，就消耗了多少电能。 (2)电能的单位：国际单位是焦耳(J)；常用单位：度(kWh)；1 kWh=3．6×106J。 (3)测量电能的仪表：电能表。 2.电功率 (1)定义：用电器在1秒内消耗的电能． (2)物理意义：表示用电器消耗电能快慢的物理量。灯泡的亮度取决于灯泡的实际功率的大小。 (3)计算公式：P=UI=W/t(适用于所有电路) 对于纯电阻电路可推导出：P=I2R=U2/R ①串联电路中常用公式：P=I2R P1：P2：P3：…P n=R1：R2：R3：…：R n ②并联电路中常用公式：P=U2/R P1：P2=R2：R1 ③无论用电器串联或并联，计算总功率常用公式P=P1+P2+…P n (4)单位：国际单位瓦特(W)；常用单位：千瓦(kW) (5)额定功率和实际功率 ①额定电压：用电器正常工作时的电压. 额定功率：用电器在额定电压下的功率。P额==U额I额=U额2/R ②当U实=U额时，P实=P额(灯正常发光) 当U实U额时，P实>P额长期使用影响用电器寿命(灯发光强烈,有时会损坏用电器) 当U实>U额时，P实=0用电器烧坏(灯丝烧断) (6)测量 ①伏安法测灯泡的额定功率：原理：P=UI；电路图：略；选择和连接实物时须注意：电源：其电压高于灯泡的额定电压.滑动变阻器：接入电路时要“变阻”，且调到最大值。根据能否调到灯泡的额定电压选择滑动变阻器。电压表：并联在灯泡的两端，电流从“+”接线柱流入，“—”接线柱流出。根据额定电压选择电压表量程。电流表：串联在电路里，电流从“+”接线柱流人，“—”接线柱流出。根据I额=P额/U额或I额=U额/R选择量程。 ②测量家用电器的电功率：器材：电能表、秒表。原理：P=W/t。

级数知识点总结教学内容

第 1 页共 2 页第十二章无穷级数一、常数项级数 1、常数项级数： 1) 定义和概念：无穷级数：ΛΛ+++++=∑ ∞ =n n n u u u u u 3211 部分和：n n k k n u u u u u S ++++== ∑=Λ3211 正项级数：∑∞ =1 n n u ，0≥n u 级数收敛：若S S n n =∞ →lim 存在，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，否则称级数 ∑∞ =1 n n u 发散 2) 性质： ? 改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. ? 两个收敛级数的和差仍收敛.，级数 ∑∞=1 n n a ， ∑∞ =1 n n b 收敛，则 ∑∞ =±1 )(n n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. ? 去掉、加上或改变级数有限项, 不改变其收敛性级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； ? 若级数收敛, 则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 注：收敛级数去括号后未必收敛. ? 注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数表达式： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u ）S S n n =∞ →lim 前n 项和存在极限则收敛； ∑∞ =1 n n u 收敛? {}n S 有界； ? 比较审敛法：且),3,2,1( Λ=≤n v u n n ，若∑∞ =1 n n v 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛；若∑∞ =1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散. ? 比较法的极限形式： )0( l lim +∞<≤=∞→l v u n n n ，而∑∞n v 收敛，则∑∞n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞n v 发散，则∑∞ n u 发散. ? 2、交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数： ∑∞ =-1 )1(n n n u ，0≥n u 满足：),3,2,1( 1Λ=≤+n u u n n ，且0lim =∞ →n n u ，则级数∑∞ =-1 )1(n n n u 收敛。条件收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛，而 ∑ ∞ =1 n n u 发散；绝对收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛。 ∑∞ =1 n n u 绝对收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛。其他级数：；二、函数项级数（幂级数： ∑∞ =0 n n n x a ） 1、 2、和函数)(x s 的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域),(R R -内可导，且可逐项求导; 和函数)(x s 在收敛域I 上可积分，且可逐项积分.( R 不变,收敛域可能变化).

数学八年级上册知识点梳理(人教版)

数学八年级上册知识点梳理第十一章三角形一、三角形的边三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。注意点：（1）三条线段（2）不在同一直线上（3）首尾顺次相接三角形的表示：三角形用符号“△”表示，记作“△ ABC ”，读作“三角形ABC ”，除此△ ABC 还可记作△BCA, △ CAB, △ ACB 等. 三角形的分类：按角分按边分等腰三角形：两边相等的三角形叫等腰三角形。相等的两边都叫腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。三角形中三边的关系：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。（在做题时，不仅要考虑到两边之和大于第三边，还必须考虑到两边之差小直角三角形不等边三角形锐角三角形等腰三角形钝角三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形

于第三边.）二、三角形的高、中线与角平分线三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称三角形的高。 1、锐角三角形的三条高交于同一点。三条高都在三角形的内部。 2、直角三角形的三条高交于直角顶点. 3、钝角三角形的三条高不相交于一点。钝角三角形的三条高所在直线交于一点。总结：锐角三角形直角三角形钝角三角形高在三角形内部的数量 3 1 1 高所在的直线是否相交相交相交相交高之间是否相交相交相交不相交三条高所在直线的交点的位置三角形内部直角顶点三角形外部三角形的中线：在三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段叫做这个三角形这边的中线. 三角形中线的符号语言： ∵AD 是△ABC 的中线 ∴BD=CD =1/2 BC 三角形的角平分线：在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。 ∵AD 是 △ ABC 的角平分线 ∴∠BAD = ∠CAD =1/2∠BAC 三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部三、三角形的稳定性三角形的三条高所在直线交于一点三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部。三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

电功率知识点总结经典

电功率知识点总结经典一、电功率选择题 1．具有防雾除露、化霜功能的汽车智能后视镜能保障行车安全，车主可通过旋钮开关实现功能切换。图是模拟加热原理图，其中测试电源的电压为10V，四段电热丝电阻均为10Ω，防雾、除露、化霜所需加热功率依次增大。下列说法正确的是（） A. 开关旋至“1”档，开启化霜功能 B. 开启防雾功能，电路总电阻为5Ω C. 化霜与防雾电路的总功率之差为15W D. 从防雾到除露，电路总电流变化1A 【答案】 C 【解析】【解答】由图知道，当开关旋至“1”档时，两条电阻丝串联接入电路，此时电路总电阻最大为2R=2×10Ω=20Ω，由知道，此时电功率最小，开启防雾功能，AB不符合题意；此时电路中的电流是： =0.5A；此时电路的总功率是：P1=UI1=10V×0.5A=5W；当开关旋至“2”档时，一条电阻丝单独接入电路，电阻较大（大于并联时的总电阻），电路消耗的功率较小，此时为除露功能；此时电路中的电流是： =1A；从防雾到除露，电路总电流变化量是：I2-I1=1A-0.5A=0.5A，D不符合题意；当开关旋至“3”档时，两条电阻丝并联接入电路，总电阻最小，总功率最大，此时为化霜功能，电路的总电阻是：，电路的总电流是： =2A；此时总功率是：P3=UI3=10V×2A=20W，化霜与防雾电路的总功率之差是：P3-P1=20W-5W=15W，C符合题意。故答案为：C 【分析】结合电路图，理清开关处于不同状态时元件的连接方式，由知道对应的状态，再逐项进行计算即可. 2．如图所示的电路，电源电压为3V且保持不变，定值电阻R1=1Ω，滑动变阻器R2阻值范围为0～4Ω．闭合开关S，在滑片从左向右移动的过程中，下列说法正确的是（）

高数第七章无穷级数知识点

高数第七章无穷级数知识点 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第七章无穷级数一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、? ≠∞ →0lim n n U 级数发散；级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数 ∑∞ =1 n n U ，满足条件l U U n n n =+∞→1 lim ：当1l 时，级数发散（或+∞=l ）；当1=l 时，无法判断。 5、根值判别法（适用于含有因式的n 次幂）：若正项级数∑∞ =1n n U ，满足条件λ =∞→n n n U lim ：当1<λ时，级数收敛；当1>λ时，级数发散（或+∞=λ）；当1=λ时，无法判断。注：当1,1==λl 时，方法失灵。

6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩）推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且 l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散性的级数) 若+∞<

级数知识点总结

级数知识点总结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

知识点八(级数)

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电功率知识点归纳

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