初中数学抛物线经典习题及答案
初中数学抛物线
经典试题集锦
【第一组题型】
1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）
（1）求此二次函数的解析式，
（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。
2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．
（1）求抛物线的表达式及对称轴
（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。
3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。
（1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标
（2）求该抛物线的表达式
（3）写出抛物线与y轴交点P的坐标
4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A 为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C，
（1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式
（2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式
【答案】
1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）
（1）求此二次函数的解析式，
（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点
的坐标。
解：
【第一问】
因为函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）
分别将x=2，y=0代入y=x2+bx+c，得0=4+2b+c-----①将x=0，y=-8代入y=x2+bx+c，得-8=c-------------②将②代入①，解得：b=2--------------------------------------③此时，将②③代入y=x2+bx+c，
所以：二次函数的解析式y=x2+ 2x -8
【第二问】
△ABP的面积= 1
2
│AB│*│y p│----------------------④
因为A、B两点在x轴上，令x2+ 2x -8=0
（x-2）（x+4）=0
解得：x1=2，x2= -4
所以：│AB│=│X1- X2│=│2-（- 4）│=6------⑤又△ABP的面积=15-------------------------------------⑥
由④⑤⑥，得：1
2
*6*│y p│=15
│y p│=5
故有：y p= ±5
即：p点的纵坐标为5或-5.
把y=5代入y=x2+ 2x -8，即：5=x2+ 2x -8
x2+ 2x -13=0
解得：x= -1± 14
那么，此时p点坐标（-1+ 14，5），（-1- 14，5）-------⑦
把y=-5代入y=x2+ 2x -8，即：-5=x2+ 2x -8
x2+ 2x -3=0
（x-1）（x+3）=0
解得：x= 1或x= -3
那么，此时p点坐标（1，-5），（-3，-5）------------------⑧
由⑦⑧得，使△ABP的面积为15，p点坐标是：
（-1+ 14，5），（-1- 14，5），（1，-5），（-3，-5）
2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．
（1）求抛物线的表达式及对称轴
（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。
解：
【第一问】
因为抛物线y=2x2+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．将x=5，y=0 代入y=2x2+mx+n，得：0=50+5m+n-------------------①将x=2，y= -6代入y=2x2+mx+n，得：-6=8+2m+n--------------------②此时，由①、②，得：m= -12，n=10
所以，抛物线的表达式：y=2x2-12x+10
再将抛物线表达式进行变形：
y=2x2-12x+10
y=2（x2-6x+9）-8
y=2（x-3）2-8
所以，抛物线的对称轴是x=3
【第二问】
因为B点坐标为（2，-6），
C是B关于原点的对称点，所以，C点的坐标（-2，6）
设过A、C两点的直线方程为：y=kx+b
因为过A（5，0），C（-2，6），
将x=5，y=0 代入y=kx+b，得：0= 5k +b---------③
将x=-2，y=6代入y=kx+b，得：6= -2k+b-------④
由③④解得：k= -6
7，b=
30
7
所以，过A、C两点的直线表达式为：y= -6
7x+
30
7
3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在
x轴上截得的长度为6。
（1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标
（2）求该抛物线的表达式
（3）写出抛物线与y轴交点P的坐标
解：
【第一问】
因为抛物线的顶点C为（2，4），
所以，对称轴是：x=2
又因为抛物线在x轴上截得的长度为6，
那么，对称轴x=2将6平分，
也就是说，A、B两点关于x=2对称，且他们到x=2的距离是3所以，A的横坐标：2-3 = -1
B的横坐标：2+3 = 5
故，抛物线与x轴交点A、B的坐标是（-1,0），（5,0）
【第二问】
因为抛物线的顶点C为（2，4），
那么，抛物线的表达式直接可设为：
y=a（x-2）2+4 【特别提示，这个非常重要，大大简化了计算】再将A（-1,0）代入y=a（x-2）2+4，得，0=a（-1-2）2+4
解得：a= -4 9
所以，抛物线的表达式为，y= -4
9（x-2）2+4
【第二问】
令x=0，代入y= -4
9（x-2）2+4 ，得y= -
4
9（0-2）2+4
y=
20
9
所以，抛物线与y轴交点P的坐标（0，20 9）
4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A 为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C，
（1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式
（2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式
解：
【第一问】
直线的解析式为y=2x+4
令x=0，代入y=2x+4，得，y=4，所以B点坐标（0, 4）
令y=0，代入y=2x+4，得，x=-2，所以A点坐标（-2,0）
设C点的纵坐标为y c（y c是负数），
那么线段BC的长度│BC│= 4 -yc
△ABC的面积=1
2*│x A│*│BC│=
1
2*│-2│* (4 -yc )=20
4 -yc =20
解得：yc = -16
所以，C点坐标（0，-16）---------------------------------①
以A（-2,0）为顶点,
可设抛物线表达式：y= a（x+2）2+0
y= a（x+2）2，它过点C（0，-16），将x=0,y= -16代入y= a（x+2）2，解得：a= -4
所以，抛物线表达式y= -4（x+2）2
【第二问】
设D点的横坐标为x D（x D是负数），
△BDO的面积= 1
2*│x D│*│BO│=
1
2*│x D│*4=8
│x D│=4
x D是负数,所以，x D= -4，又D点在直线y=2x+4上，将x D= -4 代入y=2x+4，解得y D= -4
D点坐标（-4, -4）-------------------------------------------②以A（-2,0）为顶点,
可设抛物线表达式：y= a（x+2）2它过点D（-4，-4）将x= -4,y= -4代入y= a（x+2）2，解得：a= -1
所以，抛物线表达式y= -（x+2）2
【第二组题型】
5、若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为（）
6、平面直角坐标系中两定点A（-5，0,），B（3，0），抛物线y=ax2+bx-30（a≠0）过A、B，顶点为C，点P（m，n）为抛物线上的一点。（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标。
（2）当四边形APBC为梯形，求P的坐标。
7、已知抛物线y= 3
4x2+bx+c 与x轴相交于点A和B（2，0），与y轴
相交于C（0，-6）
（1）求出抛物线的解析式和A点的坐标。
（2）D为抛物线的顶点，设P点（t，0），且t＞2，如果△BDP与△CDP的面积相等，求P点的坐标。
8、在xoy直角坐标系中，点C（2，-3）关于x轴对称的点为A，关于原点对称的点为B，抛物线y=ax2+bx+c过A、B两点，且点D（3，19）在抛物线上。
【答案】
5、若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则
x1（x2+x1）+x22的最小值为（）解：
方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根则判别式△=（2m）2- 4*（m2+3m﹣2）≥0
即：m≤2
3------------------------------------------------①
根据韦达定理，x1+x2 = -2m-------------------------②
x1x2 =m2+3m﹣2-----------------③
又x1（x2+x1）+x22= x1x2 +x12+x22
=（x2+x1）2- x1x2 【将②③代入】
=（-2m）2-（m2+3m﹣2）
=3m2- 3m+2
=3（m-1
2）2+
5
4则顶点（
1
2，
5
4）
其图像为
由①知，当m≤2
3时，已经把顶点包含在内，
故，当m=1
2时，有最小值是
5
4
6、平面直角坐标系中两定点A（-5，0,），B（3，0），抛物线y=ax2+bx-30（a≠0）过A、B，顶点为C，点P（m，n）为抛物线上的一点。
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标。
（2）当四边形APBC为梯形，求P的坐标。
解：
【第一问】
因为点A（-5，0,），B（3，0）均为x轴上的两点，且抛物线过这两点，故抛物线的解析式可写为：y=a（x+5）（x-3）
y=a（x2+2x-15）
y=ax2+2ax-15a-----------①
又已知，抛物线y=ax2+bx-30------------②
根据恒等原理，①式与②式对应的系数相等。
那么它们的常数项相等，即：-15a = -30
解得：a=2
将a=2 代入①式，解得抛物线解析式为：y=2x2+4x-30再对y=2x2+4x-30变形
即：y=2（x2+2x）-30
y=2（x+1）2-32
所以，顶点C坐标（-1,-32）
答：抛物线解析式为：y=2x2+4x-30，
顶点C坐标（-1,-32）
【第二问】
四边形APBC为梯形，有两种情况，一是BP∥AC，一是AP∥CB （1）当BP∥AC，
因为A（-5，0），C（-1，-32）
直线AC的斜率k1=0-（-32）
-5-（-1）
= -8 ----------------③
因为B（3，0），P（m，n）
直线PB说完斜率k2= 0- n
3- m=
n
m -3----------------④
因为BP∥AC 所以③=④
即-8 =
n m -3
化简：n = 24 -8m-----------------------------------------⑤
因为P（m，n）在抛物线上，
所以，把x=m，y=n代入y=2x2+4x-30中
得：n=2m2+4m-30---------------------------------------⑥
因为⑤=⑥，消去n，
得：24 -8m=2m2+4m-30
化简：m2+6m-27=0
（m+9）（m-3）=0
解得：m= -9，m=3
将m= -9代入⑤中，解得，n=96，则P坐标（-9，96）
将m=3代入⑤中，解得，n=0，则P坐标（3，0）与B（3,0）重合，舍去
故：当BP∥AC时，P坐标为（-9，96）
（2）AP∥CB
同理：
直线BC的斜率k3=8
直线AP的斜率k4=
n m+5
由K3=k4，得8=
n
m+5即：n=8m+40----------⑦
因为P（m，n）在抛物线上，
所以，把x=m，y=n代入y=2x2+4x-30中
得：n=2m2+4m-30--------------------------------------⑧
由⑦=⑧解得，m=7，m=-5
将m=7，m=-5代入⑦，
解得n=106，n=0
即P坐标（7，106），或p（-5，0）与A（-5，0）重合，舍去故：当AP∥CB时，P坐标为（7，106）
7、已知抛物线y= 3
4x2+bx+c 与x轴相交于点A和B（2，0），与y轴
相交于C（0，-6）
（1）求出抛物线的解析式和A点的坐标。
（2）D为抛物线的顶点，设P点（t，0），且t＞2，如果△BDP与△CDP的面积相等，求P点的坐标。
解：
【第一问】
因为抛物线与y轴相交于C（0，-6）
将x=0，y= -6代入y= 3
4x2+bx+c，解得：c = -6
那么，抛物线解析式为：y= 3
4x2+bx -6
抛物线与与x轴相交于A（2，0），
将x=2，y=0，代入y= 3
4x2+bx -6，解得：b=
3
2
故，抛物线解析式为：y= 3
4x2+
3
2x -6
将y= 3
4x2+
3
2x -6变形
y= 3
4（x2+2x -8）
y= 3
4（x-2）（x+4）
令y=0，解得x=2，或x= -4
则与x轴相交的坐标为（2，0），（-4，0）已知B（2，0），所以A坐标（-4，0）
【第二问】
将y= 3
4x2+
3
2x -6变形
y= 3
4（x2+ 2x）-6
y= 3
4（x2+ 2x+1）-6 -
3
4
y= 3
4（x+1）2-
27
4
所以，顶点D坐标为（-1，-27 4）
D点纵坐标是-27
4，线段BP长度为：P点横坐标-B横坐标= t -2
△BDP面积= 1
2*│y D│*│BP│
=1
2*│-
27
4│*│t -2│(因为t＞2）
= 27
8（t -2）------------------①
设对称轴与x 轴相交于x 轴于E ，过顶点C 作CF 平行于x 轴交DE 于F.
梯形EFCP 面积= 12
*│EP+CF │*│EF │ = 12
*│（x P -x D ）+（x C - x D ）│*│y C │ = 12
*│[ t -（-1）]+[ 0- （-1）]│*│-6│ =12
*（t+2）*6 =3（t+ 2）------------------②
三角形CDF 面积= 12
*│CF │*│DF │ = 12
*│x C - x D │*│y D -y C │ = 12
*│x C - x D │*│y D -y C │ = 12 *│0- （-1）│*│- 274
-（-6）│ = 38
---------------------③ 四边形DEPC 面积=梯形EFCP 面积+三角形CDF 面积
= ② +③ = 3t + 518
----------④ 三角形DEP 面积= 12
*│DE │*│PE │ = 12
*│y D │*│x P -x D │ = 12 *│- 274
│*│t -（-1）│
= 27
8（t +1）----------------⑤
三角形CPD面积=四边形DEPC面积-三角形DEP面积
=④-⑤= 24- 3t
8-----------⑥
又因为：△BDP与△CDP的面积相等即：①= ⑥
27
8（t -2）= 24- 3t 8
解得：t = 13 5
答：如果△BDP与△CDP的面积相等，求P点的坐标（13
5，0）。
8、在xoy直角坐标系中，点C（2，-3）关于x轴对称的点为A，关于原点对称的点为B，抛物线y=ax2+bx+c过A、B两点，且点D（3，19）在抛物线上。
（1）求出抛物线的解析式，
（2）P（m，n）点在直线y=2x+1上，若n＜3，且∠PAB=45°，求出P点坐标。
解：
【第一问】
因为点C（2，-3）关于x轴对称的点为A，所以A（2，3）C（2，-3）关于原点对称的点为B，所以B（-2，3）
将x=2，y=3代入y=ax2+bx+c，得9=4a+2b+c----------①
将x=-2，y=3代入y=ax2+bx+c，得9=4a-2b+c--------②由①-②得：-4b =0，即：b=0
那么，①式简化为：9=4a+c---------------------------------③因为b=0，故，抛物线的解析式为：y=ax2+c
D（3，19）在抛物线上，
将x=3，y=19代入y=ax2+c 得，19=9a+c-----------④
由④-③，解得：a=2
将a=2代入③，解得：c=1
所以，抛物线解析式：y=2x2+1
【第二问】
A、B的纵坐标为3
P（m，n），n＜3，说明P在AB的下方。
因为∠PAB=45°，所以直线AP的斜率= tan45°= 1
则设直线AP的方程：y= x +b
已知A（2，3），将x=2，y=3，代入y= x +b
解得：b=1
故：直线AP的方程：y= x +1----------------⑤
又P为直线y=2x+1与y= x +1的交点，
y= x +1 x=0
y=2x+1 解得：y= 1所以：P坐标（0，1）
高考数学抛物线大题专练30题(含详解)经典收藏版
目录 目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11
抛物线大题专练（一） 1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为； （1）求抛物线C的方程； （2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同）， 求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切 线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N． （1）求抛物线的方程； （2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
(完整版)《抛物线》典型例题12例(含标准答案)
《抛物线》典型例题12例 典型例题一 例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）y x 42= （2）)0(2≠=a ay x 分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程． （2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程． 解：（1）2=p Θ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x a y 12=，a p 1 2=∴ ①当0>a 时， a p 41 2=，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：a x 41 -=． ②当0?，则1->k ．
∵AB 中点横坐标为：28 422 21=+=+∴ k k x x ， 解得：2=k 或1-=k （舍去）． 故所求直线方程为：22-=x y ． 解法二：设),(11y x A 、),(22y x B ，则有22 212 188x y x y ==． 两式作差解：)(8))((212121x x y y y y -=+-，即 2 121218 y y x x y y +=--． 421=+x x Θ444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ， 4 48 -= ∴k k 故2=k 或1-=k （舍去）． 则所求直线方程为：22-=x y ． 典型例题三 例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为)0(22>=p px y ．如图所示，只须证明12 MM AB =， 则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切． 证明：作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B ．M 为AB 中点，作 l MM ⊥1于1M ，则由抛物线的定义可知： BF BB AF AA ==11, 在直角梯形A A BB 11中： AB BF AF BB AA MM 21 )(21)(21111=+=+= AB MM 21 1=∴，故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切． 说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交． 典型例题四 例4（1）设抛物线x y 42=被直线k x y +=2截得的弦长为53，求k 值． （2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面
高中数学 抛物线知识点归纳总结与经典习题
抛物线经典结论和例题
方程 1. 直线与抛物线的位置关系 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，
2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 1212px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+-所以 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点 ),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零） 一、抛物线的定义及其应用
高中数学抛物线-高考经典例题
1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ②焦准距：FK p = ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段：2 p OF OK == 。 ⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F 、 准线是公切线。 ⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。 ⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。 3抛物线标准方程的四种形式： ，，px y px y 2222-==。，py x py x 2222-== 4抛物线px y 22 =的图像和性质： ①焦点坐标是：?? ? ??02，p ， ②准线方程是：2 p x - =。 ③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22 =上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02 p PF x =+ ， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222 p p PQ x x x x p =+ ++=++ ⑤抛物线px y 22 =上的动点可设为P ),2(2 οοy p y 或2(2,2)P pt pt 或P οοοοpx y y x 2),(2=其中 5一般情况归纳：
y 2=kx k>0时开口向右 (k/4,0) x= ─k/4 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距 离 k<0时开口向左 x 2=ky k>0时开口向上 (0,k/4) y= ─k/4 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距 离 k<0时开口向下 抛物线的定义： 例1：点M 与点F (－4，0)的距离比它到直线l ：x －6=0的距离4.2，求点M 的轨迹方 程． 分析：点M 到点F 的距离与到直线x =4的距离恰好相等，符合抛物线定义． 答案：y 2=－16x 例2：斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于点A 、B ，求线段A 、B 的长． 分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB 转化为求A 、B 两点到准线距离的和． 解：如图8－3－1，y 2=4x 的焦点为F (1，0)，则l 的方程为y =x －1． 由???+==1 42x y x y 消去y 得x 2－6x +1=0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1+x 2=6． 又A 、B 两点到准线的距离为A '，B '，则 ()()()8262112121=+=++=+++='+'x x x x B B A A 点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。 例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y 2=10x ，求它的焦点坐标和准线方程； (2) 已知抛物线的焦点是F (0，3)求它的标准方程； (3) 已知抛物线方程为y =－mx 2 (m >0)求它的焦点坐标和准线方程；
抛物线及其性质知识点大全和经典例题及解析
抛物线及其性质 【考纲说明】 1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。 2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。 【知识梳理】 1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质： 图形 参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔. 开口方向 右 左 上 下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 焦 点位 置 X 正 X 负 Y 正 Y 负 焦 点坐 标 (,0)2 p (,0)2p - (0,)2p (0,)2p - 准 线方 程 2p x =- 2p x = 2p y =- 2p y = 范 围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ 0,y x R ≥∈ 0,y x R ≤∈ 对 称轴 X 轴 X 轴 Y 轴 Y 轴 顶 点坐 标 （0,0） 离心率 1e = 通 径 2p 焦半径11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 焦点弦长AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++ 焦点弦长AB 以AB 为直径的圆必与准线l 相切
3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质： (1)范围 因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点( ,0)2p F ，准线2 p x -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22 >=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。 4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ，焦点( ,0)2 p F (1) 若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：21 24 p x x =，2 12y y p =-。 (2) 若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α =（α≠0）。 (3) 已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F , 112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? (4) 焦点弦中通径最短长为2p 。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径． (5) 两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 5．弦长公式：),(11y x A ,),(22y x B 是抛物线上两点，则 AB =||1 1||1212212y y k x x k -+ =-+= 【经典例题】 （1）抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.
《抛物线》典型例题12例(含标准答案)
《抛物线》典型例题 12例 典型例题一 例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程. (1) X 2 =4y (2) X =ay 2 (a H 0) 分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出 P,再写出焦点 坐标和准线方程. （2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求 P 及 焦点坐标与准线方程. 解：（1）寫P =2,.??焦点坐标是（0, 1）,准线方程是：y = -1 （2）原抛物线方程为：y 2 a 1 ，二 2 P = — a ①当2时，牛右，抛物线开口向右, 二焦点坐标是（丄,0），准线方程是：x = 4a 4a ②当a < 0时，牛-右，抛物线开口向左, 1 1 ???焦点坐标是（丄,0），准线方程是：x =-' 4a 4a 综合上述，当a H0时，抛物线x=ay 2的焦点坐标为（丄,0），准线方程是：x = - 1 4a 4a 典型例题 例2若直线y =kx-2与抛物线y 2 =8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2, 求此直线方程. 分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k 的方程求解.另由于已知与直线 斜率及弦中点坐标有关，故也可利用 作差法”求k. 解法一：设 A （x 1, y 1）、 y = kx — 2 B( x 2, y 2)，则由：｛ 2 可得：k 2x 2-(4k+8)x + 4 = 0 . 2 C l y =8x ???直线与抛物线相交, ” k H 0 且 i >0，贝U k A —1 . ??? AB 中点横坐标为: 解得：k=2或k=—1 2 （舍去）. k 2 =2 ，
抛物线经典习题
1. 一个动圆经过点F （-1,0），又与直线L:x=1相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A.x y 42= B.x y 22-= C.x y 42-= D.x y 82-= 2.顶点在原点，且过点P （-4,4）的抛物线标准方程是（ ） A.x y 42-= B.y x 42= C.x y 42-=或y x 42= D.x y 42=或y x 4-2= 3.设抛物线的顶点在原点，且其准线方程为：x=2，则抛物线的方程为（ ） A.x y 42= B.y x 82-= C.x y 82= D.x y 82-= 4.抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，倾斜角为 60的直线L 过点F 且与抛物线的一个交点为A ，3=AF ，则抛物线的方程为（ ） A.x y 32= B.x y 292= C.x y 232=或x y 2 92= D.x y 32=或x y 92= 5.过点（-1,0）且与抛物线x y =2有且仅有一个公共点的直线有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 6.已知动圆圆心在抛物线x y 42=上，且动圆与直线x=-1相切，则动圆必过定点（ ） A.（2,0） B.（1,0） C.（0,1） D.（0,2） 7.已知过抛物线x y 42=焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且两点的横坐标之和为4，则线段AB 的长度为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 8.已知过抛物线x y 42=焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点（其中A 点在第一象限），3=，则直线L 的斜率为（ ） A.2 B.21 C.2 3 D.3 9. 抛物线C:x y 42=的准线L 与x 轴的交点为A ，焦点为F ，若P 点为抛物线上的任意一点，设PF PA t =， 则t 的最大值为（ ） A.1 B.2 C.2 D.4 10.已知点P 为抛物线x y 42=上的一个动点，设点P 到y 轴的距离为d ，对于定点A （3,4），d PA +的最小值为（ ） A.52 B.152- C.152+ D.252-
初三数学二次函数所有经典题型
初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) ___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) 2 23x y -=
初中抛物线经典练习题(含详细答案)
【编著】 黄勇权 【第一组题型】 1、已知二次函数y=x 2+bx+c 过点A （2,0），C （0, -8） （1）求此二次函数的解析式， （2）在抛物线上存在一点p 使△ABP 的面积为15，请直接写出p 点的坐标。 2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=2x 2+mx+n 经过点A （5，0），B （2，-6）． （1）求抛物线的表达式及对称轴 （2）设点B 关于原点的对称点为C ，写出过A 、C 两点直线的表达式。 初中数学 抛物线 经典试题集锦
3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。 （1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标 （2）求该抛物线的表达式 （3）写出抛物线与y轴交点P的坐标 4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A 为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C， （1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式 （2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式 【答案】 1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8） （1）求此二次函数的解析式， （2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点
的坐标。 解： 【第一问】 因为函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8） 分别将x=2，y=0代入y=x2+bx+c，得0=4+2b+c-----①将x=0，y=-8代入y=x2+bx+c，得-8=c-------------②将②代入①，解得：b=2--------------------------------------③此时，将②③代入y=x2+bx+c， 所以：二次函数的解析式y=x2+ 2x -8 【第二问】 △ABP的面积= 1 2 │AB│*│y p│----------------------④ 因为A、B两点在x轴上，令x2+ 2x -8=0 （x-2）（x+4）=0 解得：x1=2，x2= -4 所以：│AB│=│X1- X2│=│2-（- 4）│=6------⑤又△ABP的面积=15-------------------------------------⑥ 由④⑤⑥，得：1 2 *6*│y p│=15 │y p│=5
抛物线经典例题
抛物线习题精选精讲 （1）抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章. 【例1】P 为抛物线px y 22 =上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴（ ） .A 相交 .B 相切.C 相离 .D 位置由P 确定 【解析】如图，抛物线的焦点为,02p F ?? ??? ，准线是 :2 p l x =- .作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么PF PH =， 且2p QH OF ==.作MN ⊥y 轴于N 则MN 是梯形PQOF 的 中位线，()111 222MN OF PQ PH PF =+==.故以 PF 为直径的圆与y 轴相切，选B. 【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的. （2）焦点弦——常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的. 【例2】过抛物线()022 p px y =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，求证： （1）12AB x x p =++（2） p BF AF 211=+ 【证明】（1）如图设抛物线的准线为l ，作 1AA l ⊥11111,2 p A B B l B AA x ⊥==+ 于，则AF ， 122 p BF BB x ==+ .两式相加即得： 12AB x x p =++ （2）当AB ⊥x 轴时，有 AF BF p ==， 112 AF BF p ∴+=成立； 当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为： 2p y k x ? ?=- ?? ?.代入抛物线方程： 2 2 22p k x px ??-= ?? ?.化简得：()()2222 22014p k x p k x k -++= l X Y F A(x,y)11 B(x,y) 22 A 1 B 1l
抛物线及其性质知识点大全和经典例题及解析
抛物线及其性质知识点大全和经典例题及解析
抛物线及其性质 【考纲说明】 1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。 2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。 【知识梳理】 1．抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质： 图形 参数p几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开 口越阔. 开口方 向 右左上下 标准方 程 22(0) y px p =>22(0) y px p =->22(0) x py p =>22(0) x py p =->
点的圆与焦点弦相切。 5．弦长公式：),(1 1 y x A ,),(2 2 y x B 是抛物线上两点，则 AB =||1 1||12 12 2 12 y y k x x k -+=-+= 【经典例题】 （1）抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章. 【例1】P 为抛物线px y 22 =上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴（ ） . A 相交 . B 相切 . C 相离 . D 位置由P 确定 ,02 p F ?? ?? ? ，【解析】如图，抛物线的焦 准线是 :2 p l x =- .作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么 PF PH =， l
且2p QH OF ==.作MN ⊥y 轴于N 则MN 是梯形PQOF 的 中位线，()111222 MN OF PQ PH PF =+==.故以 PF 为直径的圆与y 轴相切，选B. 【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的. （2）焦点弦——常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的. 【例2】 过抛物线() 022 p px y =的焦点F 作直线交抛物线于 ()() 1122,,,A x y B x y 两点，求证： （1）1 2AB x x p =++ （2）p BF AF 2 11 =+ 【证明】（1）如图设抛物线的 准线为 l ，作 1AA l ⊥11111,2 p A B B l B AA x ⊥==+ 于，则AF ， 122 p BF BB x ==+ .两式相加即得： 12AB x x p =++ （2）当AB ⊥x 轴时，有 AF BF p ==， 112AF BF p ∴+=成立； X Y F A(x,y)11 B(x,y) 22 A 1 B 1l
椭圆双曲线抛物线典型例题整理
椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。 解：由PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×2＝4，得2a ＝4.又c ＝1，所以b 2＝3. 所以椭圆的标准方程是y 24＋x 2 3＝1. 2．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知c ＝1，∴b ＝52 －1＝24.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 2 24 ＝1. 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例：1. 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为： 116 42 2=+y x ； 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。 例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 解：因为c 2 ＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9 a 2＋ 4a 2 －5 ＝1，所以a 2 ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 2 10 ＝1. 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。 例： 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为12 22=+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，211 1a x y M M +=-=， 41 12===a x y k M M OM Θ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 五、求椭圆的离心率问题。 例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
抛物线典型例题
典型例题 例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程. 分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出 P ，再写 出焦点坐标和准线方程. （2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求 p 及焦点坐标与准线方程. 解：（1）二- ?，二焦点坐标是（0, 1）,准线方程是：1 （2）原抛物线方程为: 里二_丄 ②当-；」I 时，1 上，抛物线开口向左, ???焦点坐标是」，，准线方程是: 2 （— 0） 综合上述，当?时，抛物线的焦点坐标为 J ，准线方程 1 X =-— 4a 例2若直线 与抛物线z "交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐 标为2，求此直线方程. 分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k 的方程求解.另由于已知与 直 线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求 k . P = J_ ①当一I 时，1 " ＜： ,抛物线开口向右, ???焦点坐标是-」， 准线方程是: 是:
y = h - 2 < 解法一：设虫（21）、B 临仍），则由：0二8兀可得: -- -- 2 分析：可设抛物线方程为 2 如图所示，只须证明 ???直线与抛物线相交, ?.八 I 且L ■.，则1 ??? AB 中点横坐标为: 可+可-4上+8 -令 解得：：「一或7--1 （舍去） 故所求直线方程为:：- :. 尸^ 2 j 解法二：设「二；r 、，则有 1 一-.门, 戸 -乃_ 8 两式作差解'一，即■. - I ■ < ?.埼 + 阳=4 .. y Y +y 2 ~用-2+徧-2二i （坷+咼）?4二4上-4 ■-.< -故t -或一 （舍去）. 例3求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切. ,则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切.
抛物线经典习题
1. 一个动圆经过点F （-1,0）,又与直线L:x=1相切，贝U 动圆圆心的轨迹方程是（ A. y 2 4x B.y 2 2x C.y 2 4x D.y 2 8x 2. 顶点在原点，且过点P （ -4,4）的抛物线标准方程是（ ） A. y 2 4x B.x 2 4y C.y 2 4x 或 x 2 4y D.y 2 4x 或x 2 -4y 3. 设抛物线的顶点在原点，且 其准线方程为：x=2,则抛物线的方程为（ ） 2 2 2 2 A. y 4x B.x 8y C.y 8x D.y 8x 4. 抛物线y 2 2px （p 0）的焦点为F,倾斜角为60的直线L 过点F 且与抛物线的一个交点为A ，AF 3， 则抛物线的方程为（ ） A. y 2 3x B. y 2 9x C.y 2 — x 或 y 2 9 x 2 2 2 5. 过点（-1,0）且与抛物线y 2 x 有且仅有一个公共点的直线有（ A.1条 B.2条 C.3条 A.（2,0） B.（ 1,0） C.（0,1） D.（ 0,2） 直线L 的斜率为（） 9. 抛物线C:y 2 4x 的准线L 与x 轴的交点为A ，焦点为F ，若P 点为抛物线上的任意一点, 10. 已知点P 为抛物线y 2 4x 上的一个动点，设点P 到y 轴的距离为d ,对于定点A （3,4）, | PA d 的最 小值为（） D.y 2 3x 或 y 2 9x ） D.4条 6.已知动圆圆心在抛物线y 2 4x 上，且动圆与直线x 二1相切，则动圆必过定点（ 7.已知过抛物线y 2 4x 焦点F 的直线与抛物线交于 长度为（） A.4 B.5 C.6 A ， B 两点，且两点的横坐标之和为4,则线段AB 的 D.8 4x 焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点（其中A 点在第一象限），AF 3FB ，则 A.2 B.- 2 则t 的最大值为（ ） A.1 B. 2 C.2 D.4 8.已知过抛物线y 2
《抛物线》典型例题例(含标准答案)
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