有理数加减乘除运算相关重要知识点及练习
《有理数加减乘除混合运算》相关重要知识点及练习
一 有理数的运算法则：
1 加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。
2 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。a-b=a+(-b)
3 乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
4 除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。(a ÷b=a ×b 1,b ≠0)
5 乘方：求N 个相同因数a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A 叫底数，N 叫次数。(补充)
二 运算强调：（1）混合运算注意顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。
（2）在同级运算中注意：（1）判断结果符号非常重要；（2）弄清怎样计算绝对值…；
三 相关有理数概念：整数与分数统称为有理数。有理数按定义分类 ①整数→正整数/0/负整数
②分数→正分数/负分数
2 数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右
的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
3 绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、
负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
四 零的特殊性及特点：
（1） 0即不是正数，也不是负数，它是正负数的分界限，在数轴上是原点表示的数；
（2） 0是偶数，也是最小的自然数；
（3） 0的相反数是0, 0的绝对值是0, 0没有倒数；
（4） 0的绝对值最小为0，0的平方最小为0（补充）。
（5） 0乘以任何数都等于0, 任何数加上0都得本身；
（6） 0除以任何数都得0, 0不能作为除数或分母；
（7） 两数相加为0，则两数互为相反数；两个互为相反数的和为0 。
五 1与 -1的特殊性及特点：
（1） 1与-1 互为相反数；
（2） 1的绝对值为1，—1的绝对值也为1，±1的倒数都是本身；
（3） 1是最小的正整数；-1是最大的负整数；
（4） 互为倒数的两数乘积为1；乘积为1的两数一定互为倒数；
（5） 1与—1在数轴上的点到原点的距离相等，都等于1；
（6） 1的任何次方都得1， -1的偶次方得1， -1的奇次方得-1 ；（补充）
六、精心选一选：
1、如果知道a 与b 互为相反数，且x 与y 互为倒数，那么代数式|a + b| － 2xy 的值为( )
（A ）0 （B ）－2 （C ）－1 （D ）无法确定
2、如图，则下列判断正确的是（ ）
（B ）0>ab （C ）0>+b a （D ）0 （A ）0<+b a 七、填空：对整数2，3，—6，10（每个数只用一次）进行加减乘除四则运算，使其运算结果等于24，运算 式可以是 __________________ 或 ______________________ 、______________________ 。 . 八、有理数加减乘除混合运算 1、计算： （1）)12()9()15(8---+---； （2）)1()2.3(7)56(-+----； （3）21)41(6132-----； （4）)2.4(3 112)527()3211(------. 2、计算： （1）)]41()52[()3(-÷-÷-； （2）3)4 1 1()213()53(÷-÷-?-； （3）)5()910()101()212(-÷-÷-?-； （4）74)431()1651()56(?-÷-?- 3、计算： （1）)2(66-÷+-； （2）)12(60)4()3(-÷--?-； （3）（－35）÷5－（－25）×（－4）； （4）－27÷49×(－94)+4－4×(－3 1) （5）)6()61(51-?-÷+-； （6）10 1411)2131(÷÷-. （5）)425()327261(-÷+-； （6）]5 1)31(71[1051---÷. （7）)5(]24)436183(2411 [-÷?-+-； （8）)411(113)2131(215-÷?-?-. 4、 在一个秘密俱乐部中，有一种特殊的算帐方式：a*b=3a －4b ，聪明的小明通过计算2*（－4）发现了这一秘密，他是这样计算的：“解2*（－4）=3×2－4×（－4）=22”，假如规定：a*b=2a －3b －1，那么请你求2*（－3）和a*（－3）*（－4）。 5、某一食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值（单位：g ） －5 －2 0 1 3 6 有理数的运算 一、本节学习指导 有理数的运算和我们小学学习的四则运算很相似，运算规律也一样，不同的是有理数运算中有负数参与，所以相对要复杂一些，本节要多加练习。 二、知识要点 1、有理数的加法 （1）、有理数加法法则： ① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ② 异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ③ 一个数与0相加，仍得这个数。 （2）、加法计算步骤：先定符号，再算绝对值。 （3）、有理数加法的运算律： ① 加法的交换律：a+b=b+a; ② 加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。 （4）、为了计算简便 ,往往会采取以下方法： ①互为相反的两个数，可以先相加； ②符号相同的数，可以先相加； ③分母相同的数，可以先相加； ④几个数相加能得到整数，可以先相加。 2、有理数的减法 （1）、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+ （-b）。（有理数减法运算时注意两“变”:①减法变加法；②把减数变为它的相反数。） 注：有理数的减法实质就是把减法变加法。 3、有理数的乘法 （1）、有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； ②任何数同零相乘都得零； （2）、一个数同1相乘，结果是原数；一个数同-1相乘，结果是原数的相反数。 （3）、乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数；若ab=1<====>a、b互为倒数。 （4）、几个不是偶的数相乘，积的符号由负因式的个数决定。负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数是，积是负数。 （5）、有理数乘法的运算律： ① 乘法的交换律：ab=ba; ② 乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； ③ 乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac. 4、有理数的除法 （1）、有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 （2）、有理数除法符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0. （3）、乘除混合运算的步骤：①先把除法转化为乘法；②确定积的符号； ③运用乘法运算律和乘法法则进行计算得出结果。 5、有理数的乘方 （1）、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在a n中， 数 学 练 习（一） 〔有理数加减法运算练习〕 一、加减法法则、运算律的复习。 A ．△同号两数相加，取___相同的符号_______________,并把__绝对值相加__________________________。 1、（–3）+（–9） 2、85+（+15） -12 100 3、（–36 1）+（–33 2） 4、（–3.5）+（–5 3 2） -66 5 -96 1 △绝对值不相等的异号两数相加，取_绝对值较大的加数的符号________________________,并用________较大的绝对值减去较小的绝对值____________ _____________. 互为__________________的两个数相加得0。 1、(–45) +（+23） 2、（–1.35）+6.35 5 -22 3、41 2+（–2.25） 4、（–9）+7 -2 △ 一个数同0相加，仍得___这个数__________。 1、（–9）+ 0=___-9___________; 2、0 +（+15）=____15_________。 B ．加法交换律：a + b = ____b+a_______ 加法结合律：(a + b) + c = ____a+(b+c)___________ 1、（–1.76）+（–19.15）+ (–8.24) 2、23+（–17）+（+7）+（–13） -29.15 0 3、（+ 341）+（–253）+ 543+（–852） 4、52+112+（–5 2 ） -2 11 2 C ．有理数的减法可以转化为__正数___来进行，转化的“桥梁”是____（正号可以省略）或是（有理数减法法 则）。 _____。 1、有理数的分类 2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。 1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 3）正数都大于0,负数都小于0；正数大于一切负数； 3、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零 1）数a 的相反数是-a （a 是任意一个有理数） 2）0的相反数是0. 有理数 整数 分数 正整数（自然数） 零 负整数 正分数 负分数 正数 零 负数 正整数 正分数 负整数 负分数 有理数 3）若a、b互为相反数，则a+b=0. 4、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。数a 的绝对值记作︱a︱ 1) 对任何有理数a,总有︱a︱≥0. 2）零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。 3）若a＞0，则︱a︱= a ;若a＜0，则︱a︱= -a ;若a =0，则︱a︱= 0 ; 6、有理数比较大小：1）正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数； 2）数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大； 3）两个负数，绝对值大的反而小。 7、有理数的运算： （1）五种运算：加、减、乘、除、乘方 （2）有理数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的，对只含乘除，或只含加减的运算，应从左往右运算。 （3）运算法则 1)有理数加法法则 ①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加； ②异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得0； 2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 即a-b=a+(-b) 3）有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0. ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当因数有偶数个时，积为正. ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0. 4)有理数除法法则①除以一个数 一、有理数的加、减法 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数相加得0． 2.减去一个数，等于加上这个数的相反数．用式子表示为：a-b=a+（-b） 例1.计算：30+（-20），（-20）+30 例2.计算：[8+（-5）]+（-4），8+[（-5）+（-4）] 例3.计算：16+（-25）+24+（-35） 例4.计算： （1）（-3）-（-5）；（2）0-7；（3）7.2-（-4.8）； 例4.计算：（-20）+（+3）-（-5）-（+7） 练习1．填空． （1）_______+3=10；（2）30+_______=27； （3）______+（-3）=10；（4）（-13）+____=6． 练习2.（1）（-8）+（-6）；（2）（-8）-（-6）；（3）8-（-6）； （4）（-8）-6； （5）5-14 练习3.（1）－3－4+19－11 （2） 二、有理数的乘除 1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同0相乘，都得0。 2.当负因数的个数为奇数时，积为负数；当负因数的个数为偶数时，积为正数 3.多个不是0的有理数相乘，先由负因数的个数确定积的符号再求各个绝对值的积 4.除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数． 5.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 6. 零除以任何一个不等于零的数，都得零 观察：下列各式的积是正的还是负的？ （1）2×3×4×（-5）； （2）2×3×4×（-4）×（-5）； （3）2×（-3）×（-4）×（-5）；（4）（-2）×（-3）×（-4）×（-5） 例1.计算：（1）│-5│-（-2） （2） （3）0×（-99．9） 练习1、计算：1×（-1）×（-7） 12411()()()23523+-++-+-8)16()14(26+-+-+8 .4)5.2()2.3()5.5(----+-]3 1)78[()2(?-?+ 。圆周率不是有理数； （3）自然数<==>0和正整数；a>0 <==>a是正数；a<0 <==>a是负数； a≥0<==>a是正数或0<==>a是非负数；a≤0<==>a是负数或0<==>a是非正数。 3、数轴【重点】 （1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。它满足以下要求： ①在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点； ②通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2,-3… （2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 （3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。 注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。 （4）、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。 4、相反数 （1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。如：5和-5，-2和2，它们数字相同符号相反，所以互为相反数。 求任何一个数或式子的相反数，只需要在这个数或式子前面加上“负号”，然后适当化简即可。 如：a+b的相反数是-（a+b）=-a-b （2）、一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点的两侧，表示a和-a,我们说这两点关于原点对称。 （3）、a和-a互为相反数。0的相反数是0,正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。相反数是它本身的数只有0. 数学练习（一） 〔有理数加减法运算练习〕 、加减法法则、运算律的复习。 2 4、(- 3.5) + (- 5 ) 3 -9- △ 一个数同0相加，仍得 _____ 这个数 ___________ 。 1、（- 9） + 0=_-9 ___________ ; 2、0 + （ +15） = _ 15 ________ -29.15 1 X Z C 3 X 3 2 X 2 2 2 X 3、(+ 3 — ) + (- 2 —) + 5 + (- 8-) 4、 + + (- ) 4 5 4 5 5 11 5 2 11 C .有理数的减法可以转化为 —正数—来进行，转化的“桥梁”是 ___________ （正号可以省略）或是（有理数减法法 则）。 。 6 加得0。 A . △同号两数相加，取 —相同的符号 1、（- 3）+（- 9） -12 ________________,并把—绝对值相加 2、 85+ （+15） 100 3、(- 1 2 3 ' ) + (- 32 ) 6 3 5 -6 6 1、( - 45) + (+23) -22 1 3、2 — + (- 2.25) 4 0 2、(- 1.35) +6.35 5 4、(- 9) +7 -2 1、(- 1.76) + (- 19.15) + ( - 8.24) 2、23+ (- 17) + (+7) + (- 13) B . 加法交换律： a + b = _ _b+a_ -2 1 C 3 7 C 2 1、 1 - 4 + 3 - 5 2、- 2.4 + 3.5 - 4.6 + 3.5 3、 3- -2- + 5 -8- 8 5 8 5 -5 -2 二、综合提高题。 1、一个病人每天下午需要测量一次血压，下表是病人星期一至星期五收缩压的变化情况，该病人上个星期日的 收缩压为160单位。 请算出星期五该病人的收缩压。 160+30-20+17+18-20=185 数学练习（二） （乘除法法则、运算律的复习） 一、乘除法法则、运算律的复习。 A.有理数的乘法法则： 两数相乘，同号得_正 __________ ，异号得 负—，并把 绝对值相乘 _________________________ 任何数同O 相乘，都得 _____ 0__。 2 1 1、( - 4)×( - 9) 2、(-—)×- 5 8 1 Z 、 Z 3 X Z X 1、(- 3)-( +5) + (- 4)- (-10) 2、3— -( +5 )- (-1— ) + (- 5) 4 4 -2 -5 D .加减混合运算可以统一为 △减法法则：减去一个数，等于 加上这个数的相反数 (-b ) 1、(- 3) -(-5) 2、31 -(- 1-) 4 4 3、0-( - 7) 2 5 7 即 a — b = a + ___ 力口法 _ 运算。即 a + b — C = a + b + _ (-C ) ____________ 有理数的加减乘除混合运算测试卷 一、选择题（3分×10=30分） 1． -12 的相反数是……………………………………………………( ) A.2 1- .2 C D.12 2．数轴上的点A 、B 、C 、D 分别表示数a 、b 、c 、d ，已知点A 在点B 的右侧，点C 在点B 的左侧，点D 在点B 和点C 之间，则下列式子成立的是（ ） A ．a b c d <<< B ．b c d a <<< C ．c d b a <<< D ．c d a b <<< 3．－3不是（ ） A ．负有理数 B ．有理数 C ．自然数 D ．整数 4．4 ||5-的倒数是（ ） A ．45 B ．45- C ．54 D ．54 - 5．一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是（ ） A ．非正数 B ．非负数 C ．负数 D ．正数 6．绝对值小于6的所有整数的和是………………………………（ ） A 、15 B 、10 C 、0 D 、-10 7．若||8a =，||5b =，且0a b +>，那么a b -的值为（ ） A ．－13或13 B ．3或13 C ．－3或－13 D ．3或－3 8．下列计算正确的是…………………………………………………………（ ） A 、2 1 －2 1×3=0 B 、23-－（32-）=1 C 、6÷3×3 1 =6 D 、（12 1）2－（－1）2005 = 34 1 9．下列比较大小正确的是（ ） A ．22||55-=- B ．5567->- C ．1(5)| 5.5|2--<- D ．7687 -<- 10.有理数a 、b 在数轴上的对应的位置如图所示，则……………（ ） A ．a + b ＜0 B ．a + b ＞0 C ．a －b = 0 D ．a －b ＞0 二、填空题（3分×5=15分） 11．若｜x ｜＝7，则x ＝ 有理数知识点总结 0的数叫做正数。 1. 0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，一、正数和负数自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） 2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 有理数：整数和分数统称有理数。 概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。 分数：正分数、负分数统称分数。 （有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非 负整数，负整数和零统称为非正整数。 ⑵按整数、分数分类： 正有理数正整数正整数 正分数整数0 零有理数负整数 负有理数负整数分数正分数 负分数负分数 1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 三、数轴 比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 3.应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 （注意不带“+”“—”号） 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。 1.概念（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 四、相反数 两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。 3.多重符号的化简 多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数， 当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号 1.概念：乘积为1的两个数互为倒数。 （倒数是它本身的数是±1；0没有倒数） 五、倒数 2.性质若a与b互为倒数，则a·b=1；反之，若a·b=1，则a与b互为倒数。 若a与b互为负倒数，则a·b=-1；反之，若a·b= -1则a与b互为负倒数。 a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0 a = 0，|a|=0 |a|＝﹣a，则a≦0 a＜0，|a|=‐a 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 |a|≥0。几个非负数之和等 于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 七、比较大小 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 精心整理 有理数的加减乘除混合运算 一、填空题： 1、数轴上与原点相距3个单位长度的点有个，它们表示的数是。 2、+（—5）=； 3、若a ＜0，则=a ，=-a 。 4、若x =8，则x=。 5、相反数大于—2且小于4的整数为。 6、（+ 318（1）（2）、69（1）101112131A 、02A C D 3、若ab A 、4、下列说法正确的是…………………………………………………………（） A 、近似数3.20和近似数3.2的精确度一样 B 、近似数3.20和近似数3.2的有效数字一样 C 、近似数2千万和近似数2000万的精确度一样 D 、近似数32.0和近似数3.2的精确度一样 5、有下列去括号： （1）1232)123(22222+-+=+-+x x x x x x （2）1232)123(22222+--=+--x x x x x x （3）22)1(22222--=--x x x x （4）1212)1(2)12(2222-+---=-+---x x x x x x x x 其中正确的有…………………………………………………………………………（） A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 6、在a —（2b —3c ）=—（）中的括号内应填的代数式为………………（） A 、—a —2b+3cB 、a-2b+3cC 、-a+2b-3cD 、a+2b-3c 7、在方程12)2)(1(,3 7 3223,132,121=++=-=-=x x x x x 中，根为x=2的方程有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、5.4)75.3(25.043 3()411(211--+---+-； 4、51304.0)3118()43(+--?-； 5、)5 31(135)135()53()135(54-?--?---?； 6、10)1.0(÷-； 7、)5.2(6 1 -÷； 8、)25.0()8()10(-÷-÷-；9、)25.0(813542313-÷??? ??-÷÷?? ? ??-； ?????????有理数?????)3,2,1:()3,2,1:(ΛΛ如负整数如正整数整数)0(零?????----)8.4,3.2,31,21:(Λ如负分数分数)8.3,3.5,31,21:(Λ如正分数有理数及其运算知识点汇总 1、 2、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。 3、任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数） 4、如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（0的相反数是0） 5、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。 数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。 6、绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。数a 的绝对值记作|a|。 7、正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。 ?????<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ???<-≥)0()0(||a a a a a 8、绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数； 互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等； 任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0 9、比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值； ②比较两个绝对值的大小； ③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。 10、绝对值的性质： ①对任何有理数a ，都有|a|≥0 ②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然 ③若|a|=b ，则a=±b ④对任何有理数a,都有|a|=|-a| 11、有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。 ②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并 用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。 ③一个数同0相加，仍得这个数。 12、加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。 越来越大 有理数的加减乘除 计算题（50道） 1. （+13）+（+17） 2. （—14）+（—18） 3. （+）+（—412 ） 4. （—34 ）+（+56 ） 5. （+78 ）+（—78 ） 6. （—3913 ）+0 7. 1—（—5） 8. —5+5 9. 1—（—4） 10. —214 —134 11. (—323 )—（—123 ） 12. 5516 —（—1456 ） 13.（+1）+（—2）+（+3）+···+（+99）+（—100） 14. 2—7+5—3 15.（+317 ）+（—）+【（+）+1417 】 16. —12 — 13 +14 — 16 17. （—30）—（—19）+27—48—（+16） 18. —314 —（—814 ）—（—212 ） 19. （—10）—（+13）+（—4）—（—8）+5 20. 6—（—5）+（—11） 21. （—）+（—）+ 22. （—3）X （—9） 23. — 12 X 23 24. （—4）X6 25. （—6）X0 26. 23 X （— 94 ） 27. （—6）X （—1） 28. （— 13 ）X 14 29. 8 X （— 34 ）X4 X(—2) 30. （—36）÷（—9） 31. （—114 ）÷ 32. 256 ÷（—256 ） 33．（—36）÷（— 49 ） 34. （—）÷（—118 ） 35. （—56）÷14÷2 36. — 12 ÷78 X （— 34 ） 37. （— 23 ）X （+34 ）÷56 38. （—3）X 0 X 23 39. 8X （— 34 ）X （—4）X （—2） 40. （—5）（—2） 有理数 一、学习目标： ● 理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类； ● 理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算； ● 通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算； ● 通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。 二、重点难点： ● 有理数的相关概念，如：绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等,有理数的运算； ● 有理数运算法则尤其是加法法则的理解；有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运 算。 三、学习策略： ● 先通过知识要点的小结与典型例题练习，然后进行检测，找出漏洞，再进行针对性练习，从而达 到内容系统化和应用的灵活性。 四、知识框架： 五、知识梳理 1、知识点一：有理数的概念 （一）有理数： （1）整数与分数统称__________________ 按定义分类： _______________???????????????????? _ _ _ _ _ _ _ _ _有理数 _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 按符号分类： __________??????????????? _ _ _ _ _ _ _ _有理数零 _ _ _ _ _ _ _ _ 注：①正数和零统称为_______________；②负数和零统称为_______________③正整数和零统称为_______________；④负整数和零统称为_______________. （2）认识正数与负数： ①正数：像1，1.1，17 ，2008等大于_______________的数，叫做_______________. 5 ，-2008等在正数前面加上“－”（读作负）号的数，叫__________注意：_________ ②负数：像-1，-1.1，-17 5 都大于零，___________都小于零.“0”即不是_________，也不是__________. （3）用正数、负数表示相反意义的量： 如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其___________意义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其___________意义的量.如：若-5米表示向东走5米，则+3米表示向____________走3米；若+6米表示上升6米，则-2米表示____________；+7C表示零上7C，-7C则表示____________ . （4）有理数“0”的作用： 作用举例 表示数的性质0是自然数、是有理数、是整数 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表 表示没有 示 表示某种状态00C表示冰点 表示正数与负数的 0非正非负，是一个中性数 界点 （二）数轴 （1）概念：规定了______________ 、______________和______________的直线 注：①______________、______________、______________称为数轴的三要素，三者缺一不可. ②单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的，后者指所取度量单位的，即是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变. （2）数轴的画法及常见错误分析 ①画一条水平的______________； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为______________： ③确定向右的方向为______________，用______________表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的要一致. 有理数基础知识 正数和负数 ⒈正数和负数的概念 负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数 注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ 3.0表示的意义 ⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。如： 有理数 1.有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。 2.有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分 正整数正整数 整数 0 正有理数 负整数正分数 有理数有理数 0 （0不能忽视） 正分数负整数 分数负有理数 负分数负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 2017年第一次月考试题 考试时间 ：60分钟，满分100分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．在0，－2，5，，－0.3中，负数的个数是（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 2．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．一个物体作左右方向的运动，规定向右运动4m 记作+4m ，那么向左运动4m 记作（ ） A ． －4m B ． 4m C ． 8m D ． －8m 4．在数轴上表示数－1和2014的两点分别为A 和B ，则A 和B 两点间的距离为（ ） A ． 2013 B ． 2014 C ． 2015 D ． 2016 5．﹣2的相反数是（ ） A ． 2 B ． － 2 C ． D ． 6．有理数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ） A ． a+b ＜0 B ． a － b ＜0 C ． a ? b ＞0 D ． ＞0 7．－|－2|等于（ ） A ． 2 B ． －2 C ． ±2 D ． ± 8．若|m|=－m ，则m 一定是（ ） A ． 负数 B ． 正数 C ． 负数或0 D ． 0 9．下列说法正确的是（ ） A ． 有理数的绝对值一定是正数 B ． 一个负数的绝对值是它的相反数 C ． 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 D ． 如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数 10．已知－1＜y ＜3，化简|y+1|+|y －3|=（ ） A ． 4 B ． －4 C ． 2y －2 D ． － 2 二．填空题（共10小题，每小题3分，共30分） 11．－3.2的相反数是 ，与 互为相反数． 12．若x ＜－3，则2 + | 3 + x |的值是 ． 13．如果向东走2km 记作+2km ，那么－3km 表示 ． 14．计算：|3.14－π|+|3.15－π|= ． 15．数轴上到原点的距离等于4的数是 ． 16．－3和－8在数轴上所对应两点的距离为 ． 17．数轴上表示的数是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1cm ，若在这个数轴上任意画出一条长2017cm 的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的个数是 ． 18．绝对值不大于5的整数共有 个． 19. 某旅游景点11月5日的最低气温为 －2℃，最高气温为8℃，那么该景点这天的温差是____℃ 20. 在数轴上，点A 所表示的数为2，那么到点A 的距离等于3个单位长度的点所表示的数是 ． 三．解答题（共40分） 21、计算（共4小题，每小题4分，共16分） （1） （－0.8）+ 1.2 +（－0.7）+（－2.1）+ 0.8 （2） 0.5 +（－32）+ 54 +（－21）+ （3 1 ） 新浙教版七年级上册数学第二章《有理数的运算》知识点及典型例题 同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝 对值相加 异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并 用较大的绝对值减去较小的绝对值 互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相 加，仍得这个数 减法 加减混合运算 统一成加法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 除法法则 先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里的运算 减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数 除 法 0 除以任何一个不等于 0 的数都得零 除以一个数（不等于 0），等于乘以这个数的倒数 乘方 除法与乘法间的关系 近似数 准确数和近似数的概念 用计算器求近似数，关键在于按键的准确应用 加法 有理数的运算 乘法法则 任何数与零相乘，积为零 多个不为零的有理数相乘，当负因数的个数为奇数时，积 若两个有理数的乘积为 1，就称这两个有理数互为倒数； 0 没有倒数 有理数的混合运算 加法法 交换律 交换律、结合律、分 将考点与相应习题联系起来 考点一、 有理数的加减乘除乘方运算 2 1、 （-3）3÷21×（- 2 ）2 – 4-23 ×（ - 2 ） 4 3 3 3、 -0.5-(-3 1 )+2.75+( -7 1 ) 42 4、（-23）-（-5）+（-64）-（-12） 考点二、 运用运算律进行简便运算 1、 -（-5.6）+10.2-8.6+（-4.2） 2、(-1+1-3+ 5 ) ×(-12) 2 6 4 12 3、(11 7 5 )×36-6×1.43+3.93×6 4 、4924×(-5) 12 9 18 25 考点三、 与数轴相关的计算或判断 1、已知有理数 a,b,c 在数轴上的位置如图所示，下列错误的是（ ） A 、 b+c<0 B 、 -a+b+c<0 C 、 |a+b|<|a+c| D 、 |a+b|>|a+c| 2、a ，b 在数轴上的位置如图所示，则 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4 个 3、若 a ．b ．c 在数轴上位置如图所示，则必有（ ） a-2 -1 0 b 1 c 2 5、如果 a 1 2 2b 3 2 c 1 0 ，求3abc a 3 c 3 的值． 2、 -32+(-2)3 –(0.1) 2 × (-10) a ， b ， a+b ，a-b 中，负数的个数是（ ） *2. 选择题 1. 如果xi = 4, |y|= 3,则x -y 的值是( ) A. ± B. ± C. ± 或± 2. 已知：a v 0, b >0,用|a|与|b|表示a 与b 的差是（ A. |a|-|b| B. -（|a|- |b|） C. |a|+ |b| 3. 如果a v 0,那么a 和它的相反数的差的绝对值等于（ A. — 2a B. — a C. 0 D. a 4. 1997个不全相等的有理数之和为零，则这 1997个有理数中（ ） A.至少有一个为零 B.至少有998个正数 C.至少有一个是负数 D.至少有1995个负数 5. 被减数、减数都是负数，则差一定是 （） A. 正数 B.零 C. 负数 D.以上情况都有可能 6. 3 5 的相反数是 ( ) 4 6 A. 3 5 B. - 5 C. 3 5 D. - 5 4 6 4 6 4 6 4 6 7.根据父换律，由式子一a+b - c 可得 （） A. b — a+c B. — b+a+c C. b — a — c D. — b+a — c 8.下列代数式的和等于4的是 () A. 1 1 1 3 2丄 1丄 B. -2 4 4 2 4 C. 3 5 D. 3 1 5 0.125 4- 7- 3- 5_ 4 8 4 2 8 二、填空题 1. 在-13与23之间插入三个数，使这5个数中每相邻两个数在数轴上表示的 点之间的距离相等，贝U 这三个数的和是 __ 。 2. 1 — 2 + 3 — 4+ 5— 6+?——100+ 101= ______ 。 89+ 899+ 8999+ 89999+ 899999= __________ 。 2 3. 已知 |x+3|+ y 2- 0，那么 y — x= ___ 。 3 4. 一个负数减去它的相反数，其结果是 _______ 数。 三、简答题 3 5 1 1. 0.75 2 0.125 12 4 4 7 8 有理数加减法 D. 7 或 1 ) D. -(|a|+ |b|) ) 有理数加减法知识点归 纳 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 一、有理数的加法 1、两个有理数相加有以下几种情况： ①两个正数相加；②两个负数相加； ③异号两数相加；④正数或负数或零与零相加。 2、有理数的加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数。 注： ①有理数的加法和小学学过的加法有很大的区别，小学学习的加法都是非负数，不考虑符号，而有理数的加法涉及运算结果的符号； ②有理数的加法在进行运算时，首先要判断两个加数的符号，是同号还是异号是否有零接下来确定用法则中的哪一条； ③法则中，都是先强调符号，后计算绝对值，在应用法则的过程中一定要“先算符号”，“再算绝对值”。 3、有理数加法的运算律 （1）加法交换律：a＋b＝b＋a； （2）加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。 根据有理数加法的运算律，进行有理数的运算时，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数加起来，利用有理数的加法运算律，可使运算简便。 4、有理数减法的意义 有理数的减法的意义与小学学过的减法的意义相同。已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。 5、有理数的减法法则 设，则， ． 因此，． 有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 例5、计算 （1）；（2）； （3）；（4）． [分析]根据有理数的加法法则，先定符号，再算绝对值． 解：（1）原式=； 有理数加减乘除混合运算学案 教学目标 1、知识与技能：进一步掌握有理数混合运算的法则以及能合理地使用运算律 简化运算； 2、过程与方法：鼓励学生通过独立运算、教师点拨、小组合作交流按有理数 混合运算法则和运算律进行混合运算； 3、情感态度与价值观：注意培养学生的运算能力；锻炼学生克服困难的意识 和细心的情感态度。 重点难点 1、有理数混合运算． 2、准确地掌握有理数混合运算的法则和使用运算律简化运算以及运算中的符号问题． 教学方法：启发指导式教学法、小组合作 一、法则复习： （1）加法：同号两数相加，取的符号，并把绝对值。 乘法：两数相乘，同号，并把绝对值。 1×5= 1+5= -1+（-5）= -1×（-5）= -2+（-3）= -3×（-7）= -2-7= -2×（-3）= （2）加法：绝对值不相等的异号两数相加，取加数的符号，并用较大的绝对值较小的绝对值。 乘法：两数相乘，异号，并把绝对值。 1+（-5）= 1×（-5）= （-5）×3 = 5+（-3）= -3+3= -3×3= 2.5+（-2.5）= 6×（-6）= （3）加法：一个数同0相加。 乘法：任何数同0相乘。 0+3= 0×（-3）= （-5）+0= （-5）×0= （4）减法：减去一个数，等于这个数的。 除法：除以一个数，等于这个数的。 （-1）-（-5）= （-1）÷（-5）= 3÷（-6）= 3-（-6） 0 - （-3）= （-3）- 0= 0÷（-3）= （-3）÷ 0= 二 运算法则 1．在带有括号的运算中，先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 乘除混合运算 2．在没有括号的不同级运算中，先算乘方再算乘除，最后算加减，注意运算律． 三 计算 （一）加减混合运算 （1） [(-5)-(-8)]-(-4) （2） 3-[(-3)-10] （3）)215()517(212 +-+ （4）()()?? ? ??+-++??? ??---21575.24135.0 （二）乘除运算 ．（1）（－0.1）÷（+ 61）×（－6） （2） 6÷（—2）×1 ()3 - （3）（—0.1）÷ 12÷（—100） （4）3 4)43(43÷-÷ （三）运算律的应用 （1）911 18 ×15 （2）－9×（－11）+12×（－9） 1、计算： (9)－3－4+19－11； (10)－8+12－16－23； (11)－4.2+5.7－8.4+10； (12)6.1－3.7－4.9+1.8； (13)31－32+1； (14)－41+65+32－2 1； (15)－216－157+348+512－678； (16)81.26－293.8+8.74+111； (17)－4 32+11211－1741－21817； (18)2.25+343－1212 5－883 ； (19)12－(－18)+(－7)－15； (20)－40－28－(－19)+(－24)－(－32)； (21)4.7－(－8.9)－7.5+(－6)； (22)－32+(－61)－(－41)－2 1 ； (23)－431731 ; (24)52 1－10.8; (25)0.12－0.54－203 ; (26)－4.72+16.42－5.28 （27））（752723-+； （28））（4 331-+； （29）)432()41 3(-+-； （30） )5 11(2.1++-）（ (31)23－17－(－7)+(－16) (32)3 2 +(－51)－1+31 (33)(－26.54)+(－6.4)－18.54+6.4 (34)(－487)－(－521)+(－441 )－381 (35)(＋6.1)－(－4.3)＋(－2.1)－5.7 (36) －3.4＋4.7－8.35； (37)535271+- (38)()?? ? ??++--??? ??-+2175.2415.0 （39）0.36+（－7.4）+0.3+（－0.6）+0.64； （40）9+（－7）+10+（－3）+（－9）； 第一章：有理数总复习 一、有理数的基本概念 1.大于0的数叫做________；小于0的数叫做_________ 备注：在正数前面加“-”的数是_______数；“0”既不是_______，也不是______。 2.有理数：整数和分数统称有理数。 有理数的分类： 3.数轴：规定了______、________和_________的直线。 性质：（1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数______；（2）正数都______0,负数都_____0；正数______一切负数；（3）所有有理数都可以用数轴上的点表示。 4.相反数 ：只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数。 性质：（1）数a 的相反数是______（a 是任意一个有理数）；（2）0的相反数是_____； （3）若a 、b 互为相反数，则________；若a 、b 互为相反数且a 、b 都不等于零，则_____a b ； 5.倒数 ：乘积是___的两个数互为倒数 。 性质：（1）a 的倒数是____（a ≠0）； （2）0没有倒数 (为什么)；（3）若a 与b 互为倒数，则______；若a 与b 互为负倒数，则______。 倒数与相反数的区别和联系： （1）a 与-a 互为______； a 与a 1（a ≠ 0）互为______；（2）符号上：互为相反数（除0外）的两数的符号_____；互为倒数的两数符号______（3）a 、b 互为相反数 则_______；a 、b 互为倒数 ,则_______；（4）相反数是本身的数是______，倒数是本身的数是______ 。 6.绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点_________。 性质：（1）数a 的绝对值记作________；（2）若a ＞0，则︱a ︱= _____；若a ＜0，则︱a ︱=______；若a =0，则︱a ︱=_____；（3） 对任何有理数a,总有︱a ︱≥0. 7.有理数大小的比较:（1）可通过数轴比较：在数轴上的两个数，右边的数总比左边的数____；正数都____0，负数都_____0；正数____一切负数；（2）两个负数，绝对值大的______。即:若a ＜0,b ＜0,且︱a ︱＞︱b ︱,则_______. 8.科学记数法：把一个绝对值大于10的数记成a ×10n 的形式，其中_______，n 为_______ 这种记数法叫做科学记数法。。 二、有理数的运算 1、运算法则： （1）有理数加法法则：① 同号两数相加,取________符号,并把_______相加；② 异号两数相加,取_____________符号,并用_________________；互为相反数的两数相加得_______； ③ 一个数同0相加,仍得________。 ★用数学语言描述有理数加法法则： ①同号相加：若a>0,b>0,则a+b=___________；若a<0,b<0,则a+b=___________。 ②异号相加：若a>0,b<0,︱a ︱>︱b ︱,则a+b=__________；若a>0,b<0,︱a ︱<︱b ︱, 则a+b=___________；若a 、b 互为相反数，则a+b=0； ③与0相加a 是任一个有理数，则a+0=____。 （2）有理数减法法则：减去一个数，等于加上_________。即a-b=a+(____)。 （3）有理数的乘法法则：两数相乘，同号得_____，异号得_____，并把绝对值______；任七年级上册数学《有理数》有理数的运算 知识点整理
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