非线性发展方程及其应用

非线性发展方程及其应用

成果简介

本项目是非线性科学中的一个重要的研究方向，共研究的对象是来源于化学反应、微电子学、生物学等领域中用非线性偏微方程描述的动力学模型。因此，它具有交叉学科的特征。所获得的成果不仅为有关学科提供了定量分析的理论依据，而且也能为研究非线性偏微分方程带来新的研究思路和新的研究课题。

1．首次借助于构造适当的上、下控制函数、利用有界边值问题逼近方法，解决了Belensov-Zhabotinskii化学反应模型波前解的存在性，并给出子最小波速的值；同时还给出了一种求解显示行波解的方法。

2．利用摄动初值问题逼近、相空间的打靶法与变分思想，解决了退化的反应扩散方程行波解的存在性，并给出了最小波速的变分刻划和估计；

3．对带有非线性非局部项和非线性边界条件的抛物型方程和方程组的研究，主要利用上、下解方法。但是，上、下解的构造却有很大的灵活性和很高的技巧。我们首次借助于研究非负矩阵的性质，得到了方程组整体解存在的充分必要条件；首次通过构造在有限时刻爆破的精细上解和解的逐次延拓方法研究了解的整体存在性。同时，我们发表在美国数学会会刊上的一篇论文，还否定了Wolainskii于93年发表在SIAM J. Math. Anal.上的一个工作。发表在JMAA上的两篇论文，成功地解决了在边界上带有非线性强迫外力的非线性对流扩散问题。

4．反应扩散方程研究领域的一个基本问题是：扩散是否会引起爆破？多数人认为扩散不会引起爆破且是一个显而易见的问题，不须证明。但是数学结果

总是要证明的，有一部分人就致力于证明，给出了该结论成立的各式各样的充分条件。我们于96年发表在JMAA上的一篇论文给出了一个反例，说明扩散会引起爆破，彻底澄清了这个问题。

5．当反应扩散方程中反应项较扩散项占优时，利用经典有限元、有限差分或有限箱法离散时，解会出现数值振荡，常用的抑制振荡的方法有：S-G方法，SUPG方法等，但都存在局限性。我们从变分原理出发要求振荡最小，建立了新的离散数值理论；

6．半导体器件的漂移扩散模型是一个特殊形式，由非线性抛物型与椭圆型方程耦合起来的，反应扩散方程组，带有混合形式边界条件，特别是载流子又有不同的产生一复合过程，再加上热效应和磁场影响，难度大。我们建立了基于紧致性原理的正则化的统一框架。

该成果获江苏省科技进步二等奖。

非线性统计模型与非线性诊断方法

成果简介

本系统地研究了近代非线性回归模型的几何理论和渐近推断理论，把微分几何方法应用于非线性回归分析；系统地研究了具有广泛应用价值的指数族非线性模型，建立了该模型的几何结构，在此基础上，研究了这些模型基于统计曲率的渐近推断理论以及统计诊断的非线性方法；这些研究填补了国内空白，在国内外都有一定影响。近10年来共获得 3 项国家自然科学基金，1项 95 重点基金，2 项江苏省自然科学基金；出版专著2本，发表论文50多篇,其中国外14 篇，

SCI 4篇；1991年和1997年两次获得国家教委科技进步三等奖，1990年和1995年两次获得华东区高校出版社优秀图书二等奖。1998年在Springer出版社出版英文专著一本,是国际上第一本系统论述指数族非线性模型理论的专著；本书2000年7月获得国家统计局优秀专著二等奖。

环与代数上的同调与K-理论

成果简介

本项目属基础理论。涉及的学科有同调代数、代数K-理论等众多分支。主要运用同调和K-理论方法来研究环与代数的结构。内容包括：①用新的同调工具给出了弱整体维数与自FP-内射维数有限的凝聚环的刻划；②利用π-性质的研究方法给出了弱正则环、正则性、么元的存在性的条件；③围绕V.S.Ramaurthi 猜测，证明了三类SF环确为正则环,并回答了Yue Chi Ming. R的一个问题；

④将环的正规化扩张、Excellent扩张推广到超限情形,扩大了研究范围；⑤利用统一的方法给出了一般环上矩阵三类广义逆的存在准则及新的表达式，推广了半单Artin环、主理想整环上相应结论，解决了D.Hershkowtz和A.Berman 的两个公开问题；⑥引入OE群，实现了在二次模情况下计算正交群的方法。

该成果获江苏省科技进步三等奖。

凝聚环的同调理论及其应用

成果简介

（1）给出了相关于遗传挠理论的τ-凝聚环的一个内部刻划,即R为右τ-凝聚环的充要条件为)

的σ-有限生成左理想的右零化子为有限生成,统一

M

(R

n

了π-凝聚环和凝聚环的结果,为进一步展开τ-凝聚环的讨论,奠定了理论基础。

（2）将关于有唯一映射性质的平坦包络的两个结果从可换环推广到非可换环情形，它们分别刻划了弱整体维数≤2的凝聚环(或π-凝聚环)。

（3）回答了Nicholson、Yousif、Yue ChiMing、S. B. Nam、薛卫民等提出的多个公开问题，证明了R为von Neumann正则环当且仅当每个循环左R-模为YJ-内射模；半局部右CF的右极小内射环一定为QF-环。此外还证明了有限生成右理想均为右零化子的左FGF环为QF环，这是目前最好的结论。

（4）定义了（m,n）-内射环，统一了FP-内射、f-内射、P-内射环的研究，给出了它与弱线性存在闭环的密切联系，证明了左Kasch左（n,m+1）-内射环一定为右（m,n）-内射环，推广了众多相关结论。

（5）给出了态射和有Moore-Penrose逆、群逆的充分必要条件，完善了Huylebrouck等的结论，将具有泛分解态射的广义逆的理论推广到具有广义分解态射的广义逆。

袖珍式电脑激光针灸仪

成果简介

《袖珍式电脑派光针灸仪》是把模糊控制理论，计算机技术、激光技术与中国传统医学针灸疗法相结合的高科技成果。该成果是对MPL-Ⅲ激光针灸仪的

进一步创新与发展。经过十多家医院临床验证，实践证明，该成果激光剂量控制精确，电脑图象形象直观，经各穴位闪烁准确，临床诊治疗效显著。省级专家鉴定认为：该成果在国内国外均属首例。

该成果适用于家庭个人及各级医院的治疗，也可用于医学院校的教学与科研，在国内、国外都具有广阔的推广应用前景。这是一项投资少，收效快的高科技项目。

高度非线性强藕合偏微分方程租

差分模拟中的降阶法理论

成果简介

有限差分方法是偏微分方程数值解法的两大方法之一。在理论分析方面，带导数边界条件的问题比不带导数边界条件的问题要复杂得多，带混合导数问题比不带混合导数问题要复杂得多，至于高度非线性强耦合微分方程组问题则更加复杂。

充分研究Keller的Box格式，提出了构造差分格式的降阶法技巧。将这一技巧和离散Sobolev空间理论、能量分析法、不动点定理等相结合，用于研究偏微分方程的有限差分解法。

降阶法是一个间接构造差分格式的方法。它特别适用于带导数边界条件的微分方程问题、带混合导数的微分方程问题、非线性微分方程问题以及强耦合微分方程问题等，且建立的差分格式可达到二阶整体收敛精度。此外，将降阶法技巧和外推法技巧相结合可以得到更高精度。降阶法技巧已成功地应用于抛物方程、椭圆方程、双曲方程、Kuramoto-Tsuzuki方程、Cahn-Hilliard方程、

抛物-椭圆耦合方程组、带热传导的波动方程组、带自然边界条件的非局部抛物方程等问题的数值方法研究。

非线性逼近与优化的适定性

成果简介

本项目通过对非线性逼近和非线性优化问题的统一研究，运用Banach空间理论中的不等式，非线性分析等现代数学理论对逼近和优化的适定性进行了系统的研究，取得了丰富的成果。并建立了Banach空间中的Chebyshev中心问题，强唯一性问题，共逼近问题和共远达问题的适定性结果，同时给出了基于最优逼近的投影算子的性质，交错投影算法的收敛性分析。将所获得的成果应用到基于信息的复杂性理论中的最优算法，则得到了基于信息的复杂性理论中信息半径，信息中心和最优化算法的度量，特征刻划及其稳定性结果。将本成果应用到数据压缩，信号处理，图象恢复和人工神经网络的稳定性研究中，无论在理论上还是在应用上都具有重要意义。

大规格稀疏线性规划投影主元算法研究

成果简介

线性规划在科学技术和国民经济中有非常广泛的应用。由于人类经济活动全球化趋势日益加剧，结构复杂而庞大的系统愈来愈多，此类系统的建模导致大规模稀疏线性规划模型大量产生。这类模型的求解目前一般采用单纯形算法或内点算法，然而客观实际对算法提出了更高的要求。本项目致力于新算法的

研究，通过对基要领的推广及投影技术的巧妙运用，在很大程度上吸收以上两类算法的优点而克服它们的缺点，从而推出更高效的可靠算法。这将具有重要的理论价值和实际意义。

人工神经网络的非线性机制

及计算机仿真研究

成果简介

本项目采用理论分析、数值计算和计算机仿真相结合的研究方法, 主要研究了几类神经网络系统（特别是Hopfield神经网络（HNN），时滞的细胞神经网络(DCNN)，双向联想记忆网络（BAM））的内在机制和非线性动力学行为。（I）通过巧妙引入参数，创造性地构造不同的Lyapunov泛函和不等式分析技巧, 对神经网络系统给出了无穷多个关于平衡点和周期振荡解的全局稳定性的充分准则，这些准则对设计各种全局稳定的神经网络具有重要意义; (II) 采用矩阵测度、比较原理和Lyapunov方法, 系统地研究了一类重要的联想记忆模型---Hopfield连续动态反馈神经网络的记忆模式的吸引域及其中每一点趋向记忆模式的指数收敛速度, 给出了一系列全新的估计结果, 这些结果可用于Hopfield联想记忆网络的容错性能评价及综合过程, 对综合或设计更加有效的连续联想记忆网络具有重要作用。

“修复非新”的可修系统研究

-几何过程维修模型

成果简介

本项目的主要研究内容为可修系统及可修排队系统的可靠性分析及维修更换策略的确定。

Lam Yeh于1988年首先利用几何过程对单部件“修复非新”的可修系统的维修策略进行了研究，这一研究比“完全维修模型”、“最小维修模型”及“不完全维修模型”更具有一般性，也更加符合实际情形。本项目不仅研究了单部件可修系统的二元最优更换策略，而且将单部件可修系统推广至冷储备可修系统并对其更换策略进行了研究。同时，我们还给出了新的维修策略和目标函数使得研究的结果更加有利于工程实际。现在，这一方法的研究已被国内外同行所接受并形成一个新的维修模型—几何过程维修模型。利用这一模型对“修复非新”的可修系统的可靠性指标的研究，首见于1992年我们在桂林召开的全国可靠性数学第四届学术交流会上宣读的论文。同时我们还于1994年首先将几何过程维修模型引向排队论的研究。在此基础上，本项目对这类可修系统展开了较全面的研究。

根据项目研究计划，我们还对”修复非新”的可修系统的特殊情形进行了研究。n中取相邻k好或坏系统的研究始于1980年Kontoleon在IEEE上发表的论文。由于该模型有较强的工程背景，曾引起不同专业的人士对这一模型的研究兴趣。然而，对这一系统是可修的情形没有得到重视，显然，这对于昂贵而可修的部件来说是不切合实际的。本项目对这一系统是可修的情形作了深入的研究。

非线性方程组的牛顿迭代法的应用

CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告

非线性方程组的牛顿迭代法的应用 一、问题背景 非线性是实际问题中经常出现的，并且在科学与工程计算中的地位越来越重要，很多我们熟悉的线性模型都是在一定条件下由非线性问题简化的，为得到更符合实际的解答，往往需要直接研究非线性科学，它是21世纪科学技术发展的重要支柱，非线性问题的数学模型有无限维的如微分方程，也有有限维的。道遥咏计算机进行科学计算都要转化为非线性的单个方程或方程组的求解。从线性到非线性是一个质的变化，方程的性质有本质不同，求解方法也有很大差别。本文主要介绍的是非线性方程组的牛顿迭代法的数值解法。 二、数学模型 对于方程()0=x f ，如果()x f 湿陷性函数，则它的求根是容易的。牛顿法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将线性方程()0=x f 逐步归结为某种线性方程来求解。 设已知方程()0=x f 有近似根k x （假定()0'≠k x f ），将函数()x f 在点k x 展开，有 ()()()()k k k x x x f x f x f -+≈'， 于是方程()0=x f 可近似地表示为 ()()()0'=-+k k k x x x f x f 这是个线性方程，记其根为1+k x ，则1+k x 的计算公式 ()() k k k k x f x f x x ' 1- =+， ,1,0=k 这就是牛顿法。 三、算法及流程 对于非线性方程 ()()()???? ????????=n n n n x L x x f M x L x x f x L x x f f ,,,,,,,,,2 1212211 在()k x 处按照多元函数的泰勒展开，并取线性项得到

非线性方程组数值解法

非线性方程组数值解法 n个变量n个方程(n >1)的方程组表示为 (1) 式中?i(x1,x2,…,x n)是定义在n维欧氏空间R n的开域D上的实函数。若?i中至少有一个非 线性函数，则称(1)为非线性方程组。在R n中记?＝ 则(1)简写为?(尣)=0。若存在尣*∈D，使?(尣*)＝0，则称尣*为非线性方程组的解。方程组(1)可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。根据不同思想构造收敛于解尣*的迭代序列{尣k}(k=0，1，…)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法，其中最著名的是牛顿法。 牛顿法及其变形牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序： (2) 式中

是?(尣k)的雅可比矩阵,尣0是方程(1)的解尣*的初始近似。 这个程序至少具有2阶收敛速度。由尣k算到尣k+的步骤为:①由尣k算出?(尣k)及 ;②用直接法求线性方程组的解Δ尣k；③求 。 由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和n2个分量偏导数值，并求解一次n阶线性方程组。 为了评价非线性方程组不同迭代法的优劣，通常用效率作为衡量标准,其中P 为迭代法的收敛阶,W为每迭代步计算函数值?i及偏导数值的总个数（每迭代步中求一次逆的工作量相同,均不算在W内）。效率e越大表示此迭代法花费代价越小,根据效率定 义，牛顿法(2)的效率为。 牛顿法有很多变形,如当奇异或严重病态时，可引进阻尼因子λk，得到阻尼牛顿法，即

应用新展式法求非线性发展方程的精确解

https://www.wendangku.net/doc/d09389716.html, The exp(??(ξ))-expansion Method applied to Nonlinear Evolution Equations Mei-mei Zhao??,Chao-Li School of Mathematics and Statistics,Lanzhou University Lanzhou,Gansu730000,P.R.of China Abstract By using exp(??(ξ))-expansion method,we have obtained more travelling wave solu-tions to the mKdV equation,the Drinefel’d-Sokolov-Wilson equations,the Variant Boussinesq equations and the Coupled Schr¨o dinger-KdV system.The proposed method also can be used for many other nonlinear evolution equations. Keywords exp(??(ξ))-expansion method,Homogeneous balance,Travelling wave solu-tions,Solitary wave solutions,MKdV equation,Drinefel’d-Sokolov-Wilson equations,Variant Boussinesq equations,Coupled Schr¨o dinger-KdV system. 1Introduction It is well known that nonlinear evolution equations are involved in many?elds from physics to biology,chemistry,mechanics,etc.As mathematical models of the phenomena,the inves-tigation of exact solutions to nonlinear evolution equations reveals to be very important for the understanding of these physical problems.Understanding this importance,during the past four decades or so,many mathematicians and physicists have being paid special attention to the development of sophisticated methods for constructing exact solutions to nonlinear evo-lution equations.Thus,a number of powerful methods has been presented such as the inverse scattering transform[1],the B¨a cklund and the Darboux transform[2-5],the Hirota[6],the trun-cated painleve expansion[7],the tanh-founction expansion and its various extension[8-10],the Jacobi elliptic function expansion[11,12],the F-expansion[13-16],the sub-ODE method[17-20],the homogeneous balance method[21-23],the sine-cosine method[24,25],the rank anal-ysis method[26],the ansatz method[27-29],the exp-function expansion method[30],Algebro-geometric constructions method[31]and so on. In the present paper,we shall proposed a new method which is called exp(??(ξ))-expansion method to seek travelling wave solutions of nonliear evolution equations.the ?Corresponding Author. ?E-mail address:yunyun1886358@https://www.wendangku.net/doc/d09389716.html,(M.Zhao). 1

非线性发展方程的丰富的Jacobi椭圆函数解

非线性发展方程的丰富的Jacobi 椭圆函数解 3 吕大昭 (北京建筑工程学院基础部,北京　100044)(2004年8月26日收到;2005年2月21日收到修改稿) 通过把十二个Jacobi 椭圆函数分类成四组,提出了新的广泛的Jacobi 椭圆函数展开法,利用这一方法求得了非线性发展方程的丰富的Jacobi 椭圆函数双周期解.当模数m →0或1时,这些解退化为相应的三角函数解或孤立波解和冲击波解. 关键词:非线性发展方程,Jacobi 椭圆函数,双周期解,行波解 PACC :0340K,0290 3北京建筑工程学院基础科学基金(批准号:1004048)资助的课题. 通信作者.E 2mail :lvdazhao86@https://www.wendangku.net/doc/d09389716.html, 11引言 直接寻找非线性发展方程的精确解在非线性科 学中占有非常重要的地位.因此,近几年来人们提出 了许多方法[1—3] .最近,刘式适等人提出了Jacobi 椭 圆函数展开法[4,5] ,求得了一大类非线性发展方程的周期解,包括对应的冲击波解和孤立波解;随后,张善卿等人利用秩的概念扩充了Jacobi 椭圆函数展开 法的应用范围[6] ,得到了更多的非线性发展方程的周期解;而闫、沈和李等人分别推广了Jacobi 椭圆函 数展开法的展开形式[7—14] ,获得了非线性发展方程更多的周期解;刘等人将在行波变换下的Jacobi 椭 圆函数展开法推广到一般函数变换下进行[15] ,得到了非线性发展方程的新的周期解.然而,我们仍然认 为这些方法[2—15] 是部分展开法,本文通过对十二个Jacobi 椭圆函数的性质进行深入研究,将它们分类成四组,从而提出了更一般的广泛的Jacobi 椭圆函数展开法,利用这一方法得到了非线性发展方程的丰富的周期解,在极限情形,这些解也可以退化为对应的冲击波解和孤立波解或三角函数解. 21广泛的Jacobi 椭圆函数展开法 首先在对十二个Jacobi 椭圆函数的性质进行深 入的研究之后,发现可以将它们分类成四组,即 (i )sn ξ,cn ξ和dn ξ (ii )ns ξ=1sn ξ,cs ξ=cn ξsn ξ和ds ξ=dn ξ sn ξ(iii )sc ξ=sn ξcn ξ,nc ξ=1cn ξ和dc ξ=dn ξ cn ξ(iv )sd ξ= sn ξdn ξ,cd ξ=cn ξdn ξ和nd ξ=1 dn ξ 其次,在上面分析的基础之上,我们提出了如下的广泛的Jacobi 椭圆函数展开法. 步骤1　约化偏微分方程到常微分方程对于给定的非线性发展方程 P (u ,u x ,u t ,u xx ,u xt ,u tt ,…)=0.(1)在行波变换 u =u (ξ),ξ=k (x -λt ) (2) 下,(1)式约化为如下的常微分方程 G u ,d u d ξ,d 2 u d ξ 2, 0 (3) 步骤2　假设有限级数形式解 设常微分方程(3)有如下形式的Jacobi 椭圆函数有限级数解 u (ξ )=a 0+a 1sn ξ+b 1cn ξ+c 1dn ξ+ ∑ n i =2 sn i -2 ξ(a i sn 2ξ+b i sn ξcn ξ +c i sn ξdn ξ+d i cn ξdn ξ )(4.1) u (ξ )=a 0+a 1ns ξ+b 1cs ξ+c 1ds ξ+ ∑ n i =2 ns i -2 ξ(a i ns 2ξ+b i ns ξcs ξ +c i ns ξds ξ+d i cs ξds ξ )(4.2) 第54卷第10期2005年10月100023290Π2005Π54(10)Π4501205 物　理　学　报 ACT A PHY SIC A SI NIC A V ol.54,N o.10,October ,2005 ν2005Chin.Phys.S oc.

非线性发展方程及其应用

非线性发展方程及其应用 成果简介 本项目是非线性科学中的一个重要的研究方向，共研究的对象是来源于化学反应、微电子学、生物学等领域中用非线性偏微方程描述的动力学模型。因此，它具有交叉学科的特征。所获得的成果不仅为有关学科提供了定量分析的理论依据，而且也能为研究非线性偏微分方程带来新的研究思路和新的研究课题。 1．首次借助于构造适当的上、下控制函数、利用有界边值问题逼近方法，解决了Belensov-Zhabotinskii化学反应模型波前解的存在性，并给出子最小波速的值；同时还给出了一种求解显示行波解的方法。 2．利用摄动初值问题逼近、相空间的打靶法与变分思想，解决了退化的反应扩散方程行波解的存在性，并给出了最小波速的变分刻划和估计； 3．对带有非线性非局部项和非线性边界条件的抛物型方程和方程组的研究，主要利用上、下解方法。但是，上、下解的构造却有很大的灵活性和很高的技巧。我们首次借助于研究非负矩阵的性质，得到了方程组整体解存在的充分必要条件；首次通过构造在有限时刻爆破的精细上解和解的逐次延拓方法研究了解的整体存在性。同时，我们发表在美国数学会会刊上的一篇论文，还否定了Wolainskii于93年发表在SIAM J. Math. Anal.上的一个工作。发表在JMAA上的两篇论文，成功地解决了在边界上带有非线性强迫外力的非线性对流扩散问题。 4．反应扩散方程研究领域的一个基本问题是：扩散是否会引起爆破？多数人认为扩散不会引起爆破且是一个显而易见的问题，不须证明。但是数学结果

总是要证明的，有一部分人就致力于证明，给出了该结论成立的各式各样的充分条件。我们于96年发表在JMAA上的一篇论文给出了一个反例，说明扩散会引起爆破，彻底澄清了这个问题。 5．当反应扩散方程中反应项较扩散项占优时，利用经典有限元、有限差分或有限箱法离散时，解会出现数值振荡，常用的抑制振荡的方法有：S-G方法，SUPG方法等，但都存在局限性。我们从变分原理出发要求振荡最小，建立了新的离散数值理论； 6．半导体器件的漂移扩散模型是一个特殊形式，由非线性抛物型与椭圆型方程耦合起来的，反应扩散方程组，带有混合形式边界条件，特别是载流子又有不同的产生一复合过程，再加上热效应和磁场影响，难度大。我们建立了基于紧致性原理的正则化的统一框架。 该成果获江苏省科技进步二等奖。 非线性统计模型与非线性诊断方法 成果简介 本系统地研究了近代非线性回归模型的几何理论和渐近推断理论，把微分几何方法应用于非线性回归分析；系统地研究了具有广泛应用价值的指数族非线性模型，建立了该模型的几何结构，在此基础上，研究了这些模型基于统计曲率的渐近推断理论以及统计诊断的非线性方法；这些研究填补了国内空白，在国内外都有一定影响。近10年来共获得 3 项国家自然科学基金，1项 95 重点基金，2 项江苏省自然科学基金；出版专著2本，发表论文50多篇,其中国外14 篇，