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三特殊平行四边形

三、特殊的平行四边形

知识点一:矩形

【一】矩形的性质

1.矩形的定义:_________________________________

2.矩形的性质:

矩形是特殊的平行四边形,因此平行四边形具有的性质矩形都有:①矩形的对边:_________________________ 由矩形定义可得:②矩形的四个角__________________ ∵AB=CD,

∠BAD=∠CDA=90°,

AD=DA

∴_________≌__________

∴________=__________

总之:③矩形的对角线____________________________ 在Rt△ABD中,OA为斜边BD的中线,

那么OA与BD的数量关系为:___________________ 我们可得结论:

_______________________________________________ [针对练习]

图1 图2 图3

1.如图1,在矩形ABCD中,若AC=2AB,

则∠AOB=___________

2.如图1,在矩形ABCD中,对角线相交于点O,

∠AOB=60°,AB=2,则AC=_________

3.如图2,在矩形ABCD中,对角线相交于点O,过点O 的直线分别交AD和BC于点E,F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分面积为______________

4.如图3,l∥m,矩形ABCD的顶点B在直线m上,则∠1=____________

5.在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=6,AB=8,则斜边上的中线等于=________

6.如图,在矩形ABCD中,AF=BE。求证:DE=CF

7.如图,矩形ABCD中,△PBC和△QCD都是等边三角形,点P在矩形上方,点Q在矩形内。

求证:(1)∠PBA=∠PCQ=30°

(2)PA=PQ

★8.在锐角三角形ABC中,BE,CF是高,点M,N分别BC,EF的中点。求证:MN⊥EF

三特殊平行四边形

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三特殊平行四边形

三特殊平行四边形

【矩形的判定】

三特殊平行四边形

1.定义:①______________________________________

2.若∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°,则:_______________________ 总之:

②____________________________

③____________________________________________ 3.

ABCD

中,若AC=BD

, 则:

______________________________

三特殊平行四边形

那么:④

_______________________________________ [针对练习]

1.在四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 互相平分,交点为O ,在不添加任何辅助线的前提下,要使四边形ABCD 成为矩形,还需加一个条件,这个条件可以是:______________________.

三特殊平行四边形

2.如图1,四边形ABCD 是平行四边形,使它为矩形条件可以是:____________________________________.

3.如图2,Rt ∠AOB 内任意一点P 到这个角的两边的距离之和为6,则图中四边形的周长为______________.

三特殊平行四边形

三特殊平行四边形

图2

图1

4.如图,直线AB ∥CD ,EF 和AB ,CD 分别交于M,N 两点,射线MP ,MQ ,NP ,NQ 分别是∠AMN ,∠BMN ,∠MNC ,∠MND 的平分线,MP ,NP 交于P ,MQ ,NQ 交于Q ,求证:四边形MPNQ 是矩形 【矩形中的折叠问题】

1.将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠,使C 落在C ′处,BC ′交AD 于E ,则下列结论不一定成立的是( ) A.AD=BC B.∠EBD=∠EDB C.△ABE ∽△CBD D.sin ∠ABE=

ED

AE

2.如图,矩形纸片ABCD 中,AB=8cm,把矩形纸片沿直线AC 折叠,点B 落在点E 处, AE 交DC 于点F ,若AF=

4

25

cm , 则AD=____________

3.如图,矩形纸片ABCD 中, AB=4,AD=3,折叠纸片使 AD 边与对角线BD 重合, 折痕为DG ,则AG=_____

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★4. 如图,将矩形ABCD 沿AE 向上折叠,使点B 落在DC 边上的F 点处,若△AFD 的周长为9, △ECF 的周长为3,

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则矩形ABCD 的周长为___

★5. 如图,矩形纸片ABCD 的边长AB=4,AD=2.将矩形纸片沿EF 折叠,使点A 与点C 重合,折叠后在其一面着色,则着色部分的面积为_______ E F

三特殊平行四边形

知识点二:菱形 【一】菱形的性质

1.菱形的定义:_________________________________

2.菱形的性质:

菱形是特殊的平行四边形,因此平行四边形具有的性质菱形都有:①菱形的对角:_________________________ 由菱形定义可得:②菱形的四条边:_________________ 在菱形ABCD 中 ∵AB=AD

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∴△ABD 为____________ ∵OB=OD

∴__________________

三特殊平行四边形

同理:_____________________ 总之:③菱形的对角线:

__________________________________________________________ ④S 菱形ABCD =__________

[针对练习]

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1.如图,菱形ABCD 中,AB=5,∠BCD=120°,则对角线AC=________.

2. 如图,菱形ABCD 中,∠ADB 与∠ABD 的大小 关系是:______________

3.菱形的周长为20cm ,一条

对角线为8cm,则菱形的面积为:_____________

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4. 如图,在菱形ABCD 中, AC=6,BD=8,则菱形的边 长为________________

5.如图,一个活动菱形衣架中,菱形的边长均为16cm ,若墙

三特殊平行四边形

上钉子间的距离AB=BC=16cm ,则∠1=________度

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6.如图,菱形ABCD 的边长为10cm ,DE ⊥AB , sinA=

5

3

,则这个菱形的面积为_________________ 7.菱形的两条对角线分别为8cm 和6cm ,则它的高为:___________

8.菱形ABCD 的周长为48cm ,∠BAD=

2

1

∠ABC ,则菱形的面积为______________

9.如图,在菱形ABCD 中,∠BAD=80°,AB 的垂直平分线交AC 于点F ,垂足为点E 。求∠CDF 的度数。

【菱形的判定】

三特殊平行四边形

1.定义:①______________________________________

2.若AB=BC=CD=AD ,则:_______________________ 那么:②______________________

3.

中,

三特殊平行四边形

AC ⊥BD,则:______________________

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那么:③_______________________ [针对练习]

三特殊平行四边形

三特殊平行四边形

1.是菱形的为( ) ①AC ⊥BD ②∠BAD=90° ③AB=BC ④AC=BD A.①③ B.②③ C.③④ D.①②③

2.如图,四边形的对角线互相平分,要使它变成菱形,需要添加的添加的是_______________________(只填一个你认为正确的即可)

3.如图,O 是矩形ABCD 对角线的交点,DE ∥AC ,CE ∥BD. 求证: 四边形DOCE 是菱形

4.如图,在△ABC 中,AD 是角平分线,AD 的垂直平分线分别交AB ,AC 于点E,F.是判定四边形AEDF 的形状,并证明你的结论。

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5.两个完全相同的矩形纸片ABCD ,BFDE 如图放置,AB=BF ,求证:四边形BNDM 是菱形.

知识点三:正方形

【一】正方形的性质

1.正方形的定义:一组邻边相等的矩形是正方形。

2.正方形的性质:由定义可知,正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形,因此,正方形具备它们所有的性质。

(1)边:_______________________________________ (2)角:______________________________________ (3)对角线:①_________________________________

②________________________________

③________________________________

④________________________________ [针对练习]

1.正方形具有,而菱形不一定具有的性质是()

A. 四条边相等

B.对角线互相垂直平分

C.对角线平分一组对角

D.对角线相等

2.在正方形ABCD中,对角线交点为O,如果对角线的长为4cm,那么△ABO的周长为_______________.

3.如图,在正方形ABCD中,

AB=1 ,点P是对角线AC

上的一点,分别以AP,PC为

对角线作正方形,则两个小

正方形的周长和是_________

4.如图,已知面积为1 的正

方形ABCD的对角线相交于

点O,过点O任作一条直线

分别交AD,BC于E,F,

则阴影部分的面积是______

★5.正方形ABCD的边长为2,点E在AB边上,四边形EFGB也为正方形,△AFC的面积为_______. 6.四边形ABCD是正方形,G是BC上任意一点(点G 与B,C不重合),AE⊥DG于E,CF∥AE交DG于F。(1)在图中找出一对全等三角形,并加以证明。

(2)求证:AE=FC+EF

7.如图,在正方形ACBD中,CE⊥DF。若CE=10cm,求DF的长。

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【二】正方形的判定

三特殊平行四边形

[针对练习]

1.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的条件是()

A. AC=BD,AB=CD,AB∥CD

B. AD∥BC,∠A=∠C

C. AO=BO=CO=DO,AC⊥BD

D. AO=CO,BO=DO,AB=BC

2.如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,请你添加一个条件:_____________________________,使得该菱形为正方形。

3.如图,在矩形ABCD中,∠ABC的角平分线交对角线AC于点M,ME⊥AB,MF⊥BC,垂足分别是E,F.

判定四边形EBFN的形状,并证明你的结论. 4.如图,在正方形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA上的点,且AE=BF=CG=DH。

(1)是判定四边形EFGH的形状,并证明你的结论。(2)连接EG,FH,并说明EG,FH的关系。

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