三、特殊的平行四边形

知识点一：矩形

【一】矩形的性质

1.矩形的定义：_________________________________

2.矩形的性质：

矩形是特殊的平行四边形，因此平行四边形具有的性质矩形都有：①矩形的对边：_________________________ 由矩形定义可得：②矩形的四个角__________________ ∵AB=CD，

∠BAD=∠CDA=90°，

AD=DA

∴_________≌__________

∴________=__________

总之：③矩形的对角线____________________________ 在Rt△ABD中，OA为斜边BD的中线，

那么OA与BD的数量关系为：___________________ 我们可得结论：

_______________________________________________ [针对练习]

图1 图2 图3

1.如图1，在矩形ABCD中，若AC=2AB，

则∠AOB=___________

2.如图1，在矩形ABCD中,对角线相交于点O，

∠AOB=60°，AB=2，则AC=_________

3.如图2，在矩形ABCD中,对角线相交于点O，过点O 的直线分别交AD和BC于点E，F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分面积为______________

4.如图3，l∥m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则∠1=____________

5.在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6，AB=8，则斜边上的中线等于=________

6.如图，在矩形ABCD中，AF=BE。求证：DE=CF

7.如图，矩形ABCD中，△PBC和△QCD都是等边三角形，点P在矩形上方，点Q在矩形内。

求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°

（2）PA=PQ

★8.在锐角三角形ABC中，BE，CF是高，点M,N分别BC，EF的中点。求证：MN⊥EF

【矩形的判定】

1.定义：①______________________________________

2.若∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，则：_______________________ 总之：

②____________________________

③____________________________________________ 3.

ABCD

中，若AC=BD

， 则：

______________________________

那么：④

_______________________________________ [针对练习]

1.在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 互相平分，交点为O ，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD 成为矩形，还需加一个条件，这个条件可以是：______________________.

2.如图1，四边形ABCD 是平行四边形，使它为矩形条件可以是：____________________________________.

3.如图2，Rt ∠AOB 内任意一点P 到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为______________.

图2

图1

4.如图，直线AB ∥CD ，EF 和AB ，CD 分别交于M,N 两点，射线MP ，MQ ，NP ，NQ 分别是∠AMN ，∠BMN ，∠MNC ，∠MND 的平分线，MP ，NP 交于P ，MQ ，NQ 交于Q ，求证：四边形MPNQ 是矩形 【矩形中的折叠问题】

1.将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使C 落在C ′处，BC ′交AD 于E ，则下列结论不一定成立的是（ ） A.AD=BC B.∠EBD=∠EDB C.△ABE ∽△CBD D.sin ∠ABE=

ED

AE

2.如图，矩形纸片ABCD 中，AB=8cm,把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处， AE 交DC 于点F ，若AF=

4

25

cm ， 则AD=____________

3.如图，矩形纸片ABCD 中， AB=4，AD=3，折叠纸片使 AD 边与对角线BD 重合， 折痕为DG ，则AG=_____

★4. 如图，将矩形ABCD 沿AE 向上折叠，使点B 落在DC 边上的F 点处，若△AFD 的周长为9， △ECF 的周长为3，

则矩形ABCD 的周长为___

★5. 如图，矩形纸片ABCD 的边长AB=4，AD=2.将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色，则着色部分的面积为_______ E F

知识点二：菱形 【一】菱形的性质

1.菱形的定义：_________________________________

2.菱形的性质：

菱形是特殊的平行四边形，因此平行四边形具有的性质菱形都有：①菱形的对角：_________________________ 由菱形定义可得：②菱形的四条边：_________________ 在菱形ABCD 中 ∵AB=AD

∴△ABD 为____________ ∵OB=OD

∴__________________

同理：_____________________ 总之：③菱形的对角线：

__________________________________________________________ ④S 菱形ABCD =__________

[针对练习]

1.如图，菱形ABCD 中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC=________.

2. 如图，菱形ABCD 中，∠ADB 与∠ABD 的大小 关系是：______________

3.菱形的周长为20cm ，一条

对角线为8cm,则菱形的面积为：_____________

4. 如图，在菱形ABCD 中， AC=6，BD=8，则菱形的边 长为________________

5.如图，一个活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm ，若墙

上钉子间的距离AB=BC=16cm ，则∠1=________度

6.如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ， sinA=

5

3

，则这个菱形的面积为_________________ 7.菱形的两条对角线分别为8cm 和6cm ，则它的高为:___________

8.菱形ABCD 的周长为48cm ，∠BAD=

2

1

∠ABC ，则菱形的面积为______________

9.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交AC 于点F ，垂足为点E 。求∠CDF 的度数。

【菱形的判定】

1.定义：①______________________________________

2.若AB=BC=CD=AD ，则：_______________________ 那么：②______________________

3.

中，

若

AC ⊥ＢＤ，则：______________________

那么：③_______________________ [针对练习]

1.是菱形的为（ ） ①AC ⊥BD ②∠BAD=90° ③AB=BC ④AC=BD A.①③ B.②③ C.③④ D.①②③

2.如图，四边形的对角线互相平分，要使它变成菱形，需要添加的添加的是_______________________(只填一个你认为正确的即可)

3.如图，O 是矩形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD. 求证： 四边形DOCE 是菱形

4.如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，AD 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点E,F.是判定四边形AEDF 的形状，并证明你的结论。

5.两个完全相同的矩形纸片ABCD ，BFDE 如图放置，AB=BF ，求证：四边形BNDM 是菱形.

知识点三：正方形

【一】正方形的性质

1.正方形的定义：一组邻边相等的矩形是正方形。

2.正方形的性质：由定义可知，正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，因此，正方形具备它们所有的性质。

（1）边：_______________________________________ （2）角：______________________________________ （3）对角线：①_________________________________

②________________________________

③________________________________

④________________________________ [针对练习]

1.正方形具有，而菱形不一定具有的性质是（）

A. 四条边相等

B.对角线互相垂直平分

C.对角线平分一组对角

D.对角线相等

2.在正方形ABCD中，对角线交点为O，如果对角线的长为4cm,那么△ABO的周长为_______________.

3.如图，在正方形ABCD中，

AB=1 ，点P是对角线AC

上的一点，分别以AP,PC为

对角线作正方形，则两个小

正方形的周长和是_________

4.如图，已知面积为1 的正

方形ABCD的对角线相交于

点O，过点O任作一条直线

分别交AD，BC于E,F，

则阴影部分的面积是______

★5.正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形，△AFC的面积为_______. 6.四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G 与B,C不重合），AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F。（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明。

（2）求证：AE=FC+EF

7.如图，在正方形ACBD中，CE⊥DF。若CE=10ｃｍ，求ＤＦ的长。

【二】正方形的判定

[针对练习]

1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）

A. AC=BD，AB=CD，AB∥CD

B. AD∥BC，∠A=∠C

C. AO=BO=CO=DO，AC⊥BD

D. AO=CO，BO=DO，AB=BC

2.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：_____________________________,使得该菱形为正方形。

3.如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线交对角线AC于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别是E，F.

判定四边形EBFN的形状，并证明你的结论. 4.如图，在正方形ABCD中，E,F，G,H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=BF=CG=DH。

（1）是判定四边形EFGH的形状，并证明你的结论。（2）连接EG，FH，并说明EG，FH的关系。