概率统计辅导材料

第一章 随机事件及其概率

本章介绍概率的基础概念与理论，重点内容是：

（1）古典概型、几何概型和贝努里概型的概率计算； （2）利用事件的关系与独立性进行概率计算；

（3）利用加法定理、条件概率公式、乘法定理、全概率公式及贝叶斯公式进行概率计算

例题分析

本章的重点是事件概率的计算：

1． 用古典概型，几何概型的定义计算概率

例 随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名优秀生，求：

（1） 每个班各有一名优秀生的概率； （2） 3名优秀生分在同一个班的概率。

解 将15名新生平均分配到三个班级中的总分法数为：

5

5

510515C C C n = （1） 事件A ={将15名新生平均分配到三个班级中去，且每个班各有一名优秀生}，完成事件A 可分两步，先把3名优秀生各班分1名共有!3种分法，再把3名新生平均分配到三

个班级共有4

4

48412C C C 种分完成事件A 的方法数即事件A 包含的基本事

件数44

48412!3C C C m A =。故 9125

!3)(55

5105154

448412=

==C C C C C C n m A P A 。 (2) 事件B ={将15名新生平均分配到三个班级中去，其中3名优秀生分在同一个班}。

完成事件B 可分两步，先把3名优秀生分在同一个班，共有3种分法，对于这每一种分法，

其余12名非优秀生的分法（一个班2名，另两个班各5名）共有5

5

510212C C C 种

原理知中完成事件B 的方法数即事件B 包含的基本事件数55

5102123C C C m B =。故 916

3)(55

5105155

5510212===C C C C C C n m B P B

例（852） 从10,,2,1 共10个数中，每次取一个数，假定每个数被抽取的可能性都相

等，取后放回，先后取出7个数，试求下列各事件的概率；

1o =A {7个数中不含1和10}； 2o =B {数10恰好出现2次}

解 由于是有放回地抽取，故基本事件总数为107

，因此

1o 7

77)54(10

8)(==A P 2o 7

527109)(C B P = 例 在区间（0，1）中随机地取出两个数，则事件{两数之和小于5

6

的概率为 。 解 如图1.2知

25

171)54(2112

=-=

P 2．利用概率的基本性质计算事件概率

例（859） 设B A ,为随机事件，3.0)(,7.0)(=-=B A P A P ，则)(AB P ＝

解 因为)()()(),(1)(B A P AB P A P AB P AB P +=-=，所以

6.03.0

7.01)()(1)(=+-=+-=B A P A P AB P

例（860） 设事件A 与B 相互独立且互不相容，则min =))(),((B P A P 。 解 由A 与B 相互独立知)()()(B P A P AB P =，又因A 与B 互不相容，故0)(=AB P ，

所以

0)()()(==AB P B P A P

因此，min 0))(),((=B P A P

3．利用条件概率、乘法公式进行计算

例（868） 某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为3／10，第二次落地打破的概率为4／10，第三次落地打破的概率为9／10，求透镜落地三次被打破的概率。

分析 第二次落地打破的概率，实际上是指在第一次落地未打破的条件下，第二次落地才打破的条件概率，同样，第三次落地打破的概率是指在第一、二次落地都未打破的条件下，第三次落地才打破的条件概率。

解 设i A ：“透镜第i 次落地被打破”3,2,1=i A ：“落地三次，透镜被打破”， 依题意321211A A A A A A A ??=，且211,A A A ，321A A A 两两互不相容，故有 算法1

958.010

9

)1041)(1031(104)1031(103)|()|()()|()()()

()()()(2131211211321211=--+-+=

++=++=A A A P A A P A P A A P A P A P A A A P A A P A P A P 算法2 先求)(A P

,

1000

42)1091)(1041)(1031( )

|()|()()()(213121321=---===A A A P A A P A P A A A P A P 所以，958.0)(1)(=-=A P A P

例（854） 从装有红、白、黑球各一个的口袋中任意取球（取后放回），直到各种颜色的球至少取得一次为止。求：

1o 摸球次数恰好为6次的概率； 2o摸球次数不少于6次的概率。 解 设k A ：“直到各种颜色的球至少取得一次为止所需摸球次数为k 次”， ,4,3=k ，

则事件`k A 发生必为第k 次首次摸到红球、或白球、或黑球，其概率为3

1

3

1?

C ，剩下)1(-k 次摸到的必是其余两种颜色的球，且每种颜色至少出现一次，至多重复)2(-k 次，每次出现的

概率都是3

1

，因此

,,4,3 )31()31()31(31)(21

1112

1113 ==??=∑∑-=-----=-k C C C A P k i k i k i k i k i i

k k

1o ∑===4

1

5568110

)31()(i C A P

2o 81

31

)]())()([1543=++-=A P A P A P P

注：此题也可用古典概型计算

,4,3,3/)22()(11

3=-=-k C A P k k k

4．利用全概率公式，贝叶斯公式计算概率

例（870） 有两个箱子，第一个箱子有3个白球2个红球，第二个箱子有4个白球4个红球，现从第一个箱子中随机地取出1个球放在第二个箱子里，再从第二个箱子中取1个球，此球是白球的概率为 ，已知上述从第二个箱子中取出的球是白球，则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为 。

分析 本题第一问是考查全概率公式，第二问是求条件概率，故应用叶贝斯公式

设=1A {从第i 个箱子中取出的球是白球}，i ＝1，2，由条件知，

9/5)|(,5/3)(121==A A P A P ，故由全概率公式得

45

23

)951)(531(9553)|()()|()()(1211212=--+?=+=A A P A P A A P A P A P

第二问由贝叶斯公式有

23

15

95532345)()|()()|(212121=

??==

A P A A P A P A A P 解 应分别填

4523和23

15

例 有两个箱子，第一个箱子有5个白球10个红球，第二个箱子有5个白球10个红球，现从第一个箱子中任取出1个球放于第二个箱子里，然后从第二个箱子中任取1个球放于第一个箱子里，最后从第一个箱子中任取2个球,求2个球全是红球的概率.

分析 本题是考查全概率公式.

解 设i A ={从第一个箱子中任取出1个球放于第二个箱子里，然后从第二个箱子中任取1个球放于第一个箱子后第一个箱子中含有i 个红球}，i ＝4,5,6，

=B {最后从第一个箱子中任取2个球全是红球}

由条件知，

)(4A P =P (先从第一个箱子中任取出红球, 后从第二个箱子中取出白球)

485165155=

?=

)(5A P =P (先从第一个箱子中任取出红球, 后从第二个箱子中取出红球)

+P (先从第一个箱子中任取出白球, 后从第二个箱子中取出白球)

482316615101611155=?+?=

)(6A P =P (先从第一个箱子中任取出白球, 后从第二个箱子中取出红球)

48/2016/1015/10=?=

105/6/)|(2

15244==C C A B P ,

105

/10/)|(2

15255==C C A B P ,

105/15/)|(215266==C C A B P

故由全概率公式得

911051548201051048231056485)|()()(6

4

=?+?+?=

=∑=i i i A B P A P B P

5．利用贝努里概型公式进行计算

例 某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴，经过若干时间后，发现一盒火柴已经用完，如果最初两盒中各有m 根火柴，求这时另一盒还的r 根火柴的概率。

解 假若甲盒已空而乙盒还剩r 根火柴，则在这之前一定已经取过)2(r m -次火柴，每次取甲、乙盒的概率为2

1

=

=q p ，在)2(r m -次中，恰有m 次取于甲盒，)(r m -次取于乙盒，第)12(r m -+次必然抓了甲盒，否则不会发现甲盒是空的，因此这种情况的概率为

122221)21()21(21+----==

r m m r m r m m r m C C P 故求一盒空而另一盒还剩r 根火柴的概率为

r m m r

m C P P P --=+=2221)2

1( 例（877） 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，以概率0.20定为不合格仪器不能出厂，现

该厂新生产了)2(≥n n 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求： 1o全部仪器能出厂的概率α；

2o其中恰好有两台不能出厂的概率β； 3o其中至少有两台不能出厂的概率θ。 分析 由于各台仪器的生产过程相互独立，故生产的n 台仪器中能出厂的仪器数服从参数为),(p n 的二项分布，问题的关键是p 的确定

解 设=A {仪器需要进一步调试}，=B {仪器能出厂}；则=A {仪器能直接出厂}，=AB {仪器经调试后能出厂}。由条件知

94

.080.030.070.0)|()()()()()(80

.0)|(,30.0)(,=?+=+=+====?=A B P A P A P AB P A P B P p A B P A P AB A B 记X 为所生产的n 台仪器中能出厂的台数，则)94.0,(~n B X 分布，故

n n X P 94.0}{===α

n

n n n n n n X P n X P n X P C n X P 94

.006.094.01)()1(1}2{06.094.0}2{1

2

22-??-==--=-=-≤=??=-==---θβ

6．关于最小样本容量n 的简单求法

例（878） 已知步枪射击命中目标的概率4.0=p ，问至少需要多少支步枪才能保证击中目标的概率不少于0.9？

分析 此类问题首先设所需步枪数为n ，再根据题意写出计算有关事件的概率式子，把对概率的要求用不等式表示出来，从而解出n 。

解 设X 为n 支步枪中命中目标的次数，则

n X P X P 6.01)0(1)1(-==-=≥

由条件知5,9.0)6.0(12

≥≥-n ，故最少步枪数为5支

7．配对模型

例 从5双不同的手套中任取4只，求至少有两只配成一双的概率。 解 记=A {4只手套中至少有两只配成一双}，有二种解法： 1o利用对立事件计算

21

13

78910468101)(1)(=??????-

=-=A P A P

2o用配对法计算。记=i A {取得了第i 双手套}，5,,2,1 =i

2113001

5)

()()()()(4

1025410285

1

51521／＝＋）＋／（）－／（＝ C C C C A A A P A A P A P A A A P A P i j

i j i i ?++-=+++=∑∑=≠

例 将n 封信从信封中取出后随机地装入，求至少有一封放进它原来信封内的概率)(n p ，并计算)(lim n P n ∞

→

解 此题用逆事件难以得到一般公式，故选用配对法计算，记=i A {第i 封信装入第i 个信封中}，n i ,,2,1 =，则

1

121

1

21121211!

1)1(!211!1)1(1111)()1()()()()(!

1)( ,111)( ,,,2,1,1)(--=≠--→-++-=-+-??-?

=-++-=+++==≠-===

∑∑e n n n n C n C A A A P A A P A P A A A P n P n A A A P j i n n A A P n i n A P n n n n n i j

i n n j i i n n j i i

小结 本章重点是随机事件的计算，考生除应熟记有关的公式，根据题目的条件作出正

确的计算外，还要熟练地掌握一些技巧（如利用逆事件等），以简化解法，提高效率。

第二章 随机变量及其分布

1． 离散型随机变量的分布律和分布函数

例（882） 设随机变量X 的分布律为（0>α为参数）

2,1,1

)(==

=k a

k X P k 求（1）)3()2();5(的倍数为X P X P ≥。

解 因为∑∞

=-=

-=

=1

11

)11/(1)(1k a a a k X P ＝

，所以2=a ， （1）∑∞

==??? ??-=≥5161

211/2

1)5(k k X P ；

（2）X P (为3的倍数）＝71

2

113=∑∞

=k k

例（886） 假设飞机在飞行中引擎不损坏的概率为)10(<

3引擎飞机更安全。

解 设X 表示飞行中飞机引擎不损坏数，对5引擎机，可视为5重贝努利试验，对3引擎机，可视为3重贝努利试验，于是对5引擎机，X 的可能值为0，1，2，3，4，5，

{5引擎机成功飞行}这一事件等价于}3{≥X ，故5引擎机成功地飞行的概率为

5

4452335)1()1()

5()4()3()3(p p p C p p C X P X P x P X P +-+-==+=+==≥

同理，3引擎机成功地飞行的概率为

32

23)1()2(p p p C X P +-=≥

故5引擎机比3引擎机更安全的充分条件

32

2354452335)1()1()1(p p p C p p p C p p C +->+-+-，

化简后得

0)12)(1(>--p p

故得，当2/1>p ，5引擎机比3引擎机飞行更安全。

例（888） 某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80，10和10件，现从中随机地抽取一件，记

??

?=其它等品若抽到，），，＝

（，，03211i Z i i 试求随机变量1Z 和2Z 的联合概率分布。

解 （1Z ，2Z ）为二维离散型随机变量，其可能取值为（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），故

)()1,1(8

.010080)0,1(1.010010)1,0(1.010010)0,0()()()()

(21212121＝＝＝／＝＝／＝＝／＝＝等品该产品为一等品且为二该产品为一等品该产品为二等品（该产品为三等品）是二等品该产品不是一等品且不φP P Z Z P P Z Z P P Z Z P P P Z Z P ============

例 设某班车起点站上的乘客数X 服从参数为)0(>λλ的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为)10(<

解

,2,1,0,0,!

)

1()()|(),(=≤≤?-=======--n n m n e p p C n X P n X m Y P m Y n X P n

m

n n

m n

λλ 例 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个设有红、绿信号灯的路口，每个信号灯为“红或绿”与其它信号灯为“红或绿”相互独立，且红绿两种信号显示时间相等，以X 表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，求X 的分布律。

解 此题是有限几何分布模型，求X 的分布律。

8

1

8141211)3(,)0(2,1,2121121)(1=

---=====???

??=?

?

?

??-==-X P p X P k k X P k

k

2．连续型随机变量的分布密度和分布函数 例（892） 设随机变量X 的分布函数为

∞<<∞-+=x Barctgx A x F ,)(

试求：1o系数A 与B ；2o)11(<<-X P ；3oX 的分布密度

解 1o由分布函数的性质1)(,0)(=+∞=-∞F F ，知

?

?

?=+=-+1)2(;

0)2(ππB A B A 解方程组得：π/1,2/1==B A

即

+∞<<∞-+=x arctgx x F ,1

21)(π

2

1)4(1214121))

1(1

21()1121()1()1()11(2=---?+=-+-+=--=<<-πππππ

πarctg arctg F F X P

3o+∞<<∞-+='+='=x x arctgx x F x f ,)

1(1

)121()()(2ππ

例（894） 设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布，现对X 进行三次独立观测，试求至

少有两次观测值大于3的概率。

解 由条件知X 的分布密度为

??

?≤≤=其它

,0;

52,3/1)(X x f 令3υ表示三次独立观测是中观测值大于3的次数，则3υ服从),3(p B ，其中p 为

?

==>=5

3

3

231)3(dx X P p

故有 27

20)3

2()321()3

2

()2(3

3

32

2

33=

+-=≥C C p υ 例（20021） 设随机变量X 服从正态分布N （2,σμ），且二次方程042=++X y y 无实根的概率为本1/2，则=

μ___

__________。

解 由二次方程042=++X y y 无实根的条件知

,0442<-X 故

4,2/1)04(,2/1)0416(==<-=<-μX P X P 例（896） 设随机变量),(Y X 的概率密度为

????

?≥+<++-=2

2222222,

0;

),(),(R y x R y x y x R c y x f

试求1o系数c ；2o),(Y X 落在圆)0(2

2

2

R r r y x <<≤+内的概率。

解：

3

32)

()(),(113

330

20

3

2222

2sin ,cos 2

222

22R c R c R c d d c cR dxdy

y x c R cR dxdy y x R c dxdy y x f R

R y x R y x y x πππρθρρπππ

θρθρ=

-=?-=+-?=+-=

=?

?

??

??

?

?

==<+<+∞

∞-∞

∞

-令

所以 3

3

R c π=

2o 设{}

,:,2

22r y x y)(x D ≤+=

{})

321(332)(),(2232

33R r R r r Rr c dxdy

y x R c D Y X P D

-=?????

?-=+-=∈??ππ

注 利用分布函数的基本性质可以确定待定系数，从而可以计算二维随机变量落在某一

区域内的概率，值得注意的是计算过程中，由于),(y x f 通常是分区域函数，故积分区域要特别小心，以免出错。

例（898） 考虑一元二次方程02

=++C Bx x ，其中C B ,分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q 。

解 方程02

=++C Bx x 有实根的充要条件是判别式042

≥-=?C B 或4/2

B C ≤，

0＋1＋2＋4＋6＋6＝19

所以36/19=p ，使方程有重根的充要条件是C B 42

=，满足此条件的基本事件个数为

0＋1＋0＋1＋0＋0＝2

因此 18/136/2==q

例（900） 设随机变量),(Y X 均匀分布于以(1,0)，(0,1)，(－1,0)，(0,－1)四项点所构成的正方形中，求X 与Y 的边缘密度函数。

解 如图2.3

??

?<+=其它,01

||||,2/1),(y x y x f 1o当01<

时，??+--∞∞-+===11121

),()(x x X x dy dy y x f x f 当10<≤x 时，12

1

),()(11+-===??+--∞∞-x dy dy y x f x f x x X 所以

?

?

?<<--=其它,0;

11|,|1)(x x x f X 2o类似1o可得

?

?

?<<--=其它,01

1|,|1)(y y y f Y 例 设随机变量X 的绝对值不大于1；;4

1

}1{,81}1{===

-=X P X P 在事件}11{<<-X 出现的条件下，X 在（-1，1）内的任一子区间上的条件概率与该子区间长度成

正比。

试求（1）X 的分布函数}{)(x X P x F ≤=；

（2）X 取负值的的概率p 。

解 （1）由条件知，当1-

8

541811}11{=--

=<<-X P 。 故在}11{<<-X 条件下，事件}1{x X ≤<-的条件概率为

2

1

}111{+=<<-≤<-x X x X P

于是，对于11<<-x ,有

=≤<-}1{x X P }11,1{<<-≤<-X x X P

=?<<-≤<-}111{X x X P }11{<<-X P =16

)

1(58521+=?+x x ; 16

7

5165581}1()1()(+=++=≤<-+-≤=x x x X P X P x F

对于1≥x ,有1)(=x F .从而

?????≥<≤-+-<=1,

111,16

751,

0)(x x x x x F

(2) X 取负值的的概率

16

7

)0(}0{)0(}0{===-=<=F X P F X P p .

3．随机变量函数的分布

例 设随机变量1X ，2X 的概率分布为

???

? ?????? ??-2/12/110

~,4/12/14/1101~21X X

且1)0(21==X X P ，求),(21X X 的联合分布。

解 ),(21X X 为二维离散型随机变量，由条件1)0(21==X X P 知

0)0(21=≠X X P

故 0)1,1()1,1(2121=====-=X X P X X P

由联合分布与边缘分布的关系立得

)0,0(,2/1)1,0(4

/1)0,1()0,1(21212121===========-=X X P X X P X X P X X P

例（910） 设随机变量X 在(0，π2)内服从均匀分布，求随机变量X Y cos =的分布密度。 解 由条件知X 的分布密度为

?

?

?<<=其它,0,

20,2/1)(ππx x f 由于函数x y cos =在)2,0(π内为分段单调函数，其反函数分别为

)

1,1(),,0(,11)

2,(,arccos 2),,0(,arccos 12

12211-∈∈--='∈-=∈=y x y x x y x x y x πππππ

)1,1(),2,(,1122

2

-∈∈-='y x y

x ππ

故

??

???

-∈-='?-+'?=其它，0);

1,1(,11||)arccos 2(||)(arccos )(2

21

y y x y f x y f y f Y ππ

注 此题也可用分布函数法解。

（3）二维连续型随机变量函数的分布

例（916） 在),0(a 线段上任意抛两个点（抛掷二点的位置在),0(a 上独立地服从均匀分布），试求两点间距离的分布函数。

解 设抛掷两点的坐标分别为X 和Y (图2.5)，则X 与Y 相互独立，且都服从）（a ,0上的均匀分布，故),(Y X 的联合概率密度为

??

?<<<<=其它

,0;

0,0,/1),(2a y a x a y x f 记两点距离为Z ，则||Y X Z -=的分布函数为 )|(|)(z Y X P x F Z ≤-=

当0

????--+--=

---=-=<-=z a z a z y z

a Z a z a z dy z y a a dx

dy a z Y X P z F 02

200

2)2()(2121)|(|)(α

当a z ≥时，1)(=z F Z

故两点距离Z 的分布函数为

????

???≥<≤-<=a

a a z a z a z z z F X ,1;0,)2(0,0)(2

例（918） 假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障时间都

服从参数为0>λ的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T 的概率分布。

解 设)3,2,1(=i X i 为第i 个电子元件无故障工作的时间，则321,,X X X 是独立同分布的随机变量，其分布函数为

??

?<≥-=-0

,00

,1)(x x e x F x λ 记)(t G 为了T 的分布函数，则 当0

t

e t F t X t X t X P t T P t T P t G λ333211)](1[1)

,,(1)(1)()(--=--=>>>-=>-=≤=

所以 ???<≥-=-0,

00

,1)(3t t e t G t λ

即电路正常工作时间T 服从参数为λ3的指数分布。

例（920） 设随机变量X 与Y 独立同分布，其概率密度为

??

???∞<<=-其它,00,2)(2

x e x f x π

求随机变量22Y X Z +=的概率密度。

解 由于X 与Y 独立同分布，故),(Y X 的联合概率密度为

?????∞

<<∞<<==+-其它

,00,0,4)()(),()

(22y x e

y f x f y x f y x Y X π

当0≤z 时，显然0)(=z F Z 当0>z 时，

2

2

2222222

14

4

),()(020

)

(z z

z

y x z y x y x Z e

d e

d dxd

e dxdy y x

f z F --≤+≤++--==

==

??

??

??

ρρθπ

π

ρπ

故22Y X Z +=

的概率密度为

?????≥<='=-0

,2;

0,0)()(2z ze z z F z f z Z

（4）正态随机变量

例（923） 设X 服从正态分布)2,3(2

N ，则)52(<≤X P ＝ ，)72(<≤-X P ＝ ，若)()(c X P c X P <=≥，则=c

。

解 记正态分布),(2ομN 的分布函数为)(x F ,标准正态分布)1,0(N 的分布函数为)(x Φ,则

)(

)(σ

μ

-Φ=x x F

5328.0)21

()1()232()235(

)2()5()52(=-Φ-Φ=-Φ--Φ=-=<≤F F X P )

2

3

(5.0)()()(1)(9710

.0)21

2()2()232()237()2()7()72(-Φ==

由标准正态分布的对称性知，302

3

=?=-c c 例（925） 设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态)1,0(N 分布，求Y X Z 2-=的分布密度。

解 由正态随机变量的性质知),(~2

σμN Z ，由于

5

2)2(,02)2(22=?+=-===-=-==DY DX Y X D DZ EY EX Y X E EZ σμ

故)5,0(~N Z ，其概率密度为 ∞<<-∞?=-x e x f x

,5

21)(10

/2

π`

第三章 随机变量的数字特征及极限定理

例题分析

一．随机变量的数字特征

1．一维随机变量的数字特征 解题步骤

1o正确写出随机变量X 的分布律或分布密度；

2o利用定义计算)(),(X D X E ，注意方差DX 的简化公式22)(EX EX DX -=的使用。 例（927） 一整数等可能地在1到10中取值，以X 记除得尽这一整数的正整数的个数，求DX EX ,。

解 记)(n d 表示除尽)10,2,1( =n n 的正整数的个数，则

4

)10()8()6(,3)9()4(2

)7()5()3()2(,1)1(==========d d d d d d d d d d

故X 的分布列为

10

3102104101)

(4321k X P X

=

所以

100

1

1

)(10

83

1034102310421011102710341023104210112222222=-==

?+?++?==?+?+?+?

=EX EX DX EX EX 例（932） 将n 个球放于M 个盒子中，设每个球放于各个盒子是等可能的，求有球的盒子数X 的数学期望和方差。

解 记随机变量 ???==M

i i i X i ,,2,1,0,1 ，个盒子中无球第，个盒子中至少有一个球

第

则i X 两两独立，且同分布

n n M

i i M i i M

i n i M i i n n i i i n

i n i n

i n i M M M M M DX X D DX M M M EX X E EX M

M M M EX EX DX M

M EX M M EX M M X P M M X P )

1()1(1)()1(1)()1()1(1)()

1(1,)1(1)

1()0(,)1(1)1(1

11

1222-??????

--===?

?????

--===-??????--=-=--=--=-==--==∑∑∑∑==== 例（936） 设随机变量X 的概率密度为

?

?

?<<++=其它,0;

10,)(2x c bx ax x f 已知15.05.0=DX EX ，＝，求系数c b a ,,。

解 1)(,

1)(1

2=++∴=??

∞

∞

-dx c bx ax dx x f

即

12

1

31=++c b a

（3.1）

又

??∞

∞-=++∴++==1

025.02

1

3141,)()(c b a dx bx ax x dx x xf EX （3.2）

4.03

1

4151,5.0)()(1022222=++∴-++=-=?c b a dx c bx ax x EX Ex DX ` （3.3）

解方程组(3.1)，(3.2)，(3.3)得 3,12,12=-==c b a

2．二维随机变量的数学特征 （1）解题步骤

1o计算),(Y X 关于Y X ,的边缘分布密度； 2o利用公式计算数字特征XY DY EY DX EX ρ,,,,。 （2）注意

1oDY DX DY DX Y X DY Y X D XY ?±+=±=±ρ2),cov(2)(

2o若Y X ,相互独立，则EY EX XY E ?=)(； 若X 与Y 互不相关，则DY DX Y X D +=+)(；

3o若X 和Y 独立，则X 与Y 互不相关；反之不成立，对正态随机变量),(Y X ，则X 与Y 互不相关等价于X 与Y 相关独立。

4o相互独立正态随机变量的线性组合仍为正态随机变量

例（942） 设二维随机变量),(Y X 在矩形}10,20|),{(<≤<<=y x y x G 上服从均匀分布，记

?

?

?>≤=???>≤=Y X Y

X V Y X Y X U 2,12,0,,1,,0若若若若 （i ）求),(V U 的联合分布；（ii ）求U 与V 的相关系数r 。

解 ),(V U 为二维离散型随机变量，其可能值为（0,0），（0,1），（1,0），（1,1）；由条件知

),(Y X 的联合概率密度为

?????∈∈=G

y x G

y x y x f ),(,0),(,2

1

),( （i ）4

1

)()2,()0,0(=

≤=≤≤===Y X P Y X Y X P V U P 2

1

)1,1(,41)0,1(0

)()2,()1,0(=

=======>≤===V U P V U P P Y X Y X P V U P φ （ii ），由（i ）知

???

? ?????? ??2/12/110

~4/34/110~V U

4/1,2/1,16/3,4/3====DV EV DU EU

2/12/1114/10.10104/100)(=??+??+??+??=UV E

3

3

,),cov(8

1

214321)(),cov(=

=

=?-=

-=DV

DV V U r EUEV UV E V U 例(938)

设

5.0,9,4,4,2-=====XY DY DX EY EX ρ，1o试求

32322-+-=Y XY X Z 的数学期望；2o53+-=Y X W 的方差。

分析 此题条件中没有给出有关随机变量Y X ,的分布信息，故其函数Z 与W 的数学特

征只能运用性质来计算。

解

68

3])([]))([(2])([33

)(2312222=-++?+-+=-+-=EY DY DY DX EY EX EX DX EY XY E EX EZ XY ρ

2o

63

645)

,cov(6949),3cov(29=?-=-+?=--+=DY DX Y X Y X DY DX DW XY ρ

3．随机变量函数的数字特征

计算公式：

一维随机变量X 函数)(X g Y =的数字特征的计算公式

∑==i

i i x X P x g EY )()(或dx x f x g EY X )()(?∞

∞

-=

22)(EY EY DY -=

二维随机变量),(Y X 的函数),(Y X g Z =的数字特征的计算公式

∑∑===j

i i i

i i y Y x X P y x g EZ ),(),(

或

dxdy y x f y x g EZ ?

?

∞

∞-∞

∞

-=),(),(，

22)(EZ EZ DZ -=

例 已知连续型随机变量X 的概率密度函数为1

22

1

)(-+-=x x

e x

f π

，则X 的数字期望为

；方差为 。

解 此题简单解法是利用正态分布的均值与方差已知直接写出，即把)(x f 变形为标准

型，从而有2/1,1==DY EX 。

例（947） 一零件的横截面是圆，对截面的直径进行测量，设其直径服从区间[0，2]上的均匀分布，则横截面积的数学期望为 ，而面积的方差为 。

分析 此题是计算均匀分布随机变量函数的期望与方差，由公式得

45

4)3(5)(5

2116)()4(,3

214)(42222

2202422

2

22

022

ππππππππ

π=

-=-==?===?=

=???

?∞∞-∞

∞-ES ES DS dx x dx x f x ES dx x dx x f x ES 解 分别填3π和45

42

π。

例（948） 设随机变量||),1,0(~X Y N X =，求Y 的概率密度及DY EY ,。

解 此题计算Y 的期望与2

EY 时可直接用公式：

π

ππ

π2

1)22(

1)(101)(||;

22

22

||||22222222

2-

=-=-==+=+====

?

==-

∞

∞

-?EY EY DY EX DX EX X E EY dx e

x X E EY x 例（954） 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？

分析 若以X 表示一周5天内机器发生故障的天数，Y 表示一周利润，则Y 为X 的函数，

故问题化为求随机变量Y 的数学期望。

解 由条件知)2.0,5(~B X ，即5,,1,0,8.02.0}{55 ===-k C k X P k k k

????

??

?≥-=====3

,

2;2,0;

1,5;

0,

10)(X X X X X g Y

)

(216.5057.02410.05328.010}]5{}4{}3{[2}2{0}1{5}0{10}

{)()(50

万元=?-?+?==+=+=?-=?+=?+=?====∑=X P X P X P X P X P X P k X P k g X Eg EY k

三．大数定律和中心极限定理

1） 用切比雪夫不等式来估计事件的概率及试验次数n 。

要点：1o合理选择随机变量X ；2o求出DX EX ,；3o根据题意利用切比雪夫不等式进行计算。

例（960） 已知随机变量X 的数学期望100=EX ，方差10=DX ，试用切比雪夫不等式估计X 落在（80，120）内的概率。

解 由切比雪夫不等式

975.020

10

1)20|100(|)12080(2

=-

≥<-=<

解 1o设X 表示在1000次独立试验中事件A 发生的次数，则)75.0,1000

(B X -，且 5.187)1(750

=-===p np DX np EX

将事件}800

700{<

在切比雪夫不等式中取50=ε，则有

9925

.0075.0125005

.187150

1}50|{|}800700{2=-=-

=-≥<-=<

}

01.0|{|}

01.001.0{}75.076.075.075.074.0{}

76.074.0{}76.074.0{n EX X n EX X n n n n X n n n X n n

X

<-=<-<-=-<-<-=<<=<<

)1875.0,75.0(n DX n EX ==

在切比雪夫不等式中取n 01.0=ε，则有

n n n n DX n EX X P n X P 1875

1)01.0(1875.01)01.0(1}01.0|{|}76.074.0{2

2

-

=-

=-≥<-=<<

由题意取90.01875

1≥-

n

可解得18750≥n ，即至少做18750次重复独立试验，可使事件A 出现的频率在0.74至0.76之间的概率至少为0.90。

例(961) 设X 为连续型随机变量，c 为常数，0>ε，求证

ε

ε|

|}|{|c X E c X P -≤

≥-

分析 此类概率不等式的证明，一般考虑用切比雪夫不等式或直接从定义用类似切比雪夫不等式的方法来证。

证 设X 的密度函数为)(x f ，则

?≥

-=

≥-εε||)(}|{|c x dx x f c X P

|

|1

)(||1

)(|

|)(|

|||c X E dx x f c x dx

x f c x dx x f c x c x -=

-=-≤-≤?

?

?∞∞

-∞

∞

-≥

-ε

ε

ε

ε

ε

2）中心极限定理的应用

1） 求总和n S 落在某区间内的概率。

例 一加法器同时收到20个噪声电压)20,,2,1(, =i V i ，设它们是相互独立且都服从区间（0，10）上的均匀分布，求总和噪声电压超过计划105（伏）的概率。 解 记∑==

20

1

i i

V

V ，因2021,,,V V V 是相互独立且都服从（0，10）上的均匀分布，且

20,,2,1,12

100

)(,5)( ==

===i V D V E i i i σμ 由独立同分布中心极限定理知

),3

500

,100()1210020,520(20

1

N N V V n i i =?

???→?=∞

→=∑ 故

.

3483.0)39.0(1)3/500100

105(1)105(1)105(=Φ-=-Φ-=≤-≈>V P V P

例（963） 一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间。

每个部件损坏的概率为0.1，为使整个系统起作用，至少需要85个部件工作，求整个系统工作的概率。

解 设X 表示整个系统中处于工作状态的部件数，由题设X 服从)9.0,100(B ，由德莫佛

－拉普拉斯定理

977

.0)2(1.09.01009.01008411.09.01009.0100841

.09.01009.01001)

84(1)85(=Φ=???

?

?

????-Φ-≈???

?

?????-≤

???--=≤-=≥X P X P X P

即系统工作的概率为0.977。

例（965） 假设n X X X ,.,21 是来自总体X 的简单随机样本；已知

),4,3,2,1(==k EX k k α证明当n 充分大时，随机变量

∑==n i i n X n Z 1

2

1

近似服从正态分布，并指出其分布参数。

分析 此题主要考查考生对中心极限定理的理解与运用。

解 依题意知n X X X ,,,21 独立同分布，从而其函数2

2221,,,n

X X X 也是独立同分布，且

)(11

)1(,

1,

)(,2

241

22

122122

242242222αααααα-=

====-=-===∑∑∑===n

DX n

X n D DZ EX n EZ EX EX DX EX EX n

i i n i i n n

i i n i i i i

由中心极限定理

n

Z U n n /)(22

42ααα--=

的极限分布为标准正态分布，即当n 充分大时，n Z 近似地服从参数为),(2

2

42n

ααα-的正态

分布。

2） 已知n S 取值概率，求最小的n 。

例 某电视机厂每月生产一万台电视机，但它的显像管车间的正品率为0.8，为了以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品的显像管，问该车间每月应生产多少只显像管？ 解 设该车间每月应生产n 只显像管，这n 只显像管中正品的只数为X ，则)8.0,(~n B X 。本题即求满足

997.0)10000(≥≥X P

的最小的n 。由徳莫佛-拉普拉斯定理中心极限定理知，X 近似服从

)16.0,8.0()2.08.0,8.0(n n N n n N =? 于是

997

.0)4.08.010000(1)]16.08.00()16.08.010000([1)

100000(1)10000(≥-Φ-≈-Φ--Φ-≈<≤-=≥n

n

n n

n n X P X P

即 997.0)4.010000

8.0(

≥-Φn n

查表可得75.24.0100008.0≥-n

n ，解之得58.12654≥n ，取12655=n 即克满足要求。

第四章 数理统计初步

例题分析

1．选择题

例 设),(~2σμN X ，μ已知，2σ未知，),,(321X X X 为X 的样本，则非统计量的有（ ）

（A ）21X X +； （B ）μ-++321X X X ； （C ）

σ

μ

-1X （D ）

σ

2

32

221X X X ++

解 应填（C ），（D ）

例 θ为总体X 的未知参数，θ的估计量是θ?，则有（ ） （A ）θ?是一个数，近似等于θ；

（B ）θ?是一个随机变量；

（C ）θ?是一个统计量，且θθ

＝?E ；

（D ）当n 越大，θ?的值可任意靠近θ。

解 应填（B ）

例 设),,,(21n X X X 是总体),(2σμN 的一个简单样本，

2,σμ未知，

∑∑==--==n i i n i i X X n S X n X 1

22

1)(11,1，则（ ） （A ）2S 是2σ的线性无偏估计量； （B ）S 是σ的无偏估计量； （C ）S 是σ的极大似然估计量； （D ）S 是σ的相合估计量。

解 应填（D ）

例 对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著性水平0.05下，接受零假设

00:μμ=H ，那么在显著性水平0.01下，下列结论中正确的是（ ）

（A ）必接受0H ； （B ）可能接受，也可能拒绝0H （C ）必拒绝0H ； （D ）不接受，也不拒绝0H

解 应填（A ） 2．填空题

例 设总体),(~2

σμN X ，2

2

5.1=σ，今抽得一样本，数据如下：11，9，14，10，12，7，13，11，12，则总体期望值的95％的置信区间是

分析 11)1211137121014911(9

1

=++++++++-

x 由于05.0%951=-=α，所以96.12

=αu ，故所求的置信区间为

98.1102.10,96.19

5.1119

6.19

5.111≤≤?+

≤≤?-

μμ

解 应填[10.02，11.98]

例 设总体μσμ),,(~2

N X 未知，2

σ已知，为使总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间长度为l ，则应抽取的样本容量n 最少应为 。

分析 在方差2

σ已知的条件下，均值μ的置信区水平α-1的置信区间为

???

????

?+-

22,αασ

σu n X u n X ，其区间长度为22

ασu n ，为使122≤ασ

u n ，最少应为22

224l u α

σ。 解 应填

2

2

2

24l

u α

σ。

例 设),,,(21n X X X 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，其中参数2,σμ未

知，记∑∑==-==n

i i n i i X X Q X n X 1

212

)(,1，则假设00＝：μH 的t 检验使用统计量

t ＝

分析 )1(~/),

1,0(~/),

,

(~2222

--n Q N n

X n N X χσσμ

σμ

因此在原假设0:0=μH 成立下，其检验统计量

)1(~)1(1

)(---=

--=

n t n n Q

X n Q

n X t μ

σσ

μ 解 应填

)1(--n n Q

X μ

3．证明题

例 设总体的均值μ与方差2σ都存在，试证样本均值X 是μ的一致估计。

证 2

2

1)()(σμn

X D X E =

=- ，由切比雪夫不等式，当∞→n 时， X n X

D X P ∴→=≤>-,0)|(|22

2ε

σεεμ是μ的一致估计。

例 设),,,(21n X X X 为总体),(2σμN 的一个样本，试证存在常数c ，使

∑-=+-1

121)(n i i i X X c 为2σ的无偏估计。

证

[]

2

1

1

222221

12121112

111212)1()2()

()(2)()()(σσμμμσ?-=++-+=+-=-=??????-∑∑∑∑-=-=++-=+-=+n c c X E X X E X E c X X E c X X c E n i n i i i i i n i i i n i i i

要使222)1(σσ=?-n c ，只须取)1(2/1-=n c

4．计算题

例（972） 设总体X 服从泊松分布),,,(),(21n X X X P λ为X 的一个样本，求样本均值X 的概率分布。

解 由于),,,(21n X X X 为)(λP 的样本，故由泊松分布的可加性知

)(~1

λn P X X n n

i i ∑==

即X 的分布列为

,2,1,0,!

)()()(=====-k e k n k X n P n k X P n k λ

λ

例 设总体X 服从泊松分布),,(),(21n X X X P λ为来自X 的一个样本，求

1o),,,(21n X X X 的概率分布； 2oX D X E ,和2ES 的值。 解 1o由于)(~λP X ，故

,2,01!

}{==

=-x e x x X P x

λ

λ

故),,(21n X X X 的概率分布为

11

12211)!()!(},,,{1-=-=-∏∏∑======n i i n n

i x i x n n x e x e

x X x X x X P n

i i i

λλ

λλ ，

2o因为λλ==)(,)(X D X E ，所以

,11)1(

)(,

1)1()(1

111∑∑∑∑============n

i i

n

i i n

i i n i i n DX n DX n x n D X D EX EX n x n E X E λ

λ

[][]

λ==---=+--+-=??????--=??????--=∑∑∑===DX DX n DX n n X E X D n n EX DX n X nE EX n X X n E ES n i i

i n i i n i i 1

11)()(1)(11)(11)(11212

122122

注 上述结论对任意总体X 均成立，即

DX ES DX n

X E EX X E ==

=2,1

)(,)(。 例（977） 设总体X 服从),(211θθθ+上的均匀分布，即

??

???+∈=其它,0];

,[,1

)(2112

θθθθx x f 其中21,θθ为未知参数，试求21,θθ的矩估计。

解

3

|31

1

)(2

|21

2

2

21213

2

2

2

2212222

11211

2

112

11

θθθθθθ

μθθθθμθθθθθθθθθθθθ++=?

=

==+==+++?

?

x dx x X E x dx x EX ＋＝＝

由矩估计定义得两个方程：

《概率论与数理统计》综合复习资料

《概率论与数理统计》综合复习资料 一、填空题 1．由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A ）的概率为4/15，刮风（记作事件B ）的概率为7/15，刮风又下雨（记作事件C ）的概率为1/10。则： =)|(B A P ； =)(B A P 。 2．一批产品共有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。则： （1）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为 ； （2）恰有一次取到次品的概率为 。 3．设随机变量)2, 1(~2N X 、)3(~P Y （泊松分布），且相互独立，则： )2(Y X E += ； )2(Y X D + 。 4．设随机变量X 的概率分布为 X －1 0 1 2 p k 0.1 0.2 0.3 p 则： =EX ；DX = ； Y X =-21的概率分布为 。 5．设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为 。 6．设Y X 、相互独立，且概率分布分别为 2 )1(1 )(--= x e x f π (-∞<<+∞x ) ； ? ? ?≤≤=其它，，03 12/1)(y y ? 则：)(Y X E += ； )32(2Y X E -= 。 7．已知随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 P k 0.3 0.5 0.2 则：随机变量X 的期望EX = ；方差DX = 。 8．已知工厂A B 、生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由A B 、工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是B 工厂的概率为 。 9．设Y X 、的概率分布分别为

《概率统计》试题及答案

西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 2101 1811515515 k X p -- 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙 企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取 1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 ,03()2,342 0, kx x x f x x ≤

第四节 概率与统计的综合问题

第四节概率与统计的综合问题 考点一概率与统计图表的综合问题 [典例]学校将高二年级某班级50位同学期中考试的数学成绩(均为整数)分为7组进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中信息，回答下列问题． (1)试估计该班级同学数学成绩的平均分； (2)现准备从该班级数学成绩不低于130分的同学中随机选出两人参加某活动，求选出的两人在同一组的概率． [解题技法] 破解概率与统计图表综合问题的3步骤 [对点训练] 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示． (1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； (2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．

[典例]已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩统计，先将800人按001,002,003，…，800进行编号． (1)如果从随机数表的第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取到的3个人的编号． (2)所抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表： 成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如表中数学成绩为良好的人数为20＋18＋4＝42.若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a，b的值． (3)若a≥10，b≥8，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的概率． 附：(下面摘取了随机数表的第7行至第9行) 84 42 17 53 3157 24 55 06 8877 04 74 47 6721 76 33 50 2583 92 12 06 76 63 01 63 78 5916 95 55 67 1998 10 50 71 7512 86 73 58 0744 39 52 38 79 33 21 12 34 2978 64 56 07 8252 42 07 44 3815 51 00 13 4299 66 02 79 54 [解题技法] 破解概率与随机抽样综合问题的3步骤 [对点训练] 某大型手机连锁店为了解销售价格在区间[5,30](单位：百元)内的手机的利润情况，从2018年度销售的一批 (1)[20,25)内的有几部？ (2)从(1)中抽出的6部手机中任意抽取2部，求价格在区间[10,15)内的手机至少有1部的概率．

概率统计期末练习 (1)

一 是非题 1．设A ,B ,C 为随机事件，则A 与C B A ??是互不相容的 （ ） 2．)(x F 是正态随机变量的分布函数，则)(1)(x F x F -≠- （ ） 3．若随机变量X 与Y 独立，它们取1与1-的概率均为5.0，则Y X =（ ） 4．等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布 （ ） 5. 样本均值的平方2X 不是总体期望平方2μ的无偏估计 （ ） 7．在参数的假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设1H 而确定的 （ ） 1、设A ，B ，C 是3个事件，则 表示事件A,B,C 至少有一个发生。 2、设A,B 是两个相互独立事件，则概率：。 3、 = 3 4、若A,B 是两个互不相容事件，则A,B 必为对立事件。 5、随机变量X 服从二项分布B(10,0.2)，则X 的方差D （X ）= 2 6、设X 1 , X 2 , , X 100为取自正态总体N ( 10 , 9 )的随机样本， 则：样本均值服从的分 布为N( 10, 0.32 )。 9、 若X,Y 不线性相关，则X,Y 的相关系数的符号小于零。 二、选择题（15分，每题3分） （1）设A B ?，则下面正确的等式是 。 （ａ）)(1)(A P AB P -=； （ｂ）)()()(A P B P A B P -=-； （ｃ）)()|(B P A B P =； （ｄ）)()|(A P B A P = （2）离散型随机变量X 的概率分布为k A k X P λ==)(( ,2,1=k )的充要条件 是 。 （ａ）1)1(-+=A λ且0>A ； （ｂ）λ-=1A 且10<<λ； （ｃ）11-=-λA 且1<λ； （ｄ）0>A 且10<<λ. （3） 设10个电子管的寿命i X (10~1=i )独立同分布，且A X D i =)((10~1=i )， 则10个电子管的平均寿命Y 的方差=)(Y D . （ａ）A ； （ｂ）A 1.0； （ｃ）A 2.0； （ｄ）A 10.

概率统计试题和答案

题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投

概率与统计问题

高考专题突破六高考中的概率与统计问题 题型一离散型随机变量的期望与方差 例1 某品牌汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示．已知分9期付款的频率为0.2.4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为1.5万元；分12期或15期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润. 付款方式分3期分6期分9期分12期分15期 频数4020 a 10b (1)求上表中的a，b值； (2)若以频率作为概率，求事件A“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分9期付款”的概率P(A)； (3)求η的分布列及期望E(η)． 解(1)由 a 100＝0.2，得a＝20. 又40＋20＋a＋10＋b＝100，所以b＝10. (2)记分期付款的期数为ξ，ξ的可能取值是3,6,9,12,15. 依题意，得 P(ξ＝3)＝40 100＝0.4，P(ξ＝6)＝20 100＝0.2，P(ξ＝9)＝0.2， P(ξ＝12)＝10 100＝0.1，P(ξ＝15)＝10 100＝0.1. 则“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位分9期付款”的概率为P(A)＝0.83＋C13×0.2×(1－0.2)2＝0.896. (3)由题意，可知ξ只能取3,6,9,12,15. 而ξ＝3时，η＝1；ξ＝6时，η＝1.5；ξ＝9时，η＝1.5；ξ＝12时，η＝2；ξ＝15时，η＝2. 所以η的可能取值为1,1.5,2，且P(η＝1)＝P(ξ＝3)＝0.4，P(η＝1.5)＝P(ξ＝6)＋P(ξ＝9)＝0.4，P(η＝2)＝P(ξ＝12)＋P(ξ＝15)＝0.1＋0.1＝0.2. 故η的分布列为 η1 1.5 2 P 0.40.40.2 所以η的期望E(η)＝1×0.4＋ 思维升华离散型随机变量的期望和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；

概率论与数理统计期末总结

第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。

1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。

概率统计综合复习题及答案

高二数学练习 一、选择题 1．已知10 21001210(1) (1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则8a ＝（ ） A ．180- B ．45 C ．45- D ．180 2．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ） A ．24种 B ．18种 C ．48种 D ．36种 3．已知一组数据X 1，X 2，X 3，…,X n 的方差是S 2 ,那么另一组数据2X 1-1，2X 2-1，2X 3-1，…,2X n -1 的方差是（ ） A ．122 -s B ．2s 2 C ．2 s D ．24s 4．高三某6个班级从“照母山”等6个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种（ ） A ．2 4 54C A B ．2456C C ．2454A A D ．24 56A 5．已知复数()()1,z x yi x y R =-+∈，若1z ≤，则y x ≥的概率为（ ） A ． 1142π- B ．3142π+ C ．112π- D ．11 2π + 6．若251 ()(1)x a x +-的展开式中常数项为1-，则a 的值为 A ．1 B ．8 C ．1或9 D ．1-或9- 7．设随机变量X 的概率分布列为 则(|3|1)P X -==（ ） （A ）712 （B ）5 12 （C ） 14 （D ）16 8．已知()23012331n n n x a a x a x a x a x -=++++???+（n * ∈N ），设()31n x -展开式 的二项式系数和为n S ，123n n a a a a T =+++???+（n *∈N ），n S 与n T 的大小关系是 （ ） A ．n n S >T B ．n n S T D ．n n S =T 9．某校在一次期中考试结束后，把全校文、理科总分前10名学生的数学成绩（满分150分） 抽出来进行对比分析，得到如图所示的茎叶图．若从数学成绩高于120分的学生中抽取3人，分别到三个班级进行数学学习方法交流，则满足理科人数多于文科人数的情况有（ ）种 A ．3081 B ．1512 C ．1848 D ．2014 10．向边长分别为5，613M ，则该点M 与三角形三个顶点距 离 都 大 于 1 的 概 率 为 （ ） A ．118 π - B ．112 π - C ．19π- D ．14 π- 11．设k 是一个正整数，1k x k ??+ ??? 的展开式中第四项的系数为116，记函数y=x 2 与y=kx 的图像所围成的阴影部分为S ，任取x ∈[0,4]，y ∈[0,16]，则点（x,y)恰好落在阴影 区域内的概率为（ ）

概率统计试题库及答案

、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）

统计与概率的综合问题

统计与概率的综合问题 1.某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩（单位：秒）如下： （1）请完成样本数据的茎叶图（在答题卷中）；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）； （2）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率； （3）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在区间[]11,15（单位：秒）之内，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率． 2. 已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中 抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[]50,100之内）作为样本（样 本容量为n ）进行统计．按照[]50,60，[]60,70，[]70,80，[]80,90，[]90,100的分组作出频率分布直 方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[]50,60，[]90,100的数据）． （Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值； （Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础 知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[]90,100内的概率．

3.为了解某天甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥，且75y ≥ 时，该产品为优等品．已知甲厂该天生产的产品共有98件，下表是乙厂的5件产品的测量数据： （1）求乙厂该天生产的产品数量； （2）用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量； （3）从乙厂抽出取上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率． 4.某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)，……，第五组[17,18]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. （1）求价格在[16,17)内的地区数，并估计该商品价格的中位数（精确到0.1）； （2）设,m n 表示某两个地区的零售价格，且已知,[13,14)[17,18]m n ∈，求事件“1m n ->”的概 率.

概率统计期末试卷

2008-2009学年第一学期期末试卷-B 卷 概率论与数理统计 课程号： 课序号： 开课学院： 统计学院 1． 设A 、B 是Ω中的随机事件,必有P(A-B)=P(A)-P(B) ( ) 2． 设A 、B 是Ω中的随机事件,则A ∪B=A ∪AB ∪B ( ) 3． 若X 服从二项分布B(n,p), 则EX=p ( ) 4． 样本均值X = n 1∑ =n i i X 1 是总体均值EX 的无偏估计 （ ） 5． X ～N(μ,21σ) , Y ～N(μ,22σ) ，则 X －Y ～N(0,21σ－22σ) （ ） 二、填空题（本题共15分，每小题3分） 1．设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且 ()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为___________. 2．甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中 各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________. 3．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0, x x f x <

三、单项选择题（本题共15分，每小题3分） 1．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是 （A）X与Y独立. （B）() D X Y DX DY -=+. （C）() D X Y DX DY -=-. （D）() D XY DXDY =. （）2．设随机变量X的概率密度为 2 (2) 4 (), x f x x + - =-∞<<∞ 且~(0,1) Y aX b N =+，则在下列各组数中应取 （A）1/2, 1. a b ==（B ）2, a b == （C）1/2,1 a b ==-. （D ）2, a b ==（）3．设随机变量X与Y 相互独立，其概率分布分别为 01 0.40.6 X P 01 0.40.6 Y P 则有 （A）()0. P X Y ==（B）()0.5. P X Y == （C）()0.52. P X Y ==（D）() 1. P X Y ==（）4．对任意随机变量X，若E X存在，则[()] E E EX等于 （A）0.（B）.X（C）. E X（D）3 (). E X（）5．设 12 ,,, n x x x 为正态总体(,4) Nμ的一个样本，x表示样本均值，则μ的置信度为1α -的置信区间为 （A） /2/2 (x u x u αα -+ （B） 1/2/2 (x u x u αα - -+ （C）(x u x u αα -+ （D） /2/2 (x u x u αα -+（） 四、（8分）甲、乙、丙三个炮兵阵地向目标发射的炮弹数之比为1∶7∶2， 而各地每发炮弹命目标的概率分别为0.05、0.1、0.2。求 （1）目标被击毁的概率； （2）若目标已被击毁，问被甲阵地击毁的概率。

应用概率统计期末复习题及答案

第七章课后习题答案 7.2 设总体12~(12,4),,,,n X N X X X L 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对值大于1的概率. 解:由于~(12,4)X N , ~(0,1)X N {1}1{1}1P X P X P μμ?->=--≤=-≤ 112(11(20.86861)0.262822P ??=-≤=-Φ-=-?-=?????? 7.3 设总体~(0,0.09),X N 从中抽取10n =的简单随机样本，求1021 1.44i i P X =?? >???? ∑. 解：由于~(0,0.09),X N 所以~(0,0.09),i X N 故 ~(0,1)0.3 i i X X N σ --= 所以 10 2 21 ( )~(10)0.3 i i X χ=∑ 所以{}1010222 11 1.441.44()160.10.3 0.09i i i i X P X P P χ==????>=>=>=????????∑∑ 7.4 设总体2 ~(,),X N μσ12,,,n X X X L 为简单随机样本, X 为样本均值，2 S 为样 本方差，问2 X U n μσ?? -= ??? 服从什么分布？ 解： 2 2 2 X X X U n μσ????-=== ???,由于2 ~(,)X N μσ， ~(0,1)N ，故2 2 ~(1)X U χ??=。

7.6 设总体2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立，从,X Y 中分别抽取1210,15n n ==的简单随机样本，它们的样本方差分别为22 12,S S ，求2212(40)P S S ->。 解： 22 22211 2 1 2 22(40)(4)4S P S S P S S P S ?? ->=>=> ??? 由于2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立 所以2 122 ~(101,151)S F S --，又由于0.01(9,14) 4.03F = 即()40.01P F >=

概率统计复习题201301

概率统计重修复习题型 填空题： 1. 已知P (A )=0.4，P (B )=0.6，P (AB ) =0.2，则P (A ∪B )= 。 2. 已知P (A )=0.3，P (B )=0.5，P (A ∪B )=0.7，则=)(A B P 。 3. 已知P (A )=0.5，P (B )=0.4，P (A ∪B )=0.7，则=-)(B A P 。 4. 已知P (B )=0.1，则P (B ) = 。 5. 从5双鞋子中选取4只，这4只鞋中恰有两支配成一双的概率为 。 6. 一袋中有20个乒乓球，其中8个是黄球，12个是白球. 今有2人依次随机 地从袋中各取一球，取后不放回。则第二个人取得黄球的概率是 。 7. 有6支笔，其中2支蓝笔，4支红笔. 今有3人依次随机地从中各取一支笔， 取后不放回。则第三个人取得红笔的概率是 。 8. 已知随机变量X 的密度为，其他?? ?<<=, 01 0,)(x x a x f 则a = 。 9. 设X 是连续型随机变量，则P {X = 5} = 。 10. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f += π,+∞<<∞-x ,则Y = 2X 的概 率密度为 。 11. 设二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度函数为(,)f x y ，则X Y +的概率密度函数()X Y f z += 。 12. 设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X 的分布函数为F (x ), Y 的分布函数为 G (x )，则 Z = max{ X ,Y }的分布函数为 。 13. 设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X 的概率密度函数为f (x ), Y 的概率密度 函数为g (y )，则X 与Y 的联合概率密度函数(,)f x y = 。 14. 设随机变量X 服从指数分布，且=)(X D 0.2，则=)(X E 。 15. 设随机变量X 服从泊松分布，且=)(X D 0.3，则=)(X E 。 16. 设~U(1,5),X -则=)(X E ，()D X = 。 17. 设~b(5,0.1),X ~π(2),Y 且,X Y 相互独立，则()E XY = 。 18. 设),5,2(~),4,3(~N Y N X 且,2),(-=Y X Cov 则=-)32(Y X D 。 19. 设),5,2(~),4,3(~N Y N X 且,2),(-=Y X Cov 则相关系数为 。

高中数学大题规范解答-全得分系列之十概率与统计的综合问题答题模板

概率与统计是高中数学的重要学习内容，在高考试卷中，每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含概率计算，统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，注重考查基础知识和基本方法；以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算． “大题规范解答——得全分”系列之(十) 概率与统计的综合问题答题模板 [典例](2012辽宁高考改编·满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性． (1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷体育迷合计 男 女 合计 (2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率． 附K2＝n(ad－bc)2 (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) ，

P (K 2≥k ) 0.05 0.01 k 3.841 6.635 [教你快速规范审题] 1．审条件，挖解题信息 观察 条件 ―→ 100名观众收看节目时间的频率分布直方图及日均收看时间不低于40分钟的观众称为体育迷，女体育迷10名 ??????→ 借助直方可确定图非体育迷及 体育迷人数 2．审结论，明解题方向 观察所求结论―→完成2×2列联表并判断“体育迷”与性别的相关性 ???→ 需要确定a ，b ，c ，d 及K 2的值 3．建联系，找解题突破口 由直方图及条件确定体育迷与非体育迷人数―→完成列联表―→ 计算K 2可判断结论 1．审条件，挖解题信息 观察条件―→确定“超级体育迷”标准且有2名女性“超级体育迷” ??????→由率分布直方频图 确定“超级体育迷”的人数 2．审结论，明解题方向 观察所求结论―→从“超级体育迷”中任取2人求至少有1名女性观众的概率 ????→ 分分析类1名女性观众或两名女性观众 3．建联系，找解题突破口 由频率分布直方图确定“超级体育迷”的人数?????→列法列出 举举

概率统计试题及答案

<概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分

概率论与数理统计期末考试试题及解答

概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为

《概率论与数理统计》综合复习资料

《概率论与数理统计》综合复习资料

《概率论与数理统计》综合复习资料 一、 填空题 1、已知工厂A B 、生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由A B 、的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，若取到的是次品，那么该产品是 A 工厂的概率为 3/7 。 2、设随机变量 X 的概率分布为f x Ax x ()=<

=)(B A P 19/30 。 5、一批产品共有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。则： （1）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为 8/45； （2）恰有一次取到次品的概率为 16/45 。 6、设随机变量)2,1(~2N X 、) 3(~P Y （泊松分布），且相互独立，则：)2(Y X E += 5； )2(Y X D + 19 。 7、设A 、B 为事件，3.0)(6.0)(=-=B A P A P ，，则P AB ()=0.7 。 8、设X 与Y 相互独立，都服从[0，2]上的均匀分布，则P X Y {}≤=1/2 。 9、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知1)]2)(1[(=--X X E ，则 λ= 1 。 10、设由来自总体X N ~()μ，1的容量为100的样

课时跟踪检测(七十) 概率与统计的综合问题

课时跟踪检测（七十）概率与统计的综合问题1．(2019·太原八校联考)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制图如下： 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下： 甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元． (1)根据图中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数； (2)为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X(单位：元)，求X＞182的概率； (3)根据图中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费． 解：(1)甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数为1 10(32＋33＋33＋38＋35＋36＋39＋33＋41＋40)＝36，众数为33. (2)设a为乙公司员工B每天的投递件数，则 当a＝35时，X＝140， 当a＞35时，X＝35×4＋(a－35)×7， 令X＝35×4＋(a－35)×7＞182，得a＞41，则a的取值为44,42， 所以X＞182的概率P＝4 10＝ 2 5. (3)根据题图中数据，可估算甲公司的每位员工该月所得劳务费为 4.5×36×30＝4 860(元)，易知乙公司员工B每天所得劳务费X的可能取值为136,147,154,189,203， 所以乙公司的每位员工该月所得劳务费约为1 10×(136＋147×3＋154×2＋189×3＋ 203)×30＝165.5×30＝4 965(元)． 2．(2018·湖北五校联考)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：