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2010文科微积分(上)(A卷)

2010文科微积分(上)(A卷)
2010文科微积分(上)(A卷)

2010级文科专业《微积分》(上)试题(A 卷)

一、计算极限

1.30arcsin lim sin x x x x →-

2.011lim 1x x x e →??- ?-??

. 3. 2

1

0sin lim x x x x →?? ???

4.6cos3lim

3sin 5x x x x x →∞++

5. 设1sin sin 2sin ,0,()(1)

,0x kx x x x x f x x x ?+?(0)k ≠在0x =处极限存在, 求k 值.

二、导数与微分

1. 设1()(1),x f x x

=+求 (1)f '.

2.设由方程1y y xe =+确定了隐函数()y y x =,求0x dy = .

3.一个内半径为10cm 的球壳,球壳的厚度0.1cm, 用微分近似计算求球壳体积的近似值.

4.求曲线2()x f x xe

-=在拐点处的切线方程.

5. 设()ln f x x x = 求 (10)(1).f

6. 求函数2

()1x f x x =+的极值, 及该函数所表示的曲线的渐近线.

三、计算不定积分

1.234.4x x dx x x +--?

2

..? 3

.?.

4

.dx ?.

5. 设()F x 为()f x 的原函数, 且 2

212()()1x x f x F x e x -??= ?+??

,又()0,F x >(0)1,F =求().f x

四、综合题

1. 设2ln(1)0()00x x f x x x ?+≠?=??=?,试研究()f x '在0x =处的连续性.

2. 若函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且(1)0.f =证明:至少存在一点(0,1)ξ∈使得()()0.f f ξξξ'+=

3. 设某商品需求量Q 是价格p 的函数:()Q Q p =.

(1)试写出收益价格弹性R ER E Ep =的表示式;

(2)导出收益价格弹性R E 与需求价格弹性d E 的关系;

(3)若需求价格弹性222192d p E p =-,求6p =时,收益价格弹性R E 并说明其经济意义.

关于清华大学高等数学期末考试

关于清华大学高等数学 期末考试 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷(A 卷) 考试科目: 高等数学A (上) 考试班级: 2010级工科各班 考试方式: 闭卷 命题教师: 一. 9分 ) 1、若在), (b a 内,函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ,二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ,曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =,求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。 本大题共3小题,每小题3分,总计 9分) 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231,则必有 答( ) 2、设211)(x x f -=,则)(x f 的一个原函数为 答( ) 3、设f 为连续函数,又,?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题,每小题5分,总计10分 ) 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。

2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题,每小题8分,总计24分 ) 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ,,在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续,且1)(0≤≤x f ,证明:至少存在一点]1,0[∈ξ,使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式:当4>x 时,22x x >。 3小题,每小题8分,总计24分 ) 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题,每小题6分,总计24分 ) 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。

微积分期末测试题及复习资料

一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷 一、选择题(6×2) cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间(0,)内( )。 A是增函数,是减函数是减函数,是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时,与相比是( ) A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小3、x=0是函数y=(1-sinx)的( ) A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值,则必有( )Af 'f 'f '且f f 不存在或f 、曲线( ) A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=xx2 211、( )=x+1 、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y=相切。这条直线方程为: x 2 3、函数y=的反函数及其定义域与值域分别是:2+1 x5、若则的值分别为: x+2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解:原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小( ) 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间(,)是连续函数() 3、0f"(x )=0一定为f(x)的拐点() 4、若f(X)在0x 处取得极值,则必有f(x)在0x 处连续不可导( ) 5、设 函 数 f (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令(),则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解:原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解:332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限

大一文科数学论文

信息时代,人文社科领域中许多研究对象量化的趋势更加明显,在“数学无处不在,无所不用”的大环境中,人们逐渐认识到:数学不仅是一种重要的“工具”或“方法”,也是一种思维模式,即数学方式的理性思维(抽象思维、逻辑论证思维等);数学不仅是一门科学,也是一种文化,即数学文化;数学不仅是一类知识的集合,更重要的是它体现了一种基本素质,即数学素质。 第一,关于文科数学的定位问题 首先,文科学生学习数学是高等教育目的转变的需要。最近几年我国高等教育规模迅速扩大,学生人数成倍增加,加上各学科互相渗透和相互影响。社会对学生的科学文化素质的要求有了进一步的提高,人们的就业观念也有很大的转变,使本科教育的培养方向由“精英”教育转为“大众化”教育,要求学生有较宽的知识面,而不是达到学科的最前沿,也就是教育要做到“重基础,宽口径”,培养文理兼通、全面发展的人才,其中数学素质对于文科学生是不可缺少的。因此,文科数学必须比较系统地向学生介绍

一些简单数学知识,文科数学不是数学史。 其次,数学能培养人的理性思维。数学不同于文科课程,是按照逻辑演绎严格表述的,它追求的是从不证自明的少数几个前提出发,逻辑地演绎出整个系统,因此数学可以培养人的逻辑思维和思辩能力。对于擅长发散思维和形象思维的文科学生来说,开设数学课程不仅可以改善他们的知识结构,也加强了文科学生辩证观点的培养,而且学习数学可以提高文科学生的审美能力(数学本身蕴涵着对称美、简洁美、奇异美、抽象美等)。文科学生不会象理工科学生那样在自己将来工作中广泛应用数学,他们学习数学是为了培养理性思维能力。因此,在教学中不应过分强调运算的技巧,而应更多地关注其中包含的思想。 第二,关于教学内容 数学的不同分支包含不同的思想。微积分研究的是连续性问题,代数研究的是离散问题,概率研究的是随机性问题。因此,文科数学中至少应当包含这三个方面的基础知识。由于针对的是文科学生,很多学生物

我与我的大学数学

中国劳动关系学院 (2015—2016学年第 1 学期) 普本经济学专业2013级经济学班 《经管数学》课程考核 学号1390402020姓名侯智涵成绩 阅卷人 论文题目:我与我的大学数学

数学从小就是我喜欢的一门课程,由于有兴趣,因此从小学到大学,我都将数学视为我的优势科目。虽说是我的优势科目,但在众人之中却不是拔尖的,因为我到高中发现学习数学9分勤奋,1分天赋,可能我就是差那一分天赋吧。在我的记忆中我数学的巅峰是高四的一次全市模拟测验中考了年级第一,全区第三。我对数学的热情一直保持到了大学一年级末,伴随着大学二年级的开始,我的数学人生进入了尾声。 刚进大学时懵懵懂懂,什么都不懂,当时想的就是丰富一下自己的课余活动,同时把自己的学习搞好,也没什么考研,考公务员,出国什么的目标。因为当时压根就没有这种意识,认为那是大学快结束的事情,现在才刚开始,不必去想那些,现在看来,这些事确实是得从一开始就要筹划的。刚开始一个月,学习习惯仍然保持高中的习惯,每天晚上都要去图书馆或者自习室预习第二天的课程,在室友以及班里同学眼里我就是我们班的超级学霸。现在对当时预习微积分的情景还记忆犹新,当时对一个极限的定义都反复读了很久,揣摩,但最终还是没能理解。结果第二天老师课堂上随便说一下,我便轻松的理解了,此时心里的成就感不减高中作出一道难题时的成就感。在随后的几个月,我的学习态度越来越松懈,在最后期末就差不多接近不学了。期末考试寝室好几个文科生都在口头上表示自己很慌张微积分考试,总是说上课听不懂,微积分很梦幻什么的。在我眼里有着中学的基础和开学时打下的基础根本没把期末考试放在眼里。于是期末复习也就把课后题做了,并没有做什么课外强化题。印象中考试85%的题都是会的,做起来自然还是蛮顺畅的。考完之后感觉整个人都热了,这种感觉还是蛮爽的,回寝室的路上还跟室友对答案来着,和高中考试如出一辙。对完答案还和室友争论了一下计算题第二题来着,他们说K=1,我记得很清楚的是那是一道课后原题,我当时是照着解析做了一遍,最终K好像是得一个带有字母常数比较复杂的复合指数。我冲着这份自信还发了一条朋友圈,那条朋友圈就成了最后一条关于我学习的朋友圈了。 假期的时候我有事没事上教务系统,盼着微积分成绩。结果盼来的分数并不是我预计的分数,心里有点小失落。等到开学,我不禁问起寝室那几个所谓的文科生微积分成绩,结果是他们的分数都比我高。反思了之后,学习是容不得一点马虎,即使不擅长,努力就会有效果。当时心里想着的是考完跟他们一脸自信的

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷 选择题(6×2) cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间(0,)内( )。 A是增函数,是减函数是减函数,是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时,与相比是( ) A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小 3、x=0是函数y=(1-sinx)的( ) A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( )n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值,则必有( )Af 'f 'f '且f f 不存在或f 、曲线( ) A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线 C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=x x2 21 1、( )= x+1 、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y= 相切。这条直线方程为: x 2 3、函数y=的反函数及其定义域与值域分别是: 2+14、y拐点为:x5、若则的值分别为: x+2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解:原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小( ) 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间(,)是连续函数() 3、 0f"(x )=0一定为f(x)的拐点() 4、 若f(X)在0x 处取得极值,则必有f(x)在0x 处连续不可导( ) 5、 设 函数f(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令(),则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解:原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解:3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课 一.关于积分的不等式 1. 离散变量的不等式 (1) Jensen 不等式:设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数,则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ,有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ (2) 广义AG 不等式:记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数,由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ,有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时,就是AG 不等式。 (3) Young 不等式:由(2)可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ,q y p x y x q p +≤1 1 。 (4) Holder 不等式:设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ,则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在(3)中,令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 (5) Schwarz 不等式: 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 (6) Minkowski 不等式:设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ,则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明: ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1

大学文科数学与试卷试题包括答案.doc

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大一微积分期末试题附答案

微积分期末试卷 一、选择题(6×2) cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间(0,)内( )。 A是增函数,是减函数是减函数,是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时,与相比是( ) A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小3、x=0是函数y=(1-sinx)的( ) A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( )n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值,则必有( )Af 'f 'f '且f f 不存在或f 、曲线( ) A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=xx2 211、( )=x+1 、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y=相切。这条直线方程为: x 2 3、函数y=的反函数及其定义域与值域分别是: 2+1 x5、若则的值分别为: x+2x-3

三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小( ) 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间(,)是连续函数() 3、 0f"(x )=0一定为f(x)的拐点() 4、 若f(X)在0x 处取得极值,则必有f(x)在0x 处连续不可导( ) 5、 设 函 数 f (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令(),则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明() 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+

清华大学微积分试题库完整

(3343).微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455).过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507).微分方程03='+''y y x 的通解为 2 2 1x C C y + =。 (4508).设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解,且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312,则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081).设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解,且相 应齐次方程的一个解为x y =3,则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725).设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476).微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474).微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477).函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为04=+''y y 。 (4532).若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ,则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808).设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关,其中)(x f 具有一阶 连续导数,且0)0(=f ,则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。

大学文科数学复习资料

一、单项选择题(共10小题,每小题2分,共20分) 1、设函数)(x f 的定义域是[0,1],那么(1)f x +的定义域是( B )。 A. [0,1] B. [1,0]- C. [1,2] D. [0,2] 2、x x x 3sin lim ∞ →= ( D )。 A. 3 B. 1 C. 3 1 D. 0 3、下列为0→x 时的等价无穷小的是( C )。 A. x 2sin 与x B. 12 -x e 与x C. )1ln(x +与x D. x cos 1-与2 2x 4、过曲线x x y ln =上0M 点的切线平行于直线x y 2=,则切点0M 的坐标是( D )。 A.(1,0) B.(e, 0) C. (e, 1) D. (e, e) 5、设函数)(x f y =二阶可导,如果01)(")('00=+=x f x f ,那么点0x ( A )。 A. 是极大值点 B. 是极小值点 C. 不是极值点 D. 不是驻点 6、在区间),(+∞-∞内,下列曲线为凹的是( D )。 A.)1l n(2x y += B .32x x y -= C.x y cos = D.x e y -= 7、设)(x f 为连续函数,则]')2([?dx x f =( B )。 A. )2(2 1x f B. )2(x f C. )2(2x f D. )(2x f 8、若C e x dx x f x +=?22)(,则)(x f =( D )。 A. x xe 22 B. x e x 222 C. x xe 2 D. )1(22x xe x + 9、下列关系式正确的是( C ) A. )()(x f dx x f d =? B. )()(x df dx x f d =? C. dx x f dx x f d )()(=? D. C x f dx x f d +=?)()( 10、?-)cos 1(x d =( C )。 A. x cos 1- B. C x x +-sin C. C x +-cos D. C x +sin 二、填空题(共10空,每空2分,共20分) 11x x x ) 1 321(lim ++ ∞ →= 32 e 12、 设1)('0=x f ,则h x f h x f h ) ()2(lim 000 -+→= 2 。

大一微积分期末试卷及答案

大一微积分期末试卷及 答案 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

微积分期末试卷 选择题(6×2) 1~6 DDBDBD 一、 填空题 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解:原式=11(1)()1m lim lim 2(1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、 判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小( ) 2、若f(X)在0x 处取得极值,则必有f(x)在0x 处连续不可导( ) 3、设函数f(x)在[]0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令(),则必有 1~5 FFFFT 三、 计算题 1用洛必达法则求极限21 20 lim x x x e → 解:原式=22211 1 33 0002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解: 3 24 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求

5 3tan xdx ? 6arctan x xdx ?求 四、 证明题。 1、证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。 证明:设3()1f x x x =+- 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明() 五、 应用题 1、描绘下列函数的图形 3. 4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222 --- 50 lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示: 2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值 由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和 单调递增区间为(1,0)1-+∞和(,) 且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1

清华大学第二学期高等数学期末考试模拟试卷及答案

清华大学第二学期期末考试模拟试卷 一.填空题(本题满分30分,共有10道小题,每道小题3分),请将合适的答案填在空中. 1. 设向量AB 的终点坐标为()7,1, 2-B ,它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依 次为4、4-和7,则该向量的起点A 的坐标为___________________________. 2. 设a 、b 、c 都是单位向量,且满足0 =++c b a ,则=?+?+?a c c b b a _____________________________. 3. 设()()xy xy z 2cos sin +=,则 =??y z _____________________________. 4. 设y x z =,则=???y x z 2___________________. 5. 某工厂的生产函数是),(K L f Q =,已知⑴. 当20,64==K L 时, 25000=Q ;(2)当20,64==K L 时,劳力的边际生产率和投资的边际生产率 为270='L f ,350='K f 。如果工厂计划扩大投入到24,69==K L ,则产量的近似增量为_______________ 6. 交换积分顺序,有()=?? --2 21 , y y y dx y x f dy _____________________________. 7. 设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛,且 u u n n =∑∞ =1 ,则级数()=+∑∞ =+1 1n n n u u __________. 8. -p 级数 ∑∞ =1 1 n p n 在p 满足_____________条件下收敛. 9. 微分方程x x y sin +=''的通解为=y ______________________.

微积分期末测试题及答案

微积分期末测试题及答 案 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.

微积分期末试卷及答案

一、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? . 答案:)1ln(x - 王丽君 解:x e u f u -==1)(2 ,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=. 2、已知a 为常数,1)12 ( lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 答案:1 孙仁斌 解:a x b a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11( 1lim 1lim 022. 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x x f x f x ) 1()31(lim . 答案:4 俞诗秋 解:4)] 1()1([)]1()31([lim 0=-+--+→x f x f f x f x

4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案:2 俞诗秋 解:)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ, )(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ, ))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是:+,-,+,故有2个拐点. 5、=? x x dx 22cos sin . 答案:C x x +-cot tan 张军好 解:C x x x dx x dx dx x x x x x x dx +-=+=+=????cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 答案: 1、 2、 3、 4、 5、 。 1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是 (A) 偶函数; (B) 奇函数; (C) 非奇非偶函数; (D) 可能奇函数也可能偶函数. 答案:A 王丽君 2、0=x 是函数??? ??=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的 (A) 跳跃间断点; (B) 连续点; (C) 振荡间断点; (D) 可去间断点. 答案:D 俞诗秋

大学文科数学课程教学大纲

《大学文科数学》课程教学大纲 学时数:54—72 学分数:3—4 适用专业:纯文科类专业 执笔:吴赣昌 编写日期:2007年6月 课程的性质、目的和任务 大学文科数学包含了大学数学的基本知识、基本技能,以及蕴涵于其中的基本数学思想方法和基本的哲学常识,是对高等学校公共事业、教育学、心理学、文学、法学、英语等纯文科类专业学生进行知识技术教育、文化素质教育与塑造世界观的一门重要基础课程,它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量建设人才服务的。 通过本课程的学习,要使学生理解大学文科数学的基本概念,了解其知识框架结构,掌握必要的基本理论和基本知识、技能;培养学生的量化意识、量化能力、抽象思维能力、创造思维能力、必要的逻辑推理能力和几何直观空间想象能力;提高发现、提出、分析和解决人文社会科学实际问题的能力,从而为将来从事工作和进一步深造打下坚实的基础。 在传授数学知识的同时,适当地介绍典型数学史料,有机地渗透辨证唯物主义、历史唯物主义和爱国主义教育,融会基本的数学思想方法和数学文化内涵,调动学生学习大学文科数学的兴趣,为获得实事求是的精神、科学的态度和方法、良好的个性品质以及形成正确的世界观进行启迪性教育。 课程教学的主要内容与基本要求 第一部分微积分 一、函数、极限与连续 主要内容: 绪言;实数与区间,函数的概念及其表示法,函数的有界性、单调性、周期

性和奇偶性;反函数、复合函数和隐函数,基本初等函数与初等函数;极限的概念与性质,函数的左、右极限;极限的四则运算;两个重要极限;无穷小与无穷大,无穷小的比较;连续函数的概念,函数的间断点;初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质;阿基米德介绍。 基本要求: 1、理解函数的概念,掌握函数的表示法;了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;了解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念; 2、知道基本初等函数的性质及其图形,理解初等函数的概念; 3、了解数列极限和函数极限(包括左、右极限)的概念;知道极限的四则运算法则,会用两个重要极限; 4、了解无穷小与无穷大的概念,了解无穷小比较方法,会利用无穷小等价求极限的方法; 5、了解函数的连续与间断的概念,了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质。 6、通过绪言与阿基米德介绍,了解数学的历史地位、作用以及古代数学家的创造与杰出贡献。 二、导数与微分 主要内容: 导数的概念,导数的几何意义和物理意义,函数的可导性与连续性之间的关系;基本初等函数的导数,导数的四则运算,反函数的导数,复合函数的求导法则;隐函数的导数;高阶导数的概念;微分的概念,微分的四则运算,一阶微分形式的不变性,利用微分进行近似计算。一阶微分形式的不变性微分在近似计算中的应用。 基本要求: 1、理解导数与微分的概念,知道导数的几何意义,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,了解函数的可导性与连续性之间的关系; 2、掌握导数的四则运算法则,会求部分复合函数的求导法,掌握基本初等函数的导数公式,了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,了解微分在近似计算中的应用; 3、会求隐函数的一阶导数,了解高阶导数的概念; 4、会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数,会求反函数的导数。 5、通过抽象导数概念的几何原型和物理原型,了解导数概念的产生与求导

清华大学微积分A(1)期中考试样题

一元微积分期中考试答案 一. 填空题(每空3分,共15题) 1. e 1 2。21 3. 31 4。3 4 5. 1 6.第一类间断点 7。()dx x x x ln 1+ 8。 22sin(1)2cos(1)x x x e ++ 9。 0 10。11?????? ?+x e x 11.x x ne xe + 12。13 13。0 14。)1(223 +? =x y 15. 13y x =+ 二. 计算题 1. 解:,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+?→→故0=b 。 …………………3分 a x f x f f x =?=′? →?)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=?=′+→+x f x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ,0=b 时,)(x f 在),(+∞?∞内可导。 …………………1分 2. 解:=?+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2?+∞→π = x x x x /1arctan ) 1/(1lim 22?+?+∞→π …………罗比达法则…………4分 =x x x x arctan )1/(lim 2+?++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++?+∞→ = 2211lim x x x +?+∞→ = 1? ………………………4分 所以,原极限=1?e ………………………………………………………………………2分 3. 解:)'1)((''y y x f y ++= ,故 1) ('11)('1)(''?+?=+?+=y x f y x f y x f y ;……4分 3 2)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +?+=+?++= …………………………………………6分 4.解:

微积分上期末考试试题A卷附答案

一、 选择题 (选出每小题的正确选项,每小题2分,共计10分) 1.1 lim 2x x - →=_________。 (A ) - (B ) + (C ) 0 (D ) 不存在 2.当0x →时,()x x f x x += 的极限为 _________。 (A ) 0 (B ) 1 (C )2 (D ) 不存在 3. 下列极限存在,则成立的是_________。 0()()() lim ()x f a x f a A f a x - ?→+?-'=?0()(0) ()lim (0) x f tx f B tf x →-'= 0000()()()lim 2()t f x t f x t C f x t →+--'= 0()() ()lim ()x f x f a D f a a x →-'=- 4. 设f (x )有二阶连续导数,且()0 () (0)0,lim 1,0()_______x f x f f f x x →'''==则是的。 (A ) 极小值 (B )极大值( C )拐点 (D ) 不是极值点也不是拐点 5.若()(),f x g x ''=则下列各式 成立。 ()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-= () ()() C d f x d x φ= ?? () ()()d d D f x dx x dx dx dx φ=?? 二、 填空题(每小题3分,共18分) 1. 设0 (2) ()0(0)0,lim 1sin x f x f x x f x →===-在处可导,且,那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。 2.函数()f x =[0,3]上满足罗尔定理,则定理中的= 。 3.设1 (),()ln f x f x dx x '=?的一个原函数是 那么 。 4.设(),x f x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。 5.设某商品的需求量Q是价格P的函数5Q =-,那么在P=4的水平上,若价格 下降1%,需求量将 。 6.若,1 1),(+-= =x x u u f y 且,1)('u u f =dy dx = 。 三、计算题(每小题6分,共42分): 1、 求 11ln (ln ) lim x x e x -→

关于清华大学高等数学期末考试

关于清华大学高等数学期 末考试 This manuscript was revised on November 28, 2020

清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷(A 卷) 考试科目: 高等数学A (上) 考试班级: 2010级工科各班 考试方式: 闭卷 命题教师: 一. 9分 ) 1、若在) ,(b a 内,函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ,二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ,曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =,求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。 本大题共3小题,每小题3分,总计 9分) 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231,则必有 答( ) 2、设211)(x x f -=,则)(x f 的一个原函数为 答( ) 3、设f 为连续函数,又,?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题,每小题5分,总计10分 ) 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。

2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题,每小题8分,总计24分 ) 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ,,在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续,且1)(0≤≤x f ,证明:至少存在一点]1,0[∈ξ,使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式:当4>x 时,22x x >。 3小题,每小题8分,总计24分 ) 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题,每小题6分,总计24分 ) 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。

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