北京四中2009-2010学年度第二学期高二数学 期中测试卷
(理)
试卷分为两卷,卷(I )100分,卷(II )50分,满分共计150分 考试时间:120分钟
卷(I )
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分
1.函数2
y x bx c =++在[)0,+∞是单调函数的充要条件是( )
A .0b ≥
B .0b ≤
C .0b >
D . 0b < 2.
2
1
2xdx =?
( )
A .6
B .5
C .4
D .3
3.若z =1+i (i 是虚数单位),则
2
2z z
+=( ) A .1-i B .-1-i C .1+i D . -1+i
4. 若2
1sin x y x
-=,则y '=( )
A .x x x x x 22sin cos )1(sin 2---
B .x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+-
C .x x x x sin )1(sin 22-+-
D . x
x x x sin )
1(sin 22---
5.给出四个命题:
(1)函数在闭区间[,]a b 上的极大值一定比极小值大 (2)函数在闭区间[,]a b 上的最大值一定是极大值
(3)对于12)(2
3+++=x px x x f ,若6||<
p ,则)(x f 无极值
(4)函数)(x f 在区间),(b a 上一定不存在最值
其中正确命题的个数是( )
A .0
B .1
C .2
D .3 6.下列推理正确的是( )
A .由()a b c ab ac +=+类比得到log ()log log a a a x y x y +=+
B .由()a b c ab ac +=+类比得到sin()sin sin x y x y +=+
C .由()()a b c a b c ++=++类比得到()()xy z x yz =
D .由()n
n n
ab a b =类比得到n
n
n
()x y x y +=+
7.函数2
23)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10,则点),(b a 为( )
A .)11,4(-或(3,3)-
B .(4,5)-或(3,9)-
C .(4,5)-
D . )11,4(-
8.函数2
()(2)x
f x e x x =-的单调减区间是( )
A .(,-∞,
B .(,-∞,)+∞
C .(
D .(-∞
9.由直线21=
x ,2x =,曲线x y 1
=及x 轴所围成图形的面积是( ) A .415 B .417 C .2ln 2 D . 2ln 2
1
10.若函数()f x 在R 上满足2
()2(2)88f x f x x x =--+-,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是( )
A .21y x =-
B .y x =
C .32y x =-
D . 23y x =-+
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分
11.若函数x
a y =(1a >)在]1,0[上的最大值与最小值之和为3,则a =____________。
12.若复数z 满足(1)1z i i +=-(i 是虚数单位),则其共轭复数z = ____________。
13.函数cos 2y x =在点(,0)4
π
处的切线方程是____________。
14.若函数3
221()(41)(1527)23
f x x m x m m x =
--+--+在R 上是增函数, 则实数m 的取值范围是____________。
三.解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 15.(本小题满分10分)
已知:函数2
()ln()f x x a x =++,当1x =-时,()f x 取得极值, 求:实数a 的值,并讨论()f x 的单调性。
16.(本小题满分10分)
用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架(如图), 要求长方体的长与宽之比为1:2,问该长方体的长、宽、高 各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? 17.(本小题满分10分)
已知:数列{}n a 前n 项和为n S ,n n a S n +=,数列{}n b 中11b a =,11n n n b a a ++=-, (1)写出数列{}n a 的前四项;
(2)猜想数列{}n a 的通项公式,并加以证明; (3)求数列{}n b 的通项公式。
卷(Ⅱ)
1.已知02a <<,复数i z a =+(i 是虚数单位),则||z 的取值范围是( )
A .(1,5)
B .(1,3)
C .
D
.
2.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A .120
B .48
C .24
D .8
3.曲线3sin()4
4
y x x π
π
=-
≤≤
与坐标轴围成的面积是( )
A .
2
B
.2 C
D
. 22-
4.若数列{}n a 满足12a =,111n n n
a a a ++=
-(*
n ∈N ),则3a =______,1232010a a a a ???
?=______。
5.如图,1x =±是函数3
2
()f x ax bx cx d =+++的两个极值点,
'()f x 为函数()f x 的导函数,则不等式'()0x f x ?>的解集为______ ______。
6.若函数3
2
()f x ax bx cx d =+++满足12(0)()()0f f x f x ===(10x x <<
且在区间2[,)x +∞上单调递增,则实数b 的取值范围是____________。
7.已知:0,0a b >>,且1a b +=,求证:(1
≤;(2)117
4
ab ab +
≥。 8.已知:函数R x x x x f ∈+-=,56)(3
, (1)求:函数)(x f 的单调区间和极值;
(2)若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根,求:实数a 的取值范围; (3)当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立,求:实数k 的取值范围。
高二数学 期中测试卷(理)参考答案
卷I
A D C A
B
C
D C CA 11.2; 12.i ; 13.420x y π+-=; 14.[2,4]; 15.解:1()2f x x x a '=++,依题意有(1)0f '-=,故3
2
a =, ┈┈┈┈┈┈3分
则2
3()ln()2
f x x x =++,定义域为3
2
??-+ ???
,
∞, ┈┈┈┈┈┈4分
2231(21)(1)
()3322
x x x x f x x x ++++'==++, ┈┈┈┈┈┈5
分
16.解:设长方体的宽为)(m x , 则长为)(2m x ,高为)2
3
0()(35.441218<<-=-=
x m x x h . ┈┈┈┈┈┈2
分
故长方体的体积为)2
3
0()(69)35.4(2)(3
322<<-=-=x m x x x x x V . ┈┈┈┈┈┈4分
从而)1(181818)(2
/
x x x x x V -=-=. ┈┈┈┈┈┈5分
令0)(/
=x V ,解得0=x (舍去)或1=x ,因此1=x .
┈┈┈┈┈┈7分
则在1=x 处)(x V 取得极大值,并且这个极大值就是)(x V 的最大值,
从而最大体积)(31619)1(3
3
2
m V V =?-?==; ┈┈┈┈┈┈9分
此时长方体的长为2m ,高为m 5.1,
答:当长方体的长为2m ,宽为1m ,高为m 5.1时,体积最大,最大体积为33
m 。┈┈10分
17.解:(1)112a =,234a =,378a =,315
16
a =; ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分
(2)猜想:1
12
n n a =-
,下面用数学归纳法证明: ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 ①当1n =时,1111
122
a =-=,猜想成立;
②假设当n k =时猜想成立,即1
12
k k a =-,
则当1n k =+时,11111
(1)112
k k k k k k k a S S k a k a a ++++=-=+--+=-++-,
即11222k k a +=-,∴111
12
k k a ++=-,即当1n k =+时猜想也成立,
∴由①②知:*
n N ∈时112
n n a =-都成立。 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分
(3)∵11n n n b a a ++=-,∴11
2
n n n n b a a -=-=(2n ≥),
∵1112b a ==,∴12
n n b =(*n N ∈)。 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分
卷II
C B
D 4.1
2
-
,6-; 5.(,1)(0,1)-∞-?; 6.b<0;
7.(1)证明: ≤
成立,
只要证:2a b ++≤,
只要证:1≤
∵0,0a b >>1
22
a b +≤=,即1≤成立,
∴≤
成立。 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分
(2)证明:∵0,0a b >>122a b +≤=,∴1
04
ab <≤, ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分
令t ab =(1
(0,]4
t ∈),则设11y ab t ab t =+
=+,1
(0,]4
t ∈ 222111t t y t t -'=-=,则当1
(0,)4
t ∈时,0t y '<恒成立,
∴1
y t t
=+在区间1
(0,)4
是减函数, ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分
∴当14t =时,min 174y =,∴174y ≥即117
4
ab ab +≥。┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10
分
8.解:(1)2
()3(2)f x x '=-,令()0f x '=,则12x x ==,
∴)(x f 的单调递增区间是(,-∞,)+∞,单调递减区间是)2,2(-,
()(5f x f ==+极大()5f x f ==-极小; ┈┈┈┈┈┈┈┈4
分
(2)由(1)的分析可知)(x f y =图象的大致形状及走向
∴当55a -<+
直线y a =与曲线()y f x =有3个不同交点, 即方程α=)(x f 有三解; ┈┈┈┈┈┈┈┈6分 (3)()(1)f x k x ≥-即2
(1)(5)(1)x x x k x -+-≥-。
∵1x >,∴2
5k x x ≤+-在(1,)+∞上恒成立, 令2
2
121
()5()2
4
g x x x x =+-=+-,则()g x 在(1,)+∞上是增函数,
∴()(1)3g x g >=-,∴3-≤k 。 ┈┈┈┈┈┈┈┈10分
高中二年级2013—2014学年下学期数学期中测试题B 卷 考试时间:100分钟,满分:150分 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共50分) 1.复数i -2 1+2i =( ). A .i B . i - C .-45-3 5 i D .-45+3 5 i 2.已知数列{a n }中,a 1=1,n ≥2时,a n =a n -1+2n -1,依次计算a 2,a 3,a 4后,猜想a n 的表达式是( ) A .3n -1 B .4n -3 C .n 2 D .3 n -1 3.若f (x )=ln x x ,ef (b ) B .f (a )=f (b ) C .f (a )
A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 7.若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题,则该 命题称为“可换命题”。下列四个命题,其中是“可换命题”的 是() ①垂直于同一平面的两直线平行;②垂直于同一平面的两平面平行; ③平行于同一直线的两直线平行;④平行于同一平面的两直线平行. A.①② B.①④ C.①③ D.③④ 8.已知f(x)=x2,i是虚数单位,则在复平面中复数 (1) 3 f i i + + 对应的点在( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 9.若凸n(n≥4)边形有f(n)条对角线,是凸(n+1)边形的对角线条数f(n+1)为( ) A.f(n)+n-2 B.f(n)+n-1 C.f(n)+n D.f(n)+n+1 10.设S是至少含有两个元素的集合.在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a,b∈S, 对于有序元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a*b与之对应).若对任意的a,b∈S, 有a*(b*a)=b,则对任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是 ( ) A.(a*b)*a=a B.[a*(b*a)]*(a*b)=a C.b*(b*b)=b D.(a*b)*[b*(a*b)]=b 二、填空题(每小题6分, 共24分)
高二数学选修2-3 第一章综合测试题(理科) 一、选择题 1.将3个不同的小球放入4个盒子中,则不同放法种数有( ) A .81 B .64 C .12 D .14 2.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型与乙型电视机 各1台,则不同的取法共有( ) A .140种 B.84种 C.70种 D.35种 3.5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有( ) A .33A B .334A C .523533A A A - D .23113 23233A A A A A + 4.,,,,a b c d e 共5个人,从中选1名组长1名副组长,但a 不能当副组长, 不同的选法总数是( ) A.20 B .16 C .10 D .6 5.现有男、女学生共8人,从男生中选2人,从女生中选1人分别参加数学、 物理、化学三科竞赛,共有90种不同方案,那么男、女生人数分别是( ) A .男生2人,女生6人 B .男生3人,女生5人 C .男生5人,女生3人 D .男生6人,女生2人. 6.在8 2x ? ?的展开式中的常数项是( ) A.7 B .7- C .28 D .28- 7.5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是( ) A.120 B .120- C .100 D .100- 8.22n x ? +??展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是( ) A .180 B .90 C .45 D .360
9.四个同学,争夺三项冠军,冠军获得者可能有的种类是( ) A .4 B .24 C .43 D .34 10.设m ∈N *,且m <15,则(15-m )(16-m )…(20-m )等于( ) A .A 615-m B .A 15-m 20-m C .A 620-m D .A 520-m 11.A 、B 、C 、D 、E 五人站成一排,如果A 必须站在B 的左边(A 、B 可以不相邻),则不同排法有( ) A .24种 B .60种 C .90种 D .120种 12.用1、2、3、4、5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中奇数的个数为( ) A .36 B .30 C .40 D .60 13.6人站成一排,甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为( ) A .A 66 B .3A 33 C .A 33·A 33 D .4!·3! 14.6人站成一排,甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为( ) A .720 B .144 C .576 D .684 15.某年级有6个班,分别派3名语文教师任教,每个教师教2个班,则不同的任课方法种数为( ) A .C 26·C 24·C 22 B .A 26·A 24·A 22 C .C 26·C 24·C 22·C 33 D.A 26·C 24·C 22A 33
浙江省湖州市高二下学期期中数学试卷(理科) 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共12题;共24分) 1. (2分)已知复数满足,则复数的共轭复数为() A . B . C . D . 2. (2分) (2019高二下·湘潭月考) 已知数列为等差数列,,,数列的前项和为,若对一切,恒有,则能取到的最大整数是() A . 6 B . 7 C . 8 D . 9 3. (2分)(2018·遵义模拟) 设曲线(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为,总存在曲线上某点处的切线,使得,则实数的取值范围() A . B . C .
D . 4. (2分)从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x(厘米)和体重y(公斤)数据如下表 x165160175155170 y5852624360 根据上表可得回归直线方程为=0.92x+,则=() A . ﹣96.8 B . 96.8 C . ﹣104.4 D . 104.4 5. (2分) (2015高二下·郑州期中) 用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n?1?2…(2n﹣1)(n∈N+)时,从“n=k到n=k+1”时,左边应增添的式子是() A . 2k+1 B . 2k+3 C . 2(2k+1) D . 2(2k+3) 6. (2分)若甲以10发6中,乙以10发5中的命中率打靶,两人各射击一次,则他们都中靶的概率是() A . B . C . D .
7. (2分)定积分() A . 5 B . 6 C . 7 D . 8 8. (2分)(2018·全国Ⅲ卷理) 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为,各成员的支付方式相互独立,设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,,,则() A . 0.7 B . 0.6 C . 0.4 D . 0.3 9. (2分) (2017高二下·武汉期中) 将3颗骰子各掷一次,记事件A为“三个点数都不同”,事件B为“至少出现一个1点”,则条件概率P(A|B)和P(B|A)分别为() A . B . C . D . 10. (2分) (2017高二下·鞍山期中) 由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:正四面体的内切球切于四个面() A . 各正三角形内一点 B . 各正三角形的某高线上的点