二次函数根的分布和最值(好)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程02
=++c bx ax 根的分布情况
设方程()2
00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()2
0f x ax bx c =++=，
方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
k k k
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）
需满足的条件是
（1）0a >时，()()00
f m f n
f m f n >???
>??
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：
1? 若()0f m =或()0f n =，
则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
例如方程(
)2220m x m x -++=在
区间()
1,3上有一根，因为
()10
f =，所以
(
)
()()2
221
2m x m x
x m x -++=--，另一根为
2m
，由213m <
<得
223
m <<即为所求；
2? 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0?=，此时由0?=可以求出参数的值，然后再将参数
的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
例如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -< 即()()141530m m ++<得出15314
m -<<-；②由0?=即()2
164260
m m -+=得出1m =-或32
m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32
m =
时，根()33,0x =?-，
故32
m =不满足题意；综上分析，得出15314
m -<<-或1m =-
根的分布练习题
例1、已知二次方程()()2
21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
例2、已知方程()2
210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。
例3、已知二次函数()()()2
22433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数
m 的取值范围。
例4、已知二次方程()2
2340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。
答案
例1解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得112
m -
<<即为所求的范围。
例2解：由
()()0102200m f ?>?
?
-+?->??>??
? ()2180
10m m m m ?+->?>-??>? ?
330m m m ?<->+??
>???
03m <<-
3m >+
例3解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ? 122
m -<<
即为所求的范围。
例4解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f < ? ()4310m +< ? 13
m <-即
为所求范围。
（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在()0,1内，由0?=计算检验，均不复合题意，计算量稍大）
1．二次函数及图象
设有一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，判别式Δ=b2-4ac，当Δ＞0时y=f(x)与x轴有二交点；当Δ=0时，y=f(x)与x轴仅有一交点；当Δ＜0时，y=f(x)与x轴无交点．
当Δ＞0时，设y=f(x)图象与x轴两交点为x
1＜x
2
．一元二次函数y=f(x)与x轴交点x
1
，x
2
就是相应一元二
次方程f(x)=0的两根．
观察图象不难知道．
图像为
观察图象不难知道△=0，a＞0 , △=0，a＜0
当△＜0时，y=f(x)图象与x轴无公共点，其图象为
观察图象不难知道．
a＞0时,绝对不等式f(x)＞0解为x∈R．
a＜0时,绝对不等式f(x)＜0解为x∈R．
2．讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式（组）的求解问题，其方法有3种：
（1）应用求根公式；
（2）应用根与系数关系；
（3）应用二次函数图象．在进行转化时，应保证这种转化的等价性．
就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法．
设f（x）=ax2＋bx＋c（a＞0），方程ax2＋bx＋x=0的个根为α，β（α≤β），m，n为常数，且n＜m，方程根的分布无外乎两种情况：
②α，β同居一区间时，不但要考虑端点函数值的符号，还要考虑
三、好题解给你
预习题
1. 设有一元二次函数y＝2x2-8x+1．试问，
当x∈[3，4]时，随x变大，y的值变大还是变小？
由此y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值分别是什么？
2.设有一元二次函数y＝2x2-4ax+2a2+3．试问，此函数对称轴是什么？
当x∈[3，4]时，随x变大，y的值是变大还是变小？与a取值有何关系？
由此，求y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值．
例1．设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)＝0．试问：
(1)m为何值时，有一正根、一负根．
(2)m为何值时，有一根大于1、另一根小于1．
(3)m为何值时，有两正根．
(4)m为何值时，有两负根．
(5)m为何值时，仅有一根在[1，4]内？
例2. 当m为何值时，方程有两个负数根？
例3. m取何实数值时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的两个实根都大于2？
例4．已知关于x方程：x2-2ax＋a＝0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1，β＞2，求实根a的取值范围．
例5．m为何实数时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的一个实根大于2，另一个实根小于2.
例6．已知函数的图象都在x轴上方，求实数k的取值范围．
例7．已知关于x的方程（m-1）x2-2mx＋m2+m-6=0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β，求实数m的取值范围．
例8．已知关于x的方程3x2-5x＋a=0的有两个实根α，β，满足条件α∈（-2，0），β∈（1，3），求实数a 的取值范围．
答案1.解：经配方有y＝2(x-2)2-7
∵对称轴x＝2，区间[3，4]在对称轴右边，
∴y＝f(x)在[3，4]上随x变大，y的值也变大，因此
y
max
=f(4)＝1．
y
min
＝f(3)＝-5．
2.解：经配方有y＝2(x-a)2+3．
对称轴为x=a．
当a≤3时，因为区间[3，4]在对称轴的右边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值也变大．
当3＜a＜4时，对称轴x=a在区间[3，4]内，此时，若3≤x≤a，随x变大，y的值变小，但若a≤x≤4，随x变大，y的值变大．
当4≤a时，因为区间[3，4]在对称轴的左边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值反而变小．
根据上述分析，可知．
当a≤3时，y
max =f(4)=2a2-16a+35．y
min
=f(3)＝2a2-12a+21．
当3＜a＜4时，y
min
＝f(a)＝3．
其中，a≤3.5时，y
max
＝f(4)＝2a2-16a+35．
a≥3.5时，y
max
＝f(3)＝2a2-12a+21．
当a≥4时，y
max ＝f(3)＝2a2-12a+21．y
min
＝f(4)＝2a2-16a+35．
例1.解：(1)设方程一正根x
2，一负根x
1
，显然x
1
、x
2
＜0，依违达定理有m+2＜0．
∴ m＜-2．
反思回顾：x
1、x
2
＜0条件下，ac＜0，因此能保证△＞0．
(2)设x
1＜1，x
2
＞1，则x
1
-1＜0，x
2
-1＞0只要求(x
1
-1)(x
2
-1)＜0，即x
1
x
2
-(x
1
+x
2
)+1＜0．
依韦达定理有
(m+2)+2(m-1)+1＜0．
(3)若x
1＞0，x
2
＞0，则x
1
+x
2
＞0且x
1
，x
2
＞0,故应满足条件
依韦达定理有
(5)由图象不难知道，方程f(x)＝0在[3，4]内仅有一实根条件为f(3)·f(4)＜0，即
[9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]＜0．
∴(7m+1)(9m+10)＜0．
解：负数根首先是实数根，∴，
由根与系数关系：要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负，两根之积为正．由以上分析，有
即
∴当时，原方程有两个负数根．
例3解：设f（x）=x2+（m-2）x+5-m，如图原方程两个实根都大于2
所以当-5＜m≤-4时，方程的两个实根大于2．
例4解：设f（x）=x2-2ax＋a，则方程f（x）=0的两个根α，β就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标，如图0＜α＜1，β＞2的条件是：
＜1，β＞2．
例5解：设f（x）=x2＋（m-2）x＋5-m，如图，原方程一个实根大于2，另一个实根小于2的充要条件是f （2）＜0，即4＋2（m-2）＋5-m＜0．解得m＜-5．所以当m＜-5时，方程的一个实根大于2，另一个实根小于2．
(1)(4)提高题
例6解：（1）当，则所给函数为二次函数，图象满足：
，即
解得：
（2）当时，
若，则的图象不可能都在x轴上方，∴
若，则y=3的图象都在x轴上方
由（1）（2）得：
反思回顾：此题没有说明所给函数是二次函数，所以要分情况讨论．
例7解：设f(x)=x2-2mx+m2＋m-6，则方程f（x）=0的两个根α，β，就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标．
如图，0＜α＜1＜β的条件是
解得
例8解：设f（x）=3x2-5x＋a，由图象特征可知方程f（x）=0的两根α，β，并且α∈（-2，0），β∈（1，3）的
解得-12＜a＜0．
四、课后演武场
1.已知方程(m-1)x2+3x-1=0的两根都是正数，则m的取值范围是（）
A．B．C．D．
2.方程x2+(m2-1)x+(m-2)=0的一个根比1大，另一个根比-1小，则m的取值范围是（）
A．0＜m＜2 B．-3＜m＜1 C．-2＜m＜0 D．-1＜m＜1
3.已知方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．B．
C．D．
4．已知关于x的方程3x2+（m-5）x＋7=0的一个根大于4，而另一个根小于4，求实数m的取值范围．
5．已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m的取值范围．
答案BCC 4.
可知方程f （x ）=0的一根大于4，另一根小于4的充要条件是：f （4）＜0）
5.
征可知方程f （x ）=0的两根都在（0，2）内的充要条件是
2、二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值问题探讨
设()()002>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：
a
2a
2a
2a
2
对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：
（1）若[]n m a b ,2∈-
，则()()()????????? ??-=n f a b f m f x f ,2,max max ，()()()????????? ??
-=n f a b f m f x f ,2,min min ； （2）若[]n m a
b ,2?-
，则()()(){}n f m f x f ,max
max =，()()(){}n f m f x f ,min
min
=
另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数
开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小。
二次函数在闭区间上的最值练习
二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。
例1、函数()()2
220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。
例2、求函数()[]2
21,1,3f x x ax x =-+∈的最小值。
改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？
2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？
例3、求函数2
43y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值。
例4、讨论函数()2
1f x x x a =+-+的最小值。
例1解：对称轴[]012,3x =?，故函数()f x 在区间[]2,3上单调。 （1）当0a >时，函数()f x 在区间[]2,3上是增函数，故()()()()
m ax
m in 32f x f f
x f ?=??
=?? ? 325
22a b b ++=??
+=?
? 10
a b =??
=?；
（2）当0a <时，函数()f x 在区间[]2,3上是减函数，故()()()()
m ax m in
23f
x f f x f ?=??
=??
? 25
322b a b +=?
?
++=?? 13a b =-??
=? 例2解：对称轴0x a =
（1）当1a <时，()min 122y f a ==-； （2）当13a ≤≤时，()2
min 1y f a a ==-；
（3）当3a >时，()min 3106y f a ==-
改1解：（1）当2a <时，()()max 3106f x f a ==-； （2）当2a ≥时，()()max 122f x f a ==-。
改2解：（1）当1a <时，()()max 3106f x f a ==-，()()min 122f x f a ==-；
（2）当12a ≤<时， ()()max 3106f x f a ==-，()()2
min 1f x f a a ==-；
（3）当23a ≤<时，()()max 122f x f a ==-，()()2
min 1f x f a a ==-；
（4）当3a ≥时， ()()max 122f x f a ==-，()()min 3106f x f a ==-。
例3解：对称轴02x =
（1）当2t <即2t >时，()2
min 43y f t t t ==-+；
（2）当21t t ≤≤+即12t ≤≤时，()min 21y f ==-； （3）当21t >+即1t <时，()2
min 12y f t t t =+=-
例4解：()22
21,11,
x a
x x a f x x x a x a x x a ≥?+-+=+-+=?<-++?，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分
别为直线12
x =-
，12
x =
，当12
a <-
，112
2
a -
≤<
，12
a ≥
时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）
因此，（1）当
1
2
a<-时，()
m in
13
24
f x f a
??
=-=-
?
??
；
（2）当
11
22
a
-≤<时，()()2
min
1
f x f a a
==+；
（3）当
1
2
a≥时，()
m in
13
24
f x f a
??
==+
?
??
二次函数根的分布专题
一元二次方程根的分布专题 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。 一．一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x ①方程有两个不等正根 ??? ? ? ? ??? >=>-=+>-=?>>00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负 ：0021<<=<-=+>-=?<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x 即时应用： (1)若一元二次方程 0)1(2)1(2 =-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。 (2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332 =-++k kx kx 有一个正根和一个负根？
二、一元二次方程的非零分布——k分布 设一元二次方程20(0) ax bx c a ++=>的两不等实根为1x，2x，k为常数。则一元二次方 k1x2x k 根 的 分 布 ① 12 x x k② 12 k x x③ 12 x k x 图 象 充 要 条 件 2 b k a f k 2 b k a f k f k 根 的 分 布 ④ 1122 k x x k⑤ 11223 k x k x k⑥两根有且仅有一根在 12 ,k k内 图 象 充 要 条 件 1 2 12 2 f k f k b k k a 1 2 3 ()0 ()0 ()0 f k f k f k 12 f k f k 或 1 12 1 ()0 22 f k k k b k a 或 2 12 2 ()0 22 f k k k b k a k k k 2 k 1 k 2 k 1 k 3 k 2 k 1 k
【经典例题】二次函数根的分布
【经典例题】二次函数根的分布
二次函数根的分布 一、知识点 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()1 2 0,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()1 2 0,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()1 2 0x x << 大致图 象（0 >a ） 得出的 结论 ()00200 b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()0 0
表三：（根在区间上的分布） 分 布情况 两根都在()n m ,内 两根有且仅有 一根在()n m ,内 （图象有两种 情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<< 大致图 象（0 >a ） 得出的结论 ()()0002f m f n b m n a ?>?? >?? >???<-? ? 或 ()()()()00 f m f n f p f q
二、经典例题 例1：（实根与分布条件）已知βα, 是方程0 24)12(2=-+-+m x m x 的两个根，且βα<<2 ，求实数m 的 取值范围。 变式：关于x 的方程0 12)1(2 2 =-+-mx x m 的两个根，一 个小于0，一个大于1，求m 的取值范围。 例2：（动轴定区间）函数3 2)(2 --=ax x x f 在区间[]2,1上 是单调函数，则a 的取值范围是？ 讨论
二次函数根分布经典练习题及解析
二次函数根的分布经典练习题及解析 1若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是() A(－∞,2] B [－2,2] C(－2,2] D(－∞,－2) 2设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为() A 正数 B 负数 C 非负数 D 正数、负数和零都有可能 3已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________ 4二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)
8一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160－2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元 (1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？ (2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？ 参考答案 1解析当a －2=0即a =2时,不等式为－4＜0,恒成立∴a =2,当a －2≠0时，则a 满足 ? ? ?0,则f (0)>0,而f (m )＜0,∴m ∈(0,1), ∴m －1＜0,∴f (m －1)>0 答案A 3解析只需f (1)=－2p 2－3p +9>0或f (－1)=－2p 2+p +1>0即－3＜p ＜2 3或－2 1＜p ＜1∴p ∈(－3,2 3) 答案(－3，2 3） 4解析由f (2+x )=f (2－x )知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小， ∴|1－2x 2－2|＜|1+2x －x 2－2|,∴－2＜x ＜0
二次函数根的分布
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 二次函数根的分布 一、知识点 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图 象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 表二：（两根与k 的大小比较） 分布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图 象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 第三讲二次函数 二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富内涵。在中学数学数材中，对二次函数和二次方程，二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质，都有深入和反复的讨论与练习。它对近代数学，乃至现代数学，影响深远，为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，历久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化，不仅如此，在全国及各地的高中数学竞赛中，有关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。因此，必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。 学习二次函数的关键是抓住顶点（-b/2a，(4ac-b2)/4a），顶点的由来体现了配方法（y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a）；图象的平移归结为顶点的平移（y=ax2→y=a(x-h)2+k）；函数的对称性（对称轴x=-b/2a，f (-b/2a+x)=f (-b/2a-x)，x∈R），单调区间（-∞，-b/2a），[-b/2a,+∞]、极值（(4ac-b2)/4a），判别式（Δb2-4ac）与X轴的位置关系（相交、相切、相离）等，全都与顶点有关。 一、“四个二次型”概述 在河南教育出版社出版的《漫谈ax2+bx+c》一书中（作者翟连林等），有如下一个“框图”： →a=0 → ↑↑ ↑↑ （一元）二次三项式 →a=0 → ax2+bx+c(a≠0) ↓↓↓↓ ↓↓↓↓ →a=0 →↓ ↓↓ 一元二次不等式 →a=0 → ax2+bx+c>0或 ax2+bx+c<0(a≠0) 观察这个框图，就会发现：在a≠0的条件下，从二次三项式出发，就可派生出一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式来。故将它们合称为“四个二次型”。其中二次三项式ax2+bx+c(a≠0)像一颗心脏一样，支配着整个 初三数学培优卷：二次函数考点分析 ★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点： 开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． ★★二次函数y=ax 2 +bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0） 一般式：y=ax 2 +bx+c ，三个点 顶点式：y=a （x －h ）2 +k ，顶点坐标对称轴 顶点坐标（－2b a ，244ac b a -）． 顶点坐标（h ，k ） ★★★a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大， a ， b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－2b a <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b?异号时，对称轴x=－ 2b a >0，即对称轴在y 轴右侧， c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y 轴交于正半轴；c<0时，与y?轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出． 交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况） 与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2 对称轴为2 2 1x x h += 一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()2 0f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。 一．一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x ①方程有两个不等正根 ??? ?? ? ??? >=>-=+>-=?>>00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负 ：0021<<=<-=+>-=?<<00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x 即时应用： (1)若一元二次方程 0)1(2)1(2 =-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。 (2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332 =-++k kx kx 有一个正根和一个负根？ 二、一元二次方程的非零分布——k 分布 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两不等实根为1x ，2x ， k 为常数。则一元二次方k 1x 2x k k k k 2k 1k 2 k 1 k 3 k 2 k 1 k 一元二次函数零点分布（二次方程根的分布） 教学目标 学会如何通过研究函数的图像，确定二次函数在给定区间上的零点分布。 教学重点 根据函数的图像确定二次函数在给定区间上的零点分布。 教学难点 体会影响二次函数在给定区间上的零点分布的要素。 教学过程 一、探究二次函数零点分布的要素 1、 回想：方程0)3(2 =+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。 2、 思考：函数2)3()(2 +-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。 若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。 3.探究：二次函数零点分布的要素 二、例题讲解 例1 函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a 范围 【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x 例2函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【总结】一元二次函数两个零点均在一个区 间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。这类问题要 考虑哪些因素。 【练习2】12)(2 ++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x 【变式2】12)(2 ++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围 例3函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且0,021> 一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） k k k 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下） 需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 1? 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ， 可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。如方程()2 220 mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m ，由2 13m <<得 2 23 m <<即为所求； 2? 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0?=，此时由0?=可以求出参数的值，然后再将参数 的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程 24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。分析：①由()()300f f -< 即 ()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0?=即()2164260m m -+=得出1m =-或3 2m =，当 1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m = 时，根()33,0x =?-，故3 2 m =不满足题意；综上分析，得出15 314 m -<<-或1m =- 二次函数根的分布 一、简单的三种类型 利用Δ与韦达定理研究)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的分布 （1）方程有两个正根??? ?? ? ??? >=>-=+≥-=??000421212a c x x a b x x ac b （2）方程有两个负根??? ? ? ? ??? >=<-=+≥-=??000421212a c x x a b x x ac b （3）方程有一正一负根0->≥-=??≤ 解析：发现无论开口向上或向下，)(k f 与a 的值都是同号的. 例3.若方程42x +(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则求m 的取值范围. （2）???? ??? <->≥-=??<≤k a b k af a c b k x x 20)(04221【图例】 解析：发现无论开口向上或向下，)(k f 与a 的值都是同号的. （3）21x k x < 二次函数 教学目标： 1．掌握二次函数的图像及性质 2．能够求出二次函数在某个区间上的最值 3．能够利用二次函数研究一元二次方程的实根的分布 教学重难点： 重点：一元二次函数、二次方程及二次不等式之间的灵活转化 难点：二次函数跟的分布及二次函数的应用 知识要点： 二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况． 设2()(0)f x ax bx c a =++≠，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值． 分析：将f x ()配方，得对称轴方程x b a =-2, 当a >0时，抛物线开口向上 若- ∈b a m n 2[]，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若-?b a m n 2[]， 当a >0时，抛物线开口向上，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b a =- 2较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．当a <0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a >0时 ??? ???? +<-+≥-=) )((212)())((212)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ?? ? ? ? ? ??? <-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f 当a <0时 ??? ? ????? <-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+?? ??? ??，，如图如图212212910 典型例题 一、求二次函数在闭区间上的值域 （一）正向型 已知二次函数和定义域区间，求其最值．对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决 这类问题的关键．此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间动；（3）轴动，区间定；（4）轴动，区间动． 1．轴定区间定 例1． 已知函数2 ()2tan 1,[1f x x x x θ=+-∈-，当6 πθ=-时，求函数f(x)的最大值与最小值． 二次函数与函数的零点 一、知识要点 1．二次函数的解析式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h ，k )，则其解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； (3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x 1，x 2，则其解析式为f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． a >0 a <0 图象 定义域 R 值域 ??? ?4ac －b 24a ，＋∞ ? ???－∞，4ac －b 24a 单调性 在? ???－∞，－b 2a 上递减，在????－b 2a ，＋∞上递增 在? ???－∞，－b 2a 上递增，在??? ?－b 2a ，＋∞上递减 奇偶性 b ＝0时为偶函数，b ≠0既不是奇函数也不是偶函数 图象特点 ①对称轴：x ＝－b 2a ；②顶点：????－b 2a ，4ac －b 24a (1)定义： 使函数y ＝f (x )的值为0的实数x 称为函数y ＝f (x )的零点． (2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x 轴交点间的关系： 方程f (x )＝0有实数根?函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点?函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条不间断的曲线，且f (a )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点． 3．函数零点具有哪些性质？ 提示：对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质： (1)当它通过零点且穿过x 轴时，函数值变号； (2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 4．二次函数y ＝ax 2 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象 与x 轴的 交点 (x 1,0)，(x 2,0) (x 1,0) 无交点 零点个数 两个 一个 零个 二次函数根的分布 令狐采学 一、知识点 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 一元二次方程 根的分布情况 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分布 情况 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论 （不讨论 ） 的大小比较） 表二：（两根与 表三：（根在区间上的分布） 分布 情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论 （不讨论 ） 分布情况 两根都在 内 两根有且仅有一根在 内 （图象有两种情况，只画了 一种） 一根在 内，另一根在 内， 二、经典例题 是方程 ：（实根与分布条件）已知 1例的取值范围。，求实数的两个根，且 ， 0的两个根，一个小于的方程 变式：关于的取值范围。 ，求1一个大于 上是单调 在区间 轴定区间）函数 ：（动2例大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 综合结论 （不讨论 ） —————— 的取值范围是？ 函数，则 2 ：函数 变式 在 的 上是增函数，求实数 取值范围。 3 列 在 ：（定轴动区间）求函数 上的值域。 3 变式 在区间 ：已知函数 上有最小值 3 ，求实数 的取值范围。 4 例 ：（定轴动区间）已知二次函数 ，若 在 上的最小值为 ，求 的表达式。 4 变式 ：已知二次函数 满足 ，且 在区间 上的值域是 ，若 的 ，求 值。 5 例 已知函数 ：（恒成立问题） ，若对于任意 成立，求实数 ，都有 的取值范围。 5 变式 ：已知函数 上恒大于 ，求实数 在 的取值范围。 三、课后练习 1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 2、函数在上有最大值5和最小值2，求的值。 3、讨论函数的最小值。 4、已知函数的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 二次函数教学目标： 1．掌握二次函数的图像及性质 2．能够求出二次函数在某个区间上的最值 3．能够利用二次函数研究一元二次方程的实根的分布 教学重难点： 重点：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化 难点：二次函数跟的分布及二次函数的应用 知识要点： 二次函数最值问题： 二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况． ! 设2 ()(0) f x ax bx c a =++≠，求f x()在x m n ∈[] ，上的最大值与最小值． 分析：将f x()配方，得对称轴方程x b a =- 2 当a>0时，抛物线开口向上 若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若 当a>0时，抛物线开口向上，此时函数在[] m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b a =- 2 较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．当a<0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a>0时 ? ? ? ?? ? ? + < - + ≥ - = ) )( ( 2 1 2 ) ( ) )( ( 2 1 2 ) ( ) ( 2 1 max 如图 如图 ， ， n m a b n f n m a b m f x f ? ? ? ? ? ? ? ? ? < - ≤ - ≤ - > - = ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) 2 ( ) ( 2 ) ( ) ( 5 4 3 min 如图 如图 如图 ， ， ， m a b m f n a b m a b f n a b n f x f ; 二次方程根的分布情况归纳(完整版) ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <,相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方 程的根即为二次函数图象与x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件) 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况) 分 布情况 两个负根即两根都小于０ ()120,0x x << 两个正根即两根都大于０ ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0,一个大于0()120x x << 大致图象( >a ) 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 表二:(两根与k 的大小比较） 分布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ,一个大于k 即 21x k x << 大致图象 ( >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 上海高考数学二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） k k k 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下） 需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 1? 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ， 可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。如方程()2 220 mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m ，由2 13 m <<得 2 23 m <<即为所求； 2? 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0?=，此时由0?=可以求出参数的值，然后再将参数 的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程 24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。分析：①由()()300f f -< 即 ()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0?=即()2164260m m -+=得出1m =-或3 2m =，当 1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m = 时，根()33,0x =?-，故3 2 m =不满足题意；综上分析，得出15 314 m -<<-或1m =- 根的分布练习题 例1、已知二次方程()()2 21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。 解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得1 12 m -<<即为所求的范围。 例2、已知方程()2 210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。 解：由 专题十一 一元二次方程实根的分布讨论 本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。 一．一元二次方程实根的基本分布——零分布 一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）即可判别。 一元二次方程02 =++c bx ax （0≠a ）的两个实数根为1x 、2x ，则 1x 、2x 均为正?△≥0，1x ＋2x ＞0，1x 2x ＞0； 1x 、2x 均为负?△≥0，1x ＋2x ＜0，1x 2x ＞0； 1x 、2x 一正一负?1x 2x ＜0。 例1．关于x 的一元二次方程2 8(1)70x m x m +++-=有两个负数根，求实数m 取值范围。 解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212 000x x x x ??? +< ??> ?≥ ① ②③ 由①得：2 (1)32(7)0m m +--≥，2 (15)0m -≥，恒成立。 由②得：1 8m +- ＜0，解之，m ＞1-。 由③得：7 8 m -＞0，解之，m ＞7。 综上，m 的取值范围是m ＞7。 例2．若n ＞0，关于x 的方程2 1(2)04 x m n x mn --+=有两个相等的正实数根，求m n 的 值。 解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212 000x x x x ?= ?? +??> ?① ＞ ②③ 由①得：2 (2)0m n mn --=，()(4)0m n m n --=，∴m n =或4m n =。 二次函数根的分布问题 1、 二次函数2()(0)y f x ax bx c a ==++>在闭区间[,]m n 上的值域和最值问题。 ① 当对称轴2b x m a =-≤时，函数2()(0)y f x ax bx c a ==++>在闭区间[,]m n 是单调递增函数，所以2max ()y f n an bn c ==++，2 min ()y f m am bm c ==++； ② 当对称轴(,]22 b m n x m a +=- ∈时，函数2()(0)y f x a x b x c a ==++>在区间(,]2b m a -上是单调递减函数，在区间(,]2b n a -上是单调递增函数，且||||22b b m n a a --≤--，所以2m a x ()y f n an bn c ==++，2min ()()()222b b b y f a b c a a a =-=-+-+； ③ 当对称轴(,]22 b m n x n a +=-∈时，函数2()(0)y f x ax bx c a ==++>在区间(,]2b m a -上是单调递减函数，在区间(,]2b n a -上是单调递增函数，且||||22b b m n a a --≥--，所以2m a x ()y f m am bm c ==++，2min ()()()222b b b y f a b c a a a =-=-+-+； ④ 当对称轴2b x n a =-≥时，函数2()(0)y f x ax bx c a ==++>在闭区间[,]m n 是单调递减函数，所以2max ()y f m am bm c ==++，2 min ()y f n an bn c ==++。 其中，值域就是在最大值与最小值之间。 综上所述： 2max 2()()22()()22b m n f n an bn c x a y b m n f m am bm c x a +?=++=≤??=?+?=++=≥?? 22min 2()()2()()()()2222()()2b f m am bm c x m a b b b b y f a b c m x n a a a a b f n an bn c x n a ?=++=-≤???=-=-+-+<=- 二次函数根的分布（教案） 教学目标： 1、进一步理解函数与方程的关系， 2、让学生学会借助图像辅助分析（数形结合法） 教学重点： 借助图像辅助分析（数形结合法） 一、 知识要点 1、 利用Δ与韦达定理研究)0a (0c bx ax 2≠=++的根的分布 1）方程有两个正根 2）方程两根一正一负 3）方程有两个负根 ?????????>=>-=+≥-=?>>00040,021212 21a c x x a b x x ac b x x ，则0021<<=<-=+≥-=?<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x ，则 2、 借助函数图像研究)0a (0c bx ax 2≠=++的根的分布 设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。k 为常数。则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 【定理1】???? ??? >->≥-=?≤ 【定理2】???? ??? <->≥-=?<≤k a b k af a c b k x x 20 )(04221，则 【定理3 】21x k x <<<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或?????????<>><<0 )(0 )(0)(0 )(021 21p f p f k f k f a 【定理6】2211k x x k <≤<，则???????????<-<>>>≥-=?2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或??? ?? ?????? <-<<<<≥-=?212 1220 )(0 )(0 04k a b k k f k f a ac b一元二次方程根的分布情况归纳总结
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