(完整word版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解

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大一高等数学期末考试试卷

一、选择题（共12分）

1. （3分）若2,0,(),0

x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1

2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h

→--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D)12

3. （3分）定积分22

π

π-?的值为（ ）.

(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2

4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ).

(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限

二、填空题（共12分）

1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .

2. （3分） 1241(sin )x x x dx -+=? .

3. （3分） 201lim sin x x x

→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .

三、计算题（共42分）

1. （6分）求20ln(15)lim .sin 3x x x x

→+

2. （6分）设y =求.y '

3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3

0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>?

5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x

t e dt tdt +=??所确定,求.dy

6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +?

7. （6分）求极限3lim 1.2n

n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分）

1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x

2. （7分）求由曲线cos 2

2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.

4. （7

分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值.

五、证明题(6分)

设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明

1()[()()]()()().22b

b a a

b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案

一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.

二、 1 31;y x =+ 2 2;3

3 0;

4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x

→?= 5分 53

= 1分

2 解

22ln ln ln(1),12

x y x x ==-++ 2分

2212[]121

x y x x '∴=-++ 4分 3 解 原式221ln(1)(1)2

x d x =++? 3分 222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x

=++-+?+? 2分

2221[(1)ln(1)]2x x x C =++-+ 1分 4 解 令1,x t -=则 2分

3201()()f x dx f t dt -=?? 1分

121

1(1)1cos t t dt e dt t -=+++?? 1分 21

0[]t e t =++ 1分 21e e =-+ 1分

5 两边求导得cos 0,y e y x '?+= 2分 cos y x y e '=-

1分 cos sin 1

x x =- 1分 cos sin 1

x dy dx x ∴=- 2分 6 解 1(23)(23)(22)2

f x dx f x d x +=++?? 2分 21sin(23)2

x C =++ 4分

7 解 原式=23323lim 12n n n ?→∞??+

??? 4分 =3

2e 2分

四、1 解 令ln ,x t =则,()1,t t x e f t e '==+ 3分

()(1)t f t e dt =+?=.t t e C ++ 2分

(0)1,0,f C =∴= 2分

().x f x x e ∴=+ 1分

2 解 222

cos x V xdx π

ππ-=? 3分 2202cos xdx π

π=? 2分 2.2π=

2分 3 解 23624,66,y x x y x '''=-+=- 1分

令0,y ''=得 1.x = 1分

当1x -∞<<时,0;y ''< 当1x <<+∞时,0,y ''> 2分

(1,3)∴为拐点, 1分

该点处的切线为321(1).y x =+- 2分

4 解

1y '=-= 2分 令0,y '=得3.4

x = 1分

35(5)5 2.55,,(1)1,44

y y y ??-=-+≈-== ??? 2分

∴ 最小值为(5)5y -=-+最大值为35.44

y ??= ??? 2分 五、证明

()()()()()()b

b

a a x a x

b f x x a x b df x '''--=--?? 1分 [()()()]()[2()b

b a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+? 1分

[2()()b a x a b df x =--+? 1分

{}[2()]()2()b b a a x a b f x f x dx =--++? 1分

()[()()]2(),b a b a f a f b f x dx =--++? 1分

移项即得所证. 1分

结尾处，小编送给大家一段话。米南德曾说过，“学会学习的人，是非常幸福的人”。在每个精彩的人生中，学习都是永恒的主题。作为一名专业文员教职，我更加懂得不断学习的重要性，“人生在勤，不索何获”，只有不断学习才能成就更好的自己。各行各业从业人员只有不断的学习，掌握最新的相关知识，才能跟上企业发展的步伐，才能开拓创新适应市场的需求。本文档也是由我工作室专业人员编辑，文档中可能会有错误，如有错误请您纠正，不胜感激！

At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the

importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!